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Università : Università Politecnica delle Marche
Facoltà : Economia
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L' Appunto
Le Domande d'esame
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Domande-Risposte Teoriche Statistica
1. L’impostazione assiomatica al calcolo della probabilità.
La probabilità che si verifichi l’evento E Є Ω. P(E) è una funzione d’insieme che lega ad ogni
evento E un valore compreso tra 0 e1.
Assiomi P(E) ≥ 0
P(E) = 1 se A ⋂ 𝐵𝐵= O allora P(A U B)= P(A) + P(B)
Teorema della probabilità totale  P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A/B)
Teorema della probabilità composta  P(A ⋂ 𝐵𝐵) = P(B) * P(A/B) = P(A) * P(B/A).
Nel calcolo della probabilità aiuto l’impostazione assiomatica con 3 assiomi.
Il 1° assioma di non negatività P(A)≥0; vale solo se A è un evento impossibile.
Il 2° assioma di normalizzazione P(Ω)=1 se considero un evento che si realizzerà sarà=1
Il 3° assioma dell’additività 𝐴𝐴𝐴𝐴 ∩ 𝐴𝐴𝐴𝐴 = ∅; 𝑃𝑃(𝐴𝐴𝐴𝐴 ∩ 𝐴𝐴𝐴𝐴) = 𝑃𝑃(𝐴𝐴𝐴𝐴) + 𝑃𝑃(𝐴𝐴𝐴𝐴). Si considerano due
eventi tra loro incompatibili (cioè o si verifica l’uno o l’altro, mai entrambi) la probabilità che si
verifichi l’uno o l’altro è uguale alla probabilità di uno o + la probabilità dell’altro.
AB
Ct
rib
e.c
om
2. Dopo aver definito la funzione di ripartizione ed averne descritto le principali
caratteristiche, dire come si stabilisce se è relativa ad una casuale discreta o continua e
come si determina la corrispondente funzione di probabilità o di densità.
Definizione: si dice funzione di ripartizione di X e si indica con Fx(x) la funzione con dominio
nei reali e codominio nell’intervallo [0 ; 1]. Definito come la frazione degli individui che
assumono un valore minore o uguale alla x.
Definito da Fx(X).= Pr(X≤x) si associa ad x appartenente ai reali la frequenza relativa delle
unità statistiche per cui X≤x.
Fx(x): R  [o; 1]
�
Fx(x): Pr (X ≤ x) x ε R; X ≤ x
L’accumulazione è definito solo nel supporto , invece la funzione di ripartizione è definito tra l∞; +∞l . Queste due funzioni coincidono nei punti compresi nel supporto poiché negli altri
punti l’accumulazione non è definita.
Le Proprietà:
a) Funzione monotona non decrescente.
b) lim𝑥𝑥→ − ∞ 𝐹𝐹𝐹𝐹(𝑥𝑥) = 0
c) lim𝑥𝑥→ + ∞ 𝐹𝐹𝐹𝐹(𝑥𝑥) = 1
d) Funzione continua a destra
lim 𝐹𝐹𝐹𝐹(𝑥𝑥) = 𝐹𝐹𝐹𝐹(𝑥𝑥𝑥𝑥)
𝑥𝑥→𝑦𝑦𝑦𝑦 +
e) La relazione tra Funzione di Ripartizione e la Funzione della Relativa è dato:
Px(xi)= Fx(xi) – Fx(xi-1)
dove i= 1….k
SE È RELATIVA:
Variabile Casuale Discreta: data una variabile casuale discreta x, si dice funzione di ripartizione
, la funzione che corrisponde ai valori x la probabilità che X ≤x F(x)= P(X≤x).
Valgono le proprietà della statistica descrittiva. Questa funzione si chiama Funzione di
Ripartizione Teorica. La differenza delle frequenze relative e che qui abbiamo la probabilità e
la variabile è casuale.
Variabile Casuale Continua: chiameremo funzione di densità di frequenza della variabile
casuale X continua la funzione fx(x) per cui vale la seguente relazione.: P(a≤x≥b) = ∫ fx(x)dx
fx(x) = { fx(x)≥0 (funzione di non negatività)
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{ ∫ f(x)dx=1 (condizione di normalizzazione)
Determinare la Funzione di Probabilità o Densità: Nei modelli continua la probabilità di un
punto è nullo. Pr(X≤x)=P(a<x<b).
Data una variabile casuale continua X, la funzione di ripartizione è la funzione che fa
corrispondere ai valori X la probabilità accumulata.
P(X≤x)= Fx(x)=∫ fx(t)dt.
Le proprietà sono le stesse per la statistica descrittiva.
Variabile Discrete: proprietà della probabilità sono le stesse della frequenza relativa
1. P(xi)≥0 2.∑ P8xi)=1 condizione di normalizzazione.
Ct
𝑥𝑥→𝑦𝑦𝑦𝑦 +
rib
e.c
om
3. Definire la funzione di ripartizione, richiamarne le proprietà e dimostrare che è funzione
monotona non decrescente.
Definizione: si dice funzione di ripartizione di X e si indica con Fx(x) la funzione con dominio
nei reali e condominio nell’intervallo [0;1]. Definito come la frazione degli individui che
assumono un valore minore o uguale alla X. Definito da Fx(X).= Pr(X≤x) si associa ad x
appartenente ai reali la frequenza relativa delle unità statistiche per cui X≤x. La funzione di
ripartizione è definito tra l- ∞; +∞l.
{ Fx(x): R  [o;1]
Fx(x): Pr (X≤x) x ε R; X≤x.
Le Proprietà:
f) Funzione monotona non decrescente.
g) lim𝑥𝑥→ − ∞ 𝐹𝐹𝐹𝐹(𝑥𝑥) = 0
h) lim𝑥𝑥→ + ∞ 𝐹𝐹𝐹𝐹(𝑥𝑥) = 1
i) Funzione continua a destra
lim 𝐹𝐹𝐹𝐹(𝑥𝑥) = 𝐹𝐹𝐹𝐹(𝑥𝑥𝑥𝑥)
AB
j) La relazione tra Funzione di Ripartizione e la Funzione della Relativa è dato:
Px(xi)= Fx(xi) – Fx(xi-1)
dove i= 1….k
Dimostrazione Funzione Monotona Non Decrescente: Al valore del supporto la funzione di
ripartizione è costante e crescente: xi xj j=1+i
F(xi)= P1+P2+P3+P4…….+Pi F(xj)= P1+P2+P3+…+Pj
xi<xj  F(xi) ≥ F(xj)
F(xj) ≥ F(xi)  P1+P2+P3+……+P1+P2+P3+Pj+Pi  Pj<0 (ciò
significa che la frequenza non può essere negativa)
Dimostrazione:
xb>xa  F(xb)≥(xa) se (xb)<(xa)  F(xb)= Pr(X≤xb); F(xa)= Pr(X≤xa).
F(xb)-F(xa)  Pr(xa≤x≤xb) ≥ 0  F(xb)-F(xa) ≥ 0  F(xb) ≥ F(xa).
F(xb)= F(xa) + P(xa≤x≤xb)  F(xb)-F(xa) = P(xa≤x≤xb)  F(xb) ≥ F(xa)
4. Illustrare i presupposti logici del metodo della massima Verosimiglianza.
Massima Verosimiglianza: I metodi di stima sono quei metodi che si permettono di
A)
individuare caso per caso stimatori. Ho una popolazione X con distribuzione bernoulliana, un
campione din individui xi….xn. Definiamo la funzione di densità o la probabilità che si
manifestano in un determinato campione. Lo posso calcolare perché le variabili campionarie
sono indipendenti e identiche:
P(x1, x2…xn : ∏) = ∏* (1-π) ¹-xi * ∏x2 (1- π) ¹-x2 * ∏xn (1- π) ¹-xn.
La probabilità dipende dalla ∏. La variabile che campiona quella probabilità non è X, ma è il
parametro . La probabilità congiunta della realizzazione campionaria è detta Funzione di
Verosimiglianza = L(π). È una funzione di π perché ci sono xi valori.
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AB
Ct
rib
e.c
om
Idea di questo metodo: massimizzo la probabilità del campione che ho tenuto per me è più
verosimile di tutti, rispetto alla unica varabile che ho. Il valore di π che mi massimizza la
probabilità del campione è il valore + accettabile possibile, poiché questo campione è + vero.
Si chiama metodo di massima verosimiglianza perché vado a cercare quel valore di π che
rende massimo la probabilità della realizzazione campionaria: max L(π).
Invece di utilizzare L(π) usiamo ln=(L(π)). Il massimo che io determino sul logaritmo è lo
stesso che io avrei determinato sulla funzione originaria.
Ln(π)= ln L π=ln( ∏ πxi) (1- π) ¹¯ ) = ∑ ln(π ) (1- π) ¹¯  facciamo la derivata per
massimizzare.
D(ln π + ln(1-π) )= d(xilnπ + (1-xi)* ln(1-π)
L’(π)= ∑ D(xi*ln π+ (1-xi)ln(1- π)= ∑ [xi/ π + (1-xi) 1/1- π (-1)]= ∑ (1- π)xi – π (1-xi) / π(1- π)
(ciò che faremo ora, non è uno stimatore di massima verosimiglianza. Devo fare la derivata
secondo per trovare e essere sicuri che quello è un massimo.. Dopo di che si fa la L’’(π) quello π
è un p unto di massimo. Il metodo di massima verosimiglianza ci permette di determinare
direttamente la stima)
∑ [(1- π)xi – π (1-xi)]=0  (1- π) ∑xi - π ∑ (1-xi)=0  ∑ xi - π∑ (1-xi)=0  ∑xi - π∑- π(n∑xi)=0 
∑xi - π∑ xi - n π + π∑xi=0  π^= ∑x/n  π= ∑xi/n
Tn= π^=¯xn= ∑xi/n
Dopo questi passi trovo lo stimatore, sostituendo ai valori della realizzazione campionarie le
corrispondenti variabili casuali.
Metodo Analogico: presuppone la stessa cos che ho nella popolazione: π è la media
B)
rispetto alla varabile casuale bernoulliana. X ~ E (λ) dove λ >0.
Fx(x)= λ e
dove x>0, abbiamo una funzione continua, estraiamo da x1…xn. .
Ora costruiamo la funziona di max. verosimiglianza L(λ)= ∏ λe , poi massimizzo rispetto al
campione che ho ottenuto.
L (λ)= ∑ ln (λe )= ∑( lnλ- λxi)= n ln λ – λ ∑xi  l’(λ)= n/ λ - ∑xi=0 n- λ∑xi/n=0  λ=n/
∑xi= 1/x¯n  l’’(λ)= -n/ λ²<0  λ=1/ x¯n questa è la stima della max verosimiglianza del
parametro λ di una funzione esponenziale negativa .
{ λ^=1/ x¯n Stima
{ λ^ =n/ ∑xi Stimatore di Max Verosimiglianza
In sostanza non cambia niente ma nello stimatore al posto dei valori xi ho messo la variabile
xn.
Lo stimatore di Massima Verosimiglianza è consistente
E(x)=1/ λ λ= 1/E(x)  stimatore E(x)= media della variabile.
5. Si supponga di voler stimare un parametro incognita di una popolazione disponendo di
un campione casuale ed usando il metodo della massima Verosimiglianza :
- Illustrare il significato della funzione di Verosimiglianza.
Giustificare perché la stima si ottiene massimizzando il valore della
funzione di Verosimiglianza rispetto al parametro.
I metodi di stima sono quei metodi che ci permettono di individuare caso per caso i stimatori.
Hanno popolazione X con distribuzione bernulliana. Estraggo un campione di n individui
xi….xn. Definiamo la funzione di densità o la popolazione che si manifesta in un determinato
campione. Lo posso calcolare perché le variabili campionarie sono indipendenti e identiche:
P(x1,x2….xn) = ∏ (1- π) ¹¯ / P(xi) * ∏ (1- π) ¹¯ / P(xi) *………..* ∏ (1- π) ¹¯ / P(xi)
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Preparati con le domande di ABCtribe su .
1. la corte d
Risposta:
La corte (o, in alcuni paesi, tribunale) dei conti è un organo dello Stato, presente in vari ordinamenti, con
funzioni giurisdizionali e amministrative di controllo in materia di entrate e spese pubbliche.La corte dei
conti è solitamente prevista dalla costituzione ed appartiene al potere giudiziario, anche se, come si è
detto, è investita tanto di funzioni giurisdizionali (giurisdizione contabile), in relazione alle quali è giudice
speciale, quanto di funzioni amministrative di controllo.
È un organo collegiale o un organo complesso costituito da una pluralità di organi collegiali (sezioni,
camere ecc.), composto da magistrati contabili con uno status differenziato rispetto ai magistrati che
compongono gli organi della giurisdizione ordinaria. In certi ordinamenti ha un pubblico ministero, che
può essere interno alla corte stessa (come i
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2. perchè H3O+ è pi
Risposta:
H3O+ è l'acido coniugato di H2O
mentre
NH4+ è la base coniugata di NH3
sappiamo che tanto più forte è una base tanto più debole è il suo acido coniugato, per cui se è vero che
H3O+ è più acido di NH4+, allora deve esser
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