Programma svolto nel corso di Geometria ad Ingegneria
Medica, a.a. 2016-2017
Andrea Iannuzzi
SPAZI VETTORIALI E GEOMETRIA ANALITICA ELEMENTARE Lo spazio delle
ennuple reali Rn. Somma di vettori, prodotto di un vettore per uno scalare: proprieta' e
interpretazione geometrica. Prodotto scalare tra vettori. Norma di un vettore. Distanza tra due
punti. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz e disuguaglianza triangolare. Ortogonalita'. Angolo fra
due vettori. Proiezione di un vettore lungo una direzione e sua lunghezza. Il sottospazio vettoriale
generato da un vettore di Rn. Retta per un punto parallela ad un vettore direttore, la sua giacitura,
retta per due punti. Equazioni parametriche. Il caso di R2: vettori normali alla giacitura, equazioni
cartesiane, distanza di un punto da una retta, spazi e sottospazi vettoriali, sottospazio generato da
un numero finito di vettori, indipendenza lineare. Insiemi di vettori linearmente indipendenti e
insiemi di vettori linearmente dipendenti. Esempi ed esercizi. Un insieme di vettori non nulli a
due a due ortogonali e' linearmente indipendente. Basi di uno spazio vettoriale finitamente
generato, metodo degli scarti successivi, metodo del completamento della base, dimensione:
lemma di Steinitz. Proprieta' delle basi e dimensione di sottospazi vettoriali di uno spazio
vettoriale finitamente generato. Piano per un punto e giacitura fissata, equazioni parametriche,
parallelismo tra piani e rette, piano per tre punti non allineati, piano contente una retta ed un
punto che non le appartiene. Piano contenente due rette parallele distinte, lo spazio delle soluzioni
di un'equazione lineare omogenea non nulla in tre incognite, prodotto vettoriale in R3 e le sue
proprieta': area dei parallelogrammi, regola della mano destra/sinistra, dalle equazioni
parametriche alle equazioni cartesiane di un piano in R3 e viceversa, fascio di piani improprio,
dalle equazioni parametriche alle equazioni cartesiane di una retta in R3 e viceversa, fascio di
piani proprio, somma e intersezione di sottospazi vettoriali e stima della loro dimensione. Somma
diretta di sottospazi vettoriali e loro dimensione, l'ortogonale W ad un sottospazio vettoriale U e'
in somma diretta con U, caso di U sottospazio vettoriale di R3: U e' l'ortogonale al suo ortogonale
W, posizioni reciproche di piani e rette in R3, distanza di un piano da: un punto, una retta a lui
parallela, un piano a lui parallelo e distanza tra due rette sghembe. Distanza di una retta da: un
punto, una retta a lei parallela. Circonferenze di R2 e rette a loro tangenti. Sfere di R3 e piani a
loro tangenti. Le circonferenze di R3 come intersezione di una sfera con un piano: calcolo del
raggio. Lo spazio vettoriale delle matrici, la trasposta di una matrice, matrici quadrate; diagonali,
triangolari superiori, triangolari inferiori, simmetriche. Il rango per righe e' uguale a quello per
colonne, rango delle matrici ridotte, trasformazioni elementari, metodo di riduzione. Basi di
sottospazi vettoriali tramite il metodo di riduzione.
SISTEMI LINEARI, MATRICI E DETERMINANTI Prodotto tra matrici: proprieta' ed
esempi, il caso delle matrici quadrate. Matrici fortemente ridotte, matrici a scala, sistemi di
equazioni lineari, in notazione compatta AX = B, ridotti/fortemente ridotti/a scala, teorema di
Rouche'-Capelli, risoluzione di sistemi ridotti e metodo di riduzione di Gauss. Sistemi lineari
omogenei: determinazione di una base dello spazio delle soluzioni. Sistemi lineari compatibili
AX=B: soluzioni = soluzione particolare + soluzioni di AX=O. Determinazione e unicita'
dell'inversa di una matrice quadrata invertibile, regole di calcolo per trasposte e inverse di matrici
e prodotti di matrici quadrate, determinanti e loro proprieta' caratterizzanti, |A| e' non nullo se e
solo se il rango di A e' massimo, il gruppo simmetrico S : permutazioni, cicli, trasposizioni, parita'
e disparita' di una permutazione. Sviluppo di Laplace per righe e colonne, applicazione al calcolo
n
dell'inversa di una matrice e alla risoluzione di sistemi lineari quadrati di rango massimo (regola
di Cramer). Teorema di Binet (senza dimostrazione). Risoluzione di sistemi lineari arbitrari
compatibili con il metodo dell'inversa.
ANCORA GEOMETRIA ANALITICA ELEMENTARE Posizione reciproca di piano/piano e
di retta/piano. Posizione reciproca di due rette in R3, piani ortogonali in R3. Il prodotto misto visto
come determinante. La formula di Grassmann vettoriale. Il rango di una matrice coincide con il
massimo ordine dei minori non nulli, il principio dei minori orlati (senza dimostrazione):
determinazione di equazioni omogenee che definiscono un sottospazio vettoriale assegnato. Spazi
vettoriali euclidei. Prodotto scalare, norma, diseguaglianza di Cauchy-Schwarz, angoli,
ortogonalita', basi ortogonali e basi ortonormali, formula per le coordinate di un vettore rispetto
ad una base ortogonale, procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt, dimensione ed
equazioni omogenee del sottospazio ortogonale ad uno spazio vettoriale W, determinazione di una
sua base ortogonale tramite il procedimento di Gram-Schmidt.
APPLICAZIONI LINEARI Applicazioni lineari: definizione, esempi e prime proprieta', il
nucleo e l'immagine, T e' iniettiva se e solo se il nucleo e banale, caso dell'applicazione lineare tra
spazi di vettori numerici definita da una matrice M, teorema della dimensione, isomorfismi e
condizioni equivalenti nel caso di dimensione finita. La restrizione di un'applicazione lineare ad
un sottospazio vettoriale definisce un'applicazione lineare, esistenza ed unicita' di un'applicazione
lineare di cui si sono scelte arbitrarie immagini degli elementi di una fissata base del dominio,
estensioni di applicazioni lineari, la matrice che reppresenta un'applicazione lineare rispetto a due
basi fissate, una nel dominio, l'altra nel condominio, determina un isomorfismo di spazi vettoriali
tra Hom(V,W) e Mm,n(K), la proiezione lungo un sottospazio supplementare, la proiezione
ortogonale. La proiezione ortogonale P su un sottospazio vettoriale W: la norma quadra di un
vettore v e' la somma delle norme quadre delle proiezioni di v su W e sull'ortogonale a W. Vale:
P2=P. La riflessione ortogonale R rispetto a W. Vale R2=Id. Il caso di V non finitamente generato e
W di dimensione finita, la proiezione di v su W e' l'elemento di W piu vicino a v. Sia V di
dimensione n e W di dimensione k. W coincide con lo spazio ortogonale allo spazio ortogonale a
W e fissando una base dello spaio ortogonale a W si ricavano n-k equazioni omogenee che
definiscono W. Iniettivita' e suriettivita' di un'applicazione lineare T:V --> W in termini di una
matrice M che le rappresenta: T e' iniettiva se e solo se il rango di M coincide con la dimensione
di V, T e' suriettiva se e solo se il rango di M coincide con la dimensione di W. Il caso degli
isomorfismi lineari. La matrice associata alla composizione di applicazioni lineari, endomorfismi
di uno spazio vettoriale, l'inverso di un' isomorfismo T e' determinato dall'inversa della matrice
che rappresenta T, matrice del cambio di coordinate, cambiando coordiante le matrici che
rappresentano un operatore lineare variano per similitudine, due matrici qudrate sono simili se e
solo se rappresentano uno stesso operatore lineare, matrici/operatori diagonalizzabili, autovalori,
autovettori, autospazi ed esempi, polinomio caratteristico, il caso delle riflessioni e delle
rotazioni. Autospazi distinti sono in somma diretta. Un operatore T:V -->V (una matrice quadrata)
e' diagonalizzabile se e solo se esiste una base di autovettori se e solo se la somma (diretta) degli
autospazi coincide con V. Gli autovalori sono le radici del polinomio caratteristico e sono al piu'
n=dim V. Radici di polinomi a coefficienti in un campo: i casi di C, R e Q. Teorema fondamentale
dell'algebra, lemma di divisione, fattori irriducibili in R e C, per K=R caso di n dispari, per n
piccolo si puo' studiare il grafico. Molteplicita' algebrica e geometrica di un autovalore, Un
operatore T:V -->V (una matrice quadrata) e' diagonalizzabile se e solo se tutte le radici del
polinomio caratteristico sono nel campo K e le molteplicita' algebriche coincidono con quelle
geometriche. I coefficienti del polinimo caratteristico: la traccia e il determinante di T sono bene
definite e coincidono, rispettivamente, con la somma e il prodotto di tutte le radici, a0= det(T) e
an-1=(-1)n-1tr(T), ad esempio per n = 2 il polinomio caratteristico e’: x2-tr(T)x+ det(T).
ISOMETRIE DEGLI SPAZI EUCLIDEI E TEOREMA SPETTRALE Il gruppo delle
isometrie di uno spazio euclideo, le traslazioni, le isometrie che fissano l'origine sono lineari e
rappresentate, rispetto ad una base ortonormale, da una matrice ortogonale (senza dimostrazione),
proprieta' delle matrici ortogonali, caratterizzazione in termini delle righe/colonne, gli eventuali
autovalori reali di una matrice ortogonale, i sottospazi ortogonali agli autovettori sono invarianti,
le matrici ortogonali 2x2: rotazioni e ribaltamenti, le matrici ortogonali 3x3: a meno di
cambiamento di base ortonormale rappresentano un rotazione intorno ad un asse eventualmente
composta con la riflessione rispetto al piano ortogonale all'asse, le riflessioni ortogonali rispetto
ad un sottospazio sono isometrie, cosi' come le permutazioni con segno delle coordinate (e non
sono in generale diagonalizzabili), il gruppo delle isometrie e' un sottogruppo del gruppo delle
affinita', gli operatori autoaggiunti (simmetrici) sono tali se e solo se sono rappresentati rispetto
ad una base ortonormale da una matrice simmetrica, il teorema spettrale per operatori simmetrici
(dimostrazione per n=2 e n=3) e sua conseguenza: una matrice e' simmetrica se e solo se si
diagonalizza tramite una matrice ortogonale: si usa che le matrici del cambiamento di base tra due
basi ortonormali risultano essere proprio quelle ortogonali,
ISOMETRIE DEGLI SPAZI HERMITIANI E TEOREMA SPETTRALE Richiami sui
numeri complessi, fattorizzazione di xn-z, con z numero complesso, spazi vettoriali numerici
complessi, il prodotto hermitiano standard: norma e distanza indotta, ortogonalita' e basi
ortonormali. Isometrie: traslazioni, le isometrie che fissano l'origine sono lineari e conservano il
prodotto hermitiano; rispetto ad una base ortonormale sono rappresentate da una matrice unitaria.
Proprieta' delle matrici unitarie, loro caratterizzazione in termini delle righe/colonne, gli
autovalori sono numeri complessi di modulo 1. Gli operatori autoaggiunti (hermitiani) sono tali se
e solo se sono rappresentati rispetto ad una base ortonormale da una matrice hermitiana, il
teorema spettrale per operatori hermitiani e sue conseguenze: una matrice e' hermitiana se e solo i
suoi autovalori sono reali e si diagonalizza tramite matrice unitaria. Il teorema spettrale per
operatori unitari e anti-hermitiani (solo accennato).
CONICHE E QUADRICHE EUCLIDEE Il luogo degli zeri Z di una funzione f di Rn e il suo
trasformato F(Z) tramite una biezione F:Rn -->Rn; l'insieme F(Z) e' il luogo degli zeri di f∘F-1. Le
coniche euclidee, la forma canonica del polinomio di secondo grado che le definisce si ottiene
diagonalizzando la parte quadratica ed eliminando quanti piu' termini lineari possibili (nel caso
delle coniche o uno o entrambi), classificazione euclidea di tutte le coniche euclidee. Matrice
completa della conica e determinazione del tipo di conica tramite gli invarianti. Ellissi, parabole e
iperboli come luoghi geometrici del piano euclideo, fuochi, direttrici, eccentricita', simmetrie e
parametrizzazioni, asintoti dell'iperbole. Quadriche: cenni sulla classificazione e sugli invarianti.
L'ellissoide e l'iperboloide iperbolico: intersezioni con piani coordinati, simmetrie e relative
isometrie, parametrizzazioni esplicitando il polinomio in forma normale o tramite sezionamento
in piani paralleli ad un piano coordinato. L'iperboloide iperbolico di rotazione: le due schiere di
rette, parametrizzazione come superficie rigata di rotazione. Il paraboloide iperbolico come
grafico di funzione. Il cono: parametrizzazione come unione di rette per il vertice.
