Stime di massima verosimiglianza per un modello di regressione lineare normale.
La normale multivariata
Il vettore casuale (v.c.) X ha distribuzione normale n-variata con parametri µ, vettore delle medie, e Σ, matrice di covarianze, se la sua densità di
probabilità è
1
1
−1
−
0
−n
f (x; µ, Σ) = (2π) 2 |Σ| 2 exp − (x − µ) Σ (x − µ) .
2
Il modello di regressione lineare classico
Sia yt una variabile, la cui variabilità può essere in parte spiegata come funzione lineare di una costante e di variabili non stocastiche xt,1 , xt,2 , . . . , xt,k−1
(tra loro non linearmente dipendenti), per mezzo del seguente modello di
regressione
yt = β0 + β1 xt,1 + . . . + βk−1 xt,k−1 + εt
con εt ∼ N (0, σ 2 ) e cov(εs , εt ) = 0 per
β = (β0 , . . . , βk−1 )0 , ε = (ε1 , . . . , εn )0 ,
x1,1 x1,2
x2,1 x2,2
X = ..
..
.
.
xn,1 xn,2
t = 1, . . . , n,
s 6= t. Ponendo y = (y1 , . . . , yn )0 ,
. . . x1,k
. . . x2,k
..
...
.
. . . xn,k
,
lo stesso modello può essere scritto in maniera compatta
y = Xβ + ε,
con ε ∼ Nn (0, σ 2 In ). Un modo alternativo, ma equivalente di scrivere il
modello di regressione è:
y ∼ Nn (Xβ, σ 2 In ).
Stima dei parametri del modello col metodo dei minimi
quadrati
I parametri β e σ 2 del modello di regressione sono incogniti e vanno stimati,
uno dei metodi possibili è quello dei minimi quadrati (LS=least square).
1
Gli stimatori LS dei parametri β del modello sono i valori che soddisfano a
n
X
(yt − β0 − β1 xt,1 − . . . − βk−1 xt,k−1 )2 = min,
t=1
che in forma matriciale può essere riscritta
(y − Xβ)0 (y − Xβ) = min .
Eseguendo i prodotti si ottiene
y0 y − β 0 X0 y − y0 Xβ + β 0 X0 Xβ =
= y0 y − 2y0 Xβ + β 0 X0 Xβ,
dove il secondo ed il terzo addendo della prima riga sono uguali essendo scalari
(il trasposto di uno scalare è uguale allo scalare stesso). Ora, per trovare il
minimo non resta che derivare rispetto a β e porre le derivate uguali a zero
(e verificare che la matrice delle derivate seconde sia definita positiva).
∂ 0
(y y − 2y0 Xβ + β 0 X0 Xβ) = 0
∂β
−2X0 y + 2X0 Xβ = 0
β̂ LS = (X0 X)−1 X0 y.
Per esercizio
• Si calcoli la matrice delle derivate seconde e si mostri che tale matrice
è definita positiva.
• Si mostri che lo stimatore è corretto, cioè che E(β LS ) = β.
• Si mostri che la matrice di covarianza dello stimatore è: E[(β LS −
β)(β LS − β)0 ] = σ 2 (X0 X)−1 .
Essendo β̂ LS esprimibile come combinazione lineare di variabili casuali
normali, è a sua volta normale:
β̂ LS ∼ Nk (β, σ 2 (X0 X)−1 ).
Si può mostrare che
(y − Xβ)0 (y − Xβ)
s =
n−k
2
2
è uno stimatore corretto di σ 2 , la cui distriuzione è
(n − k)s2
∼ χ2n−k .
2
σ
Si chiami cij , il generico elemento della matrice (X0 X)−1 ; dalla teoria della
normale segue che
p
(n − k)σ 2
β̂LSi − βi
β̂LSi − βi
√
p
·
∼ tn−k ,
= √ 2
2
σ cii
s cii
(n − k)s2
con cui si può costruire un test t per verificare l’ipotesi H0 : βi = 0.
Stima di massima verosimiglianza dei parametri del modello
Un metodo alternativo per stimare β e σ 2 nel modello di regressione è
la massima verosimiglianza (ML=maximum likelihood), che gode di buone proprietà statistiche (specie per grandi campioni). Visto che il modello di
regressione può essere espresso con
y ∼ Nn (Xβ, σ 2 In ),
è possibile scrivere la densità di probabilità di y, e quindi la funzione di
verosimiglianza dei parametri β e σ 2 come segue:
1
0
2
2
2 −n/2
L(β, σ ; y) = f (y; β, σ ) = (2πσ )
exp − 2 (y − Xβ) (y − Xβ) .
2σ
La stima di massima verosimiglianza dei parametri è la combinazione di
valori per β e σ 2 che rende massima la funzione di verosimiglianza, cioè è quel
valore dei parametri che rende il campione estratto il più probabile possibile,
quando il modello lineare gaussiano è corretto.
In genere è più agevole cercare il massimo della trasformata logaritmica della
funzione di verosimiglianza, che ha la proprietà di non alterare il valore dei
parametri nei punti stazionari della funzione L(.)1 :
n
1
n
l(β, σ 2 ) = log L(β, σ 2 ) = − log(2π) − log(σ 2 ) − 2 (y − Xβ)0 (y − Xβ).
2
2
2σ
Ponendo le derivate prime uguali a zero si ottiene:
∂l
n
1
= − 2 + 4 (y − Xβ)0 (y − Xβ) = 0
2
∂σ
2σ
2σ
∂l
1
= − 2 [2X0 Xβ − 2X0 y] = 0
∂β
2σ
1
Infatti porre
∂L(θ)
∂θ
uguale a zero, equivale a porre
3
1 ∂l(θ)
L(θ) ∂θ
nullo, con l(θ) = log L(θ).
da cui risulta
1
(y − Xβ)0 (y − Xβ)
n
= (X0 X)−1 X0 y
2
σ̂M
L =
β̂ M L
In questo caso particolare (regressione lineare gaussiana) lo stimatore di β
M L coincide con lo stimatore LS (=least square=minimi quadrati) e quindi
β̂ M L ∼ N (β, σ 2 (X0 X)−1 ).
Proprietà del generico stimatore di massima
verosimiglianza
Sia θ̂ lo stimatore di massima verosimiglianza di θ 0 , e l(θ) la funzione di
log-verosimiglianza che θ̂ massimizza. Sotto condizioni di regolarità (generalmente rispettate nei comuni problemi di stima), lo stimatore θ̂ è
1. Consistente: limn→∞ Pr(|θ̂ − θ 0 | < ε) = 1.
√
2. Asintoticamente normale: n(θ̂ − θ 0 ) ∼a N (0, I−1 (θ 0 )) con
" #
2 0
∂l
∂ l
∂l
I(θ 0 ) = E
= −E
,
∂θ θ0 ∂θ θ0
∂θ∂θ 0 θ0
matrice di informazione di Fisher.
3. Asintoticamente efficiente: infatti per n → ∞ non esiste alcuno
stimatore più efficiente (a varianza più piccola) di θ̂.
4
