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NORMA ITALIANA
S P E R I M E N TA L E
Guida all’espressione dell’incertezza di misura
UNI CEI ENV
13005
LUGLIO 2000
DESCRITTORI
Misura, misurazione, incertezza di misura, definizione, determinazione
dell’incertezza
CLASSIFICAZIONE ICS
17.020; 01.040.17
SOMMARIO
La norma, sperimentale, stabilisce le regole generali per la valutazione e
l’espressione dell’incertezza nella misurazione che possono essere eseguite, a vari livelli di rigore, in molti campi, dal commercio al dettaglio alla
ricerca di base. Pertanto i principi di base della presente guida pretendono
di essere applicabili ad un vasto spettro di misurazioni tra cui quelle
necessarie per:
mantenere il controllo e la garanzia della qualità nella produzione;
garantire la conformità a leggi e regolamenti o imporne il rispetto;
condurre ricerca di base, o applicata, o di sviluppo, nella scienza e
nell’ingegneria;
tarare campioni e strumenti, ed effettuare prove nell’ambito di un
sistema nazionale di misurazione allo scopo di conseguire la riferibilità
ai campioni nazionali;
sviluppare, mantenere e confrontare campioni di riferimento internazionali e nazionali, inclusi i materiali di riferimento.
RELAZIONI NAZIONALI
La presente norma sostituisce la UNI CEI 9.
La presente norma riprende integralmente il testo della UNI CEI 9, modificandone soltanto le pagine di copertina e di premessa a seguito del recepimento della Guida ISO come norma europea sperimentale.
RELAZIONI INTERNAZIONALI
= ENV 13005:1999 (= ISO Guide to the expression of uncertainty in
measurement 1995)
La presente norma sperimentale è la versione ufficiale in lingua italiana
della norma europea sperimentale ENV 13005 (edizione maggio 1999).
ORGANO COMPETENTE
Commissione "UNI - CEI Metrologia generale"
RATIFICA
Presidente dell’UNI, delibera del 21 giugno 2000
Presidente del CEI, delibera del 23 giugno 2000
RICONFERMA
 UNI - CEI, Milano 2000
Riproduzione vietata. Tutti i diritti sono riservati. Nessuna parte del presente documento
può essere riprodotta o diffusa con un mezzo qualsiasi, fotocopie, microfilm o altro, senza
il consenso scritto dell’UNI e del CEI.
COMITATO
ELETTROTECNICO
ITALIANO
Gr. 21
Nº di riferimento UNI CEI ENV 13005:2000
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NORMA EUROPEA SPERIMENTALE
Guide to the expression of uncertainty in measurement
ENTE NAZIONALE
ITALIANO
DI UNIFICAZIONE
Pagina I di IV
PREMESSA NAZIONALE
La presente norma costituisce il recepimento, in lingua italiana, della
norma europea sperimentale ENV 13005 (edizione maggio 1999),
che assume così lo status di norma nazionale italiana sperimentale.
La traduzione è stata curata dall’UNI.
La Commissione "UNI - CEI Metrologia generale" dell’UNI, che segue i lavori europei sull’argomento, per delega della Commissione
Centrale Tecnica, ha approvato il progetto europeo il 17 ottobre 1997
e la versione in lingua italiana della norma il 18 novembre 1999.
La scadenza del periodo di validità della ENV 13005 è stata fissata
inizialmente dal CEN per maggio 2002. Eventuali osservazioni sulla
norma devono pervenire all’UNI entro luglio 2001.
Le norme UNI CEI sono revisionate, quando necessario, con la pubblicazione di nuove
edizioni o di aggiornamenti.
È importante pertanto che gli utenti delle stesse si accertino di essere in possesso
dell’ultima edizione e degli eventuali aggiornamenti.
Le norme sperimentali sono emesse, per applicazione provvisoria, in campi in cui viene
avvertita una necessità urgente di orientamento, senza che esista una consolidata esperienza a supporto dei contenuti tecnici descritti.
Si invitano gli utenti ad applicare questa norma sperimentale, così da contribuire a fare
maturare l'esperienza necessaria ad una sua trasformazione in norma raccomandata.
Chiunque ritenesse, a seguito del suo utilizzo, di poter fornire informazioni sulla sua applicabilità e suggerimenti per un suo miglioramento o per un suo adeguamento ad uno
stato dell'arte in evoluzione è pregato di inviare, entro la scadenza indicata, i propri contributi all'UNI, Ente Nazionale Italiano di Unificazione.
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Pagina II di IV
INDICE
PREMESSA
2
0
INTRODUZIONE
4
1
SCOPO
6
2
2.1
2.2
2.3
DEFINIZIONI
6
Termini metrologici generali.................................................................................. 6
Il termine "incertezza" ........................................................................................... 7
Termini specifici della presente guida ................................................................... 7
3
3.1
3.2
3.3
3.4
CONCETTI FONDAMENTALI
8
Misurazione .......................................................................................................... 8
Errori, effetti e correzioni....................................................................................... 9
Incertezza ........................................................................................................... 10
Considerazioni pratiche ...................................................................................... 12
4
4.1
4.2
4.3
4.4
VALUTAZIONE DELL'INCERTEZZA TIPO
13
Modello della misurazione .................................................................................. 13
Valutazione di categoria A dell'incertezza tipo.................................................... 15
Valutazione di categoria B dell'incertezza tipo.................................................... 17
Illustrazione grafica della valutazione dell'incertezza tipo................................... 21
5
5.1
5.2
DETERMINAZIONE DELL'INCERTEZZA TIPO COMPOSTA
25
Grandezze d'ingresso non correlate ................................................................... 25
Grandezze d'ingresso correlate .......................................................................... 28
6
6.1
6.2
6.3
DETERMINAZIONE DELL'INCERTEZZA ESTESA
30
Introduzione ........................................................................................................ 30
Incertezza estesa................................................................................................ 31
Scelta del fattore di copertura............................................................................. 31
7
7.1
7.2
DICHIARAZIONE DELL'INCERTEZZA
32
Criteri generali..................................................................................................... 32
Istruzioni specifiche............................................................................................. 33
8
RIASSUNTO DELLA PROCEDURA PER LA VALUTAZIONE E LA
DICHIARAZIONE DELL'INCERTEZZA
35
APPENDICE A
A.1
A.2
A.3
RACCOMANDAZIONI DEL GRUPPO DI LAVORO E DEL CIPM
36
Raccomandazione INC-1 (1980) ........................................................................ 36
Raccomandazione 1 (CI-1981)........................................................................... 36
Raccomandazione 1 (CI-1986)........................................................................... 37
APPENDICE B
B.1
B.2
TERMINI METROLOGICI GENERALI
38
Fonte delle definizioni ......................................................................................... 38
Definizioni ........................................................................................................... 38
APPENDICE C
C.1
C.2
C.3
TERMINI E CONCETTI STATISTICI FONDAMENTALI
44
Fonte delle definizioni ......................................................................................... 44
Definizioni ........................................................................................................... 44
Elaborazione di termini e concetti....................................................................... 48
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APPENDICE D
D.1
D.2
D.3
D.4
D.5
D.6
VALORE "VERO", ERRORE ED INCERTEZZA
52
Misurando ........................................................................................................... 52
Realizzazione della grandezza ........................................................................... 52
Valore "vero " e valore corretto........................................................................... 52
Errore.................................................................................................................. 53
Incertezza ........................................................................................................... 54
Rappresentazione grafica................................................................................... 54
APPENDICE E
MOTIVAZIONI E FONDAMENTI DELLA RACCOMANDAZIONE
INC-1 (1980)
58
"Prudenziale", "casuale" e "sistematico"............................................................. 58
Giustificazione di una valutazione realistica dell'incertezza................................ 58
Giustificazione dell'identico trattamento per tutte le componenti di incertezza... 59
Scarto tipo come mezzo di espressione dell'incertezza ..................................... 62
Confronto di due concezioni dell'incertezza........................................................ 64
E.1
E.2
E.3
E.4
E.5
APPENDICE F
F.1
F.2
GUIDA PRATICA ALLA VALUTAZIONE DELLE COMPONENTI
DELL'INCERTEZZA
66
Componenti valutate mediante osservazioni ripetute:
valutazione di categoria A dell'incertezza tipo .................................................... 66
Componenti valutate con altri metodi:
valutazione di categoria B dell'incertezza tipo .................................................... 69
APPENDICE G
G.1
G.2
G.3
G.4
G.5
G.6
GRADI DI LIBERTÀ E LIVELLI DI FIDUCIA
76
Introduzione ........................................................................................................ 76
Teorema del limite centrale ................................................................................ 77
Distribuzione t e gradi di libertà .......................................................................... 78
Gradi di libertà effettivi ........................................................................................ 80
Altre considerazioni ............................................................................................ 82
Riassunto e conclusioni ...................................................................................... 83
APPENDICE H
H.1
H.2
H.3
H.4
H.5
H.6
ESEMPI
87
Taratura di blocchetti piano-paralleli................................................................... 87
Misurazione simultanea di resistenza e reattanza.............................................. 92
Taratura di un termometro .................................................................................. 97
Misurazione di attività ....................................................................................... 101
Analisi della varianza ........................................................................................ 106
Misurazioni con una scala di riferimento: durezza............................................ 112
APPENDICE J
GLOSSARIO DEI SIMBOLI PRINCIPALI
117
APPENDICE K
BIBLIOGRAFIA
121
Indice alfabetico
123
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PRENORMA EUROPEA
Guida all’espressione dell’incertezza di misura
ENV 13005
MAGGIO 1999
Guide to the expression of uncertainty in measurament
PRÉNORME EUROPÉENNE
Guide pour l’expression de l’incertude de mesure
EUROPÄISCHE VORNORM
Leitfaden zur Angabe der Unsicherheit beim Messen
DESCRITTORI
Misura, misurazione, incertezza di misura, definizione, determinazione dell’incertezza
ICS
17.020
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EUROPEAN PRESTANDARD
La presente norma europea sperimentale (ENV) è stata approvata dal CEN,
come norma per applicazione provvisoria, il 17 giugno 1998.
Il periodo di validità della presente norma ENV è limitato inizialmente a 3 anni.
I membri del CEN saranno invitati dopo 2 anni a sottoporre i loro commenti, in
particolare per quanto riguarda la sua trasformazione da ENV a norma europea.
I membri del CEN sono tenuti a rendere nota l’esistenza della presente
ENV nello stesso modo utilizzato per una EN e a renderla prontamente disponibile a livello nazionale in una forma appropriata. È possibile mantenere in vigore, contemporaneamente alla ENV, norme nazionali contrastanti,
fino alla decisione finale sulla possibile conversione da ENV a EN.
I membri del CEN sono gli Organismi nazionali di normazione di Austria,
Belgio, Danimarca, Finlandia, Francia, Germania, Grecia, Irlanda, Islanda,
Italia, Lussemburgo, Norvegia, Paesi Bassi, Portogallo, Regno Unito,
Repubblica Ceca, Spagna, Svezia e Svizzera.
CEN
COMITATO EUROPEO DI NORMAZIONE
European Committee for Standardization
Comité Européen de Normalisation
Europäisches Komitee für Normung
Segreteria Centrale: rue de Stassart, 36 - B-1050 Bruxelles
 1999 CEN
Tutti i diritti di riproduzione, in ogni forma, con ogni mezzo e in tutti i Paesi, sono
riservati ai Membri nazionali del CEN.
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PREMESSA
La presente norma sperimentale europea è stata elaborata dal Comitato Tecnico CEN/TC 290
"Specifiche e verifiche dimensionali e geometriche dei prodotti" la cui segreteria è
affidata al DIN.
La presente norma sperimentale europea contiene interamente la "Guida all’espressione
dell’incertezza di misura" elaborata dall’ISO/TAG 4 con la collaborazione di BIPM, IEC,
IFCC, ISO, IUPAC, IUPAP e OIML ed è stata pubblicata dall’ISO.
In conformità alle Regole Comuni CEN/CENELEC, gli enti nazionali di normazione dei
seguenti Paesi sono tenuti a recepire la presente norma europea: Austria, Belgio,
Danimarca, Finlandia, Francia, Germania, Grecia, Irlanda, Islanda, Italia, Lussemburgo,
Norvegia, Paesi Bassi, Portogallo, Regno Unito, Repubblica Ceca, Spagna, Svezia e
Svizzera.
Le organizzazioni internazionali che hanno partecipato ai lavori non hanno ritenuto
opportuno pubblicare la presente guida come norma internazionale.
L’ISO e l’IEC hanno tuttavia adottato la presente guida come Regola Tecnica da
osservare nelle Direttive ISO/IEC parte 3.
I Comitati tecnici dell’ISO e dell’IEC devono considerare la presente guida come base per
l’espressione dell’ incertezza di misura.
Nel 1977, riconoscendo la mancanza di accordo a livello internazionale circa
l'espressione dell'incertezza di misura, il Comitato Internazionale dei Pesi e delle Misure
(Comité International des Poids et Mesures, CIPM), la più alta autorità mondiale in campo
metrologico, chiese all'Ufficio Internazionale dei Pesi e delle Misure (Bureau International
des Poids et Mesures, BIPM) di impostare il problema, in collegamento con i laboratori
metrologici nazionali, e di elaborare una raccomandazione.
Il BIPM preparò un dettagliato questionario sui vari aspetti della questione e lo distribuì a
32 laboratori nazionali che si sapevano interessati all'argomento (e, per conoscenza, a
cinque organizzazioni internazionali). All'inizio del 1979 erano pervenute le risposte di 21
laboratori [1]1). Quasi tutti concordavano sull'importanza di arrivare ad una procedura
universalmente accettata per esprimere l'incertezza di misura e per combinare le singole
componenti in un'unica incertezza totale. Tuttavia, emergeva la mancanza di accordo sul
metodo da seguire. Pertanto il BIPM organizzò un incontro finalizzato all'individuazione di
una procedura uniforme e da tutti accettabile per la specificazione dell'incertezza, al quale
parteciparono esperti di 11 laboratori nazionali. Questo Gruppo di lavoro sull'espressione
delle incertezze sviluppò la Raccomandazione INC-1 (1980), intitolata "Espressione delle
incertezze sperimentali" [2]. Il CIPM approvò la Raccomandazione nel 1981 [3] e la
riaffermò nel 1986 [4].
Il compito di sviluppare una guida articolata, basata sulla Raccomandazione del Gruppo di
lavoro (risultante più un breve abbozzo che una prescrizione dettagliata), venne conferito
dal CIPM all'Organizzazione Internazionale di Normazione (International Organization for
Standardization, ISO), ritenendo che poteva rappresentare meglio le esigenze
provenienti dai disparati interessi dell'industria e del commercio.
Della responsabilità venne investito il Gruppo Tecnico Consultivo sulla Metrologia
(Technical Advisory Group on Metrology, TAG 4), poiché uno dei suoi compiti è quello di
coordinare lo sviluppo di linee guida su argomenti connessi con la misurazione e che
siano di comune interesse dell'ISO e delle sei organizzazioni che partecipano con l'ISO ai
lavori del TAG 4: la Commissione Elettrotecnica Internazionale (International
Electrotechnical Commission, IEC), partner dell'ISO nell'opera di normazione mondiale; il
CIPM e l'Organizzazione Internazionale di Metrologia Legale (Organisation Internationale
de Métrologie Légale, OIML), le due organizzazioni metrologiche a livello mondiale;
l'Unione Internazionale di Chimica Pura ed Applicata (International Union of Pure and
Applied Chemistry, IUPAC) e l'Unione Internazionale di Fisica Pura ed Applicata
(International Union of Pure and Applied Physics, IUPAP), le due associazioni
internazionali che rappresentano la chimica e la fisica; e la Federazione Internazionale di
Chimica Clinica (International Federation of Clinical Chemistry, IFCC).
Il TAG 4 a sua volta istituì il Working Group 3 (ISO/TAG 4/WG 3), composto di esperti
designati da BIPM, IEC, ISO ed OIML e nominati dal Coordinatore del TAG 4. Al gruppo
venne assegnato il seguente mandato:
1) Vedere bibliografia a pag. 121
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Sviluppare un documento guida basato sulla raccomandazione del Gruppo di lavoro del
BIPM sulla dichiarazione delle incertezze, il quale fornisca regole per l'espressione
dell'incertezza di misura atte all'uso nell’ambito della normazione, della taratura,
dell’accreditamento dei laboratori e nei servizi metrologici;
Proposito di tale guida è
- promuovere una completa informazione sul come vengono dichiarate le incertezze;
- fornire una base per il confronto internazionale dei risultati delle misurazioni.
0
INTRODUZIONE
0.1
Nel riportare il risultato della misurazione di una grandezza fisica, è obbligatorio fornire una
qualche indicazione quantitativa della qualità del risultato, cosicché gli utenti ne possano
accertare l'attendibilità. Senza tale indicazione i risultati delle misurazioni non possono
essere confrontati né tra di loro, né con valori di riferimento assegnati da specifiche o
norme. È pertanto necessario che esista una procedura, di agevole comprensione ed
applicazione, per caratterizzare la qualità del risultato di una misurazione, vale a dire, per
valutarne ed esprimerne l'incertezza.
0.2
Il concetto di incertezza in quanto attributo quantificabile è relativamente nuovo nella
storia della misurazione, benché concetti come errore ed analisi dell'errore siano stati
presenti a lungo nella pratica della scienza della misurazione o la metrologia. Ora si accetta
generalmente che, allorquando tutte le componenti di errore note o ipotizzate siano state
valutate e le relative correzioni apportate, rimanga tuttavia un'incertezza sulla correttezza
del risultato, vale a dire un dubbio su quanto bene questo rappresenti il valore della
quantità misurata.
0.3
Così come l'uso pressoché universale del Sistema Internazionale di unità di misura (SI) ha
portato coerenza in tutte le misurazioni della scienza e della tecnologia, il consenso
generale sulla valutazione e sull'espressione dell'incertezza nella misurazione
permetterebbe di comprendere facilmente ed interpretare correttamente l’attendibilità di
un vasto spettro di risultati di misurazioni nella scienza, nell'ingegneria, nel commercio,
nell'industria e nella normativa. Nella presente epoca di mercato mondiale, è imperativo
che il metodo per valutare ed esprimere l'incertezza sia uniforme nel mondo, cosicché le
misurazioni effettuate in Paesi diversi siano facilmente confrontabili.
0.4
Il metodo ideale per valutare ed esprimere l'incertezza del risultato di una misurazione
deve essere:
- universale: il metodo deve essere applicabile a tutti i tipi di misurazione e di dati di
ingresso usati nelle misurazioni.
La grandezza usata per esprimere l'incertezza deve essere:
- internamente coerente: deve cioè essere sia derivabile direttamente dalle
componenti che vi contribuiscono, sia indipendente dal modo in cui queste
componenti vengono raggruppate e dalla scomposizione delle componenti in
sottocomponenti;
- trasferibile: l'incertezza valutata per un risultato deve essere direttamente utilizzabile
come componente nella valutazione dell'incertezza di un'altra misurazione nella quale
intervenga il primo risultato.
Inoltre, in molte applicazioni industriali e commerciali, così come nel campo sanitario e
della sicurezza, è sovente necessario fornire un intervallo intorno al risultato della
misurazione entro il quale ci si possa aspettare che cada una gran parte della
distribuzione dei valori ragionevolmente ascrivibili alla grandezza oggetto della
misurazione. Pertanto, il metodo ideale per valutare ed esprimere l'incertezza nella
misurazione deve poter agevolmente fornire un intervallo di tal sorta, ed in particolare un
intervallo con una probabilità di copertura, o livello di fiducia, che corrisponda
realisticamente a quello richiesto.
0.5
L'impostazione su cui è fondata la presente guida è quella schematizzata nella
raccomandazione INC-1 (1980) [2] del gruppo di lavoro sull'espressione delle incertezze,
istituito dal BIPM su richiesta del CIPM (vedere premessa). Questa impostazione, la cui
giustificazione è discussa nell'appendice E, soddisfa tutti i requisiti su esposti, a
differenza della maggior parte degli altri metodi sinora utilizzati. La raccomandazione
INC-1 (1980) fu approvata e riaffermata dal CIPM nelle proprie raccomandazioni
1 (CI-1981) [3] e 1 (CI-1986) [4]; le traduzioni in italiano di queste raccomandazioni del
CIPM sono riportate nell'appendice A (vedere A.2 ed A.3 rispettivamente). Poiché la
raccomandazione INC-1 (1980) è il fondamento su cui si basa il presente documento, la
traduzione in italiano è riportata in 0.7, mentre quella del testo di riferimento francese è
riprodotto in A.1.
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Un sommario della procedura specificata nella presente guida per la valutazione e
l'espressione dell'incertezza di misura è riportato in 8, mentre un certo numero di esempi
sono presentati in dettaglio nell'appendice H. Le altre appendici trattano: termini generali
in metrologia (appendice B), termini e concetti statistici fondamentali (appendice C);
valore "vero", errore ed incertezza (appendice D); suggerimenti pratici per la valutazione
delle componenti dell'incertezza (appendice F); gradi di libertà e livelli di fiducia
(appendice G); principali simboli matematici adottati nel documento (appendice J); ed
infine riferimenti bibliografici (appendice K). Un indice alfabetico conclude il documento.
0.7
Raccomandazione INC-1 (1980) Espressione delle incertezze sperimentali
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0.6
1) L'incertezza del risultato di una misurazione consiste in genere di svariate
componenti che possono essere raggruppate in due categorie a seconda del modo
in cui se ne stima il valore numerico:
A quelle valutate per mezzo di metodi statistici,
B quelle valutate mediante altri metodi.
Non sempre esiste una corrispondenza semplice tra la classificazione in categorie A o
B e quella, precedentemente usata, tra incertezze "casuali" e "sistematiche". Il
termine "incertezza sistematica" è fuorviante e deve essere evitato.
Un resoconto dettagliato dell'incertezza deve consistere di un elenco completo delle
componenti, nel quale per ognuna sia specificato il metodo usato per ottenerne il
valore numerico.
2) Le componenti appartenenti alla categoria A sono caratterizzate dalle loro varianze
stimate si2 (o dai corrispondenti "scarti tipo" stimati s i) e dai gradi di libertà ν i . Se
necessario, anche le covarianze devono essere indicate.
3) Le componenti appartenenti alla categoria B devono essere caratterizzate da
grandezze u 2j , interpretabili come approssimazioni delle varianze corrispondenti, che
si considerano esistenti. Le grandezze u 2j sono trattate come varianze e le
corrispondenti grandezze uj come scarti tipo. Quando opportuno, si trattano le
covarianze in modo analogo.
4) L'incertezza composta deve essere caratterizzata mediante il valore numerico che si
ottiene applicando il metodo abituale per la composizione delle varianze. L'incertezza
composta e le sue componenti devono essere espresse in forma di "scarti tipo".
5) Qualora sia necessario, per applicazioni particolari, moltiplicare l'incertezza composta
per un fattore, così da ottenere un'incertezza globale, il fattore moltiplicativo deve
essere sempre indicato.
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1
SCOPO
1.1
La presente guida stabilisce le regole generali per la valutazione e l'espressione
dell'incertezza nella misurazione che possono essere eseguite, a vari livelli di rigore, in
molti campi - dal commercio al dettaglio alla ricerca di base. Pertanto, i principi della
presente guida pretendono di essere applicabili ad un vasto spettro di misurazioni, tra cui
quelle necessarie per:
- mantenere il controllo e la garanzia della qualità nella produzione;
- garantire la conformità a leggi e regolamenti o imporne il rispetto;
- condurre ricerca di base, o applicata, o di sviluppo, nella scienza e nell'ingegneria;
- tarare campioni e strumenti, ed effettuare prove nell'ambito di un sistema nazionale di
misurazione allo scopo di conseguire la riferibilità ai campioni nazionali;
- sviluppare, mantenere e confrontare campioni di riferimento internazionali e nazionali,
inclusi i materiali di riferimento.
1.2
La presente guida si occupa fondamentalmente dell'espressione dell'incertezza nella
misurazione di una grandezza fisica ben definita - il misurando - che sia caratterizzabile
mediante un unico valore. Se il fenomeno indagato può solo essere rappresentato come
distribuzione di valori, o se dipende da uno o più parametri, come il tempo, allora i
misurandi necessari per la sua descrizione sono l'insieme di grandezze che descrivono
quella distribuzione o dipendenza.
1.3
La presente guida è anche applicabile alla valutazione ed all'espressione dell'incertezza
associata alla progettazione a tavolino, o all'analisi teorica, di esperimenti, metodi di
misurazione e componenti o sistemi complessi. Poiché il risultato di una misurazione e la
sua incertezza possono essere astratti e basati interamente su dati fittizi, la locuzione
"risultato di una misurazione", utilizzata nella presente guida deve essere interpretata in
questo senso più ampio.
1.4
La presente guida fornisce regole generali per la valutazione e l'espressione
dell'incertezza nella misurazione, piuttosto che istruzioni dettagliate, o finalizzate ad una
specifica tecnologia. Inoltre, non vengono discussi i diversi impieghi dell'incertezza di un
risultato successivi alla sua valutazione, quali, per esempio, decidere circa la compatibilità
di quel risultato con altri analoghi, o stabilire le tolleranze di un processo produttivo, o
decidere se una certa linea d'azione può essere intrapresa in sicurezza. Può pertanto
rendersi necessario lo sviluppo di norme basate sulla presente guida e dedicate ai
problemi di settori specifici della misurazione, o ai vari impieghi delle espressioni
quantitative dell'incertezza. Queste norme potranno essere versioni semplificate della
presente guida, ma dovranno mantenere il livello di dettaglio appropriato al livello di
accuratezza e complessità delle misurazioni e degli impieghi cui saranno destinate.
Nota
2
2.1
Possono presentarsi situazioni in cui il concetto stesso di incertezza di misura è da ritenersi non
applicabile, come la determinazione della precisione di un metodo di prova (vedere per esempio,
[5]).
DEFINIZIONI
Termini metrologici generali
I termini metrologici generali pertinenti alla presente guida, quali "grandezza misurabile",
"misurando" ed "errore di misura" sono riportati nell'appendice B. Queste definizioni
sono tratte dal Vocabolario Internazionale dei termini fondamentali e generali in
metrologia (abbreviato in VIM) [6]. Inoltre l'appendice C riporta la definizione di un certo
numero di termini statistici fondamentali, tratti principalmente dalla norma Internazionale
ISO 3534-1 [7]. Allorquando uno di questi termini metrologici o statistici (o altro termine
con questi strettamente correlato) viene usato per la prima volta nel testo, a partire dal
punto 3, esso è in grassetto ed in parentesi viene indicato il punto in cui esso è definito.
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La definizione del termine metrologico generale "incertezza di misura", a causa della sua
importanza per la presente guida, viene data sia nell'appendice B, sia in 2.2.3.
Le definizioni dei più importanti termini specifici della presente guida sono da 2.3.1 a
2.3.6. In tutti questi punti e nelle appendici B e C, l'uso di parentesi intorno a certe parole
o termini significa che questi possono essere omessi qualora non vi sia rischio di
ambiguità.
2.2
Il termine "incertezza"
Il concetto di incertezza è trattato anche in 3 e nell'appendice D.
2.2.1
La parola "incertezza" significa dubbio, e pertanto "incertezza di misura", nella sua
accezione più ampia, significa dubbio circa la validità del risultato di una misurazione.
Poiché non esistono parole diverse per esprimere questo concetto generale di
incertezza e le specifiche grandezze che forniscono misure quantitative di tale concetto,
per esempio lo scarto tipo, è necessario adottare la stessa parola "incertezza" per
entrambi i significati.
2.2.2
Nella presente guida, la parola "incertezza" senza aggettivi si riferisce sia al concetto
generale di incertezza, sia a qualsivoglia valutazione quantitativa di tale concetto. Quando
si fa riferimento ad una valutazione quantitativa specifica dell’incertezza vengono usati gli
aggettivi appropriati.
2.2.3
La definizione formale del termine "incertezza di misura" utilizzata nella presente guida e
nella attuale edizione del VIM [6] (punto 3.9 del VIM), è la seguente:
incertezza (di misura)
parametro, associato al risultato di una misurazione, che caratterizza la dispersione dei
valori ragionevolmente attribuibili al misurando.
Il parametro può essere, per esempio, uno scarto tipo (o un suo multiplo dato), o la semiampiezza
di un intervallo avente un livello di fiducia stabilito.
Nota 2
L'incertezza di misura, in generale, comprende più componenti. Talune di queste possono essere
valutate dalla distribuzione statistica dei risultati di serie di misurazioni e possono dunque essere
caratterizzate mediante scarti tipo sperimentali. Le altre componenti, anch'esse caratterizzabili
mediante scarti tipo, sono valutate da distribuzioni di probabilità ipotizzate sulla base
dell'esperienza o di informazioni di altro tipo.
Nota 3
S’intende che il risultato della misurazione è la migliore stima del valore del misurando, e che tutte
le componenti dell'incertezza, comprese quelle determinate da effetti sistematici, quali quelle
associate a correzioni e campioni di riferimento, contribuiscono alla dispersione.
2.2.4
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Nota 1
La definizione di incertezza di misura data in 2.2.3 è una definizione operativa che si
incentra sul risultato della misurazione e sulla sua incertezza valutata. Tuttavia, non è
incompatibile con altri concetti di incertezza di misura quali
- una valutazione quantitativa dell'errore possibile nel valore stimato del misurando,
rappresentato dal risultato di una misurazione;
- una stima che caratterizza il campo di valori entro cui giace il valore vero di un
misurando (VIM, prima edizione, 1984, 3.09).
Benché questi due concetti tradizionali possano avere validità sul piano ideale, essi si
incentrano su entità inconoscibili: "l'errore" del risultato di una misurazione ed il "valore
vero" del misurando (in contrasto con il suo valore stimato), rispettivamente. Tuttavia, una
componente dell'incertezza viene sempre valutata a partire dai dati disponibili e dalle
informazioni ad essi collegate, quale che sia il concetto di incertezza adottato. (Vedere
anche E.5).
Termini specifici della presente guida
2.3
In generale, i termini specifici della presente guida sono definiti nel testo la prima volta
che vi compaiono. Tuttavia le definizioni dei più importanti termini sono di seguito
riportate per facilità di consultazione.
Nota
Questi termini sono anche discussi in: per 2.3.2, vedere 3.3.3 e 4.2; per 2.3.3, vedere 3.3.3 e 4.3;
per 2.3.4, vedere 5 e le equazioni (10) e (13), infine, per 2.3.5 e 2.3.6, vedere 6.
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2.3.1
incertezza tipo
incertezza del risultato di una misurazione espressa come scarto tipo.
2.3.2
valutazione (dell'incertezza) di categoria A
metodo di valutazione dell'incertezza per mezzo dell'analisi statistica di serie di
osservazioni.
2.3.3
valutazione (dell'incertezza) di categoria B
metodo di valutazione dell'incertezza con mezzi diversi dall'analisi statistica di serie di
osservazioni.
2.3.4
incertezza tipo composta
incertezza tipo del risultato di una misurazione allorquando il risultato è ottenuto mediante
i valori di un certo numero di altre grandezze; essa è uguale alla radice quadrata positiva di
una somma di termini, che sono le varianze o le covarianze di quelle grandezze, pesate
secondo la variazione del risultato della misurazione al variare di esse.
2.3.5
incertezza estesa
grandezza che definisce, intorno al risultato di una misurazione, un intervallo che ci si
aspetta comprendere una frazione rilevante della distribuzione di valori ragionevolmente
attribuibili al misurando.
Nota 1
La frazione può essere interpretata come la probabilità di copertura o livello di fiducia
dell'intervallo.
Nota 2
Per poter associare uno specifico livello di fiducia all'intervallo definito dall'incertezza estesa è
necessario fare ipotesi, esplicite o implicite, sulla distribuzione di probabilità caratterizzata dal
risultato della misurazione e dalla sua incertezza tipo composta. Il livello di fiducia che può essere
attribuito a questo intervallo può essere conosciuto solo nei limiti entro i quali quelle ipotesi siano
giustificate.
Nota 3
L'incertezza estesa è denominata incertezza globale nel paragrafo 5 della raccomandazione
INC-1 (1980).
2.3.6
fattore di copertura
fattore numerico utilizzato come moltiplicatore dell'incertezza tipo composta per ottenere
un'incertezza estesa.
Nota
3
Il fattore di copertura k è tipicamente nell’intervallo da 2 a 3.
CONCETTI FONDAMENTALI
Nell'appendice D si può trovare un'ulteriore trattazione dei concetti fondamentali,
centrata sulle idee di valore "vero", errore ed incertezza, che include illustrazioni grafiche
di tali concetti; nell'appendice E vengono esplorati i fondamenti statistici e le motivazioni
della raccomandazione INC-1 (1980), sulla quale la presente guida è basata. L'appendice
J è un glossario dei principali simboli matematici utilizzati nella presente guida.
3.1
Misurazione
3.1.1
L'obiettivo di una misurazione (B.2.5) è quello di determinare il valore (B.2.2) del
misurando (B.2.9), ossia il valore della particolare grandezza (B.2.1, nota 1), o
grandezza in senso determinato (B.2.1, nota 1) da misurare. Una misurazione, pertanto,
comincia con un'adeguata definizione del misurando, del metodo di misurazione
(B.2.7) e del procedimento di misurazione (B.2.8).
Nota
Il termine "valore vero" (vedere appendice D) non è utilizzato nella presente guida per le ragioni
esposte in D.3.5; i termini "valore di un misurando" (o di una grandezza) e "valore vero di un
misurando" (o di una grandezza) sono considerati come equivalenti.
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In generale, il risultato di una misurazione (B.2.11) è solamente un'approssimazione o
stima (C.2.26) del valore del misurando ed è pertanto completo solamente quando sia
accompagnato da una dichiarazione dell'incertezza (B.2.18) di quella stima.
3.1.3
In pratica, la specificazione o definizione richiesta per il misurando è dettata dalla
accuratezza di misura (B.2.14) richiesta. Il misurando dovrebbe essere definito con
completezza sufficiente rispetto all'accuratezza richiesta, in modo che il suo valore sia
unico a tutti gli effetti pratici associati con la misurazione. È in questa accezione che
l'espressione "valore del misurando" viene utilizzata in questa guida.
Esempio
Se la lunghezza di una barra di acciaio di lunghezza nominale un metro deve essere
determinata con l'accuratezza di un micrometro, la sua specificazione dovrebbe
comprendere la temperatura e la pressione a cui è definita la lunghezza stessa. Dunque il
misurando dovrebbe essere specificato, per esempio, come la lunghezza della barra a
25,00 °C e 101 325 Pa (più ogni altro parametro di definizione ritenuto necessario, come
il modo di sostenere la barra). Tuttavia, se la lunghezza deve essere determinata
solamente con l'accuratezza di un millimetro, la sua specificazione non richiede una
temperatura né una pressione di definizione, né un valore per alcun altro parametro di
definizione.
Nota
L'incompleta definizione del misurando può dar luogo ad una componente di incertezza
sufficientemente grande da dover essere inclusa nella valutazione dell'incertezza del risultato della
misurazione (vedere D.1.1, D.3.4 e D.6.2).
3.1.4
In molti casi il risultato di una misurazione è determinato sulla base di serie di osservazioni
ottenute in condizioni di ripetibilità (B.2.15, nota 1).
3.1.5
Si ipotizza che le variazioni in osservazioni ripetute insorgano in quanto le grandezze di
influenza (B.2.10) che possono, appunto, influenzare il risultato della misurazione non
sono mantenute rigorosamente costanti.
3.1.6
Il modello matematico della misurazione, che trasforma l'insieme di osservazioni ripetute
nel risultato della misurazione, è di cruciale importanza poiché, oltre alle osservazioni,
comprende, in genere, altre grandezze non esattamente conosciute. Questa inesatta
conoscenza contribuisce all'incertezza del risultato della misurazione così come vi
contribuiscono le variazioni nelle osservazioni ripetute ed ogni incertezza associata con il
modello matematico stesso.
3.1.7
La presente guida tratta il misurando come uno scalare (cioè una singola grandezza).
L'estensione al caso di un insieme di misurandi determinati simultaneamente nella stessa
misurazione richiede la sostituzione del misurando scalare e della sua varianza (C.2.11,
C.2.20, C.3.2) con un misurando vettoriale e con la sua matrice di covarianza (C.3.5).
Tale caso è trattato nella presente guida solamente negli esempi (vedere H.2, H.3 ed
H.4).
3.2
Errori, effetti e correzioni
3.2.1
In generale, una misurazione presenta imperfezioni che danno luogo ad un errore
(B.2.19) nel risultato della misurazione. Tradizionalmente, un errore è considerato avere
due componenti, una casuale (B.2.21), o aleatoria, ed una sistematica (B.2.22).
Nota
3.2.2
L'errore è un concetto idealizzato; gli errori non possono essere conosciuti esattamente.
Gli errori casuali (stocastici, aleatori) sono presumibilmente originati da variazioni non
prevedibili o casuali, nel tempo e nello spazio, delle grandezze di influenza. Gli effetti di
tali variazioni, denominati d'ora in avanti effetti casuali danno luogo a variazioni in
osservazioni ripetute del misurando. Benché non sia possibile correggere l'errore
casuale del risultato di una misurazione, è tuttavia possibile ridurlo aumentando il numero
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3.1.2
di osservazioni; la sua speranza matematica o valore atteso o valor medio, (C.2.9,
C.3.1) è zero.
Nota 1
Lo scarto tipo sperimentale della media aritmetica di una serie di osservazioni (vedere 4.2.3) non è
l'errore casuale della media, benché sia così chiamato in certe pubblicazioni. Esso è piuttosto una
valutazione quantitativa dell' incertezza della media dovuta agli effetti casuali. Il valore esatto
dell'errore sulla media dovuto a questi effetti non è conoscibile.
Nota 2
Nella presente guida si distingue nettamente tra i termini "errore" ed "incertezza". Essi non sono
sinonimi, bensì rappresentano concetti completamente differenti; pertanto non devono essere
confusi l'uno con l'altro o adoperati impropriamente.
3.2.3
Così come l'errore casuale, anche l'errore sistematico non può essere eliminato ma
sovente può essere ridotto. Se una grandezza di influenza produce sul risultato di una
misurazione un effetto identificato in un errore sistematico, talché l'effetto sarà
denominato d'ora in avanti effetto sistematico, tale effetto può essere quantificato e, se di
proporzioni significative rispetto all'accuratezza richiesta alla misurazione, compensato
apportando una correzione (B.2.23) o fattore di correzione (B.2.24). Si ipotizza che, a
seguito della correzione, il valore atteso dell'errore generato da un effetto sistematico sia
zero.
Nota
3.2.4
L'incertezza di una correzione applicata al risultato di una misurazione per compensare un effetto
sistematico non è l'errore sistematico, sovente denominato distorsione (in inglese: bias), del
risultato, come talvolta viene chiamato. Esso è piuttosto una valutazione quantitativa
dell'incertezza del risultato dovuta ad imperfetta conoscenza del valore necessario per la
correzione. L'errore originato dall'imperfetta compensazione di un effetto sistematico non è
conoscibile in modo esatto. I termini "errore" ed "incertezza" devono essere utilizzati
correttamente e si deve porre ogni cura nel distinguerli.
Si ipotizza che il risultato di una misurazione sia stato corretto per tutti gli effetti sistematici
identificati e significativi, e che si sia effettuato ogni sforzo rivolto all'identificazione di tali
effetti.
Esempio
Si supponga di alimentare un resistore mediante un generatore ideale di corrente e di
usare un voltmetro per determinare la differenza di potenziale preesistente
all’inserimento del voltmetro (il misurando) ai capi di esso; si supponga che il resistore
abbia impedenza non trascurabile rispetto all’impedenza interna del voltmetro. Si
applicherà dunque una correzione per ridurre l'effetto sistematico sul risultato della
misurazione derivante dall'applicazione del carico costituito dal voltmetro. Tuttavia, i valori
delle impedenze di voltmetro e resistore utilizzati per stimare il valore della correzione, ed
ottenuti da altre misurazioni, sono essi stessi incerti. Queste incertezze sono utilizzate
per valutare la componente dell'incertezza sulla determinazione della differenza di
potenziale, originata dalla correzione e pertanto dall'effetto sistematico dovuto
all'impedenza non infinita del voltmetro.
Nota 1
Sovente gli strumenti ed i sistemi di misurazione sono aggiustati o tarati usando campioni o
materiali di riferimento allo scopo di eliminare gli effetti sistematici; anche in questo caso si deve
tenere conto delle incertezze associate con questi campioni e materiali.
Nota 2
Il caso in cui non si applica una correzione per un effetto sistematico noto e significativo è
discusso nella nota in calce in 6.3.1 ed in F.2.4.5.
3.3
Incertezza
3.3.1
L'incertezza del risultato di una misurazione rispecchia la mancanza di una conoscenza
esatta del valore del misurando (vedere 2.2). Il risultato di una misurazione, pur dopo
essere stato corretto per gli effetti sistematici identificati, è ancora solamente una stima
del valore del misurando a causa dell'incertezza originata dagli effetti casuali e dalla non
perfetta correzione del risultato per gli effetti sistematici.
Nota
Può accadere che il risultato di una misurazione (dopo correzione), pur avendo una elevata
incertezza, disti dal valore del misurando di una quantità molto piccola (ed abbia dunque un errore
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trascurabile), ancorché inconoscibile. Pertanto l'incertezza del risultato di una misurazione non
deve essere confusa con l'errore residuo, di entità ignota.
3.3.2
In pratica esistono molte possibili fonti di incertezza in una misurazione, tra le quali:
a) definizione incompleta del misurando;
b) imperfetta realizzazione della definizione del misurando;
c) non rappresentatività della campionatura (la campionatura scelta per le misurazioni
può non rappresentare il misurando definito);
d) inadeguata conoscenza degli effetti delle condizioni ambientali sulla misurazione o
imperfetta misurazione delle condizioni stesse;
e) distorsione personale dell'operatore nella lettura di strumenti analogici;
f) risoluzione o soglia di risoluzione strumentali non infinite;
g) valori non esatti di campioni e materiali di riferimento;
h) valori non esatti di costanti ed altri parametri ottenuti da fonti esterne ed usati
nell'algoritmo di elaborazione dei dati;
i) approssimazioni ed ipotesi semplificatrici inerenti al metodo ed al procedimento
sperimentali;
j) variazioni nelle osservazioni del misurando ripetute in condizioni apparentemente
identiche.
Queste fonti non necessariamente sono indipendenti, ed alcuni di quelle enunciate da a)
ad i) possono contribuire alla fonte j). Naturalmente, non è possibile considerare un
effetto sistematico non identificato nella valutazione dell'incertezza di una misura,
ancorché esso contribuisca, in modo peraltro ignoto, al suo errore.
3.3.3
La raccomandazione INC-1 (1980) del Gruppo di lavoro sull'espressione delle incertezze
raggruppa le componenti dell'incertezza in due categorie a seconda del metodo di
valutazione, "A" e "B" (vedere 0.7, 2.3.2 e 2.3.3). Queste categorie si applicano
all'incertezza e non sostituiscono i termini "casuale" e "sistematico". L'incertezza di una
correzione per un effetto sistematico noto può essere ottenuta con una valutazione
talvolta di categoria A, talvolta di categoria B; e analogamente per l'incertezza che
caratterizza un effetto casuale.
Nota
In talune pubblicazioni le componenti dell'incertezza sono classificate come "casuale" e
"sistematica" e sono associate agli errori originati rispettivamente da effetti casuali da effetti
sistematici noti. Tale classificazione delle componenti dell'incertezza può essere ambigua se
generalizzata. Per esempio, quella che in una misurazione è una componente "aleatoria" può
diventare una componente "sistematica" in un'altra misurazione in cui si utilizzi il risultato della
prima misurazione come dato di ingresso. L'ambiguità si risolve classificando i metodi per valutare
le componenti dell'incertezza piuttosto che le componenti stesse. Nello stesso tempo, in questo
modo non si preclude la possibilità di raggruppare in gruppi designati, da utilizzarsi per scopi
particolari (vedere 3.4.3), componenti che siano state individualmente valutate con l’uno o l’altro
dei due metodi.
Lo scopo della classificazione in categoria A e categoria B è quello di indicare le due
diverse modalità di valutazione delle componenti dell'incertezza ed ha unicamente utilità
didattica; la classificazione non sottintende l'esistenza di differenze nella natura delle
componenti risultanti dai due tipi di valutazione. Entrambi i tipi di valutazione sono basati
su distribuzioni di probabilità (C.2.3) e le componenti risultanti da ambedue i metodi
sono quantificate mediante varianze o scarti tipo.
3.3.5
La varianza stimata u 2 , che caratterizza una componente dell'incertezza ottenuta
mediante una valutazione di categoria A, viene calcolata da serie di osservazioni ripetute
ed è la familiare varianza stimata statisticamente s 2 (vedere 4.2). Lo scarto tipo stimato
(C.2.12, C.2.21, C.3.3) u, cioè la radice quadrata positiva di u 2, è dunque u = s ed è
talvolta chiamato per comodità incertezza tipo di categoria A. Per una componente
dell'incertezza ottenuta mediante una valutazione di categoria B, la varianza stimata u 2 è
valutata sfruttando le informazioni disponibili (vedere 4.3) e lo scarto tipo stimato u è
talvolta chiamato incertezza tipo di categoria B.
Dunque un'incertezza (tipo) di categoria A è ottenuta da una densità di probabilità
(C.2.5) derivata da una distribuzione di frequenza osservata (C.2.18), mentre
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3.3.4
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un'incertezza (tipo) di categoria B è ottenuta da una densità di probabilità ipotizzata sulla
base del grado di credenza nel verificarsi di un evento [sovente chiamata probabilità
soggettiva (C.2.1)]. Ambedue i metodi usano interpretazioni della probabilità
universalmente riconosciute.
Nota
Una valutazione di categoria B di una componente dell'incertezza è solitamente fondata su un
insieme di informazioni attendibili (vedere 4.3.1).
3.3.6
L'incertezza tipo del risultato di una misurazione, quando tale risultato è ottenuto
combinando i valori di altre grandezze, è denominata incertezza tipo composta, indicata
con u c . Essa è lo scarto tipo stimato associato con il risultato ed è uguale alla radice
quadrata positiva della varianza composta ottenuta combinando tutte le componenti di
varianza e covarianza (C.3.4), comunque valutate, per mezzo di quella che nella
presente guida viene denominata la legge di propagazione dell'incertezza (vedere 5).
3.3.7
Per soddisfare le esigenze di talune applicazioni di carattere industriale e commerciale,
così come quelle del settore sanitario e della sicurezza, si ricava una incertezza estesa U
moltiplicando l'incertezza tipo composta uc per un fattore di copertura k. Lo scopo di U è
quello di individuare un intervallo intorno al risultato di una misurazione che ci si aspetta
possa comprendere una rilevante porzione della distribuzione dei valori che si possono
ragionevolmente attribuire al misurando. La scelta del fattore k, solitamente compreso tra
2 e 3, è basata sulla probabilità di copertura o livello di fiducia richiesto all'intervallo
(vedere 6).
Nota
Il fattore di copertura k deve essere sempre dichiarato, in modo che sia possibile ricavare
l'incertezza tipo della grandezza misurata, da usarsi nel calcolo dell'incertezza tipo composta di
altri risultati di misurazioni eventualmente dipendenti da quella grandezza.
3.4
Considerazioni pratiche
3.4.1
Se si facessero variare tutte le grandezze dalle quali dipende il risultato di una
misurazione, la sua incertezza potrebbe essere valutata usando esclusivamente metodi
statistici. Tuttavia, poiché ciò è raramente possibile a causa di limiti pratici di tempo e di
risorse, l'incertezza del risultato di una misurazione è solitamente valutata usando un
modello matematico della misurazione e la legge di propagazione dell'incertezza.
Pertanto nella presente guida è implicita l'ipotesi che una misurazione possa essere
modellizzata matematicamente con il dettaglio imposto dall'accuratezza richiesta alla
misurazione stessa.
3.4.2
Poiché il modello matematico può essere incompleto, tutte le grandezze di interesse
dovrebbero essere fatte variare entro il campo più ampio ammissibile nella pratica in modo
che la valutazione dell'incertezza sia basata su dati osservati nella massima misura
possibile. Ogni qual volta sia possibile, dovrebbero essere utilizzati come elementi
importanti i modelli empirici della misurazione, fondati su dati quantitativi di lungo termine,
e campioni e diagrammi di controllo atti ad indicare se una misurazione è sotto controllo
statistico, nel tentativo di ottenere valutazioni attendibili dell'incertezza. Il modello
matematico dovrebbe sempre essere verificato quando i dati sperimentali, compresi i
risultati di determinazioni indipendenti dello stesso misurando, evidenziano che il
modello stesso è incompleto. Un esperimento ben progettato può agevolare
grandemente valutazioni attendibili dell'incertezza e costituisce una parte importante
dell'arte della misurazione.
3.4.3
Per decidere se un sistema di misurazione funzioni correttamente, la variabilità dei dati in
uscita, osservata sperimentalmente e misurata dallo scarto tipo osservato, è sovente
paragonata con lo scarto tipo predetto, ottenuto combinando le varie componenti
dell'incertezza che caratterizzano la misurazione. In questi casi si devono considerare
solo le componenti (ottenute mediante valutazioni di categoria A o B) che possono
contribuire alla variabilità sperimentalmente osservata dei valori di uscita.
Nota
Questa analisi può essere facilitata se si raggruppano le componenti che contribuiscono alla
variabilità e quelle che non vi contribuiscono in due gruppi separati e adeguatamente
contrassegnati.
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In alcuni casi non è necessario includere, nella valutazione dell'incertezza del risultato di
una misurazione, l'incertezza di una correzione per un effetto sistematico. Benché sia
stata valutata, può essere ignorata se il suo contributo all'incertezza tipo composta è
irrilevante. Se il valore stesso della correzione è trascurabile rispetto all'incertezza tipo
composta, può essere trascurato anch'esso.
3.4.5
Nella pratica, specialmente nel campo della metrologia legale, accade spesso che un
dispositivo sia provato per confronto con un campione di misura e che le incertezze
associate al campione ed alla procedura di confronto siano trascurabili rispetto
all'accuratezza richiesta alla prova. Un esempio è l'uso di una pesiera ben tarata per
verificare l'accuratezza di una bilancia commerciale. In questi casi, essendo le componenti
dell'incertezza sufficientemente piccole da poter essere trascurate, la misurazione può
essere vista come finalizzata alla determinazione dell'errore del dispositivo sotto esame.
(Vedere anche F.2.4.2).
3.4.6
La stima del valore di un misurando fornita dal risultato di una misurazione è talvolta
espressa in termini del valore adottato di un campione locale di misura piuttosto che in
termini dell'unità appropriata del Sistema Internazionale di Unità di misura (SI). In questi
casi l'incertezza attribuita al risultato della misurazione può essere notevolmente più
piccola rispetto a quando il risultato sia espresso nell'unità SI appropriata. (In effetti il
misurando è stato ridefinito come il rapporto tra il valore della grandezza sotto misurazione
ed il valore adottato del campione).
Esempio
Un campione di tensione Zener di elevata qualità viene tarato per confronto con un
riferimento di tensione ad effetto Josephson, basato sul valore convenzionale della
costante di Josephson raccomandato dal CIPM per l'uso in campo internazionale.
L'incertezza tipo composta relativa u c (Vs ) Vs (vedere 5.1.6) della differenza di potenziale
tarata Vs del campione Zener è 2 × 10-8, quando Vs è riferita al valore convenzionale, ma
è 4 × 10-7 quando Vs è riportata in termini dell'unità SI di differenza di potenziale, volt (V),
a causa dell'incertezza aggiuntiva associata al valore SI della costante di Josephson.
3.4.7
Sviste di registrazione o di analisi dei dati possono introdurre un errore rilevante ed
ignoto nel risultato di una misurazione. Le sviste grossolane sono di norma rivelate da
un'accurata revisione dei dati; sviste minori possono essere mascherate da variazioni
casuali, o apparire tali. Le valutazioni dell'incertezza non sono concepite per tenere conto
di tali errori.
3.4.8
Benché questa guida fornisca uno schema generale per valutare l'incertezza, essa non
può sostituirsi al pensiero critico, all'onestà intellettuale ed alla capacità professionale. La
valutazione dell'incertezza non è né un compito di routine né un esercizio puramente
matematico, ma dipende dalla conoscenza approfondita della natura del misurando e
della misurazione. La qualità e l'utilità dell'incertezza attribuita al risultato di una
misurazione dipendono pertanto, in definitiva, dall'approfondimento, dall'analisi critica e
dall'integrità morale di chi contribuisce ad assegnarne il valore.
4
VALUTAZIONE DELL'INCERTEZZA TIPO
Ulteriori suggerimenti, di carattere prevalentemente pratico, sulla valutazione delle
componenti dell'incertezza si possono trovare nell'appendice F.
4.1
Modello della misurazione
4.1.1
Nella maggior parte dei casi il misurando Y non viene misurato direttamente, ma
determinato mediante altre N grandezze X 1 , X 2 , . . . . , X N attraverso una relazione
funzionale f :
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3.4.4
Y = f (X 1, X 2 , . . . , X N )
Nota 1
Per economia di notazione, nella presente guida viene utilizzato lo stesso simbolo tanto per la
grandezza fisica (il misurando) quanto per la variabile casuale (vedere 4.2.1) che rappresenta il
possibile esito di un'osservazione di quella grandezza. Quando si afferma che X i ha una
particolare distribuzione di probabilità, il simbolo è usato nella seconda accezione; si conviene che
la grandezza fisica possa essere caratterizzata da un valore praticamente univoco (vedere 1.2 e
3.1.3).
Nota 2
In una serie di osservazioni, si denota con X i,k il k -esimo valore osservato di X i; se dunque R
indica la resistenza di un resistore, il k -esimo valore osservato della resistenza è indicato da Rk.
Nota 3
La stima di X i (a rigore del suo valore atteso) è indicata con xi .
Esempio
Se ai terminali di un resistore avente resistenza R 0 alla temperatura t0 e dipendente
linearmente dalla temperatura secondo un coefficiente a si applica una differenza di
potenziale V, la potenza P (il misurando) dissipata dal resistore alla temperatura t dipende
da V, R0, a e t secondo l'equazione
[
]
P = f (V , R 0 , α,t ) = V 2 R 0 1 + α(t − t 0 )
Nota
4.1.2
Le grandezze di ingresso X1, X2, . . . . , XN dalle quali dipende la grandezza d'uscita Y
possono essere considerate esse stesse misurandi, che possono a loro volta dipendere
da altre grandezze, come correzioni e fattori di correzione per effetti sistematici, cosicché
la relazione funzionale f risultante è talmente complicata da non poter essere scritta
esplicitamente. Ancora, f può essere determinata per via sperimentale (vedere 5.1.4), o
può essere valutabile solamente mediante un algoritmo numerico. La funzione f nella
presente guida è da interpretarsi in questa più ampia accezione, in particolare come la
funzione contenente ogni grandezza, incluse tutte le correzioni ed i fattori di correzione,
che possa originare sul risultato della misurazione una componente di incertezza
significativa.
Pertanto, se i dati indicano che f non modellizza la misurazione così bene come
l'accuratezza richiesta al risultato della misurazione vorrebbe, è necessario includere nella
funzione f altre grandezze di ingresso, così da colmare l'inadeguatezza (vedere 3.4.2).
Ciò può rendere necessaria l'introduzione di una grandezza d'ingresso che rispecchi
l'incompleta conoscenza di un qualche fenomeno che influenza il misurando.
Nell'esempio riportato in 4.1.1, potrebbero essere necessarie grandezze d'ingresso che
interpretino una distribuzione di temperatura lungo il resistore che si sa non essere
uniforme, un possibile coefficiente di temperatura della resistenza non lineare, o una
possibile dipendenza della resistenza dalla pressione atmosferica.
Nota
4.1.3
Altri metodi per misurare P verrebbero modellizzati da espressioni matematiche differenti.
L'equazione (1) può essere elementare, come per esempio Y = X 1 − X 2 . Questa espressione
modellizza il confronto tra due determinazioni della stessa grandezza X.
L'insieme di grandezze d'ingresso X1, X2, . . . . , XN può essere classificato come:
-
-
grandezze i cui valori e le cui incertezze sono determinati direttamente nella
misurazione. Questi valori ed incertezze possono essere ottenuti, per esempio, da
una singola osservazione, da osservazioni ripetute, o da un giudizio basato
sull'esperienza, e possono comportare la determinazione di correzioni alle letture
degli strumenti o correzioni per le grandezze d'influenza, quali la temperatura
ambientale, la pressione atmosferica e l'umidità;
grandezze i cui valori e le cui incertezze sono introdotti nella misurazione da fonti
esterne, come le grandezze associate con campioni di misura tarati, materiali di
riferimento certificati, dati di riferimento ottenuti da manuali.
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[1]
4.1.4
Dall'equazione [1] si ricava una stima del misurando Y, denotata y, usando stime
d'ingresso x1, x2, . . . . , xN per i valori delle N grandezze X1, X2, . . . . , XN. La stima d'uscita
y, che è il risultato della misurazione, è dunque data da:
y = f (x 1, x 2 , . . . , x N )
Nota
[2]
In alcuni casi la stima y può essere ottenuta da
y =Y =
1 n
1 n
Yk = ∑ f X 1,k , X 2,k , . . . , X N ,k
∑
n k =1
n k =1
(
)
che rappresenta il caso in cui y è ottenuta come media aritmetica (vedere 4.2.1) di n
determinazioni indipendenti Y k di Y, tutte aventi la stessa incertezza e basate su di un insieme
completo di valori osservati delle N grandezze d'ingresso X i , ottenuti simultaneamente. Questo
Xi =
di
(∑
mediare
n
X
k = 1 i ,k
)n
può
essere
preferibile
all'altro,
(
)
y = f X 1, X 2 , . . . , X N ,
dove
è la media aritmetica delle singole osservazioni X i ,k , quando f è una
funzione non lineare delle grandezze d'ingresso X1 , X 2 , . . . . , X N . I due metodi sono identici
quando f è funzione lineare delle Xi (vedere H.2 e H.4).
4.1.5
Lo scarto tipo stimato associato con la stima d'uscita o risultato della misurazione y,
denominato incertezza tipo composta ed indicato con uc (y), è determinato dallo scarto
tipo stimato associato a ciascuna delle stime d'ingresso xi denominato incertezza tipo ed
indicato con u (xi) (vedere 3.3.5 e 3.3.6).
4.1.6
Ciascuna stima d'ingresso xi e ciascuna incertezza tipo corrispondente u(xi) sono ricavate
da una distribuzione di valori possibili della grandezza d'ingresso Xi. Questa distribuzione
di probabilità può essere basata su frequenze empiriche, vale a dire su una serie di
osservazioni X i,k di X i, oppure può essere una distribuzione iniziale. Le valutazioni di
categoria A delle componenti d'incertezza sono basate su distribuzioni di frequenza
mentre le valutazioni di categoria B sono basate su distribuzioni iniziali. Si osservi che in
entrambi i casi le distribuzioni sono modelli usati per rappresentare lo stato della nostra
conoscenza.
4.2
Valutazione di categoria A dell'incertezza tipo
4.2.1
Nella maggioranza dei casi, la migliore stima dei valori attesi µq di una grandezza q che
varia casualmente [variabile casuale o aleatoria (C.2.2)] e della quale sono state
ottenute n osservazioni indipendenti q k nelle stesse condizioni sperimentali (vedere
B.2.15), è la media aritmetica o valore medio q (C.2.19) delle n osservazioni:
q=
1 n
∑ qk
n k =1
[3]
Pertanto, per una grandezza d'ingresso X i stimata da n osservazioni ripetute
indipendenti Xi,k, la media aritmetica X i ottenuta dall'equazione (3) viene usata come
stima d'ingresso xi nell'equazione (2) per determinare il risultato della misurazione y;
ovvero, x i = X i . Le stime d'ingresso non valutate da osservazioni ripetute devono
essere ottenute con altri metodi, quali quelli indicati nel secondo gruppo di 4.1.3.
4.2.2
Le singole osservazioni q k differiscono a causa di variazioni casuali delle grandezze
d'influenza, o effetti aleatori (vedere 3.2.2). La varianza sperimentale delle osservazioni,
che stima la varianza σ 2 della distribuzione di probabilità di q, è data da:
s 2 (q k ) =
(
1 n
∑ qk − q
n − 1 k =1
)
2
[4]
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modo
Questa stima della varianza e la sua radice quadrata positiva s(qk), denominata scarto
tipo sperimentale (B.2.17), caratterizzano la variabilità dei valori osservati q k, o, più
specificatamente, la loro dispersione intorno alla media q .
()
La miglior stima di σ 2 q = σ 2 n , la varianza della media, è data da
4.2.3
()
s2 q =
s 2 (q k )
n
[5]
()
La varianza sperimentale della media s 2 q e lo scarto tipo sperimentale della media
s q (B.2.17), nota 2), uguale alla radice quadrata positiva di s 2 q , quantificano quanto
bene q stimi il valore atteso µ q di q, ed entrambi possono essere adottati come
valutazione quantitativa dell'incertezza di q .
Pertanto, per una grandezza d'ingresso Xi determinata mediante n osservazioni ripetute
()
( )
indipendenti X i,k, l'incertezza tipo u(x i) della sua stima x i = X i è u (x i ) = s X i , con
( )
( )
( )
s X i calcolato secondo l'equazione (5). Per comodità, u (x i ) = s X i e u (x i ) = s X i
2
2
2
sono talvolta chiamati rispettivamente varianza di categoria A ed incertezza tipo di
categoria A.
Nota 1
Il numero di osservazioni n deve essere grande abbastanza da garantire che q fornisca una
( ) fornisca una stima
(vedere 4.3.2, nota). La differenza tra s (q ) e σ (q )
2
stima attendibile del valore atteso µq della variabile casuale q , e che s q
attendibile della varianza σ
2
(q ) = σ
2
n
2
2
deve essere considerata nella costruzione di intervalli di fiducia (vedere 6.2.2). In questo caso, se
la distribuzione di probabilità di q è una distribuzione normale (vedere 4.3.4), si tiene conto della
differenza mediante la distribuzione t di Student (vedere G.3.2).
Nota 2
4.2.4
()
()
2
Sebbene la grandezza primitiva fondamentale sia la varianza s q , lo scarto tipo s q è più
conveniente nell'uso pratico in quanto ha la stessa dimensione di q ed il suo valore è interpretato
più facilmente che non quello della varianza.
Nel caso di una misurazione ben caratterizzata e sotto controllo statistico, può essere
disponibile una stima cumulata della varianza si2 che caratterizza la misurazione (o uno
scarto tipo sperimentale cumulato si ). In questi casi, quando il valore di un misurando q
viene determinato da n osservazioni indipendenti, la varianza sperimentale della media
aritmetica q delle osservazioni è stimata meglio da s p2 / n che da s 2 q n , e l'incertezza
()
tipo è u = s p / n (vedere anche nota in H.3.6).
4.2.5
Sovente la stima xi di una grandezza d'ingresso Xi è ricavata da una curva che è stata
adattata ai dati sperimentali per mezzo del metodo dei minimi quadrati. Le varianze stimate
e le corrispondenti incertezze tipo dei parametri che caratterizzano la curva e di ogni
punto prefigurato di questa, possono di regola essere calcolati per mezzo di procedure
statistiche ben note (vedere H.3 e rif. [8]).
4.2.6
I gradi di libertà (C.2.31) νi di u(xi) (vedere G.3), pari a n − 1 nel caso semplice in cui
( )
x i = X i ed u (x i ) = s X i siano ottenuti da n osservazioni indipendenti come in 4.2.1 ed
in 4.2.3, dovrebbero sempre essere dichiarati quando si documentino valutazioni di
componenti dell'incertezza di categoria A.
4.2.7
Se le variazioni casuali delle osservazioni di una grandezza d'ingresso sono correlate, per
esempio nel tempo, la media e lo scarto tipo sperimentale della media ricavati in 4.2.1 ed
in 4.2.3 possono essere stimatori (C.2.25) non appropriati della statistica (C.2.23)
desiderata. In questi casi le osservazioni dovrebbero essere analizzate mediante i metodi
statistici appropriati allo studio di serie di misurazioni correlate e soggette a variazioni
casuali nel tempo.
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()
Nota
4.2.8
Tali metoli sono usati per trattare le misurazioni dei campioni di frequenza. È peraltro possibile che
anche per altre grandezze di interesse metrologico, misurate non a breve ma a lungo termine,
l'ipotesi di variazioni casuali non correlate non sia più valida e che dunque i metodi speciali
possano essere usati per trattare anche queste misurazioni. (Vedere rif. [9], per esempio, per una
discussione dettagliata della varianza di Allan).
La discussione della valutazione di categoria A dell'incertezza tipo nei punti da 4.2.1 a
4.2.7 non intende essere esauriente; esistono molte situazioni, alcune delle quali
piuttosto complesse, che possono essere trattate con metodi statistici. Un esempio
importante è l'uso di schemi di taratura, sovente basati sul metodo dei minimi quadrati, per
valutare le incertezze determinate da variazioni casuali sia di breve, sia di lungo periodo,
nei risultati dei confronti di campioni materiali di valore incognito, come blocchetti
piano-paralleli e campioni di massa, con campioni di riferimento di valore noto. In queste
situazioni sperimentali, relativamente semplici, si possono frequentemente valutare le
componenti dell'incertezza mediante l'analisi statistica dei dati ottenuti da schemi
consistenti di annidate sequenze di misurazioni del misurando usando valori diversi delle
grandezze da cui questo dipende - la cosiddetta analisi della varianza (vedere H.5).
Ai livelli più bassi della catena di taratura, quando i campioni di riferimento sono sovente
considerati esatti, essendo stati tarati da un laboratorio metrologico nazionale o comunque
primario, l'incertezza del risultato di una taratura può essere un'unica incertezza tipo di categoria
A valutata dallo scarto tipo sperimentale d'insieme che caratterizza la misurazione.
4.3
Valutazione di categoria B dell'incertezza tipo
4.3.1
Per una stima xi di una grandezza d'ingresso Xi che non è stata ottenuta da osservazioni
ripetute, la varianza stimata u2(xi ) o l'incertezza tipo u (xi ) sono valutate per mezzo di un
giudizio scientifico basato su tutte le informazioni disponibili sulla possibile variabilità di Xi.
L'insieme di informazioni può comprendere:
- dati di misurazione precedenti;
- esperienza o conoscenza generale del comportamento e delle proprietà dei materiali
e strumenti di interesse;
- specifiche tecniche del costruttore;
- dati forniti in certificati di taratura o altri;
- incertezze assegnate a valori di riferimento presi da manuali.
Per comodità u2(xi) e u(xi), valutate in questo modo, sono talvolta chiamate varianza di
categoria B e incertezza tipo di categoria B rispettivamente.
Nota
4.3.2
Quando x i è ottenuta da una distribuzione iniziale, la varianza associata è scritta in modo
appropriato come u2 (X i ), ma per semplicità nella presente guida si usano le notazioni u2 (xi ) e u(x i ).
L'uso giudizioso dell'insieme di informazioni disponibili per una valutazione di categoria B
dell'incertezza tipo richiede capacità di approfondimento basata sul'esperienza e
conoscenze generali, ed una perizia che può essere appresa con la pratica. Si osservi
che una valutazione di categoria B dell'incertezza tipo può essere tanto attendibile
quanto una di categoria A, soprattutto in quelle situazioni sperimentali in cui la valutazione
di categoria A è basata su di un numero relativamente ridotto di osservazioni
statisticamente indipendenti.
Nota
[ ( )] σ (q ) , lo
Se la distribuzione di probabilità di q nella nota 1 di 4.2.3 è normale, allora σ s q
[
] . Pertanto, considerando
()
σ [s (q )] come l'incertezza di s (q ) , per n = 10 osservazioni l'incertezza relativa di s (q ) è del
()
scarto tipo di s q rispetto a σ q , è approssimativamente 2(n − 1)
− 12
24%, mentre per n = 50 osservazioni essa è del 10%. (Altri valori sono riportati nel prospetto E.1
nell'appendice E).
4.3.3
Se la stima xi è ricavata da una specifica del costruttore, da un certificato di taratura, da un
manuale o da altra simile fonte e se la sua incertezza è definita come un multiplo
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Nota
particolare di uno scarto tipo, l'incertezza tipo u(xi) è uguale semplicemente al valore
dichiarato diviso il moltiplicatore e la varianza stimata u2(xi) è il quadrato di tale rapporto.
Esempio
Un certificato di taratura stabilisce che la massa ms di un campione di massa di acciaio
inossidabile avente valore nominale 1 kg è 1 000,000 325 g e che "l'incertezza di questo
valore è 240 µg al livello di tre scarti tipo". L'incertezza tipo del campione di massa è allora
semplicemente u(m s) = (240 µg)/3 = 80 µg. Questa corrisponde ad un'incertezza tipo
relativa u ( m s ) / m s di 80 × 1 0 - 9 (vedere 5.1.6). La varianza stimata è
u 2(ms) = (80 µg)2 = 6,4 × 10-9 g2.
Nota
4.3.4
In molti casi scarne, se non assenti, sono le notizie circa le singole
ottenuta l'incertezza dichiarata. Ciò è usualmente irrilevante ai fini
secondo i dettami della presente guida in quanto tutte le incertezze
modo nel calcolo dell'incertezza tipo composta di una misurazione
componenti dalle quali è stata
dell'espressione dell'incertezza
tipo sono trattate nello stesso
(vedere 5).
L'incertezza di xi non è necessariamente dichiarata come un multiplo di uno scarto tipo
come in 4.3.3. Si può infatti incentrare il caso in cui l'incertezza dichiarata definisce un
intervallo avente un livello di fiducia del 90, 95 o 99 per cento (vedere 6.2.2). Se non
diversamente specificato si può ipotizzare che nel calcolo dell'incertezza dichiarata sia
stata adottata una distribuzione normale (C.2.14), e dunque ricostruire l'incertezza tipo
di x i dividendo l'incertezza dichiarata per il fattore appropriato per la distribuzione
normale. I fattori corrispondenti ai livelli di fiducia succitati sono 1,64; 1,96; 2,58 (vedere
anche prospetto G.1 nell'appendice G).
Nota
Se l'incertezza fosse stata dichiarata secondo le raccomandazioni della presente guida, che
prescrivono di indicare sempre il fattore di copertura usato (vedere 7.2.3), non vi sarebbe alcun
bisogno di ricorrere a tale ipotesi.
Esempio
Un certificato di taratura stabilisce che la resistenza Rs di un resistore campione avente
valore nominale 10 ohm è 10,000 742 Ω ± 129 µΩ a 23 °C e che "l'incertezza dichiarata
di 129 µ Ω individua un intervallo avente un livello di fiducia del 99 per cento".
L'incertezza tipo del resistore può essere assunta pari a u(Rs) = (129 µΩ)/2,58 = 50 µΩ,
che corrisponde ad un'incertezza tipo relativa u(R s)/R s di 5,0 × 10-6 (vedere 5.1.6). La
varianza stimata è u2(Rs) = (50 µΩ)2 = 2,5 × 10-9 Ω2.
4.3.5
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Si consideri il caso in cui, sulla base delle notizie disponibili, si possa affermare che "è
ugualmente probabile che il valore della grandezza d'ingresso X i giaccia all'interno o
all'esterno dell'intervallo compreso tra a- ed a+" (in altre parole, la probabilità che Xi giaccia
entro l'intervallo suddetto è 0,5 o 50 per cento). Se si può ritenere che la distribuzione
dei possibili valori di Xi sia approssimativamente normale, allora si può prendere il punto
medio dell'intervallo come miglior stima xi di Xi. Inoltre, se la semiampiezza dell'intervallo è
indicata con a = (a+ − a-)/2, si può prendere u (xi ) = 1,48 a, poiché per una distribuzione
normale con valore atteso µ e scarto tipo σ l'intervallo µ ± σ /1,48 comprende il 50 per
cento circa della distribuzione.
Esempio
Un operatore, nel determinare le dimensioni di un pezzo, stima che la sua lunghezza
giaccia, con probabilità 0,5, nell'intervallo tra 10,07 mm e 10,15 mm, e riporta
l = (10,11 ± 0,04) mm, intendendo che ± 0,04 mm definisce un intervallo avente livello di
fiducia del 50 per cento. Dunque, a = 0,04 mm, e se si ipotizza una distribuzione
normale per i possibili valori di l, l'incertezza tipo della lunghezza è
u(l) = 1,48 × 0,04 mm ≈ 0,06 mm e la varianza stimata è u 2(l) = (1,48 × 0,04 mm)2 =
3,5 × 10-3 mm2.
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4.3.6
Si consideri un caso simile a quello di 4.3.5 ma in cui, sulla base delle informazioni
disponibili, "ci sono circa due probabilità su tre che il valore di X i giaccia all'interno
dell'intervallo compreso tra a- ed a+" (in altre parole, la probabilità che Xi giaccia entro
l'intervallo suddetto è circa 0,67). Si può allora ragionevolmente prendere u(x i) = a,
poiché per una distribuzione normale con valore atteso µ e scarto tipo σ l'intervallo µ ± σ
comprende il 68,3 per cento circa della distribuzione.
Il valore di u(x i ) avrebbe molto maggiore significatività di quella che gli si può concedere nel caso
citato, se si usasse il valore esatto 0,967 42 corrispondente, per una distribuzione normale, alla
probabilità p = 2/3, se cioé si scrivesse u(x i ) = a/0,967 42 = 1,033 a.
--``,`,,,,,,``,`,,,,,,`,,``,`,,`-`-`,,`,,`,`,,`---
Nota
4.3.7
In altri casi solo limiti (superiore ed inferiore) possono essere stimabili per Xi in particolare
si può solo affermare che "la probabilità che il valore di Xi giaccia all'interno dell'intervallo
compreso tra a- ed a+ è uguale, a tutti i fini pratici, ad uno e la probabilità che Xi giaccia
fuori dall'intervallo suddetto è praticamente zero". Se non esiste alcuna conoscenza
specifica sui possibili valori di Xi entro l'intervallo, si può solamente affermare che Xi può
giacere in qualunque punto di esso con eguale probabilità (una distribuzione uniforme o
rettangolare dei possibili valori - vedere 4.4.5 e figura 2a). Allora x i, il valore atteso o
speranza di Xi è il punto medio dell'intervallo, xi = (a- + a+)/2, con varianza associata
u 2 (x i ) = (a + − a − ) / 12 .
2
[6]
Se a + − a − , la differenza tra i limiti, è indicata con 2a, allora l'equazione (6) diventa
u 2 (x i ) = a 2 / 3 .
Nota
[7]
Quando una componente d'incertezza determinata in questo modo contribuisce in misura
significativa all'incertezza del risultato di una misurazione, è prudente ottenere dati aggiuntivi per
una sua successiva valutazione.
Esempio
1
Un manuale fornisce per il coefficiente di dilatazione termica lineare del rame puro a
20 °C, α20(Cu), il valore 16,52 × 10-6 °C-1 ed afferma semplicemente che "l'errore di
questo valore non dovrebbe eccedere 0,40 × 10-6 °C-1 ." Sulla base di queste
informazioni limitate non è irragionevole supporre che il valore di α 20 (Cu) possa
giacere con uguale probabilità in qualunque punto dell'intervallo compreso tra
16,12 × 10-6 °C-1 e 16,92 × 10-6 °C-1 e che sia altamente improbabile che esso sia
esterno a detto intervallo. La varianza di questa distribuzione rettangolare simmetrica
di valori possibili di α20(Cu), avente semiampiezza a = 0,40 × 10-6 °C-1, è dunque,
secondo l'equazione (7), u 2 ( α 20 ) = (0,40 × 10-6 °C-1 ) 2 /3 = 53,3 × 10-15 °C-2 , e
l'incertezza tipo è u(α20) = (0,40 × 10-6 °C-1) / 3 = 0,23 × 10-6 °C-1.
2
La specifica di un costruttore per un voltmetro digitale dichiara che "l'accuratezza
dello strumento nel campo 1 V, tra uno e due anni dopo la sua taratura, è 14 × 10-6
volte la lettura più 2 × 10-6 volte il campo". Si supponga che lo strumento sia usato, 20
mesi dopo la taratura, per misurare, sulla sua scala 1 V, una differenza di potenziale V,
e che la media di un certo numero di osservazioni ripetute ed indipendenti di V sia
V = 0,928 571 V con un'incertezza tipo (di categoria A) u(V ) = 12 µ V. Si può
ottenere l'incertezza tipo associata alla specifica del costruttore mediante una
valutazione di categoria B, assumendo che l'accuratezza dichiarata rappresenti i limiti
simmetrici di una correzione additiva a V , ∆V , avente valore atteso nullo e probabilità
di giacere indifferentemente in qualunque punto interno ai limiti. La semiampiezza a
della distribuzione simmetrica rettangolare dei valori possibili di ∆V è allora
a = (14 × 10-6) × (0,928 571 V) + (2 × 10-6) × (1 V) = 15 µV, e, dall'equazione (7),
u2(∆V ) = 75 µV2 e u(∆V ) = 8,7 µV. La stima del valore del misurando V, denominata
per semplicità con lo stesso simbolo V, è data da V = V + ∆ V = 0,928 571 V. Si
ottiene l'incertezza tipo composta di questa stima combinando l'incertezza tipo di
categoria A di V , 12 µV, con l'incertezza tipo di categoria B di ∆V , 8,7 µV. Il metodo
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generale per combinare componenti tipo dell'incertezza è descritto in 5, e questo
specifico esempio è trattato in 5.1.5.
4.3.8
In 4.3.7, i limiti superiore ed inferiore a - ed a + della grandezza d'ingresso X i possono
essere non simmetrici rispetto alla sua miglior stima x i ; più precisamente, se il limite
inferiore è scritto come a- = xi - b- ed il limite superiore come a+ = xi + b+ , b- ≠ b+. Poiché
in questo caso xi (ritenuto il valore atteso di Xi) non è al centro dell'intervallo compreso tra
a- ed a+, la distribuzione di probabilità di Xi non può essere uniforme entro l'intervallo.
Tuttavia, le informazioni disponibili possono non essere sufficienti per la scelta di una
distribuzione plausibile; modelli differenti porteranno ad espressioni differenti della
varianza. In assenza di informazioni sufficienti l'approssimazione più semplice è
u (x i )
2
2
2
b+ + b− )
a+ − a− )
(
(
=
=
12
[8]
12
che è la varianza di una distribuzione rettangolare di ampiezza totale b + + b − . (Le
distribuzioni asimmetriche sono anche discusse in F.2.4.4 ed in G.5.3).
Esempio
Se nell'esempio 1 di 4.3.7 il valore del coefficiente nel manuale è
α20(Cu) = 16,52 × 10-6 °C-1 e vi si afferma che "il minor valore possibile è 16,40 × 10-6 °C-1
ed il massimo possibile è 16,92 × 10- 6 °C- 1 ", allora b - = 0,12 × 10- 6 °C- 1 ,
b+ = 0,40 × 10-6 °C-1 e, usando l'equazione (8), u(α20) = 0,15 × 10-6 °C-1.
Nota 1
In molte situazioni sperimentali in cui i limiti sono asimmetrici può essere opportuno applicare alla
(b + − b − ) 2 cosicché la nuova stima x' i di X i sia
(a − + a + ) 2 . Ciò riconduce la situazione al caso di 4.3.7,
stima xi una correzione pari a
nel punto
intermedio tra i limiti: x'i =
con nuovi
valori b +′ = b −′ = (b + + b − ) 2 =
Nota 2
(a
+
)
−a − / 2 = a.
Secondo il principio di massima entropia, si può dimostrare che la densità di probabilità nel caso
asimmetrico è
[
]
[
]
p (X i ) = A exp − λ(X i − x i ) , con A = b − exp( λb − ) + b + exp( − λb + )
{ [
−1
e
] } {b− exp[ λ(b− + b+ )] + b+ } .
λ = exp λ(b − + b + ) − 1
Ciò conduce alla varianza
u 2 (x i ) = b + b − − (b + − b − ) λ ; per b + > b − , λ > 0 , e per b + < b − , λ < 0 .
4.3.9
In 4.3.7, a causa dell'assenza di informazioni specifiche sul possibile valore di X i
all'interno dei limiti per essa stimati a- ed a+, si poteva solo ipotizzare che tutti i valori entro
gli estremi fossero equiprobabili per Xi e che la probabilità fosse nulla fuori dai limiti stessi.
Sovente tali discontinuità a scalino in una distribuzione di probabilità hanno poco
significato fisico. In molti casi è più realistico attendersi che i valori prossimi agli estremi
siano meno probabili di quelli prossimi al centro. In tali casi è ragionevole sostituire alla
distribuzione simmetrica rettangolare una distribuzione simmetrica trapezoidale avente i
lati obliqui uguali (trapezio isoscele), la base maggiore di ampiezza (a + − a − ) = 2a e la
base minore di ampiezza 2aβ, con 0 ≤ β ≤ 1. Per β → 1 questa distribuzione trapezoidale
tende alla distribuzione rettangolare di 4.3.7, mentre per β = 0 essa è la distribuzione
triangolare (vedere 4.4.6 e figura 2b). Attribuendo ad Xi questa distribuzione triangolare
si ricava che il valore atteso di Xi è x i = (a − + a + ) 2 e la varianza ad esso associata è
(
)
u 2 (x i ) = a 2 1+ β 2 6 ,
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[9a]
--``,`,,,,,,``,`,,,,,,`,,``,`,,`-`-`,,`,,`,`,,`---
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che diventa per la distribuzione triangolare, per cui β = 0,
u 2 (x i ) = a 2 6 ,
Nota 1
[9b]
Per una distribuzione normale avente valor medio µ e scarto tipo σ, l'intervallo µ ± 3σ comprende
approssimativamente il 99,73 per cento della distribuzione. Pertanto, se gli estremi superiore ed
inferiore a+ ed a- definiscono limiti al 99,73 per cento invece che al 100 per cento, e se si può per
X i ipotizzare una distribuzione approssimativamente normale, contrariamente alla situazione di
2
2
ignoranza totale circa X i all'interno dei limiti, come in 4.3.7, allora u ( x i ) = a 9 . A titolo di
confronto, la varianza di una distribuzione rettangolare simmetrica di semiampiezza a è a 2 /3
[equazione (7)] e quella di una distribuzione triangolare simmetrica di semiampiezza a è a 2 /6
[equazione (9b)]. I valori delle varianze delle tre distribuzioni sono sorprendentemente simili tenuto
conto delle grandi differenze nelle quantità di informazione necessarie a giustificarle.
Nota 2
La distribuzione trapezoidale è equivalente alla convoluzione di due distribuzioni rettangolari [10],
una di semiampiezza a 1 uguale alla semiampiezza media del trapezio, a 1 = a (1 + β )/2, l'altra di
semiampiezza a2 uguale all'ampiezza media di una delle parti triangolari del trapezio
2
2
2
a2 = a (1 - β )/2. La varianza della distribuzione è u = a1 3 + a 2 3 . La distribuzione della
convoluzione può essere interpretata come una distribuzione rettangolare la cui ampiezza 2a1 ha
anch'essa un'incertezza rappresentata da una distribuzione rettangolare di ampiezza 2a 2 e
modella il fatto che gli estremi di una grandezza d'ingresso non sono noti esattamente. Tuttavia,
per a2 pari a ben il 30 per cento di a1, u è maggiore di a1
3 di meno del 5 per cento.
È importante non contare due volte le componenti dell'incertezza. Se una componente
dovuta ad un certo effetto è ottenuta da una valutazione di categoria B, essa dovrebbe
essere inclusa come componente indipendente nel calcolo dell'incertezza tipo composta
solamente nella misura in cui l'effetto non contribuisce alla variabilità osservata delle
osservazioni. Ciò in quanto l'incertezza dovuta alla parte dell'effetto che contribuisce alla
variabilità osservata è già inclusa nella componente d'incertezza ottenuta dall'analisi
statistica delle osservazioni.
4.3.11
La discussione della valutazione di categoria B dell'incertezza tipo nei punti da 4.3.3 a
4.3.9 vuole essere puramente indicativa. Peraltro le valutazioni dell'incertezza
dovrebbero essere basate su elementi quantitativi nella massima misura possibile, come
evidenziato in 3.4.1 e 3.4.2.
4.4
Illustrazione grafica della valutazione dell'incertezza tipo
4.4.1
La figura 1 rappresenta la stima del valore di una grandezza d'ingresso Xi e la valutazione
dell'incertezza della stima sulla base della distribuzione ignota dei possibili valori misurati
di Xi , o distribuzione di probabilità di Xi, campionata mediante osservazioni ripetute.
4.4.2
Nella figura 1a si ipotizza che la grandezza d'ingresso Xi sia una temperatura t e che la sua
distribuzione ignota sia normale, con valore medio µt = 100 °C e scarto tipo σ = 1,5 °C. La
sua densità di probabilità (vedere C.2.14) è allora
--``,`,,,,,,``,`,,,,,,`,,``,`,,`-`-`,,`,,`,`,,`---
4.3.10
p (t ) =
Nota
[
]
1
2
exp −(t − µt ) 2 σ 2 .
σ 2π
La definizione di una densità di probabilità p (z ) richiede che sia soddisfatta la relazione
∫ p (z ) dz = 1.
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figura
1
Illustrazione grafica della valutazione dell’incertezza tipo di una grandezza d’ingresso mediante
osservazioni ripetute
p(t)/°C -1
0,3
0,2
0,1
0,0
0
95
100
µt -σ
µ t +σ
105
t/°C
µt
Numero delle osservazioni
a)
7
6
5
4
3
2
1
0
0
95
t -s(tk)
100
t -s(t)
t +s(tk)
105
t/°C
t +s(t)
t
b)
4.4.3
La figura 1b mostra un istogramma di n = 20 osservazioni ripetute tk della temperatura t
che si ipotizzano estratte casualmente dalla distribuzione della figura 1a. Per ottenere
l'istogramma, le 20 osservazioni o campioni, i cui valori sono riportati nel prospetto 1,
sono raggruppate in intervalli di ampiezza 1 °C. (Naturalmente, l'analisi statistica dei dati
non richiede la preparazione di un istogramma).
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prospetto
1
Venti osservazioni ripetute di temperatura t raggruppate in intervalli di 1 °C
Intervallo t1 ≤ t < t 2
Temperatura
t1/°C
t2/°C
t /°C
94,5
95,5
-
95,5
96,5
-
96,5
97,5
96,90
97,5
98,5
98,18; 98,25
98,5
99,5
98,61; 99,03; 99,49
99,5
100,5
99,56; 99,74; 99,89; 100,07; 100,33; 100,42
100,5
101,5
100,68; 100,95; 101,11; 101,20
101,5
102,5
101,57; 101,84; 102,36
102,5
103,5
102,72
103,5
104,5
-
104,5
105,5
-
La media aritmetica t delle n = 20 osservazioni, calcolata mediante l'equazione (3), è t =
100,145 °C ≈ 100,14 °C ed è considerata la miglior stima del valor medio µt di t basata sui
dati disponibili. Lo scarto tipo sperimentale s(tk), calcolato mediante l'equazione (4), è
s(tk) = 1,489 °C ≈ 1,49 °C, e lo scarto tipo sperimentale della media s( t ), calcolato con
l'equazione (5), che è l'incertezza tipo u( t ) della media t , è u( t ) = s( t ) = s(tk)/ 20 =
0,333 °C ≈ 0,33 °C. (Per calcoli successivi è bene conservare tutte le cifre decimali).
Nota
Sebbene i dati del prospetto 1 siano plausibili, alla luce dell'uso sempre più diffuso di termometri
elettronici digitali ad alta risoluzione, essi hanno propositi illustrativi e non devono essere
necessariamente interpretati come rappresentativi di una misura reale.
4.4.4
La figura 2 rappresenta la stima del valore di una grandezza d'ingresso Xi e la valutazione
dell'incertezza della stima a partire da una distribuzione iniziale dei possibili valori misurati
di Xi o distribuzione di probabilità di Xi basata su tutte le informazioni disponibili in merito.
Per entrambi i casi esemplificati, la grandezza d'ingresso è ancora una temperatura t.
4.4.5
Nella figura 2a si illustra il caso in cui l'informazione disponibile sulla grandezza d'ingresso
t sia scarsa, per cui l'unica ipotesi possibile è che t sia descritta da una distribuzione di
probabilità iniziale rettangolare simmetrica avente estremo inferiore a- = 96 °C, estremo
superiore a+ = 104 °C e dunque semiampiezza a = (a + − a − ) 2 = 4 °C (vedere 4.3.7). La
densità di probabilità di t è allora
p(t) = 1/2a,
a- ≤ t ≤ a+
p(t) = 0 ,
altrimenti
Come indicato in 4.3.7, la miglior stima di t è il suo valor medio µt = (a + + a − ) 2 = 100 °C,
come discende da C.3.1. L'incertezza tipo di questa stima è u ( µt ) = a
discende da C.3.2 [vedere equazione (7)].
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3 ≈ 2,3 °C, come
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figura
2
Illustrazione grafica della valutazione dell’incertezza tipo di una grandezza d’ingresso mediante una
distribuzione iniziale
a
p(t)/°C -1
a
0,125
0,100
1/2a
0,075
0,050
0,025
0,000
0
95
µ t -a/ 3
a-
100
µ t +a/ 3
105
a+
t/°C
µt
a)
a
p(t)/°C -1
a
0,250
0,200
1/a
0,150
0,100
0,050
0,000
0
95
a-
µ t -a/ 6
100
µ t +a/ 6
105
a+
t/°C
µt
b)
4.4.6
Nella figura 2b si illustra il caso in cui l'informazione disponibile su t sia meno limitata e che
t possa essere descritta da una distribuzione di probabilità iniziale triangolare simmetrica
avente lo stesso estremo inferiore a- = 96 °C, lo stesso estremo superiore a+ = 104 °C e
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pertanto la stessa semiampiezza a = (a + − a − ) 2 = 4 °C del caso precedente 4.4.5
(vedere 4.3.9). La densità di probabilità di t è allora
p (t ) = (t − a − ) a 2 ,
a − ≤ t ≤ (a + + a − ) 2
p (t ) = (a + − t ) a 2 ,
(a + + a − )
p (t ) = 0, altrimenti
2 ≤ t ≤ a+
Come indicato in 4.3.9, il valore atteso di t è µt = (a + + a − ) 2 = 100 °C, come discende da
C.3.1. L'incertezza tipo di questa stima è u ( µt ) = a 6 ≈ 1,6 °C, come discende da C.3.2
[vedere equazione (9b)].
Questo valore, u ( µt ) = 1,6 °C, può essere confrontato con u ( µt ) = 2,3 °C ottenuto in
4.4.5 da una distribuzione rettangolare della stessa ampiezza di 8 °C; con σ = 1,5 °C della
distribuzione normale della figura 1a la cui ampiezza tra - 2,58σ e + 2,58σ, comprendente
il 99 per cento della distribuzione, è circa di 8 °C; infine, con u( t ) = 0,33 °C ottenuta in
4.4.3 da 20 osservazioni per cui si è ipotizzata l'estrazione a caso dalla stessa
distribuzione normale.
5
DETERMINAZIONE DELL'INCERTEZZA TIPO COMPOSTA
5.1
Grandezze d'ingresso non correlate
Questa parte tratta il caso di grandezze d'ingresso tutte indipendenti (C.3.7). Il caso di
due o più grandezze d'ingresso in relazione mutua, ovvero interdipendenti o correlate
(C.2.8) è discusso in 5.2.
5.1.1
L'incertezza tipo di y, che è la stima del misurando Y e quindi il risultato della misurazione,
è ottenuta mediante composizione opportuna delle incertezze tipo delle stime
d'ingresso x1, x2, . . . , xN (vedere 4.1). Questa incertezza tipo composta della stima è
denominata uc (y).
Nota
5.1.2
Per ragioni simili a quelle fornite nella nota in 4.3.1, si usano ovunque i simboli uc( y) ed u c2 ( y ) .
L'incertezza tipo composta uc(y) è la radice quadrata positiva della varianza composta
u c2 ( y ) , a sua volta data da
2
 ∂f 
( y ) =   u 2 (x i ) ,
 ∂x i 
i =1
N
u c2
∑
[10]
dove f è la funzione specificata nell'equazione (1). Ciascuna u(xi) è un'incertezza tipo
valutata come descritto in 4.2 (valutazione di categoria A), od a 4.3 (valutazione di
categoria B). L'incertezza tipo composta uc(y) è uno scarto tipo stimato e caratterizza la
dispersione dei valori ragionevolmente attribuibili al misurando Y (vedere 2.2.3).
L'equazione (10) e la sua corrispondente per grandezze d'ingresso correlate,
l'equazione (13), ambedue basate su di una approssimazione di Y = f (X 1, X 2 , . . . , X N )
al prim'ordine di una serie di Taylor, esprimono quella che nella presente guida viene
chiamata la legge di propagazione dell'incertezza (vedere E.3.1 ed E.3.2).
Nota
--``,`,,,,,,``,`,,,,,,`,,``,`,,`-`-`,,`,,`,`,,`---
Quando la non linearità di f è significativa, si devono includere nell'espressione di u c2 ( y ) , cioè
nell'equazione (10), anche termini di ordine superiore. Quando la distribuzione di ciascuna X i è
simmetrica intorno al valor medio, i principali termini dell'ordine successivo da aggiungere
all'equazione (10) sono
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  2 2

1
∂f
∂f
∂ 3f

+
∑ ∑  2  ∂x ∂x  ∂x ∂x ∂x 2  u 2 (x i )u 2 x j .
i
j
i
i =1 j =1 
i
j 
( )
N N
Vedere H.1 per un esempio di una situazione in cui è necessario considerare i contributi ad u c2 ( y )
di ordine superiore.
Le derivate parziali ∂f ∂x i sono uguali alle ∂f ∂X i valutate per X i = x i (vedere nota 1
seguente). Queste derivate, sovente chiamate coefficienti di sensibilità, descrivono
come la stima d'uscita y varia al variare dei valori delle stime d'ingresso x1, x2, . . . , xN. In
particolare, la variazione in y prodotta da una piccola variazione ∆xi nella stima d'ingresso
xi, è data da ( ∆y )i = (∂f ∂x i )( ∆x i ) . Se questa variazione è generata dall'incertezza tipo
5.1.3
della stima xi, la variazione corrispondente in y è (∂f ∂x i )u (x i ) . La varianza composta
u c2 ( y ) può pertanto essere vista come una somma di termini, ognuno dei quali
rappresenta la varianza stimata associata alla stima d'uscita y generata dalla varianza
stimata associata ad ogni stima d'ingresso xi. Ciò suggerisce di scrivere l'equazione (10)
come
[
i =1
N
u i2 ( y )
] ≡∑
i =1
u c2 ( y ) = ∑ c i u (x i )
N
2
[11a]
dove
c i ≡ ∂f ∂x i ,
Nota 1
[11b]
A rigore, le derivate parziali sono ∂f ∂x i = ∂f ∂X i valutate nei valori attesi delle X i . Tuttavia in
pratica le derivate parziali sono stimate da
∂f
∂f
=
∂x i ∂X i
Nota 2
ui ( y ) = c i u (x i )
x 1, x 2 ,..., x N
L'incertezza tipo composta u c ( y) può essere calcolata numericamente sostituendo c i u ( x i )
nell'equazione (11a) con
Zi =
[(
) (
1
f x 1, . . , x i + u (x i ), . . , x N − f x 1, . . , x i − u (x i ), . . , x N
2
)]
cioè ui (y) viene valutata numericamente calcolando la variazione determinata su y da variazioni di
x i pari a +u( xi ) e -u(x i). Come valore di u i (y) viene preso
sensibilità corrispondente, viene preso Z i /u( xi ).
Z i come valore di ci , il coefficiente di
Esempio
Nell'esempio di 4.1.1, usando per semplicità lo stesso simbolo tanto per la grandezza
quanto per la sua stima,
[
]
c1 ≡ ∂P ∂V = 2V R 0 1 + α(t − t 0 ) = 2P / V
[
]
c 2 ≡ ∂P ∂R 0 = −V 2 R 02 1 + α(t − t 0 ) = −P / R 0
[
]
c 3 ≡ ∂P ∂α = −V 2 (t − t 0 ) R 0 1 + α(t − t 0 )
[
]
c 4 ≡ ∂P ∂t = −V 2 α R 0 1 + α (t − t 0 )
2
2
[
]
= −P (t − t 0 ) 1 + α(t − t 0 )
[
]
= − Pα 1 + α(t − t 0 )
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e
2
2
2
2
 ∂P  2
 ∂P  2
 ∂P  2
 ∂P  2
u (P ) = 
u (R 0 ) + 
 u (V ) + 
 u ( α) + 
 u (t ) =

 ∂V 
 ∂α 
 ∂t 
 ∂R 0 
2
[c1u (V )]2 + [c 2u (R0 )] + [c 3u (α)]2 + [c 4u (t )]2 = u12 (P ) + u 22 (P ) + u 32 (P ) + u 42 (P )
2
5.1.4
Invece di essere calcolati dalla funzione f, i coefficienti di sensibilità sono talvolta
determinati sperimentalmente: si misura la variazione prodotta in Y da una variazione in
una specifica Xi, mantenendo costanti le altre grandezze d'ingresso. In questo caso la
conoscenza della funzione f (o di una sua parte quando solo alcuni coefficienti di
sensibilità vengono così determinati) è corrispondentemente limitata al primo termine di
uno sviluppo empirico in serie di Taylor basato sui coefficienti di sensibilità misurati.
5.1.5
Se l'equazione (1) per il misurando viene sviluppata intorno ai valori nominali Xi,0 delle
grandezze d'ingresso Xi, si ottiene, al prim'ordine (approssimazione di norma sufficiente),
Y = Y0 + c1δ1 + c 2 δ2 + ... + c N δN , in cui Y0 = f X 1,0 , X 2,0 ,..., X N ,0 , c i = (∂f ∂X i ) , valutati a
Xi = Xi,0 e di = Xi - Xi,0. Pertanto, ai fini dell'analisi dell'incertezza, il misurando è solitamente
approssimato mediante una funzione lineare delle sue variabili trasformando le sue
grandezze d'ingresso da Xi a di (vedere E.3.1).
(
)
Esempio
Dall'esempio 2 di 4.3.7, la stima V del valore del misurando è V = V + ∆V , dove
V = 0,928 571 V, u(V ) = 12 µV, la correzione additiva ∆V = 0 e u(∆V ) = 8,7 µV. Poiché
∂V ∂V = 1 e ∂V ∂ ∆V = 1, la varianza composta associata a V è data da
u c2 (V ) = u 2
( )
(V ) + u (∆V ) = (12 µV)
2
2
+ (8,7 µV)2 = 219 × 10-12 V2
e l'incertezza tipo composta è u c (V ) = 15 × µV, corrispondente ad un'incertezza tipo
composta relativa u c (V ) V di 16 × 10-6 (vedere 5.1.6). Questo è un esempio del caso in
cui il misurando già è una funzione lineare delle grandezze da cui dipende, con
coefficienti ci = + 1. Dall'equazione (10) discende che se Y = c 1X 1 + c 2 X 2 + ... + c N X N e
se le costanti ci = + 1 o - 1, allora u c2 ( y ) = ∑i =1u 2 (x i ) .
N
5.1.6
Se Y è della formaY = cX 1p1X 2p2 ...X NpN e gli esponenti p i sono numeri noti positivi o
negativi aventi incertezza trascurabile, la varianza composta, data dall'equazione (10),
può essere espressa come
[u c (y ) y ]2 = ∑ [pi u (x i ) x i ]
N
2
[12]
i =1
Questa equazione è della stessa forma della (11a), ma qui la varianza composta u c2 ( y ) è
[
espressa come una varianza relativa composta u c ( y ) y
]2 e la varianza stimata u 2 (x i )
associata a ciascuna stima d'ingresso è espressa come una varianza relativa stimata
[u (x i ) x i ] . [L'incertezza tipo composta relativa è u c (y )
2
y e la incertezza tipo relativa di
ciascuna stima d'ingresso è u (x i ) x i , y ≠ 0 e x i ≠ 0 ].
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Nota 1
Quando Y ha la forma suddetta, è facile trasformarla in una funzione lineare di variabili (vedere
5.1.5) ponendo X i = X i ,0 (1 + δi ) , in quanto così facendo vale la relazione approssimata
(Y − Y0 ) Y0 = ∑Ni =1pi δi . D'altra parte la trasformazione logaritmica
Z = lnY e Wi = ln X i porta
ad una linearizzazione esatta in termini delle nuove variabili: Z = ln c + ∑ i =1 p iWi .
N
Nota 2
[
]2
[
]
Se ogni pi vale + 1 o - 1, l'equazione (12) diventa u c ( y ) y = ∑i =1 u ( x i ) x i , che mostra
come in questo caso speciale la varianza composta relativa associata alla stima y è uguale
semplicemente alla somma delle varianze stimate relative associate alle stime d'ingresso xi .
N
2
5.2
Grandezze d'ingresso correlate
5.2.1
L'equazione (10) e quelle che da essa discendono, come la (11) e la (12), sono valide
solamente se le grandezze d'ingresso X i sono indipendenti o scorrelate (le variabili
casuali, non le grandezze fisiche, che vengono considerate invarianti - vedere 4.1.1,
nota 1). Se alcune Xi sono correlate in misura significativa, occorre tenere conto delle
correlazioni.
5.2.2
Quando le grandezze d'ingresso sono correlate, l'espressione appropriata per la varianza
composta u c2 ( y ) associata al risultato di una misurazione è
u c2
2
N 
N −1 N
∂f ∂f
∂f  2
∂f ∂f
u xi , x j = ∑ 
u xi , x j
(y ) = ∑ ∑
 u (x i ) + 2 ∑ ∑
∂
∂
∂
∂
x
x
x
i
j
i
i =1 j =1
i =1 
i =1 j =i +1 x i ∂ x j
(
N N
)
(
(
) (
)
[13]
)
dove xi e xj sono le stime di Xi e Xj ed u x i , x j = u x j , x i è la covarianza stimata associata
a xi e xj. Il grado di correlazione tra xi e xj è caratterizzato dal coefficiente di correlazione
stimato (C.3.6)
(
)
r xi ,x j =
(
u xi ,x j
)
( )
) = r (x , x ) , e −1 ≤ r (x , x ) ≤ +1. Se le stime x e x sono indipendenti, allora
[14]
u (x i )u x j
(
r (x , x ) = 0 , ed una variazione in una delle due non comporta che ci si aspetti una
dove r x i , x j
i
j
i
i
j
i
j
j
variazione nell'altra. (Vedere C.2.8, C.3.6 e C.3.7 per un approfondimento.)
Il termine di covarianza dell'equazione (13) può essere scritto in funzione dei coefficienti
di correlazione, di interpretazione più facile rispetto alle covarianze, come
N −1 N
∂f ∂f
u (x i )u x j r x i , x j
∂
i = 1 j = i + 1 x i ∂x j
2∑
( )(
∑
)
[15]
L'equazione (13), tenendo conto della (11b), diventa allora
N
N −1 N
i =1
i =1 j =i +1
u c2 ( y ) = ∑ c i2u 2 (x i ) + 2 ∑
Nota 1
∑ c i c j u (x i )u (x j )r (x i , x j ) .
[16]
Nel caso specialissimo che tutte le stime d'ingresso siano correlate con coefficienti di correlazione
(
)
r x i , x j = +1, l'equazione (16) si riduce a
2
N

 N ∂f

u c2 ( y ) =  ∑ c i u (x i ) =  ∑
u (x i )
 i =1

 i =1 ∂x i

2
L'incertezza tipo composta u c (y) è allora semplicemente una somma lineare di termini che
rappresentano la variazione della stima d'uscita y generata dall'incertezza tipo di ciascuna stima
d'ingresso x i (vedere 5.1.3). [Questa somma lineare non deve essere confusa con la legge
generale di propagazione dell'errore, benché abbia una forma simile; le incertezze tipo non sono
errori (vedere E.3.2)].
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Esempio
Dieci resistori, ognuno avente resistenza nominale R i = 1 000 Ω, vengono tarati, con
incertezza di taratura trascurabile, rispetto allo stesso resistore campione da 1 000 Ω, Rs,
caratterizzato da un'incertezza tipo u(R s) = 100 mΩ, come dichiarato dal certificato di
taratura. I resistori sono collegati in serie mediante conduttori aventi resistenza
trascurabile in modo da ottenere una resistenza di riferimento R rif di valore nominale
(
) (
)
10 kΩ. Dunque Rrif = f (Ri ) = ∑i =1Ri . Poiché r x i , x j = r Ri ,R j = +1 per ogni coppia di
resistenze (vedere F.1.2.3, esempio 2), è appropriato l'uso dell'equazione descritta nella
nota 1. Poiché per ogni resistore ∂f ∂x i = ∂Rrif ∂Ri = 1, e u (x i ) = u (Ri ) = u (R s ) (vedere
F.1.2.3, esempio 2), l'equazione dà per l'incertezza tipo composta di R rif ,
10
∑
∑
1
2
u (R s ) = 10 × (100 mΩ) = 1 Ω. Il risultato u c (Rrif ) = 
u 2 R  = 0,32 Ω
 i =1 ( s )
i =1
ottenuto dall'equazione (10) è scorretto poiché non tiene conto del fatto che tutti i valori
di taratura dei dieci resistori sono correlati.
u c (Rrif ) =
Nota 2
10
10
(
)
Le varianze stimate u 2 ( x i ) e le covarianze stimate u x i , x j possono essere considerate
elementi di una matrice di covarianza con elementi uij. Gli elementi diagonali u ii della matrice sono
2
le varianze u ( x i ) , mentre gli elementi non diagonali u ij (i≠ j) sono le covarianze
(
) (
)
u x i , x j = u x j , x i . Se due stime d'ingresso sono scorrelate, la loro covarianza e quindi i
corrispondenti elementi uij e uji della matrice di covarianza sono nulli. Se le stime d'ingresso sono
tutte scorrelate, tutti gli elementi non diagonali sono nulli e la matrice di covarianza è diagonale
(vedere anche C.3.5).
Nota 3
Ai fini della valutazione numerica, l'equazione (16) può essere scritta come
(
N N
u c2 ( y ) = ∑ ∑ Z i Z j r x i , x j
i =1 j =1
)
dove Z i è dato in 5.1.3, nota 2.
Nota 4
Se le X i hanno la forma speciale descritta in 5.1.6 e sono correlate, allora al secondo membro
dell'equazione (12) devono essere aggiunti i termini
] [p j u (x j )
N −1 N
2∑
∑ [ pi u (x i )
i =1 j =i +1
5.2.3
xi
](
x j r xi , x j
)
Si considerino due medie aritmetiche q ed r che stimano i valori attesi µq e µr di due
grandezze q ed r che variano in modo casuale, e siano q ed r calcolati da n coppie
indipendenti di osservazioni simultanee di q ed r, effettuate nelle stesse condizioni di
misurazione (vedere B.2.15). La covarianza (vedere C.3.4) di q ed r viene allora stimata
da
( )
s q,r =
(
)(
n
1
q k − q rk − r
∑
n(n − 1) k =1
)
[17]
dove qk ed rk sono le singole osservazioni delle grandezze q ed r, e q ed r sono calcolati
dalle osservazioni mediante l'equazione (3). Se le osservazioni sono scorrelate, ci si
aspetta che la covarianza calcolata sia prossima a zero.
Pertanto la covarianza stimata di due grandezze d'ingresso Xi e Xj correlate, stimate dalle
medie X i e X j , a loro volta determinate da coppie indipendenti di osservazioni
(
) (
)
(
simultanee ripetute, è data da u x i , x j = s X i , X j , con s X i , X j
) calcolato mediante
l'equazione (17). Questa applicazione dell'equazione (17) rappresenta una valutazione di
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categoria A della covarianza. Il coefficiente di correlazione stimato di X i e X j è ottenuto
dall'equazione (14):
(
) (
) (
r xi , x j = r X i ,X j = s X i ,X j
i
j
In H.2 ed H.4 si forniscono esempi in cui è necessario fare uso delle covarianze, calcolate
mediante l'equazione (17).
5.2.4
Vi può essere correlazione significativa tra due grandezze d'ingresso se nella loro
determinazione vengono usati o lo stesso strumento di misurazione, o lo stesso
campione materiale, o lo stesso dato di riferimento. Per esempio, se un certo termometro
viene usato per determinare una correzione di temperatura necessaria per la stima del
valore della grandezza d'ingresso Xi e lo stesso termometro viene usato per determinare
un'analoga correzione di temperatura richiesta per la stima della grandezza d'ingresso Xj,
le due grandezze d'ingresso potrebbero risultare correlate in misura significativa.
Tuttavia, se Xi e Xj in questo esempio vengono ridefinite in modo da essere le grandezze
non corrette, e le grandezze che definiscono la curva di taratura del termometro vengono
incluse come grandezze d'ingresso aggiuntive con le loro incertezze tipo indipendenti, la
correlazione tra X i e X j viene rimossa. (Vedere F.1.2.3 e F.1.2.4 per un'ulteriore
approfondimento).
5.2.5
Le correlazioni tra grandezze d'ingresso, se esistenti e significative, non possono essere
ignorate. Le covarianze associate devono essere valutate sperimentalmente, se
possibile, facendo variare le grandezze d'ingresso correlate (vedere C.3.6, nota 3),
oppure usando l'insieme di informazioni disponibili sulla variabilità correlata delle
grandezze in questione (valutazione di categoria B della covarianza). Quando si deve
stimare il grado di correlazione tra grandezze d'ingresso originato dagli effetti di
grandezze di comune influenza, come temperatura ambiente, pressione atmosferica ed
umidità, è necessaria grande capacità di analisi, basata sull'esperienza e sulla cultura
scientifica generale (vedere 4.3.1 e 4.3.2). Fortunatamente, in molti casi, gli effetti di
queste influenze hanno dipendenza reciproca trascurabile, cosicché le grandezze
d'ingresso interessate possono essere ritenute pressoché scorrelate. Tuttavia, se ciò
non è possibile, le correlazioni stesse possono essere evitate se le grandezze
d'influenza comuni sono introdotte come grandezze d'ingresso indipendenti aggiuntive,
come indicato in 5.2.4.
6
DETERMINAZIONE DELL'INCERTEZZA ESTESA
6.1
Introduzione
6.1.1
La raccomandazione INC-1 (1980) del gruppo di lavoro sull'espressione delle incertezze,
su cui è basata la presente guida (vedere introduzione), e le raccomandazioni 1 (CI-1981)
ed 1 (CI-1986) del CIPM, che approvano e riaffermano la INC-1 (1980) (vedere A.2 ed
A.3), raccomandano l'incertezza tipo composta u c (y) quale parametro da usarsi
nell'espressione quantitativa dell'incertezza del risultato di una misurazione. In effetti,
nella seconda delle sue raccomandazioni, il CIPM richiede che quella che viene ora
denominata incertezza tipo composta uc(y) sia usata "da tutti coloro i quali partecipano a
confronti internazionali o altre attività svolte sotto gli auspici del CIPM e dei Comitati
consultivi per esprimerne i risultati."
6.1.2
Sebbene uc(y) possa universalmente essere usata per esprimere l'incertezza del risultato
di una misurazione, in talune applicazioni commerciali, industriali e normative, e là dove
sono coinvolte la salute e la sicurezza pubblica, è sovente necessario dare una
valutazione quantitativa dell'incertezza che definisca un intervallo intorno al risultato della
misurazione che ci si aspetti comprendere una gran parte della distribuzione di valori che
possono essere ragionevolmente attribuiti al misurando. L'esistenza di questa esigenza
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Nota
) s(X )s(X )
fu riconosciuta dal gruppo di lavoro e portò al paragrafo 5 della raccomandazione INC-1
(1980). Essa è anche adombrata nella Raccomandazione 1 (CI-1986) del CIPM.
6.2
Incertezza estesa
6.2.1
La valutazione quantitativa supplementare dell'incertezza che soddisfa il requisito di
fornire un intervallo del tipo indicato in 6.1.2 è denominata incertezza estesa ed è indicata
con U. L'incertezza estesa U viene ottenuta moltiplicando l'incertezza tipo composta uc(y)
per un fattore di copertura k:
U = ku c ( y )
[18]
6.2.2
Le espressioni intervallo di fiducia (C.2.27, C.2.28) e livello di fiducia (C.2.29)
hanno in statistica definizioni specifiche e sono applicabili all'intervallo definito da U
solamente quando siano soddisfatte certe condizioni, tra cui quella che tutte le
componenti dell'incertezza che contribuiscono ad u c (y) siano ottenute mediante
valutazioni di categoria A. Tuttavia nella presente guida il termine "fiducia" non viene
usato per modificare il termine intervallo quando è in relazione con l’intervallo definito da
U; e il termine "intervallo di fiducia" non viene usato in relazione a tale intervallo, ma
piuttosto a "livello di fiducia". Più specificamente, U viene interpretata come definente,
intorno al risultato della misurazione, un intervallo che comprende una gran parte p della
distribuzione di probabilità caratterizzata dal risultato stesso e dalla sua incertezza tipo
composta, e p è la probabilità di copertura o livello di fiducia dell'intervallo.
6.2.3
Ogniqualvolta sia possibile, si dovrebbe stimare e dichiarare il livello di fiducia p associato
con l'intervallo definito da U. Si deve riconoscere che moltiplicare uc(y) per una costante
non aggiunge informazione ma semplicemente presenta l'informazione già disponibile in
forma diversa. Tuttavia, ci si deve anche rendere conto del fatto che nella maggior parte
dei casi il livello di fiducia p (soprattutto per valori di p prossimi ad 1) è incerto, non solo a
causa della limitata conoscenza della distribuzione di probabilità caratterizzata da y e da
uc(y) (particolarmente alle estremità), ma anche a causa dell'incertezza di uc(y) stessa
(vedere nota 2 in 2.3.5 e 6.3.2 e appendice G, specialmente G.6.6).
Nota
Per quanto riguarda i modi preferibili per dichiarare il risultato di una misurazione quando la
valutazione quantitativa dell'incertezza è uc (y) od U , vedere 7.2.2 e 7.2.4 rispettivamente.
6.3
Scelta del fattore di copertura
6.3.1
Il valore del fattore di copertura k viene scelto sulla base del livello di fiducia richiesto
all'intervallo da y − U ad y + U . In generale k è nel campo tra 2 e 3. Tuttavia, per
applicazioni speciali k può essere esterno a questo campo. La scelta del valore
appropriato di k può essere agevolata dall'esperienza e dalla conoscenza approfondita
delle applicazioni alle quali il risultato della misurazione è destinato.
Nota
6.3.2
Ci si imbatte talvolta nel caso che una correzione nota b per un effetto sistematico non sia stata
applicata al risultato dichiarato, e che si sia invece tentato di tenere conto dell'effetto allargando
"l'incertezza" assegnata al risultato. Questa pratica dovrebbe essere evitata; le correzioni per
effetti sistematici noti e significativi possono non essere applicate al risultato della misurazione solo
in casi specialissimi (vedere F.2.4.5 per la trattazione di un caso specifico). La valutazione
dell'incertezza del risultato di una misurazione non deve essere confusa con l'assegnazione di un
limite di sicurezza ad una qualche grandezza.
Idealmente, si vorrebbe poter scegliere un valore specifico del fattore di copertura che
fornisca un intervallo Y = y ± U = y ± ku c ( y ) corrispondente ad un particolare livello di
fiducia p, come 95 o 99 per cento; parimenti, per un valore dato di k, si vorrebbe poter
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Il risultato di una misurazione è allora espresso in modo appropriato come Y = y ± U , nel
senso che la miglior stima del valore attribuibile al misurando Y è y, e che ci si aspetta che
l'intervallo da y − U ad y + U comprenda una gran parte della distribuzione di valori
ragionevolmente attribuibili ad Y. Un intervallo siffatto è anche espresso come
y −U ≤Y ≤ y +U .
stabilire in modo inequivocabile il livello di fiducia associato con l'intervallo. Tuttavia, ciò
non è facile in pratica in quanto richiede la conoscenza approfondita della distribuzione di
probabilità caratterizzata dal risultato della misurazione y e dalla sua incertezza tipo
composta u c (y). Questi parametri, sebbene di importanza cruciale, sono di per sé
insufficienti a stabilire intervalli aventi livelli di fiducia esattamente noti.
6.3.3
La raccomandazione INC-1 (1980) non specifica come debba essere stabilita la relazione
tra k e p. Questo problema è discusso nell'appendice G, ed in G.4 si presenta un metodo
preferenziale per la sua soluzione approssimata, schematizzato in G.6.4. Tuttavia un
metodo più semplice, discusso in G.6.6, è spesso adeguato in situazioni sperimentali in
cui la distribuzione di probabilità caratterizzata da y e da uc(y) è approssimativamente
normale ed i gradi di libertà effettivi sono sufficientemente elevati. In questo caso,
frequente nella pratica, si può ritenere che k = 2 fornisca un intervallo avente un livello di
fiducia approssimativamente del 95 per cento, e che k = 3 fornisca un intervallo avente un
livello di fiducia approssimativamente del 99 per cento.
Un metodo per stimare il numero effettivo di gradi di libertà di uc( y) è riportato in G.4. Si può allora
utilizzare il prospetto G2 dell'appendice G come ausilio per decidere se questa soluzione è
adeguata per una particolare misurazione (vedere G.6.6).
7
DICHIARAZIONE DELL'INCERTEZZA
7.1
Criteri generali
7.1.1
In generale, quanto più si risale la catena gerarchica delle misurazioni, tanto maggiori
sono i dettagli richiesti circa il modo in cui il risultato di una misurazione e la sua incertezza
sono stati ottenuti. Tuttavia, tutte le informazioni necessarie alla rivalutazione a posteriori
della misurazione devono essere disponibili per chi ne abbia necessità. Ciò si deve
verificare a qualunque livello della gerarchia delle misurazioni, comprendendo le attività
commerciali e quelle finalizzate alla loro disciplina, l'attività ingegneristica in campo
industriale, le strutture di taratura dei campioni di livello più basso, la ricerca e lo sviluppo
industriali, la ricerca universitaria, i laboratori di taratura dei campioni di riferimento
industriali, per finire con i laboratori metrologici nazionali ed il BIPM. La differenza
fondamentale è che ai livelli più bassi la maggior parte delle informazioni necessarie
possono essere rese disponibili sotto forma di rapporti di taratura e di sistemi di prova, di
specifiche di prova, di certificati di taratura e di prova, di manuali di istruzioni, di norme
internazionali e nazionali e di regolamenti locali.
7.1.2
Quando i dettagli di una misurazione, comprendenti la valutazione dell'incertezza del
risultato, sono forniti facendo riferimento a documenti pubblicati, come è sovente il caso
quando si riportano i risultati di taratura in un certificato, è imperativo che queste
pubblicazioni siano tenute aggiornate, in modo che siano compatibili con la procedura di
misurazione del momento.
7.1.3
Ogni giorno, nell'industria come nel commercio, si fanno numerose misurazioni prive di
riferimenti all'incertezza. Tuttavia, molte di esse vengono effettuate mediante strumenti
soggetti a taratura periodica o controllo legale. Se si sa che gli strumenti usati sono
conformi alle loro specifiche od ai documenti normativi pertinenti, l'incertezza della loro
indicazione può essere dedotta da queste specifiche o da questi documenti normativi.
7.1.4
Sebbene nella pratica la quantità di informazione necessaria a documentare il risultato di
una misurazione dipenda dall'applicazione cui questo è destinato, il principio
fondamentale su quanto è richiesto rimane inalterato: allorquando si riporta il risultato di
una misurazione e la sua incertezza, è preferibile esagerare piuttosto che risparmiare
sulle informazioni fornite. Per esempio, si dovrebbe
a) descrivere chiaramente i metodi usati per calcolare il risultato della misurazione e la
sua incertezza dalle osservazioni sperimentali e dai dati d'ingresso;
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Nota
b) elencare tutte le componenti di incertezza e documentare in modo esauriente come
esse sono state valutate;
c) presentare l'analisi dei dati in modo tale che ogni passaggio importante possa essere
agevolmente seguito e che il calcolo del risultato riportato possa essere ripetuto in
modo autonomo, se necessario;
d) fornire le correzioni e le costanti utilizzate nell'analisi e le loro fonti.
Un modo di verificare l'elenco qui prodotto è quello di chiedersi "ho fornito informazioni
sufficienti in modo sufficientemente chiaro da permettere di aggiornare il mio risultato
qualora in futuro si rendano disponibili nuove informazioni o nuovi dati?"
7.2
Istruzioni specifiche
7.2.1
Quando si riferisce il risultato di una misurazione, e l'incertezza è espressa mediante
l'incertezza tipo composta uc(y), si deve
a) fornire una descrizione completa di come è definito il misurando Y;
b) fornire la stima y del misurando Y e la sua incertezza tipo composta uc(y); si devono
sempre definire le unità di misura di y e di uc(y);
c) quando opportuno, includere l'incertezza tipo composta relativa u c ( y ) y , y ≠ 0 ;
d) fornire le informazioni specificate in 7.2.7 o fare riferimento ad un documento
pubblicato che le contenga.
Se sono ritenute utili ai potenziali utenti del risultato della misurazione, per esempio per
un futuro calcolo di fattori di copertura o per aiutare la comprensione della misurazione, si
possono indicare le seguenti informazioni
- i gradi di libertà effettivi stimati νeff (vedere G.4);
-
7.2.2
le incertezze tipo composte di categoria A e B u cA ( y ) e ucB ( y ) ed i loro gradi di libertà
effettivi stimati νeffA e νeffB (vedere G.4.1, nota 3).
Quando la valutazione quantitativa dell'incertezza è u c (y), è preferibile dichiarare il
risultato numerico della misurazione in uno dei quattro modi seguenti, così da evitare
interpretazioni errate. (La grandezza di cui si riporta il valore è in questo caso un campione
di massa avente valore nominale 100 g e massa ms; le parole in parentesi possono per
brevità essere omesse se u c è definita in altro luogo del documento che riporta il
risultato).
1) "ms = 100,021 47 g con (incertezza tipo composta) uc = 0,35 mg."
2) "m s = 100,021 47(35) g, dove il numero entro parentesi è il valore numerico di
(dell'incertezza tipo composta) uc riferita alle corrispondenti ultime cifre del risultato
riportato."
3) "ms = 100,021 47(0,000 35) g, dove il numero entro parentesi è il valore numerico di
uc (incertezza tipo composta) espressa nell'unità di misura del risultato riportato."
4) "m s = (100,021 47 ± 0,000 35) g, dove il numero che segue il simbolo ± è il valore
numerico di uc (incertezza tipo composta) e non rappresenta un intervallo di fiducia."
Nota
Si deve evitare per quanto possibile la formulazione mediante il simbolo ± in quanto questa era
tradizionalmente adottata per indicare un intervallo corrispondente ad un livello di fiducia elevato, e
potrebbero sorgere confusioni con l'incertezza estesa (vedere 7.2.4). Inoltre, benché lo scopo
dell'avvertimento in 4) sia proprio quello di evitare tale confusione, la scrittura Y = y ± u c ( y )
potrebbe ancora essere fraintesa lasciando intendere, specie se si omette l'avvertimento, che si
faccia riferimento ad una incertezza estesa con k = 1 e che l'intervallo y − u c ( y ) ≤ Y ≤ y + u c ( y )
abbia un livello di fiducia p specifico, nella fattispecie quello associato con la distribuzione normale
(vedere G.1.3). Come indicato in 6.3.2 e nell'appendice G, l'interpretazione di u c ( y) in questo
senso è di regola difficile da giustificarsi.
7.2.3
Quando si riferisce il risultato di una misurazione, e quando la valutazione quantitativa
dell'incertezza è l'incertezza estesa U = kuc(y), si deve
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a) fornire una descrizione completa di come è definito il misurando Y;
b) dichiarare il risultato della misurazione nella forma Y = y ± U e fornire altresì le unità di
misura di y ed U ;
c) includere, quando opportuno, l'incertezza estesa relativa U y , y ≠ 0;
d) fornire il valore di k usato per ottenere U [o, per maggiore comodità dell'utente, dare
sia k sia uc(y)];
e) indicare il livello di fiducia approssimato associato all'intervallo y ± U e specificare in
quale modo esso è stato ottenuto;
f) fornire le informazioni specificate in 7.2.7 o fare riferimento ad un documento
pubblicato che le contenga.
7.2.4
Quando la valutazione quantitativa dell'incertezza è U, è preferibile, per amore di
chiarezza, indicare il risultato numerico della misurazione secondo l'esempio seguente.
(Le parole entro parentesi possono essere omesse per brevità se U, uc e k sono definiti
in altra parte del documento che riporta il risultato).
"m s = (100,021 47 ± 0,000 79) g, dove il numero che segue il simbolo ± è il valore
numerico di (un'incertezza estesa) U = ku c, con U determinata da (un'incertezza tipo
composta) uc = 0,35 mg e da (un fattore di copertura) k = 2,26, basato sulla distribuzione t
per ν = 9 gradi di libertà, e definisce un'intervallo che si stima avere un livello di fiducia del
95 per cento."
7.2.5
Se una misurazione determina simultaneamente più di un misurando, se cioè fornisce
due o più stime d'uscita y i (vedere H.2, H.3 ed H.4), si indichino allora, oltre ad y i ed
uc(yi), gli elementi della matrice di varianza e covarianza u(yi,yj ) o gli elementi r (yi,yj ) della
matrice dei coefficienti di correlazione (C.3.6, nota 2) (e preferibilmente entrambi).
7.2.6
I valori numerici della stima y e della sua incertezza tipo uc(y) o dell'incertezza estesa U
non devono essere indicati con un numero eccessivo di cifre significative. È di regola
sufficiente riportare uc(y) ed U [così come le incertezze tipo u(xi) delle stime d'ingresso xi]
con due cifre significative, sebbene sia talvolta opportuno conservare ulteriori cifre per
evitare errori di arrotondamento nei calcoli successivi.
Quando si riportano i risultati finali, può essere appropriato arrotondare le incertezze per
eccesso piuttosto che alla cifra più vicina. Così, per esempio, u c(y) = 10,47 mΩ sarà
arrotondato a 11 mΩ. Tuttavia è bene lasciarsi guidare dal buon senso, cosicché un
valore come u(xi) = 28,05 kHz sarà arrotondato per difetto a 28 kHz. Le stime d'ingresso e
d'uscita saranno arrotondate in modo da armonizzarsi con le proprie incertezze; per
esempio, se y = 10,057 62 Ω e uc(y) = 27 mΩ, allora y sarà arrotondato a 10,058 Ω. I
coefficienti di correlazione dovrebbero essere scritti con tre cifre significative se i loro
valori assoluti sono prossimi a 1.
7.2.7
Nel rapporto che descrive in dettaglio come si sono ottenuti il risultato di una misurazione
e la sua incertezza, si dovrebbero seguire le raccomandazioni di 7.1.4 e, quindi, fornire:
a) i valori di ciascuna stima d'ingresso xi e della corrispondente incertezza tipo u(xi),
insieme con la descrizione di come sono stati ottenuti;
b) le covarianze stimate o i coefficienti di correlazione stimati (e preferibilmente entrambi)
associati a tutte le stime d'ingresso eventualmente correlate, ed i metodi seguiti per
ottenerli;
c) i gradi di libertà per l'incertezza tipo di ciascuna stima d'ingresso ed il metodo con il
quale sono stati calcolati;
d) la relazione funzionale Y = f (X 1, X 2 , . . . , X N ) e, quando opportuno, le derivate
parziali o coefficienti di sensibilità ∂f ∂x i . Si dovrebbe tuttavia sempre indicare un
coefficiente di questo tipo, quando sia stato ottenuto per via sperimentale.
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Nota
8
Poiché la relazione funzionale f può essere estremamente complessa o addirittura non esistere in
forma esplicita, ma solamente sotto forma di un programma di calcolo, non sempre può essere
possibile indicare f e le sue derivate. La funzione f può allora essere descritta in termini generali, o
si può citare il programma usato mediante un'opportuno riferimento. In tali casi è importante
chiarire come si sono ottenute la stima y del misurando Y e la sua incertezza tipo composta uc( y).
RIASSUNTO DELLA PROCEDURA PER LA VALUTAZIONE E LA DICHIARAZIONE
DELL'INCERTEZZA
I passi da seguire per la valutazione e la dichiarazione dell'incertezza del risultato di una
misurazione, presentati nella presente guida, possono essere riassunti come segue:
1) Si esprima matematicamente la relazione tra il misurando Y e le grandezze d'ingresso
Xi da cui Y dipende: Y = f (X 1, X 2 , . . . , X N ) . La funzione f dovrebbe contenere ogni
grandezza, comprese tutte le correzioni ed i fattori di correzione, che possa
contribuire con una componente significativa all'incertezza del risultato della
misurazione (vedere 4.1.1 e 4.1.2).
2) Si determini xi, il valore stimato della grandezza d'ingresso Xi, sulla base dell'analisi
statistica di serie di osservazioni o mediante altri metodi (vedere 4.1.3).
3) Si valuti l'incertezza tipo u(xi) di ciascuna stima d'ingresso xi. Per una stima d'ingresso
ottenuta sulla base dell'analisi statistica di serie di osservazioni, l'incertezza tipo è
valutata secondo quanto descritto in 4.2 (valutazione di categoria A dell'incertezza
tipo). Per una stima d'ingresso ottenuta con altri metodi, l'incertezza tipo u(x i) è
valutata secondo quanto descritto in 4.3 (valutazione di categoria B dell'incertezza
tipo).
4) Si valutino le covarianze associate alle stime d'ingresso eventualmente correlate
(vedere 5.22).
5) Si calcoli il risultato della misurazione, vale a dire la stima y del misurando Y, dalla
relazione funzionale f usando, per le grandezze d'ingresso Xi, le corrispondenti stime
xi determinate al passo 2) (vedere 4.1.4).
6) Si determini l'incertezza tipo composta uc(y) del risultato della misurazione y dalle
incertezze tipo e dalle covarianze associate alle stime d'ingresso, come descritto in 5.
Se la misurazione determina simultaneamente più di una stima d'uscita, se ne
calcolino le covarianze (vedere 7.2.5, H.2, H.3 ed H.4).
7) Se è necessario dare un'incertezza estesa U, con l'intendimento di fornire
un'intervallo compreso tra y − U ed y + U che ci si aspetti contenere una grande
porzione della distribuzione di valori ragionevolmente attribuibili al misurando Y, si
moltiplichi l'incertezza tipo composta uc(y) per un fattore di copertura k, tipicamente
compreso tra 2 e 3, in modo da ottenere U = kuc(y). Si scelga k sulla base del livello di
fiducia richiesto per l'intervallo (vedere 6.2, 6.3 e specialmente l'appendice G, in cui si
discute la selezione di un valore di k che dà origine ad un intervallo avente un livello di
fiducia prossimo ad un valore specificato).
8) Si riporti il risultato della misurazione y con la sua incertezza tipo composta uc(y), o la
sua incertezza estesa U, come discusso in 7.2.1 e 7.2.3; si usi uno dei modi
raccomandati in 7.2.2 e 7.2.4. Si descriva, secondo quanto delineato in 7, come si
sono ottenuti y ed uc(y), o U.
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APPENDICE A
RACCOMANDAZIONI DEL GRUPPO DI LAVORO E DEL CIPM
A.1
RACCOMANDAZIONE INC-1 (1980)
Il Gruppo di lavoro sull'espressione delle incertezze (vedere premessa) venne convocato
nell'ottobre 1980 dal Bureau International des Poids et Mesures (BIPM) dietro istanza del
Comité International des Poids et Mesures (CIPM). Esso preparò un rapporto dettagliato
per il CIPM che si concludeva con la Raccomandazione INC-1 (1980) [2]. La traduzione
italiana di questa Raccomandazione è in 0.7, ed il testo francese, che ha valore ufficiale, è
qui riprodotto [2]:
Expression des incertitudes expérimentales
Recommandation INC-1 (1980)
L'incertitude d'un résultat de mesure comprend généralement plusieurs
composantes qui peuvent être groupées en deux catégories d'après la méthode
utilisée pour estimer leur valeur numérique:
A celles qui sont évaluées à l'aide de méthodes statistiques,
B celles qui sont évaluées par d'autres moyens.
Il n'y a pas toujours une correspondance simple entre le classement dans les catégories
A ou B et le caractère "aléatoire" ou "systématique" utilisé antérieurement pour classer
les incertitudes. L'expression "incertitude systématique" est susceptible de conduire à
des erreurs d'interprétation; elle doit être évitée.
Toute description détaillée de l'incertitude devrait comprendre une liste complète de ses
composantes et indiquer pour chacune la méthode utilisée pour lui attribuer une valeur
numérique.
1
2
Les composantes de la catégorie A sont caractérisées par les variances estimées s i2
(ou les "écarts-types" estimés si ) et les nombres νi de degrés de liberté. Le cas
échéant, les covariances estimées doivent être données.
3
Les composantes de la catégorie B devraient être caractérisées par des termes u2j qui
puissent être considérés comme des approximations des variances correspondantes
dont on admet l'existence. Les termes u2j peuvent être traités comme des variances
et les termes u j comme des écarts-types. Le cas échéant, les covariances doivent
être traitées de façon analogue.
L'incertitude composée devrait être caractérisée par la valeur obtenue en appliquant
la méthode usuelle de combinaison des variances. L'incertitude composée ainsi que
ses composantes devraient être exprimées sous la forme d'"écart-types".
Si pour des utilisations particulières on est amené à multiplier par un facteur
l'incertitude composée afin d'obtenir une incertitude globale, la valeur numérique de
ce facteur doit toujours être donnée.
4
5
A.2
RACCOMANDAZIONE 1 (CI-1981)
Il CIPM esaminò il rapporto sottopostogli dal Gruppo di lavoro sull'espressione delle
incertezze e adottò la seguente raccomandazione nel corso della sua 70a riunione,
tenutasi nell'ottobre 1981 [3]:
Raccomandazione 1 (CI-1981)
Espressione delle incertezze sperimentali
Il Comitato Internazionale dei Pesi e delle Misure
considerato
- la necessità di trovare un modo concordato per esprimere l'incertezza di misura in
metrologia,
- lo sforzo dedicato a questo scopo da svariate organizzazioni nel corso di molti anni,
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gli incoraggianti progressi compiuti verso una soluzione accettabile, come risulta dalle
discussioni del Gruppo di lavoro sull'espressione delle incertezze riunitosi al BIPM nel
1980,
riconosce
- che le proposte del Gruppo di lavoro potrebbero costituire la base di un accordo
sull'espressione delle incertezze,
raccomanda
- che le proposte del Gruppo di lavoro abbiano la massima diffusione;
- che il BIPM si adoperi per l'applicazione dei principi ivi enunciati nei confronti
internazionali condotti sotto i suoi auspici negli anni futuri;
- che altre organizzazioni interessate siano incoraggiate ad esaminare e provare
queste proposte e comunichino i loro commenti al BIPM;
- che entro due o tre anni il BIPM relazioni circa l'applicazione di tali proposte.
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-
A.3
RACCOMANDAZIONE 1 (CI-1986)
Il CIPM riconsiderò la questione dell'espressione delle incertezze nel corso della sua 75a
riunione tenutasi nell'ottobre 1986 e adottò la seguente raccomandazione [4]:
Raccomandazione 1 (CI-1986)
Espressione delle incertezze nell'attività condotta sotto gli auspici del CIPM
Il Comitato Internazionale dei Pesi e delle Misure,
considerata l'adozione della Raccomandazione INC-1 (1980) da parte del Gruppo di
lavoro sull'espressione delle incertezze e della Raccomandazione 1 (CI-1981) da parte
del CIPM,
considerando che taluni membri di Comitati Consultivi possono desiderare
delucidazioni in merito a detta raccomandazione per quanto attiene alle attività che
ricadono entro la loro sfera di competenza, specialmente i confronti internazionali,
riconosce che il punto 5 della raccomandazione INC-1 (1980) relativo ad applicazioni
particolari, specialmente a quelle di interesse commerciale, è in corso di esame da parte di
un gruppo di lavoro dell'Organizzazione Internazionale di Normazione (ISO), comune ad
ISO, OIML e IEC, con il concorso e la cooperazione del CIPM,
richiede che il punto 4 della Raccomandazione INC-1 (1980) sia applicato da tutti i
partecipanti nel fornire i risultati di tutti i confronti internazionali o altre attività svolte sotto
gli auspici del CIPM e dei Comitati Consultivi, e che dunque l'incertezza composta
mediante le incertezze di categoria A e B sia dichiarata in termini di uno scarto tipo.
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TERMINI METROLOGICI GENERALI
B.1
FONTE DELLE DEFINIZIONI
Le definizioni qui riportate dei termini metrologici generali di interesse della presente
guida sono tratte dal Vocabolario Internazionale dei termini fondamentali e generali in
metrologia (abbreviato in VIM), seconda edizione [6], pubblicato dall’Organizzazione
Internazionale di Normazione (ISO) a nome delle sette organizzazioni che appoggiarono
lo sviluppo e nominarono gli esperti per la sua elaborazione: Ufficio Internazionale dei
Pesi e delle Misure (BIPM), la Commissione Elettrotecnica Internazionale (IEC),
Federazione Internazionale di Chimica Clinica (IFCC), ISO, Unione Internazionale di
Chimica Pura ed Applicata (IUPAC), Unione Internazionale di Fisica Pura ed Applicata
(IUPAP) e Organizzazione Internazionale di Metrologia Legale (OIML). Il VIM costituisce la
fonte di riferimento per le definizioni di termini non compresi qui e nell'intero testo.
Nota
B.2
Alcuni termini e concetti statistici fondamentali vengono definiti nell’appendice C. Le espressioni
“valore vero”, “errore” ed “incertezza” sono discusse più approfonditamente nell’appendice D.
DEFINIZIONI
Anche qui, come in 2, si conviene di mettere entro parentesi, nelle definizioni seguenti,
quelle parole o espressioni che si possono facoltativamente omettere se ciò non è fonte
di equivoci.
Gli eventuali termini in grassetto nelle note sono termini metrologici supplementari ivi
definiti, implicitamente o esplicitamente (vedere riferimento [6]).
B.2.1
grandezza (misurabile) [VIM 1.1]
attributo d'un fenomeno, d'un corpo o d'una sostanza, che può essere distinto
qualitativamente e determinato quantitativamente.
Nota 1
Il termine “grandezza” può essere riferito ad una grandezza in senso generale [vedere esempi a)]
oppure ad una grandezza in senso determinato [vedere esempi b)].
Esempi
a) grandezze in senso generale: lunghezza, tempo, massa, temperatura, resistenza
elettrica, concentrazione di quantità di sostanza;
b) grandezze in senso determinato:
- lunghezza di una data barra
- resistenza elettrica di un dato campione di filo
- concentrazione di quantità di sostanza di etanolo in un dato campione di vino.
Nota 2
Le grandezze che si possono ordinare in ordine di grandezza l'una rispetto all'altra sono chiamate
grandezze della stessa specie .
Nota 3
Le grandezze possono essere raggruppate insieme in categorie di grandezze, per esempio:
- lavoro, calore, energia
- spessore, circonferenza, lunghezza d'onda.
Nota 4
B.2.2
Simboli per grandezze sono indicati nella ISO 31.
valore (di una grandezza) [VIM 1.18]
espressione quantitativa di una grandezza in senso determinato, generalmente in forma
di una unità di misura moltiplicata per un numero.
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APPENDICE B
a) lunghezza di una barra
b) massa di un corpo
c) quantità di sostanza di
un campione d'acqua (H2O):
5,34 m
0,152 kg
o
o
534 cm;
152 g;
0,012 mol
o
12 mmol.
Nota 1
Il valore di una grandezza può essere positivo, negativo o nullo.
Nota 2
Il valore di una grandezza può essere espresso in più modi.
Nota 3
I valori delle grandezze di dimensione uno sono generalmente espressi come numeri puri.
Nota 4
Una grandezza che non possa essere espressa come un'unità di misura moltiplicata per un
numero può venire espressa con riferimento a una scala convenzionale di riferimento o ad un
procedimento di misurazione o ad ambedue.
B.2.3
valore vero (di una grandezza) [VIM 1.19]
valore compatibile con la definizione di una data grandezza in senso determinato.
Nota 1
Esso è un valore che sarebbe ottenuto da una misurazione perfetta.
Nota 2
I valori veri sono per natura indeterminati.
Nota 3
In connessione a "valore vero" si usa l'articolo indeterminativo "un" piuttosto che l'articolo
determinativo "il" perché vi possono essere diversi valori compatibili con la definizione di una data
grandezza in senso determinato.
Commento della guida: si veda nell’appendice D, in particolare D.3.5, per quali ragioni
nella guida non si usa il termine “valore vero” e si considerano equivalenti le espressioni
“valore vero di un misurando” (o di una grandezza) e “valore di un misurando”.
B.2.4
valore convenzionalmente vero (di una grandezza) [VIM 1.20]
valore attribuito ad una grandezza in senso determinato ed accettato, a volte per
convenzione, come avente un'incertezza adatta per un dato scopo.
Esempi
a) in un dato luogo, si può prendere come valore convenzionalmente vero il valore
assegnato alla grandezza realizzata da un campione di riferimento;
b) il valore raccomandato da CODATA (1986) per la costante d'Avogadro,
6,022 136 7 × 1023 mol-1.
Nota 1
Il “valore convenzionalmente vero” è a volte denominato valore assegnato , miglior stima del
valore, valore convenzionale o valore di riferimento . Il termine "valore di riferimento" usato in
questo senso non dev'essere confuso con lo stesso termine usato nel senso della nota a) [VIM
5.7].
Nota 2
Spesso per stabilire un valore convenzionalmente vero si utilizza un certo numero di risultati di
misurazione di una grandezza.
Commento della guida: vedere commento in B.2.3.
B.2.5
misurazione [VIM 2.1]
insieme di operazioni che ha lo scopo di determinare un valore di una grandezza.
Nota
B.2.6
Tali operazioni possono essere effettuate automaticamente.
principio di misurazione [VIM 2.3]
base scientifica di una misurazione.
Esempi
a) l'effetto termoelettrico usato per le misurazioni di temperatura;
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Esempi
b) l'effetto Josephson usato per le misurazioni di tensione;
c) l'effetto Doppler usato per le misurazioni di velocità;
d) l'effetto Raman usato per le misurazioni del numero d'onda di vibrazioni molecolari.
B.2.7
metodo di misurazione [VIM 2.4]
sequenza logica di operazioni, descritte in termini generali, usate per effettuare una
misurazione.
Nota
Il metodo di misurazione può essere qualificato in diversi modi come:
- metodo di sostituzione;
- metodo differenziale;
- metodo di zero.
B.2.8
procedimento di misurazione [VIM 2.5]
insieme delle operazioni, descritte in termini dettagliati, usate per effettuare determinate
misurazioni secondo un dato metodo.
Nota
B.2.9
Il procedimento di misurazione è di solito registrato in un documento che a volte è chiamato esso
stesso "procedura di misurazione" (o metodo di misurazione) e di solito è abbastanza dettagliato
da permettere ad un operatore di effettuare una misurazione senza bisogno di ulteriori
informazioni.
misurando [VIM 2.6]
grandezza in senso determinato sottoposta a misurazione.
Esempio
pressione di vapore di un dato campione d'acqua a 20 °C.
Nota
B.2.10
La specificazione di un misurando può richiedere indicazioni su grandezze come tempo,
temperatura e pressione.
grandezza d'influenza [VIM 2.7]
grandezza che non è il misurando ma che altera il risultato della misurazione.
Esempi
a) temperatura di un micrometro usato per misurare lunghezze;
b) frequenza nella misurazione dell'ampiezza di una tensione elettrica alternata;
c) concentrazione di bilirubina nella misurazione di concentrazione di emoglobina in un
campione di plasma sanguigno umano.
Commento della guida: la definizione di grandezza d’influenza comprende implicitamente
valori associati a campioni di misura, materiali e dati di riferimento da cui possa dipendere il
risultato della misurazione, così come fenomeni quali fluttuazioni a breve termine dello
strumento di misura e grandezze quali la temperatura ambiente, la pressione atmosferica
e l’umidità.
B.2.11
risultato di una misurazione [VIM 3.1]
valore attribuito ad un misurando, ottenuto mediante misurazione.
Nota 1
Quando si dà un risultato, occorre chiarire se ci si riferisce:
- all'indicazione
- al risultato bruto
- al risultato corretto
e se è stata effettuata una media su diversi valori.
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Nota 2
B.2.12
Un'espressione completa del risultato di una misurazione comprende informazioni sull'incertezza
di misura.
risultato bruto [VIM 3.3]
risultato di una misurazione prima della correzione dell'errore sistematico.
B.2.13
risultato corretto [VIM 3.4]
risultato di una misurazione dopo la correzione dell'errore sistematico.
B.2.14
accuratezza di misura [VIM 3.5]
grado di concordanza tra il risultato di una misurazione e un valore vero del misurando.
Nota 1
"Accuratezza" è un concetto qualitativo.
Nota 2
Il termine precisione non deve essere usato per "accuratezza".
Commento della Guida: vedere commento in B.2.3.
B.2.15
ripetibilità (dei risultati di misurazione) [VIM 3.6]
grado di concordanza tra i risultati di successive misurazioni dello stesso misurando
effettuate nelle stesse condizioni di misura.
Nota 1
Queste condizioni sono denominate condizioni di ripetibilità.
Nota 2
Le condizioni di ripetibilità comprendono:
- lo stesso procedimento di misurazione
- lo stesso strumento di misura utilizzato nelle stesse condizioni
- lo stesso luogo
- ripetizione entro un breve periodo di tempo.
Nota 3
B.2.16
La ripetibilità può essere espressa quantitativamente in termini delle caratteristiche di dispersione
dei risultati.
riproducibilità (dei risultati di misurazione) [VIM 3.7]
grado di concordanza tra i risultati di misurazioni dello stesso misurando effettuate
cambiando le condizioni di misura.
Nota 1
Perché un'espressione della riproducibilità sia valida è necessario specificare le condizioni che
sono state fatte variare.
Nota 2
Le condizioni che possono essere variate comprendono:
- il principio di misurazione;
- il metodo di misurazione;
- l'osservatore;
- lo strumento per misurazione;
- il campione di riferimento;
- il luogo;
- le condizioni di utilizzazione;
- la data.
Nota 3
La riproducibilità può essere espressa quantitativamente in termini delle caratteristiche di
dispersione dei risultati.
Nota 4
I risultati qui considerati sono di regola i risultati corretti.
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- lo stesso osservatore
B.2.17
scarto tipo sperimentale [VIM 3.8]
il parametro s(qk) che per una serie di n misurazioni dello stesso misurando caratterizza la
dispersione dei risultati ed è dato dalla formula:
∑ (q k − q )
n
s (q k ) =
k =1
2
n −1
dove qk è il risultato della k-esima misurazione e q è la media aritmetica degli n risultati
considerati.
Nota 1
Considerando la serie di n valori come un campione di una distribuzione, q è una stima imparziale
della media µq , e s (qk) è una stima imparziale della varianza σ di tale distribuzione.
2
Nota 3
L'espressione s (q k ) n è una stima dello scarto tipo della distribuzione di q ed è denominata
scarto tipo sperimentale della media .
A volte lo scarto tipo sperimentale della media viene denominato erroneamente errore standard
della media.
Commento della guida: si sono cambiati alcuni dei simboli usati nel VIM, per salvare la
compatibilità con le notazioni usate in 4.2 della presente guida.
B.2.18
incertezza (di misura) [VIM 3.9]
parametro, associato al risultato di una misurazione, che caratterizza la dispersione dei
valori ragionevolmente attribuibili al misurando.
Nota 1
Il parametro può essere, per esempio, uno scarto tipo (o un suo multiplo dato), o la semiampiezza
di un intervallo avente un livello di fiducia stabilito.
Nota 2
L'incertezza di misura, in generale, comprende più componenti. Talune di queste possono essere
valutate dalla distribuzione statistica dei risultati di serie di misurazioni e possono dunque essere
caratterizzate mediante scarti tipo sperimentali. Le altre componenti, anch'esse caratterizzabili
mediante scarti tipo, sono valutate da distribuzioni di probabilità ipotizzate sulla base
dell'esperienza o di informazioni di altro tipo.
Nota 3
S’intende che il risultato della misurazione è la migliore stima del valore del misurando, e che tutte
le componenti dell'incertezza, comprese quelle determinate da effetti sistematici, quali quelle
associate a correzioni e campioni di riferimento, contribuiscono alla dispersione.
Commento della guida: nel VIM si evidenzia che questa definizione e relative note sono
identiche a quelle della presente guida (vedere 2.2.3).
B.2.19
errore (di misura) [VIM 3.10]
risultato di una misurazione meno un valore vero del misurando.
Nota 1
Dato che un valore vero non si può determinare, in pratica si usa un valore convenzionalmente
vero (vedere [VIM] 1.19 [B.2.3] e 1.20 [B.2.4]).
Nota 2
Quando è necessario distinguere tra "errore" ed "errore relativo", il primo è talvolta chiamato
errore assoluto della misura. Non bisogna confondere questo termine con il valore assoluto
dell'errore , che è il modulo dell'errore.
Commento della guida: se il risultato di una misurazione dipende dai valori di grandezze
diverse dal misurando, gli errori dei valori misurati di queste grandezze contribuiscono
all’errore del risultato della misurazione. Vedere anche il Commento della guida in B.2.22
ed in B.2.3.
B.2.20
errore relativo [VIM 3.12]
errore della misura diviso per un valore vero del misurando.
Nota
Dato che un valore vero non si può determinare, in pratica si usa un valore convenzionalmente
vero (vedere [VIM] 1.19 [B.2.3] e 1.20 [B.2.4]).
Commento della guida: vedere Commento della guida in B.2.3.
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Nota 2
2
B.2.21
errore casuale [VIM 3.13]
risultato di una misurazione meno la media che risulterebbe da un numero infinito di
misurazioni dello stesso misurando effettuate sotto condizioni di ripetibilità.
Nota 1
L'errore casuale è uguale all'errore meno l'errore sistematico.
Nota 2
Poiché si può eseguire solo un numero finito di misurazioni, è possibile determinare soltanto una
stima dell'errore casuale.
Commento della guida: vedere Commento della guida in B.2.22.
B.2.22
errore sistematico [VIM 3.14]
media che risulterebbe da un numero infinito di misurazioni dello stesso misurando,
effettuate sotto condizioni di ripetibilità, meno un valore vero del misurando.
Nota 1
L'errore sistematico è uguale all'errore meno l'errore casuale.
Nota 2
Come il valore vero, l'errore sistematico e le sue cause non possono essere conosciuti
completamente.
Nota 3
Per uno strumento per misurazione vedere "errore sistematico strumentale" ([VIM] 5.25).
Commento della guida: l’errore del risultato di una misurazione (vedere B.2.19) può
sovente essere considerato come risultante da una varietà di effetti casuali e sistematici
ognuno dei quali contribuisce all’errore stesso mediante una singola componente di
errore. Vedere anche il Commento della guida in B.2.19 e in B.2.3.
B.2.23
correzione [VIM 3.15]
valore aggiunto algebricamente al risultato bruto di una misurazione per compensare
l'errore sistematico.
Nota 1
La correzione è uguale all'errore sistematico stimato cambiato di segno.
Nota 2
Dato che l'errore sistematico non può essere conosciuto perfettamente, la compensazione non
può essere completa.
B.2.24
fattore di correzione [VIM 3.16]
fattore numerico per il quale il risultato bruto di una misurazione viene moltiplicato per
compensare l'errore sistematico.
Nota
Dato che l'errore sistematico non può essere conosciuto perfettamente, la compensazione non
può essere completa.
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APPENDICE C
TERMINI E CONCETTI STATISTICI FONDAMENTALI
C.1
FONTE DELLE DEFINIZIONI
Le definizioni dei termini statistici fondamentali date nella presente appendice sono tratte
dalla norma internazionale ISO 3534-1 [7], che dovrebbe essere il documento di
riferimento per le definizioni dei termini qui non inclusi. Per facilitare l'uso della guida,
alcuni di tali termini e dei concetti su cui essi si fondano sono spiegati in C.3,
successivamente alla loro definizione formale in C.2. Tuttavia il punto C.3, che
comprende anche la definizione di alcuni termini necessari alla comprensione, non è
basato direttamente sulla ISO 3534-1.
C.2
DEFINIZIONI
Come nel punto 2 della guida e nell'appendice B, le parole che compaiono tra parentesi
nelle definizioni possono essere omesse se ciò non ingenera confusione.
I termini da C.2.1 a C.2.14 sono definiti in termini di proprietà delle popolazioni. Le
definizioni dei termini da C.2.15 a C.2.31 sono riferite ad un insieme di osservazioni
(vedere riferimento [7]).
C.2.1
probabilità [ISO 3534-1, 1.1]
Numero reale compreso tra 0 ed 1, associato ad un evento casuale.
Nota
C.2.2
Può essere riferita alla frequenza relativa a lungo termine o al grado di fiducia nel verificarsi
dell'evento. Per un alto grado di fiducia la probabilità è prossima ad 1.
variabile casuale; variabile aleatoria [ISO 3534-1, 1.2]
Variabile che può assumere un valore qualsiasi di un insieme assegnato di valori, a cui è
associata una distribuzione di probabilità ([ISO 3534-1] 1.3 [C.2.3]).
Nota 1
Una variabile casuale che può assumere solamente valori isolati è detta "discreta". Una variabile
casuale che può assumere un valore qualsiasi entro un intervallo finito o infinito è detta "continua".
Nota 2
La probabilità di un evento A è indicata con Pr(a) o con P (A).
Commento della guida: qui si usa Pr(a) in luogo del simbolo Pr(A) usato nella ISO 3534-1.
C.2.3
distribuzione di probabilità (di una variabile casuale) [ISO 3534-1, 1.3]
Funzione che dà la probabilità che una variabile casuale assuma un qualunque valore
dato o appartenga ad un insieme dato di valori.
--``,`,,,,,,``,`,,,,,,`,,``,`,,`-`-`,,`,,`,`,,`---
Nota
C.2.4
La probabilità associata all'intero insieme di valori della variabile casuale è uguale a 1.
funzione cumulativa [ISO 3534-1, 1.4]
Funzione che dà, per ogni valore x, la probabilità che la variabile casuale X sia minore o
uguale a x:
F (x ) = Pr (X ≤ x )
C.2.5
funzione di densità di probabilità (per una variabile casuale continua) [ISO 3534-1, 1.5]
Derivata, (quando esiste,) della funzione cumulativa:
f (x ) = dF (x ) dx
Nota
f (x )d x è "l'elemento di probabilità":
f (x )d x = Pr(x < X < x + d x)
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C.2.6
Funzione di probabilità (o di massa) [ISO 3534-1, 1.6]
Funzione che dà, per ogni valore xi di una variabile casuale discreta X, la probabilità p i
che la variabile casuale sia uguale ad xi :
p i = Pr(X = x i )
C.2.7
parametro [ISO 3534-1, 1.12]
Grandezza utilizzata per descrivere la distribuzione di probabilità di una variabile casuale.
C.2.8
correlazione [ISO 3534-1, 1.13]
Relazione tra due o più variabili casuali all'interno di una distribuzione di due o più variabili
casuali.
Nota
C.2.9
La maggior parte delle valutazioni statistiche della correlazione misura l'intensità della relazione
solo per un modello lineare.
speranza matematica (di una variabile casuale o di una distribuzione di probabilità); valore
atteso; media [ISO 3534-1, 1.18]
1
Per una variabile casuale discreta X che assuma i valori x i con probabilità p i, la
speranza matematica, se esiste, è
µ = E (X ) =
∑p x
i
i
dove la sommatoria è estesa a tutti i valori xi che possono essere assunti da X.
Per una variabile casuale continua X avente la funzione di densità di probabilità f (x ) ,
la speranza matematica, se esiste, è
2
µ = E (X ) = ∫ xf (x )dx
dove l'integrale è esteso all'intervallo, o intervalli, di variazioni di X.
C.2.10
variabile casuale centrata [ISO 3534-1, 1.21]
Variabile casuale la cui speranza matematica è uguale a zero.
Nota
C.2.11
Se la variabile casuale X ha una speranza matematica uguale a µ , la variabile casuale centrata
corrispondente è (X - µ).
varianza (di una variabile casuale o di una distribuzione di probabilità) [ISO 3534-1, 1.22]
Speranza matematica del quadrato della variabile casuale centrata ([ISO 3534-1] 1.21
[C.2.10]).
{[
]2 }
C.2.12
scarto tipo (di una variabile casuale o di una distribuzione di probabilità) [ISO 3534-1, 1.23]
Radice quadrata positiva della varianza:
σ = V (X )
C.2.13
momento centrale1) di ordine q [ISO 3534-1, 1.28]
--``,`,,,,,,``,`,,,,,,`,,``,`,,`-`-`,,`,,`,`,,`---
σ 2 = V (X ) = E X − E (X )
In una distribuzione univariata, la speranza matematica della potenza q-esima della
variabile casuale centrata (X - µ):
[
E (X − µ )
q
]
1) Se, nella definizione dei momenti, alle grandezze X, X - a, Y, Y - b, eccetera si sostituiscono i loro valori assoluti, vale
a dire |X|, |X - a|, |Y|, |Y - b|, eccetera, vengono definiti altri momenti denominati "momenti assoluti".
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Nota
C.2.14
Il momento centrale di ordine 2 è la varianza ([ISO 3534-1] 1.22 [C.2.11]) della variabile casuale X.
distribuzione normale; distribuzione di Laplace-Gauss [ISO 3534-1, 1.37]
Distribuzione di probabilità di una variabile casuale continua X la cui funzione di densità di
probabilità è
f (x ) =
 1  x − µ  2
1
exp − 
 
σ 2π
 2 σ  
per -∞ < x < ∞ .
Nota
C.2.15
µ è la speranza matematica e σ è lo scarto tipo della distribuzione normale.
caratteristica [ISO 3534-1, 2.2]
Proprietà che permette di identificare o differenziare gli elementi di una data popolazione.
Nota
C.2.16
La caratteristica può essere, quantitativa (per variabili) o qualitativa (per attributi).
popolazione [ISO 3534-1, 2.3]
C.2.17
Nel caso di una variabile casuale, si prende in considerazione la distribuzione di probabilità (per
definire la popolazione di tale variabile [ISO 3534-1] 1.3 [C.2.3]).
frequenza [ISO 3534-1, 2.11]
Numero di volte che un dato evento si verifica o numero di osservazioni che cadono
entro una classe specificata.
C.2.18
distribuzione di frequenza [ISO 3534-1, 2.15]
Relazione empirica tra i valori di una caratteristica e le loro frequenze o le loro frequenze
relative.
Nota
C.2.19
La distribuzione può essere presentata graficamente sottoforma di un istogramma ([ISO 3534-1]
2.17), di un grafico a barre ([ISO 3534-1] 2.18), di un poligono di frequenza cumulativa
([ISO 3534-1] 2.19) o di una tabella di frequenza a doppia entrata ([ISO 3534-1] 2.22).
media aritmetica; media [ISO 3534-1, 2.26]
Somma dei valori divisa per il loro numero.
Nota 1
Il termine inglese "mean" è utilizzato generalmente in riferimento ad un parametro della
popolazione ed il termine "average" in riferimento al risultato di un calcolo sui dati ottenuti in un
campione.
Nota 2
La media di un campione casuale semplice estratto da una popolazione è uno stimatore non
viziato della media di questa popolazione. Tuttavia si usano talvolta altri stimatori, quali la media
geometrica o armonica, la mediana o la moda.
C.2.20
varianza [ISO 3534-1, 2.33]
Misura della dispersione, definita come somma dei quadrati degli scarti delle osservazioni
rispetto alla loro media aritmetica, divisa per il numero delle osservazioni meno uno.
Esempio
Per n osservazioni x1, x2, . . . , xn con media
x = (1 n )∑ x i
la varianza è
1
s2 =
∑ xi − x
n −1
(
Nota 1
)
2
La varianza campionaria è uno stimatore non viziato della varianza della popolazione.
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Totalità di elementi presi in considerazione.
Nota
Nota 2
La varianza è n (n − 1) volte il momento centrale di ordine 2 (vedere nota alla [ISO 3534-1] 2.39).
Commento della guida: La varianza qui definita viene denominata in modo più appropriato
"la stima campionaria della varianza della popolazione". La varianza di un campione è di
regola definita come il momento centrale di ordine 2 del campione (vedere C.2.13 e
C.2.22).
C.2.21
scarto tipo [ISO 3534-1, 2.34]
Radice quadrata positiva della varianza.
Nota
Lo scarto tipo campionario è uno stimatore viziato dello scarto tipo della popolazione.
momento centrale di ordine q [ISO 3534-1, 2.37]
C.2.22
In una distribuzione di una sola caratteristica, la media aritmetica della potenza q-esima
della differenza tra i valori osservati e la loro media x :
q
1
xi − x
∑
n i
(
)
dove n è il numero di osservazioni.
Nota
C.2.23
Il momento centrale di ordine 1 è uguale a zero.
statistica [ISO 3534-1, 2.45]
Funzione di variabili casuali campionarie.
Nota
C.2.24
Una grandezza statistica, essendo funzione di variabili casuali, è essa stessa una variabile casuale
e come tale assume valori differenti da campione a campione. Il suo valore ottenuto utilizzando
nella funzione i valori osservati può essere utilizzato in un test statistico o come stima di un
parametro della popolazione, come la media o lo scarto tipo.
stima (operazione) [ISO 3534-1, 2.49]
Operazione di attribuire, sulla base delle osservazioni in un campione, valori numerici ai
parametri di una distribuzione scelta come modello statistico della popolazione da cui è
stato estratto il campione.
Nota
C.2.25
Il risultato di questa operazione può essere espresso come un unico valore (stima puntuale;
vedere [ISO 3534-1] 2.51 [C.2.26]) o come stima di intervallo (vedere [ISO 3534-1] 2.57 [C.2.27] e
2.58 [C.2.28]).
stimatore [ISO 3534-1, 2.50]
Statistica utilizzata per stimare un parametro di una popolazione.
C.2.26
stima (risultato) [ISO 3534-1, 2.51]
Valore di uno stimatore ottenuto come risultato dello stimare.
C.2.27
intervallo di confidenza (fiducia) bilaterale [ISO 3534-1, 2.57]
Quando T1 e T2 sono due funzioni dei valori osservati tali che, essendo θ il parametro
della popolazione da stimare, la probabilità Pr(T1 ≤ θ ≤ T2 ) è almeno uguale a (1− α) [dove
(1− α) è un numero assegnato positivo e minore di 1], l'intervallo tra T1 e T2 è un intervallo
di confidenza bilaterale (1− α) per θ.
Nota 1
I limiti T1 e T2 dell'intervallo di confidenza sono statistiche ([ISO 3534-1] 2.45 [C.2.23]) e come tali
assumono valori differenti da campione a campione.
Nota 2
In una lunga successione di campioni, la frequenza relativa dei casi in cui il valore vero del
parametro della popolazione θ giace entro l'intervallo di confidenza è maggiore o uguale ad
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C.2.28
intervallo di confidenza (fiducia) unilaterale [ISO 3534-1, 2.58]
uguale a (1− α) [dove (1− α) è un numero assegnato positivo e minore di 1], l'intervallo
dal più piccolo valore possibile di θ fino a T (o l'intervallo da T fino al massimo valore
possibile di θ) è un intervallo di confidenza unilaterale (1− α) per θ.
Nota 1
Il limite T dell'intervallo di confidenza è una statistica ([ISO 3534-1] 2.45 [C.2.23]) e come tale
assume valori differenti da campione a campione.
Nota 2
Vedere nota 2 della [ISO 3534-1] 2.57 [C.2.27].
C.2.29
livello di confidenza (fiducia); coefficiente di confidenza (fiducia) [ISO 3534-1, 2.59]
Valore (1− α) della probabilità associata ad un intervallo di fiducia o ad un intervallo
statistico di copertura. (Vedere [ISO 3534-1] 2.57 [C.2.27], 2.58 [C.2.28] e 2.61
[C.2.30]).
Nota
C.2.30
(1− α)
viene sovente espresso in percentuale.
intervallo statistico di copertura [ISO 3534-1, 2.61]
Intervallo per il quale si può affermare, con un dato livello di confidenza, che esso
contiene parte della popolazione.
C.2.31
Nota 1
Quando entrambi i limiti sono definiti da statistiche, l'intervallo è bilaterale. Quando uno dei due
limiti non è finito o è costituito dal limite della variabile, l'intervallo è unilaterale.
Nota 2
Viene anche chiamato "intervallo statistico di tolleranza". Questo termine non dovrebbe essere
usato in quanto può ingenerare confusione con "intervallo di tolleranza", definito nella ISO 3534-2.
gradi di libertà [ISO 3534-1, 2.85]
In generale, numero dei termini in una somma meno il numero dei vincoli sui termini della
somma.
C.3
ELABORAZIONE DI TERMINI E CONCETTI
C.3.1
Speranza matematica
La speranza matematica di una funzione g (z ) su una densità di probabilità p (z ) della
variabile casuale z è definita da
[
]
E g ( z ) = ∫ g ( z )p ( z ) d z
dove, per la definizione di p (z ) , ∫ p (z ) d z = 1. La speranza matematica della variabile
casuale z, indicata con µz, denominata anche valore atteso o valor medio di z, è data da
∫
µz ≡ E (z ) = zp (z )dz .
Essa è stimata statisticamente da z , la media aritmetica di n osservazioni indipendenti zi
della variabile casuale z, la cui densità di probabilità è p (z )
z=
1 n
∑ zi
n i =1
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Quando T è una funzione dei valori osservati tale che, essendo θ il parametro della
popolazione da stimare, la probabilità Pr ( T ≥ θ ) [o la probabilità Pr ( T ≤ θ ) è almeno
C.3.2
Varianza
La varianza di una variabile casuale è il valore atteso del suo scostamento quadratico
rispetto alla sua media. La varianza di una variabile casuale z la cui densità di probabilità sia
p (z ) è dunque
σ 2 (z ) =
2
∫ (z − µz ) p (z )dz
dove µz è il valore atteso di z. La varianza σ 2 (z ) può essere stimata da
s 2 (z i ) =
(
1 n
∑ zi − z
n − 1 i =1
dove z =
Nota 1
)
2
1 n
∑ z i e le zi sono n osservazioni indipendenti di z.
n i =1
Il fattore n-1 nell'espressione di s 2 (z i ) deriva dalla correlazione tra z i e z e riflette il fatto che vi
sono solamente n-1 elementi indipendenti nell'insieme
Nota 2
{z
i
}
−z .
Se è noto il valor medio µz di z, la varianza può essere stimata da
1
s (z i ) =
n
2
n
∑ (z
i
− µz )
2
i =1
La valutazione quantitativa appropriata dell'incertezza del risultato di una misurazione è la
varianza della media delle osservazioni, piuttosto che la varianza delle singole
osservazioni. Bisogna distinguere nettamente tra la varianza di una variabile z e la varianza
della sua media z . La varianza della media aritmetica di una serie di n osservazioni
indipendenti zi di z è data da σ 2 z = σ 2 (z i ) n ed è stimata dalla varianza sperimentale
()
della media
()
s2 z =
C.3.3
n
s 2 (z i )
1
=
zi − z
∑
n
n (n − 1) i =1
(
)
2
Scarto tipo
Lo scarto tipo è la radice quadrata positiva della varianza. Mentre un'incertezza tipo di
categoria A è ottenuta prendendo la radice quadrata della varianza valutata
statisticamente, nella determinazione di un'incertezza di categoria B conviene sovente
valutare, per via non statistica, innanzitutto uno scarto tipo equivalente ed ottenere poi la
varianza equivalente elevandolo al quadrato.
C.3.4
Covarianza
La covarianza di due variabili casuali è una espressione quantitativa della loro dipendenza
mutua. La covarianza di due variabili casuali y e z è definita come
{[
][
]}
cov ( y , z ) = cov (z , y ) = E y − E ( y ) z − E (z )
che dà
(
)
cov ( y , z ) = cov (z , y ) = ∫∫ y − µy (z − µz )p ( y , z )dy dz = ∫∫ yzp ( y , z )dy dz − µy µz ,
dove p ( y , z ) è la funzione di densità di probabilità congiunta delle due variabili y e z. La
covarianza cov( y , z ) [indicata anche come v ( y , z ) ] può essere stimata da s ( y i , z i ) ,
ottenuto da n coppie indipendenti di osservazioni simultanee yi e zi di y e z,
s(y i , z i ) =
(
)(
1 n
∑ y i − y zi − z
n − 1 i =1
)
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dove
y=
Nota
C.3.5
1 n
1 n
y i e z = ∑ zi
∑
n i =1
n i =1
( )
La covarianza stimata delle due medie y e z è data da s y , z = s ( y i , z i ) n .
Matrice di varianza e covarianza
Per una distribuzione di probabilità multivariata, si definisce matrice di varianza e
covarianza la matrice V avente come elementi le varianze e le covarianze delle variabili. Gli
elementi diagonali v (z , z ) ≡ σ 2 (z ) o s (z i , z i ) ≡ s 2 (z i ) sono le varianze, mentre gli
elementi non diagonali v ( y , z ) o s ( y i , z i ) sono le covarianze.
C.3.6
Coefficiente di correlazione
Il coefficiente di correlazione è una espressione quantitativa della dipendenza mutua
relativa di due variabili ed è uguale al rapporto tra la loro covarianza e la radice quadrata
positiva del prodotto delle loro varianze, cioé a
ρ ( y , z ) = ρ (z , y ) =
v (y , z )
v ( y , y )v ( z , z )
=
v (y , z )
σ ( y )σ (z )
con stima
r ( y i , z i ) = r (z i , y i ) =
s(y i , z i )
s ( y i , y i ) s (z i , z i )
=
s(y i , z i )
s ( y i ) s (z i )
Il coefficiente di correlazione è un numero tale che −1 ≤ ρ ≤ +1 o −1 ≤ r ( y i , z i ) ≤ +1.
Nota 1
Nota 2
Nota 3
Poiché ρ ed r sono numeri puri compresi nell'intervallo da - 1 a + 1 inclusi, mentre le covarianze
sono di regola grandezze con dimensione e valori poco pratici da utilizzare, i coefficienti di
correlazione sono generalmente più utilizzati delle covarianze.
Per distribuzioni di probabilità multivariate si usa di regola la matrice dei coefficienti di correlazione
invece della matrice di varianza e covarianza. Poiché ρ ( y , y ) = 1 ed r ( y i , y i ) = 1, gli elementi
diagonali di questa matrice sono uguali ad 1.
Se le stime d'ingresso x i ed xj sono correlate (vedere 5.2.2) e se una variazione δi in xi produce
una variazione δj in xj , il coefficiente di correlazione associato ad x i ed xj è stimato
approssimativamente da
(
)
( )
r x i , x j ≈ u (x i ) δj u x j δi
Questa relazione può costituire la base sulla quale stimare sperimentalmente i coefficienti di
correlazione. Può anche essere utilizzata per calcolare la variazione approssimata indotta su di
una stima d'ingresso da una variazione di un'altra, quando sia noto il loro coefficiente di
correlazione.
C.3.7
Indipendenza
Le due variabili casuali componenti una variabile casuale doppia sono statisticamente
indipendenti se la distribuzione di probabilità congiunta è uguale al prodotto delle due
distribuzioni marginali.
Nota
C.3.8
Se due variabili casuali sono indipendenti, sono nulli la loro covarianza ed il loro coefficiente di
correlazione, mentre il contrario non è necessariamente vero.
Distribuzione t ; distribuzione di Student
La distribuzione t o di Student è la distribuzione di probabilità di una variabile casuale
continua t la cui densità di probabilità è
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p (t ,ν ) =
1
πν
 ν + 1
Γ

 2 
 ν
Γ 
 2
 t2
1+ ν 


−( ν +1) 2
- ∞ < t < +∞
dove Γ è la funzione gamma e ν > 0. Il valore atteso della distribuzione t è zero e la sua
varianza è ν ( ν − 2) per ν > 2. Per ν → ∞ la distribuzione t tende alla distribuzione
normale con µ = 0 e σ = 1 (vedere C.2.14).
Se la variabile casuale z è distribuita, di regola, con valor medio µz, la distribuzione di
(
probabilità della variabile z − µ z
) s(z ) è la distribuzione t; z
è la media aritmetica di n
osservazioni indipendenti zi di z, s (z i ) è lo scarto tipo sperimentale delle n osservazioni e
s (z ) = s (z i )
n è lo scarto tipo sperimentale della media z con ν = n − 1 gradi di libertà.
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APPENDICE D
VALORE "VERO", ERRORE ED INCERTEZZA
Il termine valore vero (B.2.3), tradizionalmente usato in altre pubblicazioni
sull'incertezza, non viene utilizzato nella presente guida per le ragioni esposte in questa
appendice. Inoltre, poiché i termini "misurando", "errore" ed "incertezza" sono sovente
male interpretati, questa appendice presenta una discussione supplementare delle idee
che stanno alla base di tali concetti, a complemento della discussione presentata in 3.
Due figure illustrano perché il concetto di incertezza adottato nella presente guida sia
basato sul risultato della misurazione e sulla sua incertezza valutata, piuttosto che sulle
grandezze inconoscibili valore "vero" ed errore.
D.1
MISURANDO
D.1.1
Il primo passo di una misurazione è la specificazione del misurando, cioè della grandezza
da misurare; il misurando non può essere specificato da un valore ma solamente dalla
descrizione di una grandezza. Tuttavia, in linea di principio, un misurando non può
essere completamente descritto se non da una quantità di informazione infinita. Pertanto
l'incompleta definizione del misurando, nella misura in cui lascia un margine di
interpretazione, introduce nell'incertezza del risultato una componente che può essere o
no significativa rispetto all'accuratezza richiesta alla misura.
D.1.2
Di solito la definizione del misurando si attua attraverso la specificazione di certe
condizioni e stati fisici.
Esempio
D.2
REALIZZAZIONE DELLA GRANDEZZA
D.2.1
Idealmente, la grandezza realizzata per la misurazione dovrebbe rispondere appieno alla
definizione del misurando. Spesso tuttavia non è possibile realizzare tale grandezza,
cosicché la misurazione viene effettuata su di una grandezza che è solo
un'approssimazione del misurando.
D.3
VALORE "VERO " E VALORE CORRETTO
D.3.1
Il risultato della misurazione della grandezza effettivamente realizzata viene corretto per la
differenza tra questa ed il misurando, così da predire quale sarebbe stato il risultato della
misurazione qualora la realizzazione della grandezza avesse pienamente soddisfatto la
definizione del misurando. Il risultato della misurazione della grandezza effettivamente
realizzata viene corretto anche per ogni altro effetto sistematico identificato e
significativo. Sebbene il risultato finale, corretto come indicato, venga talvolta considerato
la miglior stima possibile del valore "vero" del misurando, esso in realtà è semplicemente
la miglior stima possibile del valore della grandezza che si intende misurare.
D.3.2
A titolo di esempio, sia il misurando lo spessore di una data lamina di metallo ad una
temperatura specificata. Il provino viene portato ad una temperatura prossima a quella
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La velocità del suono in aria secca di composizione (frazione molare)
N 2 = 0,780 8, O2 = 0,209 5, Ar = 0,009 35 e CO2 = 0,000 35, alla temperatura
T = 273, 15 K ed alla pressione p = 101 325 Pa.
D.3.3
La temperatura del materiale all'istante della misurazione e la pressione applicata sono
determinate. Il risultato della misurazione della grandezza effettivamente realizzata viene
allora corretto tenendo conto della curva di taratura del micrometro, dello scostamento
della temperatura del provino dalla temperatura di definizione, e della lieve compressione
sulla lamina determinata dalla pressione esercitata dal micrometro.
D.3.4
Il risultato corretto può essere chiamato la miglior stima possibile del valore "vero", "vero"
nel senso che rappresenta il valore di una grandezza che si ritiene soddisfare appieno la
definizione del misurando; se tuttavia il micrometro fosse stato applicato in un punto
diverso della lamina, la grandezza realizzata sarebbe stata differente, con un valore "vero"
differente. Tuttavia, quel nuovo valore "vero" è compatibile con la definizione del
misurando, poiché questa non specifica che lo spessore debba essere determinato in un
punto particolare della lamina. Dunque, in questo caso, il valore "vero" ha, a causa di una
definizione incompleta del misurando, un'incertezza che può essere valutata attraverso
misurazioni effettuate in punti differenti della lamina. Ogni misurando ha un'incertezza
"intrinseca" di questo tipo che, almeno in linea di principio, può essere stimata in qualche
modo. Questa è la più piccola incertezza con cui si può determinare un misurando, ed
ogni misurazione che raggiunga tale incertezza può essere interpretata come la miglior
misurazione possibile del misurando. L'ottenimento, per la grandezza in questione, di un
valore avente incertezza minore richiede una definizione più completa del misurando.
Nota 1
Nell'esempio, la definizione del misurando lascia indeterminati molti altri elementi che potrebbero
ragionevolmente influenzare lo spessore: la pressione atmosferica, l'umidità, la posizione della
lamina nel campo gravitazionale, il modo in cui essa è sostenuta, ecc.
Nota 2
Sebbene un misurando debba essere definito ad un livello di dettaglio sufficiente a rendere
trascurabile, rispetto all'incertezza richiesta alla misurazione, l'incertezza originata dalla sua
incompleta definizione, bisogna rendersi conto che ciò può non essere sempre praticabile. Per
esempio, la definizione può essere incompleta in quanto non specifica parametri considerati
ingiustificatamente di effetto trascurabile; oppure, può richiedere condizioni impossibili da
soddisfare esattamente, e la cui imperfetta realizzazione è difficilmente compensabile. Per
esempio, nell'esempio in D.1.2, la velocità del suono implica onde piane infinite di ampiezza
infinitesima. Di conseguenza, nella misura in cui la misurazione non soddisfa queste condizioni, è
necessario tenere in considerazione la diffrazione e gli effetti non lineari.
Nota 3
La definizione inadeguata del misurando può portare a discrepanze tra i risultati di misurazioni
apparentemente relative alla stessa grandezza effettuate da laboratori diversi.
D.3.5
Il termine "valore vero di un misurando" o di una grandezza (spesso abbreviato in "valore
vero") viene evitato nella presente guida poiché la parola "vero" viene considerata
ridondante. "Misurando" (vedere B.2.9) significa "particolare grandezza sottoposta a
misurazione", dunque "valore di un misurando" significa "valore di una particolare
grandezza sottoposta a misurazione". Poiché generalmente si intende per "particolare
grandezza" una grandezza definita o specificata (vedere B.2.1, nota 1), l'aggettivo "vero"
in "valore vero di un misurando" (o in "valore vero di una grandezza") è superfluo - il
"vero" valore del misurando (o grandezza) è semplicemente il valore del misurando (o
grandezza). Per di più, come evidenziato nella discussione precedente, un unico valore
"vero" è solamente un concetto idealizzato.
D.4
ERRORE
Il risultato corretto di una misurazione non coincide con il valore del misurando - vale a
dire, è in errore - per via dell'imperfetta misurazione della grandezza realizzata, imperfetta
a causa di variazioni casuali delle osservazioni (effetti aleatori), dell'inadeguata
determinazione delle correzioni per gli effetti sistematici e dell'incompleta conoscenza di
taluni fenomeni fisici (effetti sistematici anch'essi). Né il valore della grandezza realizzata,
né quello del misurando possono essere conosciuti esattamente; se ne possono
conoscere solamente i valori stimati. Nell'esempio precedente lo spessore della lamina
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specificata e lo spessore viene misurato in un punto specifico con un micrometro. La
grandezza realizzata è, in questo caso, lo spessore delle lamine in quel punto ed a quella
temperatura, sotto la pressione esercitata dal micrometro.
D.5
INCERTEZZA
D.5.1
Mentre i valori esatti dei contributi all'errore del risultato di una misurazione sono ignoti ed
inconoscibili, sono valutabili le incertezze associate agli effetti casuali e sistematici che
originano l'errore. Tuttavia, persino nel caso di incertezze valutate piccole, ancora non vi
è garanzia che l'errore nel risultato della misurazione sia piccolo; infatti, nella
determinazione di una correzione, o nella valutazione del livello di incompletezza
dell'informazione, si può aver trascurato un effetto sistematico, in quanto di esso ignari.
Pertanto l'incertezza del risultato di una misurazione non è necessariamente
un'indicazione della verosimiglianza che il risultato stesso sia vicino al valore del
misurando; essa è semplicemente una stima della verosimiglianza della prossimità al
miglior valore compatibilmente con il livello di conoscenza disponibile al momento.
D.5.2
Incertezza di misura è pertanto un'espressione del fatto che, per un dato misurando e per
un dato risultato della sua misurazione, non vi è un solo valore, ma un'infinità di valori
dispersi intorno al risultato che sono compatibili con tutte le osservazioni, i dati e la
conoscenza del mondo fisico, e che possono essere attribuiti al misurando con vari gradi
di plausibilità.
D.5.3
Fortunatamente in molte situazioni sperimentali pratiche, la maggior parte della
discussione precedente non si applica. Esempi di questo tipo sono quando il misurando
è sufficientemente ben definito; quando campioni o strumenti sono tarati mediante
campioni di riferimento ben noti e riferibili a campioni nazionali; quando le incertezze delle
correzioni di taratura sono trascurabili rispetto alle incertezze originate da effetti casuali
sulle indicazioni degli strumenti, o dal numero limitato di osservazioni (vedere E.4.3).
Tuttavia, l'incompleta conoscenza delle grandezze d'influenza e dei loro effetti può
spesso contribuire in misura significativa all'incertezza del risultato di una misurazione.
D.6
RAPPRESENTAZIONE GRAFICA
D.6.1
La figura D.1 illustra alcune delle idee discusse in 3 della presente guida ed in questa
appendice. Essa evidenzia perché nella presente guida si pone l'accento sull'incertezza
piuttosto che sull'errore. L'errore esatto del risultato di una misurazione è, in generale,
ignoto ed inconoscibile. Si può al massimo: stimare i valori delle grandezze d'ingresso,
comprendendovi le correzioni per gli effetti sistematici identificati, insieme con le loro
incertezze tipo (scarti tipo stimati), mediante distribuzioni di probabilità ignote campionate
per mezzo di osservazioni ripetute, o mediante distribuzioni soggettive o a priori basate
sull'insieme di informazioni disponibili; calcolare poi il risultato della misurazione dai valori
stimati delle grandezze d'ingresso e l'incertezza tipo composta di tale risultato dalle
incertezze tipo delle stime d'ingresso. Si può ritenere che il risultato della misurazione
costituisca una stima affidabile del valore del misurando e che l'incertezza tipo composta
costituisca una valutazione quantitativa affidabile dell'errore possibile del risultato,
solamente se si può fondatamente credere che ognuno di questi passi sia stato
effettuato correttamente, senza avere trascurato alcun effetto sistematico significativo.
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misurato può essere in errore, cioé, può differire dal valore del misurando (lo spessore
della lamina), poiché ognuno degli elementi sotto elencati può combinarsi con gli altri
contribuendo dunque ad un errore ignoto del risultato della misurazione:
a) lievi differenze tra le indicazioni del micrometro quando questo sia ripetutamente
applicato alla stessa grandezza realizzata;
b) imperfetta taratura del micrometro;
c) imperfetta misurazione della temperatura e della pressione applicata;
d) incompleta conoscenza degli effetti di temperatura, pressione atmosferica ed umidità
sul provino, o sul micrometro o su entrambi.
Nota 1
Nella figura D.1a le osservazioni sono mostrate sotto forma di istogramma a scopo illustrativo
(vedere 4.4.3 e figura 1b).
Nota 2
La correzione di un errore è uguale alla stima dell'errore, cambiata di segno. Così nelle figure D.1
e D.2 la freccia che rappresenta simbolicamente la correzione di un errore ha la stessa lunghezza
ma direzione opposta rispetto a quella che rappresenterebbe l'errore vero e proprio, e vice versa.
Le didascalie chiariscono se una specifica freccia si riferisce ad una correzione o ad un errore.
D.6.2
La figura D.2 illustra in modo diverso alcune delle idee già illustrate nella figura D.1. In più
illustra l'idea che possono esservi molti valori del misurando se la sua definizione è
incompleta (punto g della figura). L'incertezza che nasce da questa incompletezza nella
definizione, misurata dalla varianza, è valutata attraverso misurazioni di differenti
realizzazioni del misurando, effettuate usando lo stesso metodo, gli stessi strumenti,
eccetera (vedere D.3.4).
Nella colonna intestata "Varianza", le varianze vanno intese come le varianze u i2 ( y ) definite
nell'equazione (11) in 5.1.3; pertanto esse si sommano linearmente, come indicato.
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Nota
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figura
D.1
Illustrazione grafica di valore, errore ed incertezza
a) Concetti basati su grandezze osservabili
Media aritmetica delle
osservazioni non corretta
Media aritmetica delle
osservazioni corretta
La media aritmetica è il
valore stimato del misurando,
cioè il risultato della misurazione
Incertezza tipo della media non
corretta, dovuta alla dispersione
delle osservazioni (qui mostrata come
un intervallo, a scopo dimostrativo)
Correzione che tiene conto
di tutti gli effetti
sistematici identificati
Incertezza tipo composta della
media corretta. Essa comprende
l'incertezza della media prima
della correzione, dovuta alla
dispersione delle osservazioni, e
l'incertezza della correzione
applicata
b) Concetti ideali basati su grandezze ignote
Distribuzione ignota dell'intera
popolazione delle possibili
osservazioni corrette
Distribuzione ignota (qui ipotizzata
approssimativamente normale)
dell'intera popolazione delle possibili
osservazioni non corrette
Media ignota della popolazione,
con scarto tipo ignoto
(indicato dall'ombreggiatura)
Errore ignoto dovuto
a tutti gli effetti
sistematici identificati
Errore "casuale" ignoto della
media delle osservazioni non corretta
Errore ignoto della media
corretta, dovuto all'errore
"casuale" ignoto della media
non corretta e all'errore
ignoto della correzione applicata
Errore residuo ignoto della
media corretta, dovuto all'effetto
sistematico non identificato
Valore ignoto
del misurando
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figura
D.2
Illustrazione grafica di valori, errore ed incertezza
Grandezza
Valore
(non in scala)
Varianza
(non in scala)
Valori crescenti
a) Osservazioni
non corrette
(osservazione singola)
b) Media aritmetica delle
osservazioni non corretta
(media aritmetica)
c) Correzione di tutti gli effetti
sistematici identificati
d) Risultato
della misurazione
(non comprende la varianza
dovuta alla definizione
incompleta del misurando)
e) Errore residuo
(ignoto)
f) Valore del misurando
(ignoto)
g) Valore del misurando dovuti alla
sua incompleta definizione (ignoto)
h) Risultato finale
della misurazione
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APPENDICE E
MOTIVAZIONI E FONDAMENTI DELLA RACCOMANDAZIONE INC-1 (1980)
Questa appendice fornisce una breve discussione delle motivazioni e dei fondamenti
statistici su cui riposa la Raccomandazione INC-1 (1980) del Gruppo di lavoro per
l'espressione dell'incertezza, sulla quale si fonda la presente guida. Per un'ulteriore
discussione, vedere i riferimenti [1, 2, 11, 12].
"PRUDENZIALE", "CASUALE" E "SISTEMATICO"
E.1.1
La presente guida illustra un metodo, utilizzabile nei più svariati contesti, per la
valutazione e l'espressione dell'incertezza di misura. Tale metodo fornisce un valore
realistico dell'incertezza piuttosto che un valore "sicuro", basandosi sul concetto che non
esiste differenza intrinseca tra una componente di incertezza originata da un effetto
casuale ed una componente originata dalla correzione di un effetto sistematico (vedere
3.2.2 e 3.2.3). Il metodo è tuttavia in contrasto con altri metodi che hanno le seguenti due
idee in comune tra loro.
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E.1
E.1.2
La prima idea è che l'incertezza debba essere "sicura" o "prudenziale", nel senso che
non deve mai essere sbagliata per difetto. Di fatto l'incertezza, essendo di problematica
valutazione, spesso veniva deliberatamente allargata.
E.1.3
La seconda idea è che le sorgenti dell'incertezza fossero sempre classificabili in "casuali"
o "sistematiche", e che le due classi fossero di diversa natura; che le incertezze associate
ad ogni classe dovessero essere composte secondo le specifiche regole della classe e i
due risultati dovessero essere dichiarati separatamente (o, quando fosse stato
necessario un solo numero, combinati in un qualche modo specificato). Di fatto, il metodo
di composizione delle incertezze veniva spesso finalizzato al requisito della prudenzialità.
E.2
GIUSTIFICAZIONE DI UNA VALUTAZIONE REALISTICA DELL'INCERTEZZA
E.2.1
Quando si riporta il valore di un misurando, si deve dare la miglior stima del suo valore e la
miglior valutazione possibile dell'incertezza, poiché se questa deve essere alterata, non
è di norma possibile decidere quale è la direzione di un'alterazione "prudenziale". Una
sottovalutazione delle incertezze porta ad attribuire troppa fiducia nei valori riportati, con
conseguenze talvolta fastidiose o addirittura disastrose. Ma anche una sopravvalutazione
intenzionale può avere ripercussioni indesiderabili. Potrebbe indurre gli utenti di
strumentazione di misura ad acquistare strumenti più costosi del necessario, o potrebbe
far scartare senza necessità prodotti costosi, o far respingere i servizi di un laboratorio di
taratura.
E.2.2
Non si vuol dire che gli utenti del risultato di una misurazione non possano, allo scopo di
ottenere un'incertezza estesa che definisca un intervallo avente un livello di fiducia
voluto che soddisfi le loro necessità, applicare il proprio fattore moltiplicativo all'incertezza
assegnata al risultato, né che, in determinate circostanze, le istituzioni produttrici di
misure non possano applicare istituzionalmente un fattore che fornisca un'analoga
incertezza estesa che soddisfi le esigenze di una particolare classe di utenti delle loro
misure. Semplicemente, tali fattori (da specificarsi sempre) devono essere applicati
all'incertezza determinata in modo realistico, cosicché l'intervallo definito dall'incertezza
estesa abbia il livello di fiducia richiesto e l'operazione sia facilmente reversibile.
E.2.3
Chi ha a che fare con le misurazioni deve sovente incorporare nelle sue analisi i risultati di
misurazioni altrui, ognuno dei quali è affetto dalla propria incertezza. Per la valutazione
dell'incertezza del risultato della propria misurazione, è necessario disporre,
relativamente ad ognuno dei risultati importati dall'esterno, del miglior valore di incertezza
possibile, non di un valore "sicuro". Inoltre, deve esistere un modo logico e semplice per
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combinare queste incertezze importate con quelle delle proprie osservazioni, ed
ottenere l'incertezza del proprio risultato. La raccomandazione INC-1 (1980) fornisce
questo metodo.
E.3
GIUSTIFICAZIONE DELL'IDENTICO TRATTAMENTO PER TUTTE LE COMPONENTI
DI INCERTEZZA
Il punto fondamentale della discussione oggetto di questo paragrafo è un semplice
esempio che illustra come la guida, nella valutazione dell'incertezza del risultato di una
misurazione, tratti esattamente nello stesso modo le componenti di incertezza originate
da effetti casuali e da correzioni di effetti sistematici. L'esempio dunque esemplifica il
punto di vista adottato nella guida e citato in E.1.1, cioé che tutte le componenti
dell'incertezza sono della stessa natura e devono pertanto essere trattate nello stesso
modo. Il punto di partenza della discussione è una derivazione semplificata
dell'espressione matematica della propagazione degli scarti tipo, denominata nella guida
legge di propagazione delle incertezze.
La grandezza d'uscita z = f (w 1,w 2 ,...,w N ) dipenda da N grandezze d'ingresso
w 1,w 2 ,...,w N , con ogni wi descritta dall'opportuna distribuzione di probabilità. Lo sviluppo
di f in serie di Taylor intorno ai valori attesi delle w i , E (w i ) ≡ µi , troncato al prim'ordine,
fornisce, per piccoli scostamenti di z intorno a µz in funzione di piccoli scostamenti delle wi
intorno alle µi .
E.3.1
N
z − µz =
∂f
∑ ∂w
i =1
(w i − µi )
[E.1]
i
in cui si considerano trascurabili i termini di ordine superiore e in cui µz = f ( µ1, µ2 ,..., µN ) . Il
quadrato dello scostamento z − µz è allora dato da
( z − µz )
2
 N ∂f

=
w i − µi )
(
 i =1 ∂w i

∑
2
[E.2a]
che può essere scritta
( z − µz )
2
N −1 N
 ∂f 
∂f ∂f
2
=
(w i − µi ) w j − µ j

 (w i − µi ) + 2
∂
w
∂
w i ∂w j

i
i =1
i =1 j =i +1
2
N
∑
(
∑∑
)
[E.2b]
Il valore atteso del quadrato dello scostamento (z − µz ) è la varianza di z, vale a dire
2
]= σ
2
z
e dunque l'equazione (E.2b) porta a
N −1 N
 ∂f  2
∂f ∂f
σ
+
2
σi σ j ρij

 i
∂w i ∂w j
 ∂w i 
i =1
i =1 j =i +1
N
σ z2 =
2
∑
2
∑∑
[
In questa espressione σi2 = E (w i − µi )
2
[E.3]
] è la varianza di w e ρ
i
(
ij
(
= v w i ,w j
) [
(
) (σ
2 2
i σj
coefficiente di correlazione di w i e w j, in cui v w i ,w j = E (w i − µi ) w j − µ j
covarianza di w i e w j.
--``,`,,,,,,``,`,,,,,,`,,``,`,,`-`-`,,`,,`,`,,`---
[
E ( z − µz )
)]
)
1
2
è il
è la
Nota 1
σ z2 e σ i2 sono i momenti centrali di ordine 2 (vedere C.2.13 e C.2.22) delle distribuzioni di
probabilità di z e di w i rispettivamente. Una distribuzione di probabilità può essere completamente
caratterizzata mediante il suo valore medio, la varianza ed i momenti centrali di ordine superiore.
Nota 2
L'equazione (13) in 5.2.2 [insieme con l'equazione (15)], usata per calcolare l'incertezza tipo
composta, è identica all'equazione (E.3) salvo che l'equazione (13) è espressa in termini di stime
delle varianze, degli scarti tipo e dei coefficienti di correlazione.
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E.3.2
L'equazione (E.3) viene sovente chiamata, nella terminologia tradizionale, "legge
generale di propagazione degli errori". Questa denominazione meglio si attaglia ad
N
un'espressione della forma ∆z = ∑i =1(∂f ∂w i )∆w i , dove ∆z è la variazione indotta su z da
variazioni ∆wi (piccole) delle wi [vedere l'equazione (E.8)]. Infatti, l'equazione (E.3) è più
correttamente definibile, e la guida segue questa impostazione, come legge di
propagazione delle incertezze, in quanto mostra come le incertezze delle grandezze
d'ingresso, identificate dagli scarti tipo delle distribuzioni di probabilità delle w i, si
combinano per dare l'incertezza della grandezza di uscita z, se tale incertezza viene
identificata dallo scarto tipo della distribuzione di probabilità di z.
E.3.3
L'equazione (E.3) descrive anche la propagazione di multipli di scarti tipo, in quanto se
ogni scarto tipo σi viene sostituito da un suo multiplo kσi, con lo stesso k per ogni σi, lo
scarto tipo della grandezza di uscita z viene sostituito da kσz. Tuttavia, l'equazione non
vale per la propagazione degli intervalli di fiducia. Se ciascuna σi viene sostituita da una
grandezza δ i che definisce un intervallo corrispondente ad un livello di fiducia p
specificato, la grandezza risultante per z, δz, non definirà un intervallo corrispondente allo
stesso valore di p, se non nel caso che tutte le wi siano descritte da distribuzioni normali.
Viceversa, l'equazione (E.3) non implica alcuna ipotesi riguardo alla normalità delle
distribuzioni di normalità delle wi . Più specificatamente, se nell'equazione (10) in 5.1.2
ciascuno scarto tipo u(x i) viene valutato da osservazioni ripetute e indipendenti, e
moltiplicato per il fattore t appropriato ai suoi gradi di libertà per un particolare valore di p
(per esempio, p = 95%), l'incertezza della stima y non definirà un intervallo
corrispondente a quel valore di p (vedere G.3 e G.4).
Nota
E.3.4
Il requisito di normalità per la propagazione di intervalli di fiducia mediante l'equazione (E.3) può
essere una delle ragioni per la separazione storica delle componenti di incertezza derivate da
osservazioni ripetute, considerate a distribuzione normale, e quelle valutate semplicemente come
limiti superiore ed inferiore.
Si consideri l'esempio seguente: z dipende da una sola grandezza d'ingresso w,
z = f (w ) , dove w è stimato mediando n valori wk di w ; questi n valori sono ottenuti da n
osservazioni ripetute ed indipendenti qk di una variabile casuale q; wk e qk sono legati da
w k = α + βq k
[E.4]
dove α è uno scostamento costante "sistematico", comune a ciascuna osservazione e β
è un fattore di scala comune. Si conviene che lo scostamento ed il fattore di scala,
benchè di valore fisso nel corso delle osservazioni, siano caratterizzati da distribuzioni di
probabilità a priori, con α e β quali migliori stime possibili dei valori attesi di queste
distribuzioni.
La miglior stima di w è la media aritmetica w ottenuta da
n
w=
∑
n
∑
1
1
wk =
( α + βq k )
n k =1
n k =1
[E.5]
( )
La grandezza z viene allora stimata da f w = f ( α, β , q1, q 2 ,..., q n ) e la stima u2(z) della sua
varianza σ2(z) è ottenuta dall'equazione (E.3). Se si assume per semplicità z = w, cosicchè
la miglior stima di z è z = f w = w , allora si può ottenere con facilità la stima u2(z). Notando
( )
che dall'equazione (E.5)
∂f
= 1,
∂α
n
∂f
∂f
β
1
=
qk = q , e
= ,
∂ β n k =1
∂ qk n
∑
indicando con u2(α) e u2(β) rispettivamente le varianze stimate di α e β e assumendo che
le singole osservazioni siano scorrelate, si trova dall'equazione (E.3)
u 2 (z ) = u 2 ( α) + q u 2 ( β ) + β 2
2
s 2 (q k )
n
[E.6]
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in cui s 2 (q k ) è la varianza sperimentale delle osservazioni q k calcolata mediante
()
l'equazione (4) in 4.2.2, e s 2 (q k ) n = s 2 q è la varianza sperimentale della media q
[equazione (5) in 4.2.3].
E.3.5
Nella terminologia tradizionale, il terzo termine del secondo membro dell'equazione (E.6)
è denominato contributo "casuale" alla varianza stimata u2(z) in quanto normalmente
decresce al crescere del numero di osservazioni n, mentre i primi due termini sono
denominati contributi "sistematici" in quanto non dipendono da n.
Un fatto più significativo è che in talune trattazioni tradizionali dell'incertezza di misura
l'equazione (E.6) è criticata, in quanto in essa non si fa distinzione tra incertezze originate
da effetti sistematici ed incertezze originate da effetti aleatori. In particolare, viene
deprecata la prescrizione di combinare varianze ottenute da distribuzioni di probabilità a
priori con varianze ottenute da distribuzioni basate sulla frequenza, in quanto si ritiene
che il concetto di probabilità sia applicabile solamente ad eventi che si possono ripetere
un grande numero di volte in condizioni praticamente costanti, cosicchè la probabilità p di
un evento (0 ≤ p ≤ 1) indicherebbe la frequenza relativa con cui si verificherà l'evento
stesso.
In contrasto con questa concezione frequentista della probabilità, un'altra concezione,
ugualmente valida, è che la probabilità sia una valutazione quantitativa del grado di
credenza nel verificarsi di un evento [13, 14]. Per esempio, si supponga che uno
scommettitore razionale abbia la possibilità di vincere una piccola somma di denaro D. Il
suo grado di credenza nel verificarsi dell'evento A, è p = 0,5 se egli è indifferente rispetto
a queste due possibili scommesse: (1) ricevere D se si verifica l'evento A ma nulla se esso
non si verifica; (2) ricevere D se l'evento A non si verifica ma nulla se esso si verifica. La
raccomandazione INC-1 (1980), sulla quale si fonda la presente guida, adotta
implicitamente questa concezione della probabilità, poichè ritiene che espressioni come
l'equazione (E.6) rappresentino il modo appropriato per calcolare l'incertezza tipo
composta del risultato di una misurazione.
E.3.6
L'adottare l'interpretazione della probabilità basata sul grado di credenza, lo scarto tipo
(incertezza tipo) e la legge di propagazione dell'incertezza [equazione E.3)], come basi
della valutazione e dell'espressione dell'incertezza nella misurazione, come fa la guida,
comporta tre distinti vantaggi:
a) la legge di propagazione dell'incertezza consente di incorporare agevolmente
l'incertezza tipo composta di un risultato nella valutazione dell'incertezza tipo
composta di un altro risultato in cui si usi il primo;
b) l'incertezza tipo composta può rappresentare la base per il calcolo di intervalli
corrispondenti realisticamente al livello di fiducia loro richiesto; infine;
c) non è necessario classificare le componenti come "casuali" o "sistematiche" (o in
qualunque altro modo) quando si valuta l'incertezza, poiché tutte le componenti
dell'incertezza vengono trattate nello stesso modo.
Il vantaggio c) è notevole, poiché tale classificazione è sovente fonte di confusione; una
componente dell'incertezza non è "casuale" o "sistematica". La sua natura è condizionata
dall'uso fatto della grandezza corrispondente o, in termini formali, dal contesto in cui la
grandezza compare nel modello matematico che descrive la misurazione. Così, quando la
grandezza cui la componente si riferisce viene usata in un diverso contesto, una
componente "casuale" può diventare "sistematica" e viceversa.
E.3.7
Per la ragione fornita in c), la Raccomandazione INC-1 (1980) non classifica le componenti
dell'incertezza come "casuali" o "sistematiche". Di fatto, per quanto riguarda il calcolo
dell'incertezza tipo composta del risultato di una misurazione non è necessaria alcuna
classificazione delle componenti dell'incertezza, e dunque non si sente l'esigenza di
alcuno schema classificatorio. Cionondimeno, poiché etichette opportune possono
essere di qualche ausilio nella comunicazione e nella discussione delle idee, la
Raccomandazione INC-1 (1980) fornisce uno schema per classificare i due possibili
metodi, "A" e "B", di valutazione delle componenti di incertezza (vedere 0.7, 2.3.2 e
2.3.3).
Classificando i metodi usati per valutare le componenti di incertezza si evita il problema
principale insito nella classificazione delle componenti stesse, vale a dire la dipendenza
della classificazione di una componente dall'uso che della corrispondente grandezza
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viene fatto. Tuttavia, la classificazione dei metodi piuttosto che delle componenti non
preclude la possibilità di raggruppare le singole componenti valutate con i due metodi in
gruppi specifici, destinati ad un'applicazione particolare in una data misurazione, per
esempio, quando si debbano confrontare la variabilità osservata e quella teorica nei valori
di uscita di un esperimento complesso (vedere 3.4.3).
E.4
SCARTO TIPO COME MEZZO DI ESPRESSIONE DELL'INCERTEZZA
E.4.1
L'equazione (E.3) pretende che l'incertezza della stima di una grandezza d'ingresso sia
espressa come incertezza tipo, cioè come scarto tipo stimato, indipendentemente da
come sia stata ottenuta. Se si è invece valutata una qualche alternativa "prudenziale",
questa non è utilizzabile nell'equazione (E.3). In particolare, se nell'equazione (E.3) si
usa l'"errore massimo" (il massimo scostamento concepibile dalla ipotetica migliore stima),
l'incertezza risultante avrà un significato mal definito e non sarà utilizzabile da nessuno
che volesse incorporarla in calcoli successivi di incertezze di altre grandezze (vedere
E.3.3).
E.4.2
Quando non si può valutare l'incertezza di una grandezza d'ingresso dall'analisi dei
risultati di un numero adeguato di osservazioni ripetute, si deve adottare una
distribuzione di probabilità basata su conoscenze molto meno vaste di quanto sarebbe
desiderabile. Tuttavia, ciò non toglie validità né senso alla distribuzione; come tutte le
distribuzioni di probabilità, essa è un'espressione del livello di conoscenza esistente.
E.4.3
Le valutazioni basate su osservazioni ripetute non sono necessariamente superiori a
()
quelle ottenute con altri metodi. Si consideri s q , lo scarto tipo sperimentale della media
di n osservazioni indipendenti q k di una variabile casuale q distribuita normalmente
()
[vedere equazione (5) in 4.2.3]. La grandezza s q è una statistica (vedere C.2.23) che
()
stima σ q , lo scarto tipo della distribuzione di probabilità di q , vale a dire lo scarto tipo
della distribuzione dei valori di q che si otterrebbero se la misurazione fosse ripetuta un
[ ( )] di s(q ) è data approssimativamente da
numero infinito di volte. La varianza σ 2 s q
[ ( )]
()
σ 2 s q ≈ σ 2 q 2ν
[E.7]
()
in cui ν = n - 1 sono i gradi di libertà di s q (vedere G.3.3). Quindi lo scarto tipo relativo di
()
[ ( )] σ (q ) e che può essere considerato una espressione
s q , dato dal rapporto σ s q
()
dell'incertezza relativa di s q , è approssimativamente pari a
[2(n − 1)]−
1
2
. Questa
"incertezza dell'incertezza" di q, dovuta alla ragione squisitamente statistica della
limitatezza di campionamento, può essere sorprendentemente grande; per n = 10
osservazioni è del 24%. Questo ed altri valori sono dati nella tabella E.1, che mostra come
lo scarto tipo di uno scarto tipo stimato per via statistica non sia trascurabile per valori di n
frequenti nella pratica. Se ne può pertanto concludere che valutazioni di categoria A non
sono necessariamente più attendibili di valutazioni di categoria B, e che in molte
situazioni sperimentali concrete, in cui il numero di osservazioni è limitato, le componenti
ottenute da valutazioni di categoria B possono essere conosciute meglio di quelle
ottenute da valutazioni di categoria A.
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prospetto
E.1
[ ( )] σ(q ) lo scarto tipo dello scarto tipo sperimentale della media q di n
σsq
osservazioni
indipendenti di una variabile casuale q distribuita normalmente, riferito allo scarto tipo di quella
media(a)
[ ( )] σ(q )
Numero di osservazioni
σsq
n
(espressa in percento)
(a)
2
76
3
52
4
42
5
36
10
24
20
16
30
13
50
10
approssimata
E.4.4
[ ( )] σ(q ) e non dall'espressione
I valori sono stati calcolati dall'espressione esatta per σ s q
[2(n − 1)]
− 12
.
Si è argomentato che, mentre le incertezze associate all'applicazione di un particolare
metodo di misurazione sono parametri statistici che caratterizzano variabili casuali, vi siano
invece casi di "effetti puramente sistematici" la cui incertezza deve essere trattata in modo
diverso. Un esempio è una deviazione avente valore fisso ma ignoto, comune a tutte le
determinazioni effettuate con quel metodo e dovuta ad una imperfezione nel principio
stesso del metodo o in una delle ipotesi ad esso sottostanti. Ma, anche in questo caso, il
fatto che di tale deviazione venga riconosciuta l'esistenza, e che l'entità ne venga ritenuta
significativa, implica la possibilità di descriverla mediante una distribuzione di probabilità,
per semplice che questa sia, basata sulle conoscenze che hanno portato ad ipotizzarne
l'esistenza e la significatività. Se dunque la probabilità viene interpretata come
espressione quantitativa del grado di credenza nel verificarsi di un evento, il contributo di
un effetto sistematico come quello descritto può essere incluso nell'incertezza tipo
composta del risultato di una misurazione, valutandolo come scarto tipo di una
distribuzione di probabilità a priori, e trattandolo così come una qualsiasi incertezza tipo di
una grandezza d'ingresso.
Esempio
Una procedura di misurazione prescrive che una certa grandezza d'ingresso sia calcolata
mediante uno sviluppo in serie specificato i cui termini di ordine superiore sono mal
conosciuti. L'effetto sistematico dovuto all'incapacità di trattare esattamente questi
termini porta ad una deviazione fissa ed ignota che non può essere campionata per via
sperimentale ripetendo la procedura. Pertanto l'incertezza associata all'effetto non può
essere valutata ed inclusa nell'incertezza del risultato finale della misurazione se si adotta
rigorosamente la concezione frequentista della probabilità. Viceversa, l'interpretazione
della probabilità come grado di credenza consente la valutazione dell'incertezza associata
all'effetto mediante una distribuzione di probabilità iniziale (derivata dalle conoscenze
disponibili sui termini mal conosciuti) e la sua inclusione nel calcolo dell'incertezza tipo
composta del risultato della misurazione, come una qualsiasi altra incertezza.
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E.5
CONFRONTO DI DUE CONCEZIONI DELL'INCERTEZZA
E.5.1
Nella presente guida si pone l'accento sul risultato della misurazione e sulla sua
incertezza valutata, piuttosto che sulle grandezze inconoscibili valore "vero" ed errore
(vedere appendice D). Adottando il punto di vista operativo per cui il risultato di una
misurazione è semplicemente il valore attribuito al misurando e l'incertezza di tale risultato
è una valutazione quantitativa della dispersione dei valori ragionevolmente attribuibili al
misurando, di fatto la guida tronca il collegamento, spesso fuorviante, tra incertezza e le
grandezze inconoscibili valore "vero" ed errore.
E.5.2
Questo collegamento può essere compreso interpretando la derivazione dell'equazione
(E.3), la legge di propagazione dell'incertezza, dal punto di vista di valore "vero" ed
errore. In questo caso µi è visto come l'ignoto, unico valore "vero" della grandezza
d'ingresso wi e si ipotizza che ogni wi sia legato al suo valore "vero" dalla relazione
w i = µi + εi , in cui εi è l'errore di wi . Il valore atteso della distribuzione di probabilità di ogni
( )
εi è ipotizzato pari a zero, E ( εi ) = 0, con varianza E εi2 = σ i2 . L'equazione (E.1) diventa
allora
N
εz =
∂f
∑ ∂w
i =1
[E.8]
εi
i
in cui εz = z − µz è l'errore di z e µz è il valore "vero" di z. Prendendo ora il valore atteso
del quadrato di εz si ottiene un'equazione identica nella forma all'equazione (E.3), nella
( )
( ) (σ
quale però σ z2 = E εz2 è la varianza di ε z e ρij = v εi ε j
(
)
( )
2 2
i σj
)
1
2
è il coefficiente di
correlazione di εi ed εj, nel quale v εi , εj = E εi εj è la covarianza di εi ed εj. Le varianze e
le covarianze sono così associate agli errori delle grandezze d'ingresso piuttosto che alle
grandezze d'ingresso stesse.
Nota
E.5.3
Si ipotizza che la probabilità sia concepita come espressione quantitativa del grado di credenza
nel verificarsi di un evento, cosicchè un errore sistematico può essere trattato nello stesso modo
di un errore casuale ed εi è idoneo a rappresentare ambedue i tipi di errore.
In pratica la differenza nell'impostazione concettuale non porta a differenze nel valore
numerico del risultato della misurazione o dell'incertezza ad esso assegnata.
Innanzitutto, in entrambi i casi vengono usate le migliori stime disponibili per le grandezze
di ingresso wi per ottenere la migliore stima possibile di z attraverso la funzione f; non fa
alcuna differenza, per quanto riguarda i calcoli, che queste migliori stime siano
considerate come valori più probabili da attribuire alle grandezze in questione o le migliori
stime dei lori valori "veri".
In secondo luogo, poiché εi = w i − µi , e poiché le µi rappresentano valori fissi e dunque
non hanno incertezza, varianze e scarti tipo sono identici per le εi e le wi. Ciò significa che
per entrambi i casi le incertezze tipo usate come stime degli scarti tipo σi sono identiche e
forniranno dunque lo stesso risultato per l'incertezza tipo composta del risultato della
misurazione. Di nuovo, non fa alcuna differenza, per quanto riguarda i calcoli, che
un'incertezza tipo sia interpretata come valutazione quantitativa della dispersione della
distribuzione di probabilità di una grandezza di ingresso o come valutazione quantitativa
della dispersione della distribuzione di probabilità dell'errore di quella grandezza.
Nota
Senza l'ipotesi della nota in E.5.2, la presente discussione non varrebbe, a meno che tutte le stime
delle grandezze d'ingresso e le loro incertezze non fossero ricavate dall'analisi statistica di
osservazioni ripetute, cioè da valutazioni di categoria A.
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Se l'impostazione concettuale basata su valore "vero" ed errore fornisce gli stessi risultati
numerici di quella seguita dalla guida (purché si accetti l'ipotesi della nota in E.5.2), la
concezione di incertezza della guida elimina la confusione tra errore ed incertezza
(vedere appendice D). Invero, l'impostazione operazionale della guida, incentrata sul
valore osservato (o stimato) di una grandezza e sulla sua variabilità osservata (o stimata),
rende del tutto superfluo il concetto di errore.
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E.5.4
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APPENDICE F
GUIDA PRATICA ALLA VALUTAZIONE DELLE COMPONENTI DELL'INCERTEZZA
F.1
COMPONENTI VALUTATE MEDIANTE OSSERVAZIONI RIPETUTE: VALUTAZIONE
DI CATEGORIA A DELL'INCERTEZZA TIPO
F.1.1
Casualità ed osservazioni ripetute
F.1.1.1
Le incertezze determinate mediante osservazioni ripetute vengono sovente
contrapposte a quelle valutate con altri metodi come "oggettive", "statisticamente
rigorose", ecc. Ciò implica scorrettamente che esse possano essere valutate mediante la
pura e semplice applicazione alle osservazioni di formule statistiche, e che la loro
valutazione non richieda l'applicazione di una qualche valutazione soggettiva.
F.1.1.2
Ci si deve innanzitutto chiedere: "In quale misura le osservazioni ripetute rappresentano
ripetizioni completamente indipendenti dalla procedura di misurazione?" Se tutte le
osservazioni sono relative ad una singola campionatura, e se il campionamento è parte
della procedura di misurazione poiché il misurando è una proprietà di un materiale (e non
di una specifica partita di quel materiale), allora le osservazioni non sono state ripetute in
modo indipendente; alla varianza osservata delle osservazioni ripetute sulla singola
partita si deve aggiungere una valutazione della componente di varianza originata dalle
possibili differenze tra partite diverse.
Se l'azzeramento di uno strumento è parte della procedura di misurazione, lo strumento
deve essere azzerato ad ogni ripetizione, anche nel caso che la deriva nel periodo di
osservazione sia trascurabile, poiché esiste potenzialmente un'incertezza attribuibile
all'azzeramento e determinabile per via statistica.
Similmente, se si deve leggere un barometro, lo si dovrebbe fare in linea di principio ad
ogni ripetizione della misurazione (e preferibilmente dopo averlo perturbato e lasciato
ritornare all'equilibrio), poiché vi può essere variazione sia nell'indicazione sia nella lettura,
anche se la pressione atmosferica rimane costante.
F.1.1.3
In secondo luogo, ci si deve chiedere se tutte le influenze considerate casuali lo sono
veramente. Sono le medie e le varianze delle loro distribuzioni costanti, o vi è forse una
deriva del valore di una grandezza d'influenza non misurata nel corso delle osservazioni?
Se queste sono in numero sufficiente, si possono calcolare medie e scarti tipo dei risultati
della prima e della seconda metà del periodo di osservazione e confrontare le due medie
allo scopo di giudicare se la loro differenza è statisticamente significativa, rivelando così
un effetto variabile nel tempo.
F.1.1.4
Se i valori dei "servizi comuni" del laboratorio (tensione e frequenza di rete, pressione e
temperatura dell'acqua, pressione dell'azoto, ecc.) costituiscono grandezze d'influenza,
esiste di norma, nelle loro variazioni, un elemento fortemente non casuale che non può
essere trascurato.
F.1.1.5
Se la cifra meno significativa di un'indicazione digitale varia continuamente durante
un'osservazione a causa del rumore, è talvolta difficile evitare di selezionare
inconsciamente valori personalmente preferiti di quella cifra. È preferibile congegnare
qualche sistema per congelare l'indicazione ad un istante arbitrario e registrare il risultato.
F.1.2
Correlazioni
Buona parte della discussione di questa parte si applica anche alla valutazione di
categoria B dell'incertezza tipo.
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--``,`,,,,,,``,`,,,,,,`,,``,`,,`-`-`,,`,,`,`,,`---
Questa appendice fornisce suggerimenti ulteriori per la valutazione delle componenti
dell'incertezza, prevalentemente di natura pratica, a complemento di quelli già dati al
punto 4.
F.1.2.1
La covarianza associata alle stime di due grandezze d'ingresso X i ed X j può essere
assunta pari a zero o irrilevante se
a) X i ed X j sono scorrelate (le variabili casuali, non le grandezze fisiche che sono
ipotizzate invarianti - vedere 4.1.1, nota 1), per esempio perché sono state misurate
ripetutamente ma non simultaneamente in esperimenti indipendenti distinti, o perché
rappresentano grandezze risultanti da valutazioni distinte fatte indipendentemente, o
se
b) l'una o l'altra delle grandezze Xi o Xj possono essere trattate come costanti, o se
c) vi è informazione insufficiente per valutare la covarianza associata alle stime di Xi ed Xj.
Nota 1
D'altra parte, in certi casi, quale l'esempio della resistenza di riferimento della nota 1 al 5.2.2, è
evidente che le grandezze d'ingresso sono totalmente correlate e dunque che le incertezze tipo
delle loro stime si combinano linearmente.
Nota 2
Esperimenti distinti possono non essere indipendenti se, per esempio, si usa in ognuno lo stesso
strumento (vedere F.1.2.3).
F.1.2.2
Si può appurare se due grandezze d'ingresso osservate ripetutamente e
simultaneamente sono correlate o no per mezzo dell'equazione (17) in 5.2.3. Se per
esempio la frequenza di un oscillatore poco o nulla compensato per la temperatura è
grandezza d'ingresso, e la temperatura ambiente è grandezza d'ingresso anch'essa, e se
le due grandezze sono osservate simultaneamente, vi può essere correlazione
significativa rivelata dalla covarianza calcolata della frequenza dell'oscillatore e della
temperatura ambiente.
F.1.2.3
Nella pratica, le grandezze d'ingresso sono sovente correlate in quanto nella stima del
loro valore interviene lo stesso campione di misura, o lo stesso strumento, dato di
riferimento o anche solo lo stesso metodo di misurazione, avente un'incertezza
significativa. Si supponga, senza ledere la generalità, che due grandezze d'ingresso X1
ed X2, stimate da x1 ed x2, dipendano entrambe da un insieme di variabili scorrelate Q1,
Q2, . . ., QL. Quindi X1 = F(Q1, Q2, . . ., QL) e X2 = G(Q1, Q2, . . ., QL), benché di fatto alcune
di queste variabili possano apparire solo in una delle due funzioni. Se u2(ql) è la varianza
stimata associata alla stima ql di Ql, allora la varianza stimata associata ad x1 è, secondo
l'equazione (10) in 5.1.2,
2
L 
∂F  2
u 2 (x 1) = ∑ 
 u (q l )
l =1  ∂ q l 
[F.1]
e analoga per u2(x2 ). La covarianza stimata associata ad x1 ed x2 è data da
u (x 1, x 2 ) =
L
∂F ∂G 2
u (q l )
l ∂q l
∑ ∂q
l =1
[F.2]
Poiché alla sommatoria contribuiscono solamente quei termini per cui, per l dato,
∂F ∂q l ≠ 0 e ∂G ∂q l ≠ 0 , la covarianza è pari a zero se non vi sono variabili comuni ad F e
G.
Il coefficiente di correlazione stimato r(x 1, x 2) associato alle due stime x 1 ed x 2 viene
determinato tramite u(x 1, x 2) [equazione (F.2)] e l'equazione (14) in 5.2.2, con u(x 1)
calcolato con l'equazione (F.1) ed u(x2) analogamente. [Vedere anche l'equazione (H.9)
in H.2.3.] È altresì possibile che la covarianza stimata associata a due stime d'ingresso
abbia sia una componente statistica [vedere equazione (17) in 5.2.3], sia una
componente originata nel modo discusso in questo punto.
Esempi
1
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Uno stesso resistore campione R S viene usato per determinare nella stessa
misurazione sia una corrente I sia una temperatura t. La corrente viene determinata
misurando con un voltmetro digitale la differenza di potenziale ai terminali del
campione; la temperatura viene determinata misurando, con un ponte di resistenza
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ed il campione, la resistenza Rt(t) di un sensore di temperatura resistivo tarato la cui
caratteristica temperatura-resistenza, nel campo 15 °C ≤ t ≤ 30 °C è t = aR t2 (t ) − t 0 , in
cui a e t0 sono costanti note. La corrente è allora determinata mediante la relazione
I = V S /R S e la temperatura mediante la relazione t = aβ 2 (t )R S2 − t 0 , in cui β (t) è il
rapporto Rt(t)/RS misurato sul ponte.
Poiché solo la grandezza R S è comune all'espressione per I e t, l'equazione (F.2)
fornisce per la covarianza di I e t
u ( I ,t ) =
 V 
2 I (t + t 0 ) 2
∂I ∂t 2
u (R S ) =  − S2  2 αβ 2 (t )R S u 2 (R S ) = −
u (R S )
∂R S ∂R S
R S2
 RS 
(
)
(Per semplicità di notazione, in questo esempio si è usato lo stesso simbolo tanto per
la grandezza d'ingresso quanto per la sua stima).
Per ottenere il valore numerico della covarianza si sostituiscono in questa
espressione i valori numerici delle grandezze misurate I e t ed i valori di RS ed u(RS)
riportati nel certificato di taratura del resistore campione. L'unità di misura di u(I, t) è
chiaramente ampere per gradi Celsius poiché la dimensione della varianza relativa
[u(RS) / RS]2 è uno (vale a dire, essa è una grandezza cosiddetta adimensionale).
Inoltre, sia una grandezza P legata alle grandezze d'ingresso I e t dalla relazione
P = C 0I 2 (T0 + t ) , dove C 0 e T 0 sono costanti note con incertezze trascurabili
[u2(C 0) ≈ 0, u2(T 0) ≈ 0]. L'equazione (13) in 5.2.2 dà allora per la varianza di P in
funzione delle varianze di I e t e della loro covarianza
u 2 (P )
P2
=4
u 2 (I )
I2
−4
u ( I ,t )
u 2 (t )
+
I (T0 + t ) (T0 + t )2
Le varianze u 2 (I ) e u2 (T) si ottengono applicando l'equazione (10) di 5.1.2 alle
relazioni I = VS/RS e t = aβ 2 (t )R S2 − t 0 . I risultati sono
u 2 ( I ) I 2 = u 2 (Vs ) Vs 2 + u 2 (R s ) R s 2
e
u 2 (t ) = 4(t + t 0 ) u 2 ( β ) β 2 + 4(t + t 0 ) u 2 (R s ) R s 2
2
2
in cui per semplicità si è ipotizzato che anche le incertezze delle costanti t0 ed a siano
trascurabili. Queste espressioni sono valutabili agevolmente poiché u2(VS) ed u2(β)
possono essere determinate rispettivamente dalle letture ripetute del voltmetro e del
ponte di resistenza. Naturalmente, anche tutte le incertezze inerenti agli strumenti ed
al procedimento di misurazione impiegati devono essere tenute in conto nella
determinazione di u2(VS) ed u2(β).
2
Nell'esempio di nota 1 al 5.2.2, sia la taratura di ogni resistore rappresentata da
Ri = αi R S , con u(αi) quale incertezza tipo del rapporto αi misurato da osservazioni
ripetute. Inoltre sia αi ≈1 per ciascun resistore e sia u(αi) sostanzialmente la stessa
per ogni taratura, cosicché u(α i) ≈ u(α ). Allora le equazioni (F.1) ed (F.2) danno
(
)
u 2 (Ri ) = R S2u 2 ( α) + u 2 (R S ) e u Ri , R j = u 2 (R S ) . Ciò implica per via dell'equazione
(14) in 5.2.2 che il coefficiente di correlazione di due resistori qualunque (i ≠ j) è
(
)
r Ri , R j ≡ ri , j
2
  u α
 
(
)
= 1+ 

  u (R S ) R S  


−1
Poiché u (R S ) R S = 10 −4 , se u ( α ) = 100 ×
10 - 6 , r i j ≈
0,5; se
-6
-6
u(α ) = 10 × 10 , rij ≈ 0,990; e se u(α ) = 1 × 10 , rij ≈ 1,000. Così, se u(α ) → 0,
rij → 1 e u (Ri ) → u (R s ) .
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Nota
F.1.2.4
In generale, nelle tarature per confronto come quella dell'esempio precedente, i valori stimati dei
campioni sono correlati, ed il grado di correlazione dipende dal rapporto tra l'incertezza del
confronto e quella del campione di riferimento. Quando, come sovente accade nella pratica,
l'incertezza del confronto è trascurabile rispetto a quella del campione di riferimento, i coefficienti
di correlazione sono uguali a + 1 e l'incertezza di ogni elemento tarato è la stessa di quella del
campione.
(
)
Si può aggirare la necessità di introdurre la covarianza u x i , x j se l'insieme originario di
grandezze d'ingresso X1, X2, . . . , XN, da cui dipende il misurando Y [vedere equazione (1)
in 4.1], viene ridefinito in modo da introdurre, come grandezze d'ingresso indipendenti
aggiuntive, le grandezze Q l comuni a due o più delle X i originali. (Può rendersi
necessario effettuare misure supplementari per stabilire con esattezza la relazione tra Ql
e la X i interessata.) Tuttavia, in talune situazioni accettare le covarianze può essere
vantaggioso rispetto ad aumentare il numero di grandezze d'ingresso. Un processo
analogo può essere effettuato sulle covarianze osservate per osservazioni simultanee
ripetute [vedere equazione (17) in 5.2.3], ma l'identificazione delle grandezze d'ingresso
addizionali appropriate è spesso ad hoc e senza motivazione fisica.
Esempio
Se nell'esempio 1 del precedente punto si introducono nell'espressione per P le
espressioni per I e t in termini di RS, il risultato è
P=
[
C 0VS2
R S2 T0 + αβ 2 (t )R S2 − t 0
]
e la correlazione tra I e t viene evitata al prezzo di sostituire le grandezze d'ingresso I e t
con le grandezze VS, RS e β. Poiché queste sono scorrelate, la varianza di P può essere
ottenuta dall'equazione (10) in 5.1.2.
F.2
COMPONENTI VALUTATE CON ALTRI METODI: VALUTAZIONE DI CATEGORIA B
DELL'INCERTEZZA TIPO
F.2.1
La necessità di valutazioni di categoria B
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Un laboratorio di misura che disponesse di tempo e risorse illimitati potrebbe condurre
un'indagine statistica esauriente su ogni causa di incertezza immaginabile, usando, per
esempio, molti tipi ed esemplari diversi di strumenti, diversi metodi di misura, diverse
applicazioni dello stesso metodo e diversi livelli di approssimazione nei modelli teorici
della sua misurazione. In questo modo le incertezze associate a ciascuna di queste cause
potrebbero essere valutate mediante l'analisi statistica di serie di osservazioni e
l'incertezza di ciascuna causa potrebbe essere caratterizzata da uno scarto tipo valutato
per via statistica. In altre parole, tutte le componenti di incertezza sarebbero ottenute da
valutazioni di categoria A. Poiché tale indagine non è possibile in pratica, molte
componenti dell'incertezza devono essere valutate usando un qualche metodo
praticabile.
F.2.2
F.2.2.1
Distribuzioni determinate matematicamente
La risoluzione di un'indicazione digitale
Una delle fonti di incertezza in uno strumento digitale è la risoluzione del suo dispositivo
indicatore. Per esempio, quand'anche le letture ripetute fossero tutte identiche,
l'incertezza della misurazione attribuibile alla ripetibilità non sarebbe zero, in quanto vi è
un campo di segnali d'ingresso, individuato da un intervallo noto, che produce la stessa
indicazione in uscita. Se la risoluzione del dispositivo indicatore è δ x, il valore della
sollecitazione che produce una indicazione data X può giacere con uguale probabilità in
qualunque punto dell'intervallo compreso tra X - δx/2 e X + δx/2. La sollecitazione è allora
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descritta da una distribuzione di probabilità rettangolare (vedere 4.3.7 e 4.4.5) di
ampiezza δx con varianza u2 = (δx)2/12, vale a dire un'incertezza tipo u = 0,29 δx per
qualsiasi indicazione.
Pertanto uno strumento per pesare con dispositivo indicatore la cui cifra meno
significativa è 1 g ha, a causa della risoluzione del dispositivo, una varianza u2 = (1/12) g2
e dunque un'incertezza tipo u = (1 12 ) g = 0,29 g.
F.2.2.2
Isteresi
Certi tipi di isteresi possono causare un'incertezza di tipo simile. L'indicazione di uno
strumento può differire di una quantità fissa e nota a seconda che le letture siano in
successione crescente o decrescente. L'operatore accorto prende nota della direzione
delle letture successive ed apporta la correzione del caso. Non sempre tuttavia la
direzione dell'isteresi è osservabile: vi possono essere oscillazioni nascoste intorno ad
un punto di equilibrio, cosicchè l'indicazione dipende dalla direzione ignota da cui si
raggiunge il punto di equilibrio. Se il campo di possibili letture causate da questo effetto è
δx, la varianza è u2 = (δx)2/12 e l'incertezza tipo dovuta all'isteresi è u = 0,29 δx.
F.2.2.3
Aritmetica a precisione finita
L'arrotondamento o il troncamento di numeri che si verifica nell'elaborazione automatica
dei dati su calcolatore può costituire un'altra sorgente di incertezza. Si consideri per
esempio un elaboratore elettronico con una lunghezza di parola di 16 bit. Se nel corso
dell'elaborazione un numero avente questa lunghezza di parola viene sottratto da un
altro da cui differisce solo nel 16° bit, rimane un solo bit significativo. Un evento siffatto si
può verificare nella valutazione di algoritmi "mal condizionati", difficili da predire. Si può
ottenere una valutazione empirica dell'incertezza incrementando la grandezza d'ingresso
più importante ai fini del calcolo (spesso ve ne è una proporzionale alla grandezza
d'uscita) di piccoli passi fino ad osservare una variazione della grandezza d'uscita; la più
piccola variazione della grandezza d'uscita ottenibile in questo modo può essere
adottatta come espressione quantitativa dell'incertezza; se tale variazione è δx, la varianza
è u2 = (δx)2/12 e l'incertezza tipo è u = 0,29 δx.
Si può controllare la valutazione dell'incertezza confrontando il risultato del calcolo effettuato sulla
macchina avente una lunghezza di parola limitata con il risultato dello stesso calcolo effettuato su
di una macchina avente una lunghezza di parola significativamente maggiore.
F.2.3
Valori di ingresso importati
F.2.3.1
Un valore importato di una grandezza d'ingresso è quello che non è stato stimato nel
corso di una misurazione ma è stato ottenuto altrove come risultato di una valutazione
indipendente. Sovente tale valore importato è accompagnato da una qualche
dichiarazione circa la sua incertezza. Per esempio, questa può essere data come uno
scarto tipo o un suo multiplo, o come semiampiezza di un intervallo avente un livello di
fiducia specificato. In alternativa possono essere dichiarati i limiti superiore ed inferiore, o
può non esservi alcuna notizia sull'incertezza. In quest'ultimo caso l'utente del valore
deve ricorrere alla sua personale conoscenza sulla possibile ampiezza dell'incertezza,
data la natura della grandezza, l'affidabilità della fonte, le incertezze che si ottengono in
pratica per tali grandezze, ecc.
Nota
F.2.3.2
La discussione dell'incertezza di grandezze d'ingresso importate è inclusa in questo punto relativo
alla valutazione di categoria B dell'incertezza tipo solo per comodità; l'incertezza di una tale
grandezza potrebbe essere composta di componenti ottenute da valutazioni unicamente di
categoria A o da valutazioni delle due categorie, A e B. Non essendo necessario, ai fini del calcolo
dell'incertezza tipo composta, distinguere tra componenti valutate secondo i due metodi, non è
parimenti necessario conoscere la composizione dell'incertezza di una grandezza importata.
Taluni laboratori di taratura hanno adottato la prassi di esprimere "l'incertezza" sotto forma
di limiti superiore ed inferiore che definiscono un intervallo avente livello di fiducia
"minimo", per esempio, "almeno del 95%". Tale pratica può essere vista come un
esempio della cosiddetta incertezza "prudenziale" (vedere E.1.2) che non può essere
convertita in un'incertezza tipo senza sapere come è stata calcolata. Se sono date
informazioni sufficienti, tale incertezza può essere ricalcolata secondo le regole della
guida; altrimenti si deve procedere, con i mezzi disponibili, ad una valutazione
indipendente dell'incertezza.
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Nota
F.2.3.3
Talune incertezze sono date semplicemente sotto forma di limiti massimi entro i quali si
asseriscono giacere tutti i valori della grandezza. È prassi corrente assumere che tutti i
valori interni ai limiti siano equiprobabili (distribuzione di probabilità rettangolare), ma non
ci si dovrebbe comportare così se sussistono ragioni per ritenere che i valori interni ai
limiti, ma ad essi vicini, siano meno probabili di quelli prossimi al centro. Una distribuzione
rettangolare di semiampiezza a ha varianza a2/3; una distribuzione normale per cui a sia la
semiampiezza di un intervallo avente livello di fiducia del 99,73% ha varianza a2/9. Può
essere prudente adottare un compromesso tra questi valori, usando per esempio una
distribuzione triangolare per cui la varianza è a2/6 (vedere 4.3.9 e 4.4.6).
F.2.4
Grandezze di ingresso misurate
F.2.4.1
Osservazione singola, strumenti tarati
F.2.4.2
Osservazione singola, strumenti verificati
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Se una stima d'ingresso è stata ottenuta da una singola osservazione con un particolare
strumento che è stato tarato rispetto ad un campione avente piccola incertezza,
l'incertezza della stima è dovuta prevalentemente alla ripetibilità. La varianza di
osservazioni ripetute dello strumento può essere stata ottenuta in precedente
occasione, ad un valore di lettura non necessariamente identico, ma a questo
sufficientemente vicino da essere utilizzabile come varianza del valore d'ingresso in
questione. Se non è disponibile una simile informazione, si deve fare una stima sulla
base della natura dell'apparato dello strumento di misura o delle varianze note di altri
strumenti di costruzione simile, ecc.
Non tutti gli strumenti di misura sono accompagnati da un certificato o da una curva di
taratura. La maggior parte di essi, tuttavia, sono costruiti in ottemperanza ad una norma ed
il costruttore o una autorità indipendente ne verifica la conformità alla norma stessa.
Solitamente nella norma sono formulati requisiti metrologici, spesso sotto forma di "errore
massimo ammesso" a cui si chiede che lo strumento ottemperi. La conformità dello
strumento a questi requisiti viene accertata mediante confronto con uno strumento di
riferimento la cui incertezza massima ammessa è di solito specificata nella norma. Questa
incertezza è allora una componente dell'incertezza dello strumento verificato.
Se non si sa nulla circa la curva caratteristica dell'errore dello strumento verificato, si deve
fare l'ipotesi che l'errore possa avere qualsiasi valore entro i limiti specificati, si deve cioè
ipotizzare una distribuzione rettangolare. Tuttavia, certi tipi di strumenti hanno curve
caratteristiche tali che gli errori hanno probabilità di essere positivi in una parte del campo
di misura e negativi in altre parti. Talvolta queste informazioni possono essere desunte
dallo studio della norma.
F.2.4.3
Grandezze controllate
Sovente le misurazioni vengono effettuate in condizioni di riferimento controllate che
vengono considerate costanti nel corso di una serie di misurazioni. Per esempio, si
possono effettuare misurazioni su provini immersi in un bagno d'olio a circolazione la cui
temperatura è controllata da un termostato. La temperatura del bagno può essere
misurata ogni volta che si effettua una misurazione su un provino, ma se la temperatura
del bagno ha un andamento ciclico, la temperatura istantanea del provino può non
essere quella misurata. Il calcolo delle fluttuazioni di temperatura del provino e delle loro
varianze sulla base della teoria dello scambio termico va al di là degli scopi della presente
guida, ma presuppone un ciclo di temperatura del bagno noto o ipotizzato. Il ciclo può
essere osservato per mezzo di una termocoppia sottile e di un registratore di
temperatura, ma, in mancanza di ciò, se ne può dedurre un'approssimazione
conoscendo il tipo di controllo.
F.2.4.4
Distribuzioni asimmetriche dei valori possibili
Vi sono occasioni in cui tutti i possibili valori di una grandezza giacciono da una parte sola
di un solo valore limite. Per esempio, quando si misura l'altezza verticale h (il misurando) di
una colonna di liquido in un manometro, l'asse del dispositivo di misura può scostarsi dalla
verticale di un piccolo angolo β. La distanza l determinata dal dispositivo sarà sempre
maggiore di h; non sono possibili valori minori di h, poiché h è uguale alla proiezione
l cos β , per cui l = h/cos β , e tutti i valori di cos β sono minori di uno; nessun valore
maggiore di uno è possibile. Questo cosiddetto "errore del coseno" si può anche
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verificare in modo che la proiezione h' cosβ di un misurando h' è uguale alla distanza
osservata l, l = h' cos β, cosicchè la distanza osservata è sempre minore del misurando.
Se si introduce una nuova variabile δ = 1 − cosβ le due differenti situazioni sono,
ipotizzando β ≈ 0, ovvero δ << 1 come di norma avviene,
h = l (1 − δ)
[F.3a]
h' = l (1 + δ)
[F.3b]
Qui l , la miglior stima di l, è la media aritmetica di n osservazioni ripetute indipendenti lk di l
()
ed ha varianza stimata u 2 l [vedere equazioni (3) e (5) in 4.2]. Dalle equazioni (F.3a) ed
(F.3b) discende dunque che la stima di h o di h' richiede una stima del fattore di
correzione δ, e che la valutazione dell'incertezza tipo composta della stima di h o di h'
richiede la conoscenza di u 2 ( δ) , cioè la varianza stimata di δ . Più specificamente,
applicando l'equazione (10) in 5.1.2 alle equazioni (F.3a) ed (F.3b) si ottiene per
u c2 (h ) e per u c2 (h' ) (cui competono i segni - e + rispettivamente)
()
u c2 = (1 m δ) u 2 l + l u 2 ( δ)
2
()
2
[F.4a]
≈ u 2 l + l u 2 ( δ)
2
[F.4b]
--``,`,,,,,,``,`,,,,,,`,,``,`,,`-`-`,,`,,`,`,,`---
Per stimare il valore atteso e la varianza di δ , si supponga che l'asse del dispositivo
utilizzato per misurare l'altezza della colonna di liquido nel manometro sia vincolato sul
piano verticale e che la distribuzione dei valori dell'angolo di inclinazione β intorno al suo
valore atteso (uguale a zero) sia normale con varianza σ2. Sebbene β possa avere valori
positivi e negativi, δ = 1 − cosβ è positivo per qualunque valore di β. Se si ipotizza che il
disallineamento dell'asse del dispositivo non sia vincolato sul piano verticale,
l'orientamento dell'asse potrà variare su un angolo solido, in quanto sono possibili anche
spostamenti azimuttali, ma in questo caso β sarà un angolo sempre positivo.
Nel caso vincolato o unidimensionale, l'elemento di probabilità p ( β )dβ (C.2.5, nota) è
[ (
)]
proporzionale a exp − β 2 2 σ 2 dβ ; nel caso non vincolato o bidimensionale, l'elemento
[ (
)]
di probabilità è proporzionale a exp − β 2 2 σ 2 sinβdβ . Le densità di probabilità p ( δ) nei
due casi sono le espressioni richieste per determinare il valore atteso e la varianza di δ, da
usarsi poi nelle equazioni (F.3) ed (F.4). Esse possono essere ottenute agevolmente
dagli elementi di probabilità poiché l'angolo β può essere considerato piccolo, per cui le
espressioni δ = 1 − cosβ e sinβ possono essere approssimate dai termini del prim'ordine
dei loro sviluppi in serie di β . Questi sono δ ≈ β 2 2 e sinβ ≈ β ≈ 2 δ , da cui
dβ ≈ dδ
p ( δ) =
2 δ . Le densità di probabilità sono allora
(
1
exp − δ σ 2
σ πδ
)
[F.5a]
in una dimensione, e
p ( δ) =
(
1
exp − δ σ 2
σ2
)
[F.5b]
in due dimensioni, dove
∞
∫ p (δ)dδ = 1
0
Le equazioni (F.5a) ed (F.5b), che mostrano come il valore più probabile della correzione
δ è zero in entrambi i casi, danno nel caso unidimensionale E ( δ) = σ 2 2 e var( δ) = σ 4 2
per il valore atteso e la varianza di δ; e nel caso bidimensionale E ( δ) = σ 2 e var( δ) = σ 4 .
Le equazioni (F.3a), (F.3b) ed (F.4b) diventano allora
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[
]
h' = l [1 + (d 2)u ( β )]
h = l 1 − (d 2)u 2 ( β )
[F.6a]
2
()
[F.6b]
u c2 (h ) = u c2 (h' ) = u 2 l + (d 2)l u 4 ( β )
2
[F.6c]
in cui d è la dimensione (d = 1 o 2) ed u(β) è l'incertezza tipo dell'angolo β, assunta come
migliore stima dello scarto tipo σ di una distribuzione ritenuta normale e da valutarsi
mediante tutte le informazioni disponibili sulla misurazione (valutazione di categoria B).
Questo è un esempio di un caso in cui la stima del valore del misurando dipende
dall'incertezza di una grandezza d'ingresso.
Le equazioni da (F.6a) ad (F.6c) sono specifiche per la distribuzione normale, ma l'analisi
può essere condotta in modo analogo per altre distribuzioni di β . Se per esempio si
ipotizza per β una distribuzione rettangolare simmetrica con limiti superiore ed inferiore
+ β 0 e -β 0 per il caso unidimensionale, e +β 0 e zero per quello bidimensionale, si ha
E ( δ) = β 02 6 e var( δ) = β 04 45 in una dimensione, ed E ( δ) = β 02 4 e var( δ) = β 04 48 in
due dimensioni.
Nota
È questa una situazione in cui il termine del primo ordine dello sviluppo in serie di Taylor della
2
funzione Y = f (X 1, X 2 , . . . , X N ) è insufficiente per ottenere u c ( y ) dall'equazione (10) in 5.1.2,
a causa della non linearità di f: cosβ ≠ cos β (vedere nota 2 a 5.1.2 ed H.2.4). Sebbene si possa
effettuare l'analisi interamente in termini di β, l'introduzione della variabile δ semplifica la trattazione.
Un altro esempio di situazione in cui tutti i possibili valori di una grandezza giacciono da
una stessa parte rispetto ad un solo valore limite è la determinazione per titolazione della
concentrazione di un componente in una soluzione, caso in cui il punto di soglia è
indicato dall'attivazione di un segnale; la quantità di reagente aggiunto è sempre
superiore a quella necessaria ad attivare il segnale. L'eccedenza titolata oltre il punto di
soglia è una variabile richiesta dall'elaborazione dei dati, e la procedura in questo caso, ed
in altri analoghi, è di ipotizzare per l'eccedenza una distribuzione di probabilità appropriata
e di usarla per ottenere il valore atteso e la varianza dell'eccedenza.
Esempio
Se per l'eccedenza si assume una distribuzione rettangolare avente come limite inferiore
zero e come limite superiore C 0, il valore atteso dell'eccedenza è C 0/2 con varianza
associata C 02 12. Se la densità di probabilità dell'eccedenza è ipotizzata normale con
(
0 ≤ z < ∞ , vale a dire p (z ) = σ π 2
varianza σ (1 − 2 π) .
)
−1
(
)
exp − z 2 2 σ 2 , il valore atteso è σ 2 π con
2
F.2.4.5
Incertezza quando non si applicano le correzioni date da una curva di taratura
--``,`,,,,,,``,`,,,,,,`,,``,`,,`-`-`,,`,,`,`,,`---
La nota al 6.3.1 discute il caso in cui una correzione b nota, derivante da un effetto
sistematico significativo, non viene applicata al risultato di una misurazione, ma si tiene
invece conto dell'effetto allargando la "incertezza" assegnata al risultato. Un esempio è la
sostituzione di un'incertezza estesa U con U + b, dove U è l'incertezza estesa ottenuta
nell'ipotesi b = 0. Questa via è praticata talvolta in situazioni in cui valgano tutte le
seguenti condizioni: il misurando Y è definito su di un campo di valori di un parametro t,
come nel caso della curva di taratura di un sensore termico; U e b dipendono anch'essi da
t; si deve dare un solo valore di "incertezza" per tutte le stime y(t) del misurando
nell'intero campo dei possibili valori di t. In tali situazioni il risultato della misurazione viene
sovente riportato come Y(t) = y(t) ± [Umax + bmax], dove il pedice "max" denota l'adozione
dei valori massimi che U e la correzione nota b assumono nell'intero campo di valori di t.
Benché la presente guida raccomandi l'applicazione, ai risultati delle misurazioni, delle
correzioni per effetti sistematici identificati e significativi, ciò può non essere sempre
fattibile per via dell'onere, talvolta inaccettabile, insito nel calcolo e nell'applicazione di
una correzione individuale, e nel calcolo e nell'uso di un'incertezza specifica per ogni
valore di y(t).
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Un metodo relativamente semplice, e tuttavia in accordo con i dettami della presente
guida, può essere il seguente:
Si calcoli un'unica correzione media b da
b=
1
t 2 − t1
∫
t2
t1
b (t )dt
[F.7a]
dove t1 e t2 definiscono il campo di interesse del parametro t, e si assuma, come miglior
stima di Y(t), y'(t) = y(t) + b , dove y(t) è la miglior stima non corretta di Y(t). La varianza
associata alla correzione media b nel campo di interesse è data da
()
u2 b =
[
t2
1
b (t ) − b
∫
t
t 2 − t1 1
]
2
dt
[F.7b]
dove si trascura l'incertezza dell'effettiva determinazione della correzione b(t). La varianza
media della correzione b(t) dovuta alla sua effettiva determinazione è data da
[
]
u 2 b (t ) =
[
]
t2 2
1
u b (t ) d t
∫
t
t 2 − t1 1
[
[F.7c]
]
dove u 2 b (t ) è la varianza della correzione b(t). Analogamente, la varianza media di y(t)
originata da tutte le fonti di incertezza ad esclusione della correzione b(t) è ottenuta da
[
]
u 2 y (t ) =
[
]
t2 2
1
u y (t ) d t
t 2 − t 1 ∫t 1
[
[F.7d]
]
dove u 2 y (t ) è la varianza di y(t) originata da tutte le fonti di incertezza ad esclusione di
b(t). Il valore unico dell'incertezza tipo da usarsi per tutte le stime y'(t) = y(t) + b del
misurando Y(t) è allora la radice quadrata positiva di
[
]
[
]
()
u c2 ( y' ) = u 2 y (t ) + u 2 b (t ) + u 2 b
[F.7e]
Si può ottenere un'incertezza estesa U moltiplicando u c ( y' ) per un fattore di copertura k
scelto in modo adeguato, U = ku c ( y' ) , il che dà Y (t ) = y ' (t ) ± U = y (t ) + b ± U . Tuttavia, si
deve evidenziare l'uso di una stessa correzione media per tutti i valori di t piuttosto che
della correzione specifica per ogni valore di t e si deve chiaramente esplicitare il significato
di U.
F.2.5
Incertezza del metodo di misurazione
F.2.5.1
La componente dell'incertezza forse più difficile da valutare è quella associata al metodo
di misurazione, soprattutto quando i risultati prodotti dall'applicazione del metodo hanno
evidenziato la dispersione più bassa rispetto a quella ottenibile con qualunque altro
metodo conosciuto. È tuttavia probabile che esistano altri metodi, alcuni dei quali ancora
sconosciuti o impraticabili per qualche ragione, capaci di produrre risultati
sistematicamente differenti ma, secondo ogni evidenza, ugualmente validi. Ciò implica
una distribuzione di probabilità a priori, non una da cui si possano facilmente trarre
campioni da trattare statisticamente. Sovente, dunque, l'unico tipo di informazione
utilizzabile per valutare l'incertezza tipo del metodo di misurazione, a dispetto del fatto
che essa può essere il contributo dominante, è l'insieme delle conoscenze disponibili sul
mondo fisico (vedere anche E.4.4).
Nota
La determinazione dello stesso misurando, usando metodi diversi in uno stesso o in differenti
laboratori, oppure usando lo stesso metodo in differenti laboratori, può sovente fornire
informazioni preziose sull'incertezza da attribuire ad un certo metodo. Lo scambio di campioni di
misura o di materiali di riferimento tra laboratori, allo scopo di effettuare misurazioni indipendenti è
in generale un modo proficuo per verificare l'attendibilità delle valutazioni dell'incertezza e per
identificare effetti sistematici precedentemente non sospettati.
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F.2.6
Incertezza del campione
F.2.6.1
Molte misurazioni comportano il confronto di un oggetto incognito con un campione di
riferimento avente caratteristiche analoghe, allo scopo di tarare l'incognito. Tra gli esempi
si contano blocchetti pianparalleli, taluni termometri, pesiere, resistori e materiali di elevata
purezza. Nella maggior parte di tali casi i metodi di misurazione non sono particolarmente
sensibili o negativamente influenzabili dalla selezione e dal trattamento del campione
(vale a dire, lo specifico incognito in taratura), o dagli effetti delle varie grandezze
ambientali d'influenza, in quanto in genere l'incognito ed il campione rispondono nello
stesso modo (sovente predicibile) a tali variabili.
F.2.6.2
Il campionamento ed il trattamento dell'esemplare giocano un ruolo molto più rilevante in
talune situazioni pratiche, quale l'analisi chimica di materiali naturali. Questi, a differenza di
quelli prodotti artificialmente, che possono essere di omogeneità comprovata superiore a
quella richiesta per la misurazione, sono sovente molto disomogenei. Tale
disomogeneità introduce due nuove componenti dell'incertezza. La valutazione della
prima richiede che si determini la rappresentatività del campione scelto rispetto al
materiale sotto analisi. La valutazione della seconda richiede che si determini entro quale
misura i componenti secondari (non misurati) influenzano la misurazione e quanto ne
tenga conto il metodo di misurazione.
F.2.6.3
In taluni casi un attenta progettazione dell'esperimento può consentire la valutazione per
via statistica dell'incertezza dovuta all'esemplare campionato (vedere H.5 ed H.5.3.2). Di
regola tuttavia per valutare detta incertezza, specialmente quando sono significativi gli
effetti delle grandezze d'influenza ambientali sull'esemplare campionato, sono
indispensabili la capacità e l'esperienza dello sperimentatore, unitamente a tutte le
informazioni disponibili.
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APPENDICE G
GRADI DI LIBERTÀ E LIVELLI DI FIDUCIA
G.1
INTRODUZIONE
G.1.1
La presente appendice affronta il problema generale di ottenere, dalla stima y del
misurando Y e dall'incertezza tipo composta u c(y) della stima, un'incertezza estesa
U p = k pu c ( y ) che definisca un intervallo y − U p ≤ Y ≤ y + U p avente probabilità di
copertura o livello di fiducia p elevato e specificato. Esso dunque riguarda l'esigenza di
determinare il fattore di copertura kp che genera un intervallo intorno al risultato della
misurazione y che ci si aspetta comprendere una parte p rilevante e specificata della
distribuzione dei valori ragionevolmente attribuibili al misurando Y (vedere 6).
G.1.2
Nella maggior parte delle situazioni pratiche, il calcolo di intervalli aventi livelli di fiducia
specificati - e invero, già la sola stima della maggior parte delle singole componenti - è
nella migliore delle ipotesi solamente approssimato. Persino lo scarto tipo sperimentale
della media di ben 30 osservazioni ripetute di una grandezza descritta da una
distribuzione normale ha di per sé un'incertezza del 13% circa (vedere prospetto E.1
dell'appendice E).
Nella maggior parte dei casi non ha senso cercare di distinguere tra, per esempio, un
intervallo avente livello di fiducia del 95% (una possibilità su 20 che il valore del misurando
Y giaccia fuori dell'intervallo), ed uno al 94% o al 96% (una possibilità su 17 e su 25
rispettivamente). Ottenere intervalli plausibili con livelli del 99% (una possibilità su 100) o
più è poi particolarmente difficile, anche nell'ipotesi di non avere trascurato alcun effetto
sistematico, a causa della scarsità di informazioni disponibili circa le parti estreme o "code"
delle distribuzioni di probabilità delle grandezze d'ingresso.
G.1.3
Per ottenere il valore del fattore di copertura kp che genera un intervallo corrispondente
ad un livello di fiducia specificato è necessaria la conoscenza dettagliata della
distribuzione di probabilità caratterizzata dal risultato della misurazione e dalla sua
incertezza tipo composta. Per esempio, per una grandezza z descritta da una
distribuzione normale con valore atteso µz e scarto tipo σ, il valore di kp che genera un
intervallo µ z ± k p σ comprendente la porzione p della distribuzione, e dunque avente
probabilità di copertura o livello di fiducia p, è facilmente calcolabile. Il prospetto G.1
fornisce alcuni esempi.
prospetto
G.1
Valore del fattore di copertura k p che genera un intervallo avente livello di fiducia p , nel caso di
distribuzione normale
Livello di fiducia p
Fattore di copertura kp
(per cento)
Nota
68,27
1
90
1,645
95
1,960
95,45
2
99
2,576
99,73
3
Per contrasto, se z è descritta da una distribuzione di probabilità rettangolare con valore atteso µz
e scarto tipo σ = a
3 , dove a è la semiampiezza della distribuzione, il livello di fiducia p è il
per k p = 1,65; ed è il 99% per k p = 1,71; è il 100% per
57,74% per k p = 1; è il 95%
k p ≥ 3 ≈ 1,73 . La distribuzione rettangolare è più "stretta" di quella normale nel senso che essa
ha estensione finita e non ha code.
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G.1.4
Se sono note le distribuzioni di probabilità delle grandezze d'ingresso X1, X2, . . . , XN da
cui dipende il misurando Y [i loro valori attesi e le loro varianze, ed i momenti di ordine
superiore (vedere C.2.13 e C.2.22) qualora le distribuzioni non siano normali], e se Y è
funzione lineare delle grandezze d'ingresso,Y = c 1X 1 + c 2 X 2 + ... + c N X N , allora la
distribuzione di probabilità di Y può essere ottenuta come convoluzione delle singole
distribuzioni di probabilità [10]. Da questa convoluzione risultante si possono poi
calcolare i valori di k p che producono intervalli corrispondenti ad un livello di fiducia
specificato p.
G.1.5
Se la relazione funzionale tra Y e le sue grandezze d'ingresso non è lineare e se uno
sviluppo in serie di Taylor troncato al prim'ordine non rappresenta un'approssimazione
accettabile (vedere 5.1.2 e 5.1.5), allora la distribuzione di probabilità di Y non può essere
ottenuta come convoluzione delle distribuzioni delle grandezze d'ingresso. In questi casi
è necessario adottare altri metodi analitici o numerici.
G.1.6
In pratica, poiché i parametri che caratterizzano le distribuzioni di probabilità delle
grandezze d'ingresso sono di solito solo delle stime, poiché non è realistico aspettarsi di
poter conoscere con grande esattezza il livello di fiducia da associare ad un dato
intervallo, e poiché è complicato ottenere convoluzioni di distribuzioni di probabilità, tali
convoluzioni sono ben raramente utilizzate quando si debbano calcolare intervalli aventi
livello di fiducia specificato. Al loro posto, si usano approssimazioni che sfruttano il
Teorema del Limite Centrale.
G.2
TEOREMA DEL LIMITE CENTRALE
G.2.1
SeY = c 1X 1 + c 2 X 2 + ... + c N X N = ∑i =1c i X i e se tutte le X i sono caratterizzate da
distribuzioni normali, anche la convoluzione risultante che rappresenta la distribuzione di
Y è normale. Tuttavia, anche quando le distribuzioni delle Xi non sono tutte normali, la
distribuzione di Y può sovente essere approssimata con una distribuzione normale
grazie al Teorema del limite centrale. Questo stabilisce che la distribuzione di Y sarà
N
approssimativamente normale con valore atteso E (Y ) = ∑i =1c i E (X i ) e varianza
N
σ 2 (Y ) =
∑
N
c i2 σ 2 (X i ) , in cui E (X i ) e σ 2 (X i ) sono rispettivamente il valore atteso e la
i =1
varianza di X i, se le X i sono indipendenti e se σ 2 (Y ) è molto più grande di ciascuna
singola componente c i2 σ 2 (X i ) originata da una Xi avente distribuzione non normale.
G.2.2
Il Teorema del limite centrale è notevole in quanto evidenzia il ruolo importante giocato
dalle varianze delle distribuzioni delle grandezze d'ingresso, rispetto a quello dei
momenti superiori, nel determinare la forma della distribuzione convoluta di Y. Inoltre
esso implica: che la distribuzione di convoluzione converge alla distribuzione normale al
crescere del numero delle grandezze d'ingresso che contribuiscono a σ 2 (Y ) ; che la
convergenza è tanto più rapida quanto più i valori di ogni c i2 σ 2 (X i ) sono prossimi (ciò
equivale in pratica a che le stime d'ingresso x i contribuiscano in misura analoga
all'incertezza della stima d'uscita y); e che quanto più prossime alla distribuzione normale
sono le distribuzioni delle Xi, tanto più piccolo è il numero di queste necessario affinché
sia normale la risultante distribuzione di Y.
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Esempio
La distribuzione rettangolare (vedere 4.3.7 e 4.4.5) è un esempio estremo di
distribuzione non normale, ma la convoluzione di anche solo tre di esse di pari ampiezza
è approssimativamente normale. Se la semiampiezza di ciascuna delle tre è a, cosicché la
varianza è a2/3, la varianza della convoluzione è σ2 = a2. Gli intervalli comprendenti il 95%
ed il 99% della distribuzione sono individuati da 1,937 σ e 2,379 σ rispettivamente,
laddove i corrispondenti intervalli di una distribuzione normale avente lo stesso scarto
tipo σ sono definiti da 1,960 σ e 2,576 σ (vedere prospetto G.1) [10].
Nota 1
Per qualunque intervallo avente livello di fiducia p maggiore del 91,7% circa, il valore di k p per una
distribuzione normale è maggiore del corrispondente valore per la distribuzione risultante dalla
convoluzione di qualsivoglia numero di distribuzioni rettangolari di qualsivoglia ampiezza.
Nota 2
Dal Teorema del limite centrale discende che la distribuzione di probabilità della media aritmetica
q di n osservazioni q k di una variabile casuale q con valore atteso µq e scarto tipo finito σ tende,
per n → ∞, ad una distribuzione normale di media µ q e scarto tipo σ
distribuzione di probabilità di q.
n , quale che sia la
G.2.3
Una conseguenza pratica del Teorema del limite centrale è che, quando si può stabilire
che le condizioni per la sua validità sono soddisfatte anche solo approssimativamente, in
particolare quando l'incertezza tipo composta u c ( y) non è dominata né da una
componente ottenuta da una valutazione di categoria A sulla base di poche osservazioni
solamente, né da una componente ottenuta da una valutazione di categoria B basata
sull'ipotesi di una distribuzione rettangolare, allora una prima approssimazione
ragionevole per calcolare un'incertezza estesa U p = kpu c(y) che fornisca un intervallo
avente livello di fiducia p è quella di usare per k p un valore preso dalla distribuzione
normale. I valori più comunemente usati per questo scopo sono riportati nel prospetto
G.1.
G.3
DISTRIBUZIONE t E GRADI DI LIBERTÀ
G.3.1
Per ottenere un'approssimazione migliore di quella che può fornire il semplice uso di un
valore kp preso dalla distribuzione normale, come suggerito in G.2.3, si ricordi che per il
calcolo di un intervallo avente livello di fiducia specificato è richiesta la distribuzione non
della variabile Y − E (Y ) σ (Y ) , bensì della variabile ( y − Y ) u c ( y ) . Ciò poiché, in pratica, i
[
]
dati disponibili sono y, cioè la stima di Y ottenuta come y = ∑i =1c i x i , dove le x i sono le
N
stime delle X i, e u c2 ( y ) , cioè la varianza composta associata ad y, valutata mediante
u c2 ( y ) =
Nota
G.3.2
∑
N
c 2u 2
i =1 i
(x i ) , dove u (x i ) è l'incertezza tipo (scarto tipo stimato) della stima xi.
Stretto rigore, nell'espressione ( y − Y ) u c ( y ) , ad Y si dovrebbe sostituire E (Y). Nella presente
guida , per semplicità questa distinzione è stata fatta solamente in alcuni casi. In generale si è usato
lo stesso simbolo per la grandezza fisica, per la variabile casuale che la rappresenta e per il valore
atteso di questa variabile (vedere 4.1.1, note).
Se z è una variabile casuale distribuita normalmente con valore atteso µz e scarto tipo σ, e
se z è la media aritmetica di n osservazioni indipendenti zk di z con s( z ) come scarto tipo
sperimentale di z [vedere le equazioni (3) e (5) in 4.2], la distribuzione della variabile
t = z − µz s z è la distribuzione t o distribuzione di Student (C.3.8) con ν = n − 1
(
) ()
gradi di libertà.
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Di conseguenza, se il misurando Y è una singola grandezza X distribuita normalmente,
Y = X e se X viene stimata mediante la media aritmetica X di n osservazioni indipendenti
Xk di X, con scarto tipo sperimentale della media s( X ), allora la miglior stima di Y è y = X ,
( )
e lo scarto tipo sperimentale di questa stima è u c ( y ) = s X . Dunque la variabile
(
t = z − µz
) s(z ) = (X − X ) s(X ) = (y − Y ) u (y ) è distribuita secondo la distribuzione t
c
con
[
]
Pr −t p (ν ) ≤ t ≤ t p (ν ) = p
[G.1a]
ovvero
[
]
--``,`,,,,,,``,`,,,,,,`,,``,`,,`-`-`,,`,,`,`,,`---
Pr −t p (ν ) ≤ ( y − Y ) u c ( y ) ≤ t p (ν ) = p
[G.1b]
che può essere riscritta come
[
]
Pr y − t p (ν )u c ( y ) ≤ Y ≤ y + t p (ν )u c ( y ) = p
[G.1c)]
In queste espressioni Pr[ ] significa "probabilità che" ed il fattore t p (ν ) è il valore di t, per
un valore specificato del parametro ν - i gradi di libertà (vedere G.3.3) - tale che la porzione
p della distribuzione t è compresa entro l'intervallo da −t p (ν ) a +t p (ν ) . Pertanto
l'incertezza estesa
U p = k pu c ( y ) = t p (ν )u c ( y )
[G.1d]
definisce un intervallo da y - Up a y + Up, convenientemente espresso come Y = y ± U p ,
che ci si aspetta comprendere la porzione p della distribuzione dei valori ragionevolmente
attribuibili a Y, e p è la probabilità di copertura o livello di fiducia dell'intervallo.
G.3.3
I gradi di libertà ν sono pari a n - 1 per una singola grandezza stimata attraverso la media
aritmetica di n osservazioni indipendenti, come mostrato in G.3.2. Se si usano n
osservazioni indipendenti per determinare sia la pendenza sia il termine noto di una linea
retta mediante il metodo dei minimi quadrati, i gradi di libertà delle rispettive incertezze
tipo sono ν = n - 2. Per l'aggiustamento ai minimi quadrati di m parametri con n punti
sperimentali i gradi di libertà dell'incertezza tipo di ciascun parametro sono ν = n - m.
(Vedere [15] per una più approfondita trattazione sui gradi di libertà).
G.3.4
Il prospetto G.2, alla fine di questa appendice riporta valori scelti di t p (ν ) per alcuni valori
di ν e p . Per ν → ∞ la distribuzione t tende alla distribuzione normale e
1
t p (ν ) ≈ (1 + 2 ν ) 2 k p , in cui kp è il fattore di copertura richiesto per ottenere un intervallo
avente livello di fiducia p nel caso di una variabile distribuita normalmente. Pertanto, per p
specificato, il valore di t p (∞) nel prospetto G.2 è uguale al valore di kp nella tabella G.1.
Nota
Sovente la distribuzione t è tabulata in quantili; vengono cioè dati i valori di t1-α , dove 1 - α indica
la probabilità cumulativa ed il quantile è definito dalla relazione
1− α =
∫
t 1− α
-∞
f (t , ν ) dt
nella quale f è la densità di probabilità di t. Dunque t p e t 1−α sono legati da p = 1 − 2α . Per
esempio, il valore del quantile t 0,975 , per il quale 1- α = 0,975 e α = 0,025 è lo stesso di
t p (ν ) per p = 0,95.
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G.4
GRADI DI LIBERTÀ EFFETTIVI
G.4.1
In generale, la distribuzione t non descrive la distribuzione della variabile ( y − Y ) u c ( y ) se
u c2 ( y ) è la somma di due o più componenti di varianze stimate u i2 ( y ) = c i2u 2 (x i ) (vedere
5.1.3), anche se ciascuna x i è la stima di una grandezza d'ingresso X i distribuita
normalmente. Tuttavia, la distribuzione di detta variabile può essere approssimata da una
distribuzione t avente gradi di libertà effettivi ν eff ottenuti dalla formula di WelchSatterthwaite [16, 17, 18]
u c4 ( y ) N u i4 ( y )
=∑
νeff
i =1 νi
[G.2a]
ovvero
νeff =
u c4 ( y )
[G.2b]
u 4 (y )
∑ iν
i
i =1
N
con
N
νeff ≤ ∑ νi
[G.2c]
i =1
dove u c2 ( y ) = ∑i =1u i2 ( y ) (vedere 5.1.3). L'incertezza estesa U p = k pu c ( y ) = t p (νeff )u c ( y )
N
fornisce allora un intervallo Y = y ± U p che ha un livello di fiducia approssimato p.
Nota 1
Se il valore di νeff ottenuto dall'equazione (G.2b) non è intero, come accadrà frequentemente in
pratica, il corrispondente valore di tp può essere ricavato dal prospetto G.2 per interpolazione o
troncando νeff all'intero adiacente più basso.
Nota 2
Se una stima d'ingresso xi è a sua volta ottenuta da due o più altre stime, il valore di νi da usare in
[
]
u i4 ( y ) = c i2u 2 (x i )
2
al denominatore dell'equazione (G.2b) è il numero di gradi di libertà effettivi
calcolato mediante un'espressione equivalente all'equazione (G.2b).
Nota 3
A seconda delle esigenze dei potenziali utenti del risultato della misurazione, può essere utile
calcolare e specificare, oltre a νeff , anche i valori di ν effA e ν effB, che si ottengono dall'equazione
(G.2b) trattando separatamente le incertezze tipo derivanti da valutazioni di categoria A e B. Se si
2
2
2
indicano con u cA ( y ) e u cB ( y ) , rispettivamente, i contributi separati di categoria A e B ad u c ( y ) ,
le varie grandezze sono legate da
2
2
u c2 ( y ) = u cA
(y ) + u cB
(y )
4
4
u c4 ( y ) u cA
(y ) + u cB
(y )
=
νeff
νeffA
νeffB
Esempio
Si supponga che Y = f (X 1, X 2 , X 3 ) = bX 1X 2 X 3 , e si supponga altresì che le stime x1, x2,
x 3 delle grandezze d'ingresso, distribuite normalmente, X 1 , X 2 , X 3 siano le medie
aritmetiche di n 1 = 10, n 2 = 5 ed n 3 = 15 osservazioni ripetute ed indipendenti, con
incertezze tipo u(x1)/x1 = 0,25%, u(x2)/x2 = 0,57% e u(x3)/x3 = 0,82%, rispettivamente. In
questo caso c i = ∂f ∂X i = Y X i (da valutarsi in x 1 , x 2 , x 3 - vedere 5.1.3, nota 1),
[u c (y ) y ]2 = ∑i3=1[u (x i ) x i ]
2
= (1,03%)2 (vedere nota 2 in 5.1.6), e l'equazione (G.2b)
diventa
--``,`,,,,,,``,`,,,,,,`,,``,`,,`-`-`,,`,,`,`,,`---
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νeff =
[u c (y ) y ]4
[u (x i ) x i ]
∑
4
3
νi
i =1
da cui
νeff =
1, 034
= 19, 0
0, 25
0, 57 4 0, 824
+
+
10 − 1 5 − 1 15 − 1
4
G.4.2
In pratica, u c(y) dipende dalle incertezze tipo u(x i) di stime d'ingresso di grandezze
distribuite sia normalmente sia non normalmente, e le u(xi) sono ottenute da distribuzioni
di tipo sia frequentista sia a priori (vale a dire, da valutazioni di categoria A e B).
Considerazioni analoghe valgono per la stima y e per le stime d'ingresso xi da cui questa
dipende. Tuttavia, la distribuzione di probabilità della funzione t = ( y − Y ) u c ( y ) può
essere approssimata mediante la distribuzione t se si sviluppa la funzione stessa in serie
di Taylor nell'intorno del suo valore atteso. In sintesi, ciò è proprio quanto si realizza,
all'ordine di approssimazione più basso, con la formula di Welch-Satterthwaite delle
equazioni (G.2a) o (G.2b).
Sorge il problema di assegnare i gradi di libertà a un'incertezza tipo ottenuta da una
valutazione di categoria B quando si debba calcolare νeff mediante l'equazione (G.2b).
Poichè la definizione appropriata di gradi di libertà attribuisce a ν, così come figura nella
distribuzione t, il significato di valutazione quantitativa dell'incertezza della varianza s 2 z ,
()
si può ricorrere all'equazione (E.7) in E.4.3 per definire
νi ≈
2
1 u (x i )
1  ∆u (x i ) 
≈ 

2
2 σ u (x i )
2  u (x i ) 
[
−2
[G.3)]
]
La grandezza entro parentesi è l'incertezza relativa di u (x i ) ; nel caso dunque di una
valutazione di categoria B dell'incertezza tipo, essa è una grandezza soggettiva il cui
valore è ottenuto con una valutazione scientifica basata sull'insieme delle conoscenze
disponibili.
Esempio
Si supponga che le informazioni disponibili su come sono state valutate la stima
d'ingresso xi e la sua incertezza tipo u(xi) portino a concludere che il valore di u(xi) è
attendibile entro il 25 per cento circa. Si può allora interpretare tale conclusione nel senso
che l'incertezza relativa è ∆ u(x i)/u(x i) = 0,25, per cui, dall'equazione (G.3), si ha
νi = (0,25)-2/2 = 8. Se si fosse invece valutato che il valore di u(xi) è attendibile solamente
entro il 50 per cento, allora si avrebbe ν i = 2. (Vedere anche prospetto E.1
nell'appendice E).
G.4.3
Nella discussione dei punti 4.3 e 4.4 sulla valutazione di categoria B dell'incertezza tipo
basata su di una distribuzione di probabilità iniziale, si è fatta implicitamente l'ipotesi che il
valore di u(xi ) risultante da una siffatta valutazione sia noto esattamente.
Per esempio, quando u(xi) è ottenuto da una distribuzione di probabilità rettangolare di
semiampiezza pari ad a = (a + - a - )/2, come in 4.3.7 e in 4.4.5, u( xi ) = a
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Il valore di tp per p = 95% e ν = 19 è, secondo il prospetto G.2, t95(19) = 2,09; dunque
l'incertezza estesa relativa per questo livello di fiducia è U95 = 2,09 × (1,03%) = 2,2%. Si
può allora affermare che Y = y ± U 95 = y (1 ± 0, 022) (con y da determinarsi mediante
y = bx 1x 2 x 3 ), ovvero che 0,978y ≤ Y ≤ 1,022y, e che il livello di fiducia da associare
all'intervallo è approssimativamente del 95%.
considerata come una costante senza incertezza, in quanto sia a+ sia a-, e dunque anche
a, sono così considerati (ma vedere 4.3.9, nota 2). Ciò implica, dall'equazione (G.3), che
νi → ∞, cioè che 1/νi → 0, senza causare inconvenienti nella valutazione dell'equazione
(G.2b). Inoltre, l'ipotesi che νi → ∞ non è necessariamente fuori dalla realtà; è infatti pratica
comune scegliere a- e a+ in modo tale che la probabilità che la grandezza interessata
giaccia al di fuori dell'intervallo tra a- e a+ è estremamente piccola.
G.5
ALTRE CONSIDERAZIONI
G.5.1
Si trova frequentemente nella letteratura sull'incertezza di misura, o usata allo scopo di
ottenere un'incertezza che si vuole fornisca un intervallo con livello di fiducia del 95%,
un'espressione del tipo
[ ( )
2
U '95 = t 95
ν'eff s 2 + 3u 2
]
1
2
[G.4]
( )
'
'
'
Qui t 95 νeff
è preso dalla distribuzione t per νeff
gradi di libertà e p = 95%; νeff
sono i
gradi di libertà effettivi calcolati dalla formula di Welch-Satterthwaite [equazione (G.2b)] ma
considerando solamente le componenti di incertezza si valutate per via statistica sulla
base di osservazioni ripetute nell'esperimento in corso; s 2 =
(
)
∑c s
2 2
i i
; c i ≡ ∂f ∂x i ;
invece u 2 = ∑ u 2j ( y ) = ∑ c 2j a 2j 3 comprende tutte le altre fonti di incertezza, in cui +aj e
--``,`,,,,,,``,`,,,,,,`,,``,`,,`-`-`,,`,,`,`,,`---
G.5.2
-a j sono i limiti superiore ed inferiore, supposti noti esattamente, di X j relativi alla sua
migliore stima xj (vale a dire, xj - aj ≤ Xj ≤ xj + aj).
Nota
Una componente basata su osservazioni ripetute ma effettuate in occasione diversa
dall'esperimento in corso viene trattata alla stregua di una qualsiasi altra componente inclusa in u2 .
Pertanto, onde poter confrontare in modo significativo l'equazione (G.4) con la successiva (G.5),
si supporrà che tali componenti siano comunque di entità trascurabile.
Se l'incertezza estesa, con livello di fiducia del 95 per cento, viene valutata usando i
metodi raccomandati in G.3 e G.4, l'espressione appropriata è
[
U 95 = t 95 (νeff ) s 2 + u 2
]
1
2
[G.5]
in cui ν eff è calcolato mediante l'equazione (G.2b) includendo nei calcoli tutte le
componenti di incertezza.
Nella maggior parte dei casi il valore di U 95 ottenuto con l'equazione (G.5) sarà maggiore
del valore di U '95 ottenuto con l'equazione (G.4), se si ipotizza che nella valutazione
dell'equazione (G.5) tutte le varianze di categoria B siano ottenute da distribuzioni a priori
di tipo rettangolare con semiampiezze uguali ai limiti a j adottati per il calcolo di u 2
( )
'
nell'equazione (G.4). La cosa si capisce se si considera che, sebbene t 95 νeff
sia
solitamente lievemente maggiore di t 95 (νeff ) , ambedue i fattori sono prossimi a 2, mentre,
laddove in (G.5) u2 viene moltiplicato per t p2 (νeff ) ≈ 4 , in (G.4) viene moltiplicato per 3. Ora,
per u2 << s2 le due espressioni danno valori uguali per U '95 e U 95 , ma, per u2 >> s2, U '95 è
minore di U 95 addirittura del 13 per cento. Dunque, in generale, dall'equazione (G.4) si
ottiene un'incertezza che individua un intervallo con un livello di fiducia minore di quello
individuato dall'incertezza estesa calcolata secondo l'equazione (G.5).
Nota 1
'
'
Ai limiti u2/s 2 → ∞ e e νeff → ∞, U 95
→ 1,732u mentre U 95 → 1,960u. In questo caso U 95
dà un
intervallo con livello di fiducia solamente del 91,7%, mentre U 95 dà un intervallo con livello di
fiducia del 95%. Questo caso è approssimato in pratica quando le componenti ottenute da stime
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di estremi superiori ed inferiori sono dominanti, numerose e hanno valori di u 2j ( y ) = c 2j a 2j 3
paragonabili.
Nota 2
Per una distribuzione normale il fattore di copertura k = 3 ≈ 1,732 produce un intervallo con
livello di fiducia p = 91,673...%. Questo valore di p è robusto nel senso che è, rispetto ad ogni
altro valore, "ottimamente" insensibile a piccoli scostamenti dalla normalità delle grandezze
d'ingresso.
G.5.3
Talvolta una grandezza d'ingresso Xi è distribuita asimmetricamente, cioè le deviazioni di
un segno rispetto al valore atteso sono più probabili di quelle di segno opposto (vedere
4.3.8). Questa caratteristica, sebbene non influisca sul calcolo dell'incertezza tipo u(xi)
della stima xi di Xi, e dunque sulla valutazione di uc(y), può invece influenzare il calcolo di
U.
Di solito conviene fornire un intervallo simmetrico, Y = y ± U , a meno che l'intervallo non
sia tale che vi è una differenza di costo tra le deviazioni nei due segni. Se l'asimmetria di Xi
determina solo una piccola asimmetria nella distribuzione di probabilità caratterizzata dal
risultato della misurazione y e dalla sua incertezza tipo composta uc(y), allora la probabilità
persa da una parte nel ridefinire un intervallo simmetrico è compensata dalla probabilità
guadagnata dall'altra parte. L'alternativa è dichiarare un intervallo simmetrico nella
probabilità (e dunque asimmetrico in U): la probabilità che Y giaccia al di sotto dell'estremo
inferiore y − U − è uguale alla probabilità che Y giaccia al di sopra dell'estremo superiore
y + U + . Ma per poter dichiarare limiti siffatti sono necessarie informazioni più dettagliate
delle semplici stime y e u c(y) [e dunque già delle semplici stime xi e u(xi) di ciascuna
grandezza d'ingresso Xi].
G.5.4
La valutazione dell'incertezza estesa Up, qui proposta in termini di uc(y), νeff e del fattore
t p (νeff ) dalla distribuzione t è solo un'approssimazione, e dunque ha i suoi limiti. La
distribuzione di ( y − Y ) u c ( y ) è rappresentata dalla distribuzione t solamente se la
distribuzione di Y è normale, se la stima y e la sua incertezza tipo composta uc(y) sono
indipendenti e se la distribuzione di u c2 ( y ) è una distribuzione del χ2. L'introduzione di
νeff , equazione (G.2b), affronta solo quest'ultimo aspetto, fornendo per u c2 ( y ) una
distribuzione approssimativamente del χ2; l'altro aspetto, quello legato alla non normalità
di Y, richiede che si prendano in considerazione, oltre alla varianza, gli altri momenti di
ordine superiore.
G.6
RIASSUNTO E CONCLUSIONI
G.6.1
Il fattore di copertura kp che fornisce un intervallo avente livello di fiducia p prossimo ad un
livello specificato può essere individuato solamente se si conosce a fondo la
distribuzione di probabilità di ciascuna grandezza d'ingresso e se queste distribuzioni
vengono combinate per ottenere la distribuzione della grandezza d'uscita. Le stime
d'ingresso xi e le loro incertezze tipo u(xi), da sole, non sono sufficienti a questo scopo.
G.6.2
Poichè i lunghi calcoli necessari per combinare distribuzioni di probabilità sono raramente
giustificati dalla quantità e qualità delle informazioni disponibili, è accettabile
un'approssimazione sulla distribuzione della grandezza d'uscita. Grazie al Teorema del
limite centrale, è di norma sufficiente supporre che la distribuzione di probabilità di
(y − Y ) u c (y ) sia la distribuzione t e scegliere k p = t p (νeff ) , con il fattore t basato su di un
numero effettivo νeff di gradi di libertà di u c ( y ) , ottenuto mediante la formula di WelchSatterthwaite, equazione (G.2b).
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G.6.3
Per ricavare νeff dall'equazione (G.2b) è necessario conoscere i gradi di libertà νi di ogni
componente di incertezza tipo. Per una componente ottenuta da una valutazione di
categoria A, si ricava νi dal numero di osservazioni ripetute e indipendenti su cui è basata
la corrispondente stima d'ingresso e dal numero di grandezze indipendenti determinate
da quelle osservazioni (vedere G.3.3). Per una componente ottenuta da una valutazione
di categoria B, si ricava νi quantificando l'affidabilità del valore di quella componente
[vedere G.4.2 e l'equazione (G.3)].
G.6.4
Si riassume qui il metodo preferibile per calcolare un'incertezza estesa U p = k pu c ( y ) che
si vuole individui un intervallo Y = y ± U p avente livello di fiducia approssimato p:
1) Si ottengano y e uc(y) come descritto in 4 e 5.
2) Si calcoli νeff mediante la formula di Welch-Satterthwaite, equazione (G.2b) (qui
ripetuta per facilità di consultazione)
νeff =
u c4 ( y )
[G.2b]
u 4 (y )
∑ iν
i
i =1
N
Se u(xi) proviene da una valutazione di categoria A, si determini νi come delineato in
G.3.3. Se u(xi) proviene da una valutazione di categoria B e può essere considerata nota
in modo esatto, come accade sovente, νi → ∞; altrimenti, si stimi νi usando l'equazione
(G.3).
3) Si ricavi, dalla tabella G.2, il fattore t p (νeff ) corrispondente al livello di fiducia p
desiderato. Se νeff non è un numero intero, si interpoli, o si tronchi νeff .
4) Si scelga k p = t p (νeff ) e si calcoli U p = k pu c ( y ) .
G.6.5
In talune situazioni, presumibilmente poco frequenti, le condizioni di validità del Teorema
del limite centrale possono non essere soddisfatte e dunque il metodo descritto in G.6.4
porta a risultati non accettabili. Per esempio, se u c ( y ) è dominata da una componente
d'incertezza valutata da una distribuzione rettangolare i cui estremi si presumono noti
esattamente, può accadere [se t p (νeff ) > 3 ] che y + U p e y - U p , i limiti superiore ed
inferiore dell'intervallo definito da Up, giacciano al di fuori dei limiti della distribuzione di
probabilità della grandezza d'ingresso Y. Tali eventualità vanno trattate caso per caso, ma
sono sovente riconducibili a trattamenti analitici approssimati (come per esempio la
convoluzione di una distribuzione normale con una rettangolare [10]).
G.6.6
Per molte situazioni pratiche, in un ampio spettro di campi di attività valgono le seguenti
condizioni:
- la stima y del misurando Y è ricavata da stime x i di un numero significativo di
grandezze d'ingresso Xi, caratterizzate da distribuzioni di probabilità ben individuate,
come la distribuzione normale o quella rettangolare;
- le incertezze tipo u(xi) di queste stime, ottenute da valutazioni di categoria A o B,
contribuiscono equamente all'incertezza tipo composta u c (y) del risultato della
misurazione y;
- l'approssimazione lineare implicita nella legge di propagazione dell'incertezza è
adeguata (vedere 5.1.2 ed E.3.1);
- l'incertezza di uc(y) è ragionevolmente piccola in quanto i gradi di libertà effettivi νeff
sono sufficienti, orientativamente più di 10.
In queste circostanze, grazie al Teorema del limite centrale, si può ritenere normale la
distribuzione di probabilità caratterizzata dal risultato della misurazione e dalla sua
incertezza tipo composta; inoltre, u c (y ) può essere considerata una stima
ragionevolmente affidabile dello scarto tipo di quella distribuzione normale grazie al valore
ragionevolmente elevato di νeff . Quindi, sulla base della discussione di questa
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appendice, in particolare di quanto detto a proposito della natura approssimata del
processo di valutazione dell'incertezza e a proposito della vanità di ogni tentativo di
distinguere tra intervalli aventi livelli di fiducia differenti di uno o due per cento, si può
procedere come segue:
- si adotta k = 2 e si ammette che U = 2uc(y) definisce un intervallo avente livello di
fiducia approssimativamente del 95%;
oppure, per applicazioni più critiche,
- si adotta k = 3 e si ammette che U = 3uc(y) definisce un intervallo avente livello di
fiducia approssimativamente del 99%.
Sebbene questo metodo sia adatto in moltissimi casi pratici, la sua applicabilità a
qualsivoglia caso specifico dipende da quanto prossimo a t 95 (νeff ) deve essere k = 2, o
k = 3 a t 99 ( νeff ) ; vale a dire, da quanto prossimo al 95% o al 99%, rispettivamente, deve
essere il livello di fiducia dell'intervallo definito da U = 2uc(y) o U = 3uc(y). Sebbene, per
νeff = 11, k = 2 e k = 3 sottostimino t 95 (11) e t 99 (11) solo del 10% e del 4% rispettivamente
(vedere prospetto G.2), ciò può, in certi casi, non essere accettabile. Inoltre, per tutti i
valori di νeff maggiori di 13, k = 3 produce un intervallo avente livello di fiducia maggiore
del 99%. (Vedere prospetto G.2, in cui si evidenzia anche che per νeff → ∞ i livelli di
fiducia degli intervalli prodotti da k = 2 e k = 3 sono 95,45% e 99,73% rispettivamente).
Pertanto, in pratica, l'applicabilità del metodo descritto è condizionata dal valore di νeff e
dalle finalità dell'incertezza estesa.
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prospetto
G.2
Valore di t p (ν ) dalla distribuzione t con ν gradi di libertà che definisce un intervallo tra − t p (ν ) e
+ t p (ν ) comprendente la frazione p della distribuzione
ν
68,27(a)
90
95
95,45(a)
99
99,73(a)
1
1,84
6,31
12,71
13,97
63,66
235,80
2
1,32
2,92
4,30
4,53
9,92
19,21
3
1,20
2,35
3,18
3,31
5,84
9,22
4
1,14
2,13
2,78
2,87
4,60
6,62
5
1,11
2,02
2,57
2,65
4,03
5,51
6
1,09
1,94
2,45
2,52
3,71
4,90
7
1,08
1,89
2,36
2,43
3,50
4,53
8
1,07
1,86
2,31
2,37
3,36
4,28
9
1,06
1,83
2,26
2,32
3,25
4,09
10
1,05
1,81
2,23
2,28
3,17
3,96
11
1,05
1,80
2,20
2,25
3,11
3,85
12
1,04
1,78
2,18
2,23
3,05
3,76
13
1,04
1,77
2,16
2,21
3,01
3,69
14
1,04
1,76
2,14
2,20
2,98
3,64
15
1,03
1,75
2,13
2,18
2,95
3,59
16
1,03
1,75
2,12
2,17
2,92
3,54
17
1,03
1,74
2,11
2,16
2,90
3,51
18
1,03
1,73
2,10
2,15
2,88
3,48
19
1,03
1,73
2,09
2,14
2,86
3,45
20
1,03
1,72
2,09
2,13
2,85
3,42
25
1,02
1,71
2,06
2,11
2,79
3,33
30
1,02
1,70
2,04
2,09
2,75
3,27
35
1,01
1,70
2,03
2,07
2,72
2,23
40
1,01
1,68
2,02
2,06
2,70
3,20
45
1,01
1,68
2,01
2,06
2,69
3,18
50
1,01
1,68
2,01
2,05
2,68
3,16
100
∞
1,005
1,660
1,984
2,025
2,626
3,077
1,000
1,645
1,960
2,000
2,576
3,000
(a)
Per una grandezza z descritta da una distribuzione normale con valore atteso µ z e scarto tipo σ,
l'intervallo µz ± k σ comprende p = 68,27%, 95,45% e 99,73% della distribuzione per k = 1, 2 e 3
rispettivamente.
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Frazione p in per cento
Gradi di libertà
ESEMPI
Questa appendice presenta sei esempi, da H.1 ad H.6, sviluppati in modo da illustrare in
dettaglio i principi esposti nella presente guida per valutare ed esprimere l'incertezza di
misura. Questi esempi, unitamente agli altri già presentati, dovrebbero mettere l'utente
della presente guida nelle condizioni di poterne applicare i principi al proprio campo di
attività.
Gli esempi, date le finalità illustrative, sono stati per forza di cose schematizzati. Inoltre
essi, essendo stati scelti, così come i valori usati per i dati, essenzialmente per dimostrare
i principi della guida, non devono essere considerati necessariamente rappresentativi di
misurazioni reali. Per evitare errori di arrotondamento, si son conservate, nei calcoli
intermedi sui dati, più cifre di quante se ne presentino. Pertanto, il risultato di un calcolo in
cui intervengano numerose grandezze può differire lievemente da quello che si avrebbe
usando i valori numerici presentati nel testo.
È già stato evidenziato in altre parti della guida che la classificazione in categoria A e
categoria B dei metodi usati per valutare le componenti dell'incertezza ha carattere
esclusivamente pratico e non è necessaria per determinare l'incertezza tipo composta o
l'incertezza estesa del risultato di una misurazione, poiché tutte le componenti sono
trattate nello stesso modo, indipendentemente da come sono state ottenute (vedere
3.3.4, 5.1.2 e E.3.7). Pertanto negli esempi non si assegna esplicitamente una categoria
ai metodi usati per valutare le varie componenti. Questa emergerà comunque
chiaramente dalla discussione.
H.1
TARATURA DI BLOCCHETTI PIANO-PARALLELI
Questo esempio dimostra come anche una misurazione apparentemente semplice
possa implicare aspetti insospettati e sottili considerazioni in merito alla valutazione
dell'incertezza.
H.1.1
Il problema sperimentale
La lunghezza di un blocchetto piano-parallelo avente valore nominale 50 mm viene
determinata per confronto con un campione di riferimento noto di pari lunghezza
nominale. Il risultato del confronto tra i due blocchetti è direttamente la differenza d delle
loro lunghezze:
d = l (1 + αθ) − l S (1 + αS θS )
dove:
l
lS
α ed αS
θ e θS
H.1.2
[H.1]
è il misurando, ovvero la lunghezza a 20 °C del blocchetto pianparallelo in
taratura;
è la lunghezza a 20 °C del campione di riferimento, secondo il suo certificato di
taratura;
sono i coefficienti di dilatazione termica del blocchetto in taratura e del
blocchetto campione rispettivamente;
sono scostamenti della temperatura del blocchetto in taratura e del blocchetto
campione, rispettivamente, alla temperatura di riferimento di 20 °C.
Modello matematico
Dall'equazione (H.1), il misurando è dato da
l=
l S (1 + αS θS ) + d
(1+ αθ)
= l S + d + l S ( αS θS − αθ) + ...
[H.2]
Se si scrivono la differenza di temperatura tra il blocchetto in taratura ed il campione come
δθ = θ − θS e la differenza dei loro coefficienti di dilatazione termica come δα = α − αS ,
l'equazione (H.2) diventa
l = f (l S , d , αS , θ, δα, δθ) = l S + d − l S [ δα ⋅ θ + αS ⋅ δθ]
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[H.3]
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--``,`,,,,,,``,`,,,,,,`,,``,`,,`-`-`,,`,,`,`,,`---
APPENDICE H
Si stimano nulle le differenze δθ e δα, ma non le loro incertezze; si assume altresì che
δα, αS , δθ e θ siano scorrelati. (Se il misurando fosse espresso in funzione delle variabili
θ, θS, α ed αS sarebbe necessario tenere conto delle correlazioni tra θ e θS e tra α ed αS).
Dall'equazione (H.3) discende che la stima del valore del misurando l può essere ottenuta
dalla semplice espressione l S + d , dove lS è la lunghezza a 20 °C del campione di
riferimento, secondo il suo certificato di taratura, e d è stimata da d , la media di n = 5
osservazioni indipendenti ripetute. Si ottiene l'incertezza tipo composta u c (l) di l
applicando l'equazione (10) di 5.1.2 all'equazione (H.3), come trattato nel seguito.
Nota
H.1.3
Per semplicità di notazione, in questo come negli altri esempi si usa lo stesso simbolo tanto per la
grandezza quanto per la sua stima.
Varianze dei contributi all'incertezza
Gli aspetti rilevanti di questo esempio, discussi in questo paragrafo e nei successivi, sono
schematizzati nel prospetto H.1.
Poiché si è assunto δα = 0 e δθ = 0 , l'applicazione dell'equazione (10) di 5.1.2
all'equazione (H.3) dà
2 2
2 2
u c2 (l ) = c S2u 2 (l S ) + c d2u 2 (d ) + c α2S u 2 ( αS ) + c θ2u 2 ( θ) + c δα
u ( δα) + c δθ
u ( δθ)
[H.4]
con
c S = ∂ f ∂ l S = 1 − (δα ⋅ θ + α S ⋅ δθ ) = 1
c d = ∂f ∂ d = 1
c α S = ∂f ∂ α S = −l Sδθ = 0
cθ = ∂f ∂ θ = −l S δα = 0
c δα = ∂f ∂ δα = −l S θ
da cui
u c2 (l ) = u 2 (l S ) + u 2 (d ) + l S2θ 2u 2 (δα ) + l S2α S2u 2 (δθ ) .
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c δθ = ∂f ∂ δθ = −l Sα S
prospetto
H.1
Componente
tipo di
incertezza
Riassunto delle componenti tipo d'incertezza
Sorgente dell'incertezza
Valore dell'incertezza
tipo u ( x i )
u (x i )
ci ≡
u i (l ) ≡
∂f / ∂x i
c i u (x i )
Gradi di libertà
(nm)
u (l S )
Taratura del campione di riferimento
25 nm
1
25
18
u (d )
Differenza misurata tra i blocchetti
9,7 nm
1
9,7
25,6
()
osservazioni ripetute
5,8 nm
24
u (d 1)
effetti casuali del comparatore
3,9 nm
5
u (d 2 )
effetti sistematici del comparatore
6,7 nm
8
ud
u ( αS )
Coefficiente di dilatazione termica del blocchetto
campione
1,2 × 10-6 °C-1
0
0
u(θ )
Temperatura del supporto di lavoro
0,41 °C
0
0
− lSθ
2,9
50
− l S αS
16,6
2
()
uθ
temperatura media del supporto
0,2 °C
u ( ∆)
variazione ciclica della temperatura ambiente
0,35 °C
u (δα )
Differenza dei coefficienti di dilatazione termica dei
blocchetti
0,58 × 10-6 °C-1
u (δθ )
Differenza di temperatura dei blocchetti
0,029 °C
--``,`,,,,,,``,`,,,,,,`,,``,`,,`-`-`,,`,,`,`,,`---
u c2 (l ) = ∑ u i2 (l ) = 1002 nm2
u c (l ) =
νeff (l ) =
H.1.3.1
32 nm
16
Incertezza di taratura del campione di riferimento, u(lS)
Il certificato di taratura dichiara un'incertezza estesa del campione U = 0,075 µm, ottenuta
usando un fattore di copertura k = 3. Dunque l'incertezza tipo è
u (l S ) = (0, 075 µm) 3 = 25 nm
H.1.3.2
Incertezza della differenza di lunghezza misurata, u(d)
Lo scarto tipo cumulato che caratterizza il confronto di l ed lS, determinato in precedenza
mediante la variabilità di 25 osservazioni ripetute e indipendenti della differenza di
lunghezza di due blocchetti campione, è pari a 13 nm. Nel confronto di questo esempio
si sono effettuate cinque osservazioni ripetute. L'incertezza tipo associata alla loro media
è pertanto (vedere 4.2.4)
() ()
u d = s d = (13 nm)
5 = 5, 8 nm
Secondo il certificato di taratura del comparatore usato per confrontare l ed lS, la sua
incertezza "dovuta ad errori casuali" è ± 0,01 µm ad un livello di fiducia del 95% e stimata
sulla base di 6 misurazioni ripetute; pertanto l'incertezza tipo, usando il fattore t
appropriato per ν = 6 - 1 = 5 gradi di libertà, t95(5) = 2,57 (vedere appendice G, prospetto
G.2), è
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u (d 1) = (0,01 µm) 2, 57 = 3, 9 nm
L'incertezza del comparatore "dovuta ad errori sistematici" è data nel certificato pari a
0,02 µm "al livello di tre sigma". L'incertezza tipo corrispondente è dunque
u (d 2 ) = (0,02 µm) 3 = 6, 7 nm
Si ottiene il contributo totale sommando le varianze stimate:
()
u 2 (d ) = u 2 d + u 2 (d 1) + u 2 (d 2 ) = 93 nm2
ovvero
u (d ) = 9, 7 nm
H.1.3.3
Incertezza del coefficiente di dilatazione termica, u ( αS)
Il coefficiente di dilatazione termica del blocchetto campione è dichiarato pari ad
αS = 11,5 × 10-6 °C-1 con un'incertezza rappresentata da una distribuzione rettangolare
con limiti ± 2 × 10-6 °C-1. L'incertezza tipo è allora [vedere equazione (7) in 4.3.7]
(
)
u ( αS ) = 2 × 10 −6 °C-1
3 = 1, 2 × 10 −6 °C-1
Poiché c α S = ∂ f ∂ α S = − l Sδθ = 0, come indicato in H.1.3, questa incertezza, al
prim'ordine, non contribuisce all'incertezza di l. Esiste un contributo del secondo ordine,
che sarà trattato in H.1.7.
H.1.3.4
Incertezza dello scostamento della temperatura del blocchetto, u (θ)
La temperatura del supporto di lavoro è dichiarata pari a (19,9 ± 0,5) °C; la temperatura al
momento delle singole osservazioni non è stata misurata. Si afferma altresì che lo
scostamento massimo dichiarato, ∆ = 0,5 °C, rappresenta l'ampiezza di una variazione
approssimativamente ciclica della temperatura sotto l'effetto del controllo di un sistema
termostatico, e non l'incertezza della temperatura media. Si dichiara che il valore dello
scostamento medio della temperatura
θ = 19, 9 °C - 20 °C = - 0,1 °C
ha anch'esso un'incertezza tipo dovuta all'incertezza della temperatura media del
supporto di lavoro
u( θ) = 0,2 °C
mentre la variazione ciclica nel tempo produce una distribuzione di temperature ad U
(arcoseno), che produce un'incertezza tipo
u ( ∆ ) = (0, 5 °C)
2 = 0, 35 °C
Lo scostamento della temperatura θ può essere considerato pari a θ , e l'incertezza tipo di
θ è ottenuta da
()
u 2 ( θ) = u 2 θ + u 2 ( ∆) = 0,165 °C2
da cui
u ( θ) = 0, 41 °C
Poiché, come indicato in H.1.3, cθ = ∂ f ∂ θ = − l Sδα = 0, anche questa incertezza, al
primo ordine, non contribuisce all'incertezza di l; anch'essa ha però un contributo di
secondo ordine, trattato in H.1.7.
H.1.3.5
Incertezza della differenza dei coefficienti di dilatazione termica, u ( δα)
I limiti di variabilità stimati per δα sono pari a ± 1 × 10-6 °C-1, con uguale probabilità per
ogni valore entro tali limiti. L'incertezza tipo è
(
)
u ( δα) = 1 × 10 −6 °C-1
3 = 0, 58 × 10 −6 °C-1
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H.1.3.6
Incertezza della differenza di temperatura dei blocchetti, u(δθ)
Ai due blocchetti è attribuita la stessa temperatura, ma si stima che la differenza tra essi
può avere con uguale probabilità un qualunque valore entro l'intervallo compreso
tra - 0,05 °C e + 0,05 °C. L'incertezza tipo è
u ( δθ) = (0,05 °C)
H.1.4
3 = 0, 029 °C
Incertezza tipo composta
Sostituendo nell'equazione (H.5) i valori numerici dei vari termini sopra discussi, si ottiene
l'incertezza tipo composta uc(l)
(
)
u c2 (l ) = (25 nm) + (9,7 nm) + (0, 05 m) ( − 0,1 °C) 0,58 × 10-6 °C-1
2
2
(
2
)
+ (0, 05 m) 11, 5 × 10-6 °C-1
2
2
2
2
(H.6a)
(0,029 °C)2
= (25 nm) + (9,7 nm) + (2, 9 nm) + (16,6 nm)
2
2
2
2
(H.6b)
= 1002 nm2
da cui
u c (l ) = 32 nm
[H.6c]
La componente dominante dell'incertezza è ovviamente quella tipo, u (l S ) = 25 nm .
H.1.5
Risultato
Il certificato di taratura dà per la lunghezza a 20 °C del blocchetto campione
lS = 50,000 623 mm. La media d di cinque osservazioni ripetute della differenza di
lunghezza tra il blocchetto campione e l'incognito è 215 nm. Pertanto, poiché l = l S + d
(vedere H.1.2), la lunghezza l a 20 °C del blocchetto incognito è 50,000 838 mm.
Seguendo 7.2.2, si può dichiarare il risultato della misurazione nella forma:
l = 50,000 838 mm con incertezza tipo composta u c = 32 nm . L'incertezza tipo composta
relativa corrispondente è u c l = 6, 4 × 10 −7 .
H.1.6
Incertezza estesa
Si supponga che sia richiesta un'incertezza estesa U99 = k99uc(l) che dunque individua un
intervallo avente un livello di fiducia del 99% approssimativamente. La procedura da
seguire è delineata in G.6.4, ed i gradi di libertà richiesti sono indicati nel prospetto H.1.
Essi sono stati ottenuti come segue:
1) Incertezza di taratura del campione di riferimento, u(lS ) [H.1.3.1]. Il certificato di
taratura dichiara che i gradi di libertà effettivi dell'incertezza tipo composta su cui è
basata l'incertezza estesa dichiarata sono νeff(lS) = 18.
2) Incertezza della differenza di lunghezza misurata, u(d) [H.1.3.2]. Benché d sia stato
ottenuto da cinque osservazioni ripetute, u d risulta da uno scarto tipo cumulato
()
()
basato su 25 osservazioni; per questa ragione u d ha un numero di gradi di libertà
()
comparatore, u (d 1) , ha ν(d 1) = 6 − 1 = 5 gradi di libertà, in quanto d 1 risulta da sei
misurazioni ripetute. L'incertezza di ± 0,02 µm per effetti sistematici sul componente
può essere ritenuta affidabile entro il 25%, ed ha dunque, secondo l'equazione (G.3)
in (G.4.2), ν (d 2 ) = 8 gradi di libertà (vedere esempio di G.4.2). I gradi di libertà effettivi
di u(d), νeff (d ) , vengono allora calcolati dall'equazione (G.2b) in G.4.1:
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ν d = 25 − 1 = 24 (vedere H.3.6, nota). L'incertezza dovuta ad effetti casuali sul
[u (d ) + u (d ) + u (d )]
(d ) =
2
νeff
2
2
2
1
2
( ) + u (d ) + u (d )
ν (d )
ν (d )
ν (d )
u4 d
4
4
1
1
=
2
(9, 7 nm)4
(5, 8 nm)4 + (3,9 nm)4 + (6,7 nm)4
24
2
5
= 25, 6
8
3) Incertezza della differenza dei coefficienti di dilatazione termica, u(δα) [H.1.3.5]. I limiti
di variabilità stimati per δα, pari a ± 1 × 10-6 °C-1, sono attendibili entro il 10 per cento.
Ciò dà, sulla base dell'equazione (G.3) in G.4.2, ν(δα) = 50.
4) Incertezza della differenza di temperatura dei blocchetti, u(δθ) [H.1.3.6]. L'intervallo
compreso tra - 0,05 °C e + 0,05 °C, relativo alla differenza di temperatura stimata tra i
due blocchetti, è affidabile solamente entro il 50 per cento, il che, dall'equazione
(G.3) in G.4.2, dà ν(δθ) = 2.
Il calcolo di νeff(l) dall'equazione (G.2b) in G.4.1 procede esattamente nello stesso modo
di quello di νeff (d ) al punto 2) di cui sopra. Pertanto, dalle equazioni (H.6b) ed (H.6c), ed
usando i valori ottenuti per ν da 1) a 4),
(32 nm)4
(25 nm)4 + (9,7 nm)4 + (2,9 nm)4 + (16,6 nm)4
18
25, 6
50
= 16, 7
2
Per ottenere l'incertezza estesa richiesta, questo valore viene innanzitutto troncato
all'intero inferiore, νeff (l ) = 16 . Dal prospetto G.2 nell'appendice G discende
t99(16) = 2,92, e dunque U99 = t99(16)uc(l) = 2,92 × (32 nm) = 93 nm. Seguendo 7.2.4, il
risultato della misurazione può essere espresso come:
l = (50,000 838 ± 0,000 093) mm, dove il numero che segue il simbolo ± è il valore
numerico di un'incertezza estesa U = kuc, con U determinata sulla base di un'incertezza
tipo composta uc = 32 nm ed un fattore di copertura k = 2,92 basato sulla distribuzione t
per ν = 16 gradi di libertà, e definisce un intervallo che si stima avere un livello di fiducia
del 99 per cento. L'incertezza estesa relativa è U/l = 1,9 × 10-6.
H.1.7
Termini del secondo ordine
La nota al 5.1.2 evidenzia che l'equazione (10), usata in questo esempio per ottenere
l'incertezza tipo composta u c (l), deve essere completata quando la funzione
Y = f (X 1, X 2 , . . . , X N ) è non lineare in misura così rilevante che i termini di ordine
superiore nello sviluppo in serie di Taylor non possono essere tralasciati. È questo il caso
dell'esempio, per cui la valutazione di uc(l) qui presentata non è completa. Infatti, se si
applica l'espressione della nota di 5.1.2 all'equazione (H.3), si ottengono due distinti
termini del secondo ordine non trascurabili, che devono dunque essere aggiunti
all'equazione (H.5). Questi termini, originati dal termine quadratico dell'espressione
menzionata, sono
l S2u 2 ( δα)u 2 ( θ) + l S2u 2 ( αS )u 2 ( δθ)
ma solo il primo di essi contribuisce in misura significativa ad uc(l):
(
)
l Su ( δα)u ( θ) = (0, 05 m) 0, 58 × 10 −6 °C-1 (0, 41 °C) = 11, 7 nm
(
)
l Su ( αS )u ( δθ) = (0, 05 m) 1, 2 × 10 −6 °C-1 (0, 029 °C) = 1, 7 nm
I termini di secondo ordine aumentano il valore di uc(l) da 32 nm a 34 nm.
H.2
MISURAZIONE SIMULTANEA DI RESISTENZA E REATTANZA
Questo esempio illustra il caso in cui più misurandi (o grandezze d'uscita), sono
determinati simultaneamente nella medesima misurazione evidenziando la conseguente
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νeff (l ) =
correlazione delle loro stime. L'esempio considera solamente le variazioni casuali delle
osservazioni; nella situazione reale, anche le incertezze delle correzioni per gli effetti
sistematici contribuiscono all'incertezza dei risultati della misurazione. I dati sono analizzati
in due modi diversi, che conducono agli stessi valori numerici.
H.2.1
Il problema sperimentale
La resistenza R e la reattanza X di un elemento circuitale vengono determinate misurando
l'ampiezza V di una differenza di potenziale sinusoidale attraverso i suoi terminali,
l'ampiezza I della corrente alternata che lo attraversa e l'angolo di fase φ tra la differenza di
potenziale e la corrente. Dunque le tre grandezze d'ingresso sono V, I e φ mentre le tre
grandezze d'uscita - i misurandi - sono le tre componenti dell'impedenza R, X e Z. Poiché
Z 2 = R 2 + X 2 , vi sono solamente due grandezze d'uscita indipendenti.
H.2.2
Modello matematico e dati
I misurandi sono legati alle grandezze d'ingresso dalla legge di Ohm:
V
cos φ;
I
X=
V
sen φ;
I
Z =
V
I
[H.7]
Si supponga di ottenere cinque gruppi indipendenti di osservazioni simultanee delle tre
grandezze d'ingresso V, I e φ, in condizioni simili (vedere B.2.15), rappresentati dai dati
forniti nel prospetto H.2. Qui vengono riportate anche le medie aritmetiche delle
osservazioni e gli scarti tipo sperimentali di queste medie calcolati dalle equazioni (3) e (5)
in 4.2. Le medie vengono considerate le migliori stime dei valori attesi delle grandezze
d'ingresso e gli scarti tipo sperimentali sono le incertezze tipo delle suddette medie.
Le medie V , I e φ , risultando da osservazioni simultanee, sono correlate e di tali
correlazioni si deve tenere conto nella valutazione delle incertezze tipo dei misurandi R, X
e Z. Dall'equazione (14) in 5.2.2 si ottengono facilmente i coefficienti di correlazione
cercati, usando i valori di s V , I , s V , φ ed s I, φ calcolati mediante l'equazione (17) in
( ) ( )
( )
5.2.3. I risultati sono inclusi nella tabella H.2, a proposito della quale si ricordi che
r x i , x j = r x j , x i e r (x i , x i ) = 1.
(
H.2.3
) (
)
Risultati: metodo 1
Il metodo 1 è riassunto nella tabella H.3.
Si ottengono i valori dei tre misurandi R, X e Z dalle relazioni date nell'equazione (H.7),
usando per V, I e φ i valori medi V , I e φ del prospetto H.2. Si ottengono le incertezze
tipo di R, X e Z dalla equazione (16) in 5.2.2 poiché, come sopra precisato, le grandezze
d'ingresso V , I e φ sono correlate. Si consideri per esempio Z = V I . Identificando V
con x 1, I con x 2 e Z = V I con f, l'equazione (16) in 5.2.2 dà per l'incertezza tipo
composta di Z
2
2
V 
 1
 1
u c2 (Z ) =   u 2 V +  2  u 2 I + 2 
 I
 I
I 
()
( ) 
u V
=Z 
 V

2
2
()
( ) 
u I
+Z 

 I


2
 V
− 2  u V u I r V ,I
 I 
2
( ) ()( )
( )   u ( I )  r
u V
− 2Z 2 

 V


 I 


(V , I )
[H.8a]
[H.8b]
ovvero
( )
[H.8c]
( ) () ( ) () ( )
in cui u (V ) = s (V ) , u ( I ) = s ( I ) ed il pedice "r" nell'ultima espressione indica che u è
u c2,r Z = u r2 V + u r2 I − 2u r V u r I r V , I
un'incertezza relativa. Sostituendo nell'equazione (H.8a) i valori appropriati della tabella
H.2 si ha uc(Z) = 0,236 Ω.
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R=
prospetto
H.2
Valori delle grandezze d'ingresso V, I e φ ottenuti in cinque gruppi di osservazioni simultanee
Numero del gruppo
Grandezze d'ingresso
V
I
φ
(V)
(mA)
(rad)
1
5,007
19,663
1,045 6
2
4,994
19,639
1,043 8
3
5,005
19,640
1,046 8
4
4,990
19,685
1,042 8
5
4,999
19,678
1,043 3
Media aritmetica
V = 4, 9990
I = 19, 6610
φ = 1, 044 46
Scarto tipo sperimentale
della media
s V = 0, 0032
k
()
()
s I = 0, 009 5
()
s φ = 0, 000 75
Coefficienti di correlazione
( )
r (V , φ) = 0, 86
r ( I, φ) = − 0, 65
r V , I = − 0, 36
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Poiché i tre misurandi, o grandezze d'uscita, dipendono dalle stesse grandezze
d'ingresso, sono correlati anch'essi. L'elemento generico della matrice di varianza e
covarianza che descrive questa correlazione è
∂y l ∂y m
u (x i )u x j r x i , x j
i = 1 j = 1 ∂x i ∂x j
( )(
N N
u (y l , y m ) = ∑ ∑
)
[H.9]
in cui y l = fl (x 1, x 2 ,..., x N ) ed y m = fm (x 1, x 2 ,..., x N ) . L'equazione (H.9) è una
generalizzazione dell'equazione (F.2) in F.1.2.3 al caso in cui le ql in quell'espressione
siano correlate. I coefficienti di correlazione stimati delle grandezze d'uscita sono dati da
r ( y l , y m ) = u ( y l , y m ) u ( y l )u ( y m ) , secondo quanto indicato nell'equazione (14) in 5.2.2.
Si ricordi che gli elementi diagonali della matrice di covarianza, u ( y l , y l ) ≡ u 2 ( y l ) , sono le
varianze stimate delle grandezze d'uscita y l (vedere 5.2.2, nota 2) e che per m = l
l'equazione (H.9) è identica all'equazione (16) in 5.2.2.
Al fine di applicare a questo esempio l'equazione (H.9), si ponga:
y1 = R x 1 = V
u(xi) = s(xi)
y2 = X x2 = I
N=3
y3 = Z x3 = φ
I risultati dei calcoli per R, X e Z e per le loro varianze e coefficienti di correlazioni stimati
sono riportati nella tabella H.3.
H.2.4
Risultati: metodo 2
Il metodo 2 è riassunto nel prospetto H.4.
Poiché i dati sono stati ottenuti da cinque gruppi di osservazioni delle tre grandezze
d'ingresso V, I e φ, è possibile calcolare un valore per R, X e Z da ciascun insieme di dati
d'ingresso, prendendo poi la media aritmetica dei cinque singoli valori per ottenere le
migliori stime di R, X e Z. Successivamente si calcola nel modo usuale lo scarto tipo
sperimentale di ogni media (cioè la sua incertezza tipo composta), dai cinque singoli valori
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[equazione (5) in 4.2.3]; infine le covarianze stimate delle tre medie sono calcolate
applicando l'equazione (17) in 5.2.3 direttamente ai cinque singoli valori da cui si è
ottenuta ogni media. Non vi sono differenze nei valori d'uscita, nelle incertezze tipo e
nelle covarianze stimate fornite dai due metodi a meno di effetti del secondo ordine
associati con la sostituzione di termini come V I e cos φ con V I e cos φ
rispettivamente.
Per illustrare questo metodo, nel prospetto H.4 sono riportati i valori di R, X e Z calcolati da
ciascuno dei cinque insiemi di osservazioni. Medie aritmetiche, incertezze tipo e
coefficienti di correlazione stimati sono poi calcolati direttamente da questi valori singoli. I
risultati numerici ottenuti in questo modo sono sensibilmente uguali a quelli dati nella
tabella H.3.
Seguendo la terminologia della nota in 4.1.4, il metodo 2 è un esempio di come si possa
n
ottenere la stima y da Y = ∑ k =1Yk n , mentre il metodo 1 è un esempio di come si possa
(
)
ottenere y da y = f X 1, X 2 , . . . , X N . Come già evidenziato in tale nota, i due metodi in
generale forniscono risultati identici se f è funzione lineare delle sue grandezze
d'ingresso (purché, quando si usa il metodo 1, si tenga conto dei coefficienti di
correlazione osservati sperimentalmente). Se f non è una funzione lineare, i risultati del
metodo 1 differiscono da quelli del metodo 2 a seconda del grado di non linearità e delle
varianze e covarianze stimate delle Xi, come si può vedere dall'espressione
(
)
y = f X 1, X 2 , . . . , X N +
1
2
N
N
∂ f
∑ ∑ ∂ X ∂ X u (X , X ) + K
2
i
i =1 j =1
i
j
[H.10]
j
in cui il secondo termine del secondo membro è il termine di secondo ordine dello
sviluppo di f in serie di Taylor di potenze delle Xi (vedere anche 5.1.2, nota). Nel caso qui
discusso il metodo 2 è preferibile in quanto evita l'approssimazione
y = f X 1, X 2 , . . . , X N e meglio rispecchia la procedura di misurazione seguita - infatti i
(
)
dati furono raccolti in insiemi.
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prospetto
H.3
Indice del misurando
l
Valori calcolati delle grandezze d'uscita R, X e Z : metodo 1
Relazione tra la stima del misurando yl e
le stime d'ingresso xi
Valore della stima
Incertezza tipo composta
yl, ovvero
uc(yl )
risultato della misurazione
del risultato della
misurazione
( )
1
y 1 = R = 127, 732 Ω
y 1 = R = V I cos φ
u c (R ) = 0, 071 Ω
u c (R ) R = 0, 06 × 10 −2
( )
2
y 2 = X = 219, 847 Ω
y 2 = X = V I sen φ
u c (X ) = 0, 295 Ω
u c (X ) X = 0,13 × 10 −2
3
y 3 = Z = 254, 260 Ω
y3 = Z =V I
u c (Z ) = 0, 236 Ω
u c (Z ) Z = 0, 09 × 10 −2
Coefficienti di correlazione r ( y l , y m )
r ( y 1, y 2 ) = r (R , X ) = − 0, 588
r ( y 1, y 3 ) = r (R , Z ) = − 0, 485
prospetto
H.4
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r ( y 2 , y 3 ) = r (X , Z ) = 0, 993
Valori calcolati delle grandezze d'uscita R, X e Z : metodo 2
Numero del gruppo
Valori singoli dei misurandi
R = (V I )cos φ
X = (V I )sen φ
Z =V I
(Ω)
(Ω)
(Ω)
1
127,67
220,32
254,64
2
127,89
219,79
254,29
3
127,51
220,64
254,84
4
127,71
218,97
254,49
5
127,88
219,51
254,04
Media aritmetica
y 1 = R = 127, 732
y 2 = X = 219, 847
y 3 = Z = 254, 260
Scarto tipo sperimentale della media
s R = 0, 071
k
( )
( )
s X = 0, 295
()
s Z = 0, 236
Coefficienti di correlazione r ( y l , y m )
r ( y 1, y 2 ) = r (R , X ) = − 0, 588
( )
) = r (X , Z ) = 0, 993
r ( y 1, y 3 ) = r R , Z = − 0, 485
r (y 2 , y 3
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Se i dati del prospetto H.2 sono reinterpretati in questo modo, così da rendere non
appropriato il metodo 2, e se si ipotizza che siano assenti le correlazioni tra le grandezze
V, I e φ, i coefficienti di correlazione osservati non hanno significato e devono essere
posti uguali a zero. Se si fa ciò nel prospetto H.2, l'equazione (H.9) si riduce
all'equivalente dell'equazione (F.2) in F.1.2.3, cioè,
u( y l , y m )
N
∂ yl ∂ ym 2
u ( xi )
i ∂ xi
∑ ∂x
i=1
[H.11]
e la sua applicazione ai dati del prospetto H.2 porta ai cambiamenti nel prospetto H.3
mostrati nel prospetto H.5.
prospetto
H.5
Variazioni nel prospetto H.3 nell'ipotesi che i coefficienti di correlazione del prospetto H.2 siano nulli
Incertezza tipo composta uc(yl )
del risultato della misurazione
u c (R ) = 0,195 Ω
u c (R ) / R = 0,15 × 10 −2
u c (X ) = 0, 201 Ω
u c (X ) / X = 0, 09 × 10 −2
u c (Z ) = 0, 204 Ω
u c (Z ) Z = 0, 08 × 10 −2
Coefficienti di correlazione r ( y l , y m )
r ( y 1, y 2 ) = r (R , X ) = 0, 056
r ( y1,y 3 ) = r (R,Z ) = 0,527
r ( y 2 ,y 3 ) = r ( X,Z ) = 0,878
H.3
TARATURA DI UN TERMOMETRO
Questo esempio illustra l'applicazione del metodo dei minimi quadrati per ottenere una
retta di taratura; vi si mostra come i parametri dell'aggiustamento, cioè il termine noto e la
pendenza, e le loro varianze e covarianza stimate, vengono utilizzati per ottenere dalla
curva di taratura il valore e l'incertezza tipo di una correzione predetta.
H.3.1
Il problema sperimentale
Un termometro viene tarato confrontando n = 11 indicazioni di temperatura tk del
termometro, aventi incertezza trascurabile, con altrettante temperature di riferimento tR,k
nel campo tra 21 °C e 27 °C, allo scopo di ottenere le correzioni delle letture bk = tR,k - tk .
Le correzioni misurate bk e le temperature misurate tk sono le grandezze d'ingresso.
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D'altra parte, il metodo 2 sarebbe inadatto nel caso che i dati del prospetto H.2
rappresentassero n1 = 5 osservazioni della differenza di potenziale V, seguite da n2 = 5
osservazioni della corrente I, seguite infine da n3 = 5 osservazioni della fase φ, e sarebbe
impraticabile se n 1 ≠ n 2 ≠ n 3 . (Di fatto, effettuare le misurazioni in questo modo
rappresenterebbe una procedura inadeguata, in quanto la differenza di potenziale e la
corrente attraverso un'impedenza fissa sono direttamente collegate).
Una retta di taratura
b (t ) = y 1 + y 2 (t − t 0 )
[H.12]
viene aggiustata, con il metodo dei minimi quadrati, sulle correzioni e temperature
misurate. I parametri y1 ed y2, rispettivamente termine noto e pendenza della curva di
taratura, sono i due misurandi o grandezze d'uscita da determinare. La temperatura t0 è
una temperatura di riferimento esatta scelta secondo convenienza, e non è dunque un
ulteriore parametro da determinarsi con l'aggiustamento ai minimi quadrati. L'equazione
(H.12), una volta che siano stati determinati y1 ed y2, con le loro varianze e covarianza
stimate, può essere usata per predire il valore e l'incertezza tipo della correzione da
applicarsi al termometro per qualsivoglia valore t di temperatura.
H.3.2
Aggiustamento ai minimi quadrati
Secondo il metodo dei minimi quadrati, sotto le ipotesi fatte in H.3.1, le grandezze
d'uscita y1 ed y2 e le loro varianze e covarianza stimate si ottengono minimizzando la
somma
n
S=
∑ [b
]
− y 1 − y 2 (t k − t 0 )
k
k =1
2
Ciò conduce alle seguenti equazioni per y1 ed y2, le loro varianze sperimentali s2(y1) ed
s2(y2), ed il loro coefficiente di correlazione stimato r ( y 1, y 2 ) = s ( y 1, y 2 ) s ( y 1) s ( y 2 ) , in cui
s ( y 1, y 2 ) è la loro covarianza stimata:
y1
(∑ b )(∑ θ ) − (∑ b θ )(∑ θ )
=
y2 =
2
k
k
n
[H.13a]
∑ b θ − (∑ b )(∑ θ )
s ( y 1) =
k k
s2
k
k
[H.13b]
∑θ
[H.13c]
s2
D
r ( y 1, y 2 ) = −
∑ [b
D =n
2
k
D
s 2 (y 2 ) = n
s =
k
D
2
2
k k
D
k
[H.13d]
∑θ
n∑ θ
k
]
− b (t k )
n−2
2
∑ θ − (∑ θ )
2
k
[H.13e]
2
k
k
[H.13f]
2
=n
∑ (θ
k
−θ
)
2
=n
∑ (t
k
−t
)
2
in cui tutte le somme sono per k da 1 ad n, θk = (t k − t 0 ) , θ =
[H.13g]
(∑ θ ) n , e t = (∑ t ) n ;
k
k
[bk − b (t k )] è la differenza tra la correzione misurata o osservata, bk alla temperatura tk e la
correzione b(t k ) predetta dalla curva interpolatrice b (t ) = y 1 + y 2 (t − t 0 ) alla stessa
temperatura tk. La varianza s 2 è una valutazione quantitativa dell'incertezza globale
dell'aggiustamento, in cui il fattore n - 2 rispecchia il fatto che, poiché con le n
osservazioni si determinano due parametri, y1 ed y2, i gradi di libertà di s2 sono appunto
ν = n - 2 (vedere G.3.3).
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H.3.3
Calcolo dei risultati
prospetto
H.6
Dati utilizzati per ottenere una curva lineare di taratura per un termometro usando il metodo dei minimi
quadrati
Numero della
lettura
Lettura del termometro
Correzione osservata
Correzione predetta
Differenza tra correzione osservata e
predetta
k
tk
bk = t R,k − t k
b (t k )
bk − b (t k )
(°C)
(°C)
(°C)
(°C)
1
21,521
- 0,171
- 0,167 9
- 0,003 1
2
22,012
- 0,169
- 0,166 8
- 0,002 2
3
22,512
- 0,166
- 0,165 7
- 0,000 3
4
23,003
- 0,159
- 0,164 6
+ 0,005 6
5
23,507
- 0,164
- 0,163 5
- 0,000 5
6
23,999
- 0,165
- 0,162 5
- 0,002 5
7
24,513
- 0,156
- 0,161 4
+ 0,005 4
8
25,002
- 0,157
- 0,160 3
+ 0,0033
9
25,503
- 0,159
- 0,159 2
+ 0,000 2
10
26,010
- 0,161
- 0,158 1
- 0,002 9
11
26,511
- 0,160
- 0,157 0
- 0,003 0
I dati da aggiustare sono riportati nella seconda e terza colonna del prospetto H.6.
Scegliendo come temperatura di riferimento t0 = 20 °C, le equazioni da (H.13a) ad (H.13g)
danno
y1 = - 0,171 2 °C
s(y1) = 0,002 9 °C
y2 = 0,002 18
s(y2) = 0,000 67
r ( y 1, y 2 ) = − 0, 930
s = 0,003 5 °C
Il fatto che la pendenza y2 sia più di tre volte maggiore della sua incertezza tipo dà una
qualche indicazione che è necessario ricorrere ad una curva di taratura, e non a una
correzione media fissa su tutto il campo.
La curva di taratura può allora essere scritta come
b (t ) = - 0,171 2(29) °C + 0,002 18(67) (t - 20 °C)
[H.14]
--``,`,,,,,,``,`,,,,,,`,,``,`,,`-`-`,,`,,`,`,,`---
in cui i numeri entro parentesi sono i valori numerici delle incertezze tipo riferiti alle
corrispondenti ultime cifre dei risultati riportati per termine noto e pendenza (vedere
7.2.2). Questa equazione dà il valore predetto della correzione b(t) a qualunque
temperatura t, ed in particolare il valore b(tk) a t = tk. Questi valori sono riportati nella quarta
colonna del prospetto, mentre l'ultima colonna dà la differenza tra il valore misurato e
quello predetto, bk − b (t k ) . Si può, attraverso un'analisi di queste differenze, verificare la
validità del modello lineare; esistono prove ben codificate (vedere riferimento [8]) che
però non vengono considerate in questo esempio.
H.3.4
Incertezza di un valore predetto
L'espressione per l'incertezza tipo composta del valore predetto di una correzione viene
ottenuta facilmente applicando la legge di propagazione dell'incertezza, equazione (16)
in 5.2.2, all'equazione (H.12). Notando che b (t ) = f ( y 1, y 2 ) e scrivendo u ( y 1) = s ( y 1) e
u ( y 2 ) = s ( y 2 ) si ottiene
[
]
u c2 b (t ) = u 2 ( y 1) + (t − t 0 ) u 2 ( y 2 ) + 2(t − t 0 )u ( y 1)u ( y 2 )r ( y 1, y 2 )
2
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[H.15]
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[
]
La varianza stimata u c2 b (t ) è minima a t min = t 0 − u ( y 1) r ( y 1, y 2 ) u ( y 2 ) , che in questo
esempio è t min = 24,008 5 °C.
A titolo di esempio sull'uso dell'equazione (H.15), si supponga di volere la correzione del
termometro e la sua incertezza a t = 30 °C, cioè al di fuori del campo di temperatura entro il
quale il termometro fu tarato. Sostituendo t = 30 °C nell'equazione (H.14) si ha
b(30 °C) = - 0,149 4 °C
mentre l'equazione (H.15) diventa
[
]
u c2 b (30 °C) = (0,002 9 °C)2 + (10 °C)2(0,000 67)2
+ 2(10 °C)(0,002 9 °C)(0,000 67)(- 0,930)
= 17,1 × 10-6 °C2
ovvero
[
]
u c b (30 °C) = 0,004 1 °C
Pertanto la correzione a 30 °C è - 0,149 4 °C, con incertezza tipo composta
u c = 0,004 1 °C avente ν = n - 2 = 9 gradi di libertà.
H.3.5
Rimozione della correlazione tra pendenza e termine noto
L'equazione (H.13e) per il coefficiente di correlazione r ( y 1, y 2 ) implica che se si sceglie t0
in modo che
∑
n
θ
k =1 k
=
∑ (t
− t 0 ) = 0, si avrà r ( y 1, y 2 ) = 0 , cosicché y1 ed y2 saranno
n
k =1 k
scorrelati, semplificando dunque il calcolo dell'incertezza tipo della correzione predetta.
∑
n
Poiché
θ
k =1 k
= 0 per t 0 = t =
(∑
n
t
k =1 k
) n , e poiché in questo caso t = 24,008 5 °C, la
ripetizione dell'aggiustamento ai minimi quadrati, scegliendo t 0 = t = 24,008 5 °C, porta a
[
]
valori scorrelati di y1 ed y2. (La temperatura t è anche quella a cui u 2 b (t ) è minima vedere H.3.4). Tuttavia, non è neppure necessario ripetere l'aggiustamento, in quanto si
può dimostrare che
( )
b (t ) = y 1' + y 2 t − t
[
[H.16a]
( )
]
--``,`,,,,,,``,`,,,,,,`,,``,`,,`-`-`,,`,,`,`,,`---
u c2 b (t ) = u 2 ( y 1' ) + t − t u 2 ( y 2 )
[H.16b]
r ( y 1', y 2 ) = 0
[H.16c]
in cui
(
y 1' = y 1 + y 2 t − t 0
2
)
t = t 0 − s ( y 1) r ( y 1, y 2 ) s ( y 2 )
[
]
s 2 ( y 1') = s 2 ( y 1) 1 − r 2 ( y 1, y 2 )
con le sostituzioni u ( y 1') = s ( y 1') e u ( y 2 ) = s ( y 2 ) nell'equazione (H.16b) [vedere
l'equazione H.15)].
Applicando queste relazioni ai risultati riportati in H.3.3 si ottiene
b (t ) = - 0,162 5(11) + 0,002 18(67) (t - 24,008 5 °C)
[
[H.17a]
]
u c2 b (t ) = (0,001 1)2 + (t - 24,008 5 °C)2(0,000 67)2
[H.17b]
Si può verificare che queste espressioni danno gli stessi risultati delle equazioni (H.14) e
(H.15), ripetendo il calcolo di b(30 °C) e u c b (30 °C) . Sostituendo t = 30 °C nelle
equazioni (H.17a) e (H.17b) si ha
[
]
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b(30 °C) = - 0,149 4 °C
[
]
u c b (30 °C) = 0,004 1 °C
che sono risultati identici a quelli ottenuti in H.3.4. La covarianza stimata tra due correzioni
predette b(t1) e b(t2) può essere ottenuta dall'equazione (H.9) in H.2.3.
H.3.6
Altre considerazioni
Il metodo dei minimi quadrati può essere usato per aggiustare curve di ordine superiore ai
punti sperimentali, anche qualora questi abbiano incertezze non trascurabili. Per i dettagli
si possono consultare testi sull'argomento [8]. Tuttavia, gli esempi seguenti illustrano
due casi in cui le correzioni misurate bk non sono immuni da incertezza.
1) Si supponga che ciascuna tk abbia incertezza trascurabile, che ciascuno degli n valori
tR,k sia ottenuto da una serie di m letture ripetute, e che la stima cumulata della
varianza per tali letture, sulla base di un grande numero di dati, ottenuti nell'arco di
svariati mesi, sia sp2 . Allora la varianza stimata di ciascuna tR,k è sp2 m = u 02 e ciascuna
correzione osservata bk = t R,k − t k ha la stessa incertezza tipo u 0 . In queste
circostanze (e nell'ipotesi che non vi sia motivo di dubitare della correttezza del
modello lineare), u 02 sostituisce s2 nelle equazioni (H.13c) e (H.13d).
Nota
Una stima cumulata della varianza basata su N serie di osservazioni indipendenti della stessa
variabile casuale viene ricavata da
N
∑ν s
2
i i
sp2 =
i =1
N
∑ν
i
--``,`,,,,,,``,`,,,,,,`,,``,`,,`-`-`,,`,,`,`,,`---
i =1
2
in cui si è la varianza sperimentale della i-esima serie di n i osservazioni indipendenti ripetute
[equazione (4) in 4.2.2], con νi = ni − 1 gradi di libertà. s p2 ha allora ν =
∑
N
ν
i =1 i
gradi di
sp2
libertà. La varianza sperimentale
m (e lo scarto tipo sperimentale sp m ) della media
aritmetica di m osservazioni indipendenti, caratterizzata mediante la stima cumulata della
varianza s p2 , ha anch'essa ν gradi di libertà.
2) Si supponga che ciascuna tk abbia incertezza trascurabile, che a ciascuno degli n
valori tR,k si applichi una correzione εk e che ognuna di queste correzioni abbia la
stessa incertezza tipo u a. Allora anche l'incertezza tipo di ogni bk = t R,k − t k è u a ,
s 2 ( y 1) viene sostituita da s 2 ( y 1) + u a2 ed s 2 ( y 1') viene sostituita da s 2 ( y 1') + u a2 .
H.4
MISURAZIONE DI ATTIVITÀ
Questo esempio è analogo all'esempio H.2, la misurazione simultanea di resistenza e
reattanza, nel senso che i dati possono essere analizzati in due modi differenti che
portano essenzialmente allo stesso risultato numerico. Il primo metodo illustra, ancora
una volta, la necessità di tenere conto delle correlazioni osservate tra le grandezze
d'ingresso.
H.4.1
Il problema sperimentale
La concentrazione di attività incognita del radon (222Rn) in un campione di acqua viene
determinata mediante un apparato di conteggio a scintillazione liquida rispetto ad una
sorgente campione di radon in acqua avente concentrazione di attività nota. La
concentrazione di attività incognita viene ottenuta misurando tre sorgenti costituite
approssimativamente di 5 g d'acqua e 12 g di liquido scintillante organico in fiale aventi
volume di 22 ml:
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Sorgente (a) un campione di riferimento consistente di una massa m S della sorgente
campione con concentrazione di attività nota;
Sorgente (b) un campione d'acqua di bianco, cioè che non contiene alcun materiale
radioattivo, utilizzato per ottenere il rateo di conteggio di fondo;
Sorgente (c) il campione di prova consistente di un'aliquota m x di acqua con
concentrazione di attività incognita.
Si effettuano sei cicli di misurazione delle tre sorgenti, nell'ordine: campione - bianco campione di prova; ciascun intervallo di conteggio T0, corretto per tempo morto, durante
tutti e sei i cicli è di 60 minuti. Sebbene il rateo di conteggio di fondo non possa essere
considerato costante sull'intero periodo di conteggio (65 h), si ipotizza che il numero di
conteggi ottenuto per ciascun campione di bianco sia rappresentativo del rateo di
conteggio di fondo durante la misurazione dei campioni di riferimento e di prova nello
stesso ciclo. I dati sono riportati nel prospetto H.7, in cui
tS, tB, tx
sono gli intervalli di tempo compresi tra il tempo di riferimento t = 0 ed il
punto medio degli intervalli di conteggio T 0 = 60 min, corretti per tempo
morto, e relativi, rispettivamente, al campione, al bianco ed al campione di
prova; il tempo tB , fornito per completezza, non è in realtà necessario
nell'analisi;
CS, CB, Cx
sono i numeri di conteggi registrati nell'intervallo T0 = 60 min, corretto per
tempo morto, rispettivamente per il campione, il bianco ed il campione di
prova.
I conteggi osservati possono essere espressi come
C S = CB + εAST0mSe − λt S
[H.18a]
C x = CB + εAxT0m x e − λt x
[H.18b]
in cui
ε
è l'efficienza di rivelazione dell'apparato di conteggio per il 222Rn e per una specifica
composizione della sorgente, e che viene ritenuta indipendente dal livello di
attività;
AS è la concentrazione di attività della sorgente del campione al tempo di riferimento
t = 0;
Ax è il misurando, definito come la concentrazione di attività incognita del campione di
prova al tempo di riferimento t = 0;
mS è la massa di soluzione campione;
mx
è la massa di acqua del campione di prova;
λ
è la costante di decadimento per il
222 Rn:
λ = (ln 2) T 12 = 1,258 94 × 10-4 min-1
(T 12 = 5 505,8 min).
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prospetto
Dati di conteggio per la determinazione della concentrazione di attività di un campione incognito
H.7
Ciclo
Riferimento
k
Bianco
Incognito
tS
CS
tB
CB
tx
Cx
min
conteggi
min
conteggi
min
conteggi
1
243,74
15 380
305,56
4 054
367,37
41 432
2
984,53
14 978
1 046,10
3 922
1 107,66
38 706
3
1 723,87
14 394
1 785,43
4 200
1 846,99
35 860
4
2 463,17
13 254
2 524,73
3 830
2 586,28
32 238
5
3 217,56
12 516
3 279,12
3 956
3 340,68
29 640
6
3 956,83
11 058
4 018,38
3 980
4 079,94
26 356
Le equazioni (H.18a) e (H.18b) indicano che né i sei singoli valori di C S né quelli di C x
riportati nel prospetto H.7 possono essere mediati direttamente, a causa del
decadimento esponenziale delle attività del campione e del campione di prova e delle
lievi fluttuazioni del conteggio di fondo da un ciclo all'altro. È invece necessario utilizzare i
conteggi (o i ratei di conteggio, definiti come il numero di conteggi divisi per T0 = 60 min)
corretti per decadimento e fondo. Ciò suggerisce di combinare le equazioni (H.18a) e
(H.18b) allo scopo di ottenere le seguenti espressioni che legano la concentrazione
incognita alle grandezze note:
Ax = f (AS , mS , m x ,C S ,C x ,CB ,t S ,t x , λ )
= As
λt
mS (C x − CB ) e x
m (C − CB ) λ(t x −t S )
= As S x
e
m x (C S − CB ) e λt S
m x (C S − CB )
[H.19]
in cui (C x − CB )e λt x e (C S − CB )e λt S sono i conteggi nell'intervallo T0 = 60 min, corretti per
fondo, riferiti all'istante t = 0 e relativi al campione ed al campione di prova rispettivamente.
In alternativa si può scrivere semplicemente
Ax = f (AS , mS , m x , R S , R x )
= As
mS R x
m x RS
in cui i ratei di conteggio, corretti per fondo e per decadimento, R x ed R S sono dati da
[
]
[H.21a]
[
]
[H.21b]
R x = (C x − CB ) T0 e λt x
R S = (C S − CB ) T0 e λt S
H.4.2
Analisi dei dati
Il prospetto H.8 riassume i valori dei ratei di conteggio, corretti per fondo e per
decadimento, R S ed R x , calcolati mediante le equazioni (H.21a) e (H.21b) usando i dati
del prospetto H.7 e λ = 1,258 94 × 10-4 min-1 come specificato in precedenza. Si noti che
si ottiene più agevolmente il rapporto R = R x R S usando l'espressione
[(C
x
]
λ t −t
− CB ) (C S − CB ) e ( x S )
( ) ( )
Le medie aritmetiche R S , R x ed R , così come i loro scarti tipo sperimentali s R S , s R x
( )
ed s R , sono calcolate nel solito modo [equazioni (3) e (5) in 4.2]. Il coefficiente di
(
)
correlazione r R x , R S viene calcolato dall'equazione (17) in 5.2.3 e dalla equazione (14)
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A causa della variabilità relativamente modesta dei valori di R x ed R S , il rapporto delle
(
)
medie R x R S e la sua incertezza tipo u R x R S sono rispettivamente quasi uguali al
( )
rapporto medio R ed al suo scarto tipo sperimentale s R riportati nell'ultima colonna del
prospetto H.8 [vedere H.2.4 e l'equazione (H.10)]. Tuttavia, nel calcolo dell'incertezza
tipo u R x R S si deve tenere conto della correlazione tra R x ed R S , rappresentata dal
(
)
(
)
coefficiente di correlazione r R x ,R S , mediante l'equazione (16) di 5.2.2. [Questa
equazione dà per la varianza relativa stimata di R x R S gli ultimi tre termini dell'equazione
(H.22b).]
Si osservi che gli scarti tipo sperimentali di R x ed R S , pari rispettivamente a
( )
( )
6s R x e a
6s R S , indicano per queste grandezze una variabilità da due a tre volte maggiore di
quella prevista dalla statistica di Poisson per le misure di conteggio; quest'ultima è
peraltro già inclusa nella variabilità osservata dei conteggi e non deve pertanto essere
considerata separatamente.
H.4.3
Calcolo dei risultati finali
La determinazione, mediante l'equazione (H.20), della concentrazione di attività
incognita Ax e della sua incertezza tipo composta uc(Ax) richiede la conoscenza di AS, mx
ed mS, e delle loro incertezze tipo. Queste sono
AS = 0,136 8 Bq/g
u(AS) = 0,001 8 Bq/g;
u(AS)/AS = 1,32 × 10-2
mS = 5,019 2 g
u(mS) = 0,005 g;
u(mS)/mS = 0,10 × 10-2
mx = 5,057 1 g
u(mx) = 0,001 0 g;
u(mx)/mx = 0,02 × 10-2
Si ritengono trascurabili altre possibili sorgenti di incertezza, quali:
- incertezze tipo degli intervalli temporali di decadimento, u(tS,k) e u(tx,k);
-
-
-
incertezza tipo della costante di decadimento del 222Rn, u(λ) = 1 × 10-7 min-1. (La
grandezza di interesse è il fattore di decadimento exp λ(t x − t S ) , che varia tra
1,015 63 per i cicli k = 4 e 6 ed 1,015 70 per il ciclo k = 1. L'incertezza tipo di questi
valori è u = 1,2 × 10-5);
l'incertezza associata alla possibile dipendenza dell'efficienza di rivelazione del
contatore a scintillazione dalla sorgente usata (campione, bianco e campione di
prova);
l'incertezza della correzione per il tempo morto del contatore e quella per la
dipendenza dell'efficienza di conteggio dal livello di attività.
[
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prospetto
H.8
Calcolo dei ratei di conteggio corretti per decadimento e per fondo
Ciclo
Rx
RS
tx − tS
k
(min-1)
(min-1)
(min)
1
652,46
194,65
123,63
3,352 0
2
666,48
208,58
123,13
3,195 3
3
665,80
211,08
123,12
3,154 3
4
655,68
214,17
123,11
3,061 5
5
651,87
213,92
123,12
3,047 3
6
623,31
194,13
123,11
3,210 7
R x = 652, 60
R S = 206, 09
( )
( )R
x
R = 3,170
( )
s R x = 6, 42
s Rx
R = R x RS
( )
s R S = 3, 79
s R = 0, 046
( )
( )
= 0, 98 × 10 −2
s R S R S = 1, 84 × 10 −2
s R R = 1, 44 × 10 −2
R x R S = 3,167
(
)
u (R R ) (R R ) = 1, 42 × 10
u R x R S = 0, 045
x
S
x
S
−2
Coefficiente di correlazione
(
)
r R x ,R S = 0, 646
H.4.3.1
Risultati: metodo 1
Come già indicato in precedenza, A x ed u c(A x) possono essere ottenuti in due modi
diversi dalla equazione (H.20). Nel primo metodo, Ax viene calcolata usando le medie
aritmetiche R x ed R S con il risultato
mS R x
= 0, 430 0 Bq g
mx R S
[H.22a]
Applicando a questa espressione l'equazione (16) in 5.2.2 si ha per la varianza composta
u c2 (Ax )
u c2 (Ax )
Ax2
(
=
u 2 (AS )
− 2r R x , R S
AS2
)
+
u 2 (mS )
mS2
+
u 2 (m x )
m x2
+
( ) + u (R )
u2 Rx
2
Rx
2
S
[H.22b]
2
RS
( )( )
u Rx u RS
RxRS
(
in cui, come già rilevato in H.4.2, gli ultimi tre termini danno u 2 R x R S
) (R
x
RS
)
2
, vale a
dire la varianza relativa stimata di R x R S . Analogamente al caso discusso in H.2.4, anche
i risultati del prospetto 8 mostrano che R non è esattamente uguale ad R x R S , e che
(
)
l'incertezza tipo di R x R S , u R x R S , non è esattamente uguale all'incertezza tipo di R ,
( )
sR .
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Ax = AS
Sostituendo i valori appropriati nelle equazioni (H.22a) e (H.22b) si ottiene
u c (Ax )
Ax
= 1, 93 × 10 −2
u c (Ax ) = 0, 008 3 Bq g
Si può allora esprimere il risultato della misurazione nel modo seguente:
Ax = 0, 430 0 Bq g con incertezza tipo composta u c = 0, 008 3 Bq g .
H.4.3.2
Risultati: metodo 2
Con il secondo metodo, che aggira la correlazione tra R x ed R S , A x viene calcolata
usando la media aritmetica R . Pertanto
Ax = AS
mS
R = 0, 430 4 Bq g
mx
[H.23a]
L'espressione per u c2 (Ax ) è semplicemente
u c2 (Ax )
Ax2
che dà
u c (Ax )
Ax
=
u 2 (AS )
AS2
+
u 2 (mS )
mS2
+
u 2 (m x )
m x2
+
( )
u2 R
R
2
[H.23b]
= 1, 95 × 10 −2
u c (Ax ) = 0, 008 4 Bq g
Si può allora esprimere il risultato della misurazione nel modo seguente:
Ax = 0, 430 4 Bq g con incertezza tipo composta u c = 0, 008 4 Bq g .
I gradi di libertà effettivi di u c possono essere valutati usando la formula di WelchSatterthwaite come illustrato in H.1.6.
Come in H.2, tra i due risultati è da preferirsi il secondo, che non approssima la media del
rapporto tra due grandezze mediante il rapporto delle medie; inoltre, esso rispecchia più
fedelmente il procedimento di misurazione effettivo, in quanto i dati furono raccolti in cicli
separati.
Tuttavia, la differenza tra i valori di Ax ottenuti con i due metodi è evidentemente piccola
rispetto alle incertezze tipo loro attribuite, e la differenza tra queste ultime è del tutto
trascurabile. Questo buon accordo testimonia che i due metodi sono equivalenti
allorquando si tenga conto in modo adeguato delle correlazioni osservate.
H.5
ANALISI DELLA VARIANZA
Questo esempio costitusce una breve introduzione ai metodi di analisi della varianza
(ANOVA). Queste tecniche statistiche sono usate per identificare e quantificare effetti
casuali distinti in una misurazione così da poterne tenere conto in modo appropriato nella
valutazione dell'incertezza del risultato della misurazione stessa. Sebbene i metodi
ANOVA siano applicabili ad un vasto spettro di misurazioni, quali per esempio la taratura di
campioni di riferimento, come campioni di tensione Zener e campioni di massa, ed alla
certificazione dei materiali di riferimento, essi di per sè stessi non possono rivelare
l'eventuale presenza di effetti sistematici.
Nota nazionale
In realtà i metodi ANOVA sono stati introdotti proprio allo scopo di individuare e valutare effetti
sistematici.
Mediante i metodi ANOVA si possono trattare modelli anche assai diversi. Quello
discusso in questo esempio, che va sotto il nome di piano a nido equilibrato, è di
particolare rilievo. L'esempio numerico è relativo alla taratura di un campione di tensione
Zener, ma l'analisi si applica ad una intera classe di situazioni sperimentali pratiche.
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I metodi ANOVA rivestono particolare importanza nella certificazione dei materiali di
riferimento (MR) per mezzo di prove interlaboratorio, argomento questo esaurientemente
trattato nella Guida ISO 35 [19] (vedere H.5.3.2 per una breve descrizione della
certificazione dei MR per questa via). Poichè buona parte del materiale contenuto nella
citata Guida ISO 35 è suscettibile di più vasta applicazione, si consulti detta pubblicazione
per dettagli ulteriori concernenti l'ANOVA, compresi i piani a nido non equilibrati. Si
possono parimenti consultare i riferimenti [15] e [20].
H.5.1
Il problema sperimentale
Si supponga di tarare, nell'arco di due settimane, un campione di tensione Zener di
valore nominale 10 V rispetto ad un riferimento stabile di tensione. Si abbiano, per
ognuno dei J giorni del periodo considerato, K osservazioni ripetute ed indipendenti
della differenza di potenziale V S del campione. Se si denota con V jk l'osservazione
k-esima (k = 1, 2, . . . , K) del giorno j-esimo (j = 1, 2, . . . , J), la miglior stima della differenza
di potenziale del campione è la media aritmetica V delle JK osservazioni [vedere
equazione (3) in 4.2.1],
VS =
1
JK
J
K
∑ ∑V jk
=V
[H.24a]
j = 1k = 1
--``,`,,,,,,``,`,,,,,,`,,``,`,,`-`-`,,`,,`,`,,`---
()
Lo scarto tipo sperimentale della media s V , che è una valutazione quantitativa
dell'incertezza di V come stima della differenza di potenziale del campione, è ottenuto da
[vedere equazione (5) in 4.2.3]
()
s2 V =
Nota
(
J K
1
∑
∑ V jk − V
JK (JK − 1) j =1k =1
)
2
[H.24b]
Nell'esempio si ipotizza che tutte le correzioni applicate alle osservazioni per compensare gli effetti
sistematici abbiano incertezze trascurabili o tali da poter essere tenute in conto alla fine dell'analisi.
Una di queste correzioni, che può essere applicata alla media delle osservazioni alla fine
dell'analisi, è la differenza tra il valore certificato (affetto da un'incertezza specificata) ed il valore di
lavoro del riferimento stabile di tensione rispetto al quale viene tarato il campione Zener. Pertanto
la stima della differenza di potenziale del campione ottenuta per via statistica dalle osservazioni
non è necessariamente il risultato finale della misurazione, così come lo scarto tipo sperimentale di
questa stima non è necessariamente l'incertezza tipo composta del risultato finale.
()
Lo scarto tipo sperimentale della media s V , ottenuto dall'equazione (H.24b) è una
valutazione quantitativa appropriata dell'incertezza di V solamente se la variabilità delle
osservazioni tra un giorno e l'altro coincide con la variabilità delle osservazioni di un
singolo giorno. Se la variabilità tra giorni diversi è significativamente maggiore di quanto ci
si possa aspettare dalla variabilità giornaliera, l'uso di questa equazione può portare ad
una considerevole sottostima dell'incertezza di V . Sorgono allora due domande: come si
può decidere se la variabilità tra giorni diversi (caratterizzata da una componente tra giorni
diversi della varianza) è significativa rispetto alla variabilità giornaliera, (caratterizzata da una
componente giornaliera della varianza), e, in caso affermativo, come si deve valutare
l'incertezza della media?
H.5.2
Esempio numerico
H.5.2.1
I dati sui quali verranno discusse le due questioni sopra menzionate sono riportati nel
prospetto H.9, in cui
J = 10 è il numero di giorni in cui si effettuarono osservazioni della differenza di
potenziale;
K = 5 è il numero di osservazioni di differenza di potenziale fatte in ciascuna giornata;
Vj =
1 K
∑V jk
K k =1
[H.25a]
è la media aritmetica delle K = 5 osservazioni di differenza di potenziale effettuate nel
giorno j-esimo (vi sono dunque J = 10 medie giornaliere siffatte);
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V =
1 J
1
Vj =
∑
J j =1
JK
J
K
∑ ∑V jk
[H.25b]
j = 1k = 1
è la media aritmetica delle J = 10 medie giornaliere e dunque la media generale delle
JK = 50 osservazioni;
( )
s 2 V jk =
(
1 K
∑ V jk − V j
K − 1 k =1
)
2
[H.25c]
è la varianza sperimentale delle K = 5 osservazioni effettuate nel giorno j-esimo (vi sono
dunque J = 10 stime siffatte della varianza);
( )
s2 V j =
(
1 J
∑ V j −V
J − 1 j =1
)
2
[H.25d]
è la varianza sperimentale delle J = 10 medie giornaliere (vi è dunque questa sola stima di
tale varianza).
H.5.2.2
Nota nazionale
La compatibilità delle variabilità tra giorni diversi e giornaliera delle osservazioni può
2
essere investigata confrontando due stime indipendenti di σ W
, la componente
giornaliera della varianza (vale a dire, la varianza delle osservazioni fatte nello stesso
giorno).
Si è mantenuto il pedice del testo originale (W sta per within-day, così come più avanti B starà per
between-day).
2
La prima stima di σ W
, denominata s a2 , viene ricavata dalla variazione osservata delle
medie giornaliere V j . Poichè V j è la media di K osservazioni, la sua varianza stimata
--``,`,,,,,,``,`,,,,,,`,,``,`,,`-`-`,,`,,`,`,,`---
( )
s 2 V j , nell'ipotesi che la componente tra giorni diversi della varianza sia zero,
2
K . Dall'equazione (H.25d) discende dunque che
rappresenta una stima di σ W
( )
s a2 = Ks 2 V j =
(
K J
∑ V j −V
J − 1 j =1
)
2
[H.26a]
2
che è una stima di σ W
con νa = J − 1 = 9 gradi di libertà.
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prospetto
H.9
Prospetto dei dati ottenuti in J = 10 giorni, con ciascuna media giornaliera V j e scarto tipo
( )
sperimentale s V jk basati su K = 5 osservazioni ripetute ed indipendenti
Giorno, j
1
2
3
4
5
10,000 172
10,000 116
10,000 013
10,000 144
10,000 106
60
77
111
101
67
6
7
8
9
10
10,000 031
10,000 060
10,000 125
10,000 163
10,000 041
93
80
73
88
86
Grandezza
Vj V
( ) µV
s V jk
Giorno, j
Grandezza
Vj V
( ) µV
s V jk
V = 10,000 097 V
( )
s a2 = Ks 2 V j = 5(57 µV)2 = (128 µV)2
( )
s V j = 57 µV
( )
sb2 = s 2 V jk = (85 µV)2
2
La seconda stima di σ W
, denominata sb2 , è la stima cumulata della varianza ottenuta dai
( )
J = 10 singoli valori di s 2 V jk mediante l'equazione della nota in H.3.6, ove si calcolino i
dieci singoli valori con l'equazione (H.25c). Poichè ciascuno di questi ha gli stessi gradi di
libertà νi = K − 1, l'espressione risultante per sb2 è data semplicemente dalla loro media.
Dunque
( )
sb2 = s 2 V jk =
1
J
J
∑ ( )
s 2 V jk =
j =1
1
J (K − 1)
J
K
∑ ∑ (V
j =1 k =1
jk
−V j
)
2
[H.26b]
2
che è una stima di σ W
con νb = J (K − 1) = 40 gradi di libertà.
2
Le due stime di σ W
prodotte dalle equazioni (H.26a) e (H.26b) sono s a2 = (128 µV) 2 e
sb2 = (85 µV)2 rispettivamente (vedere prospetto H.9). Poichè la stima s a2 è basata sulla
variabilità delle medie giornaliere mentre la stima sb2 è basata sulla variabilità delle
osservazioni giornaliere, la loro differenza indica la possibile presenza di un effetto
variabile da un giorno all'altro ma relativamente costante nell'arco delle osservazioni di un
solo giorno. Per valutare questa possibilità, e dunque l'ipotesi che la componente tra
giorni diversi della varianza sia zero, si usa il test F.
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La distribuzione F è la distribuzione di probabilità del rapporto F (νa , νb ) = s a2 (νa ) sb2 (νb ) di
H.5.2.3
due stime indipendenti, s a2 (νa ) ed sb2 (νb ) , della varianza σ 2 di una variabile casuale
distribuita normalmente [15]. I parametri νa e νb sono i rispettivi gradi di libertà delle due
stime e 0 ≤ F (νa , νb ) < ∞ . I valori di F sono tabulati per differenti valori di νa e νb e per vari
quantili della distribuzione F. Un valore di F (νa , νb ) > F0,95 o F (νa , νb ) > F0,975 (il valore
critico) è di solito interpretato come un'indicazione che s a2 (νa ) è maggiore di sb2 (νb ) di
una quantità statisticamente significativa, e che la probabilità di un valore così elevato, se
le due stime fossero stime della stessa varianza, è minore di 0,05 e di 0,025
rispettivamente. (Si possono scegliere naturalmente altri valori critici, come F0,99 ).
H.5.2.4
L'applicazione del test F all'esempio numerico illustrato dà
F (νa , νb ) =
( )
( )
2
2
5(57 µV)
s a2 Ks V j
=
=
= 2, 25
sb2
(85 µV)2
s 2 V jk
[H.27]
--``,`,,,,,,``,`,,,,,,`,,``,`,,`-`-`,,`,,`,`,,`---
con νa = J − 1 = 9 gradi di libertà al numeratore e νb = J (K − 1) = 40 gradi di libertà al
denominatore. Poichè F0,95 (9, 40) = 2,12 e F0,975 (9, 40) = 2, 45 , si conclude che l'effetto
tra giorni diversi risulta statisticamente significativo al livello di significatività del 5% ma non
al livello del 2,5%.
H.5.2.5
Se si respinge l'esistenza di un effetto tra giorni diversi poichè non si considera
statisticamente significativa la differenza tra s a2 ed sb2 (decisione questa imprudente, in
()
quanto potrebbe portare ad una sottostima dell'incertezza), la varianza stimata s 2 V di V
deve essere calcolata mediante l'equazione (H.24b). Questa relazione è equivalente al
cumulo delle stime s a2 ed sb2 (vale a dire una media di s a2 ed sb2 , pesate secondo i
rispettivi gradi di libertà νa e νb - vedere nota in H.3.6) in modo così da ottenere la miglior
stima della varianza delle osservazioni, dividendola per JK, il numero di osservazioni, per
ottenere la miglior stima s 2 V della varianza della media delle osservazioni. Seguendo
()
questa procedura si ottiene
()
s2 V =
(J − 1)sa2 + J (K − 1)sb2
JK (JK - 1)
9(128 µV) + 40(85 µV)
2
= (13 µV) ,
(10)(5)(49)
2
=
2
[H.28a]
ovvero
()
s V = (13 µV)
[H.28b]
()
con s V avente JK - 1 = 49 gradi di libertà.
Se si ipotizza di avere già considerato tutte le correzioni per effetti sistematici e si
considera trascurabile ogni altra componente d'incertezza, il risultato della taratura può
essere stabilito come VS = V = 10,000 009 7 V (vedere prospetto H.9), con incertezza
()
tipo composta s V = uc = 13 µV e con 49 gradi di libertà per uc .
Nota 1
Nella pratica è molto probabile l'esistenza di componenti addizionali dell'incertezza di entità
significativa, che devono dunque essere composte con la componente d'incertezza ottenuta per
via statistica dalle osservazioni (vedere H.5.1, nota).
Nota 2
2
Si può dimostrare che l'equazione (H.28a) per s V
()
è equivalente all'equazione (H.24b),
scrivendo in questa la doppia sommatoria, qui denominata S, come
J
K
[(
) (
S = ∑ ∑ V jk − V j + V j − V
j = 1k = 1
)]
2
= (J − 1)s a2 + J (K − 1)sb2
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H.5.2.6
Se si accetta l'esistenza di un effetto tra giorni diversi (decisione questa prudente, poichè
scongiura il rischio di sottostimare l'incertezza) e lo si considera casuale, allora la varianza
s 2 V j , calcolata dalle J = 10 medie giornaliere secondo l'equazione (H.25d), non stima
( )
2
K , come postulato in H.5.2.2, ma σ W
K + σB2 , in cui σB2 è la componente casuale tra
giorni diversi della varianza. Ciò implica che
2
σW
( )
2
s 2 V j = sW
K + sB2
[H.29]
( ) calcolata dall'equazione (H.26b)
dipende solo dalla variabilità giornaliera delle osservazioni, si può prendere s = s (V ) .
Pertanto il rapporto Ks (V ) s (V ) usato per il test F in H.5.2.4 diventa
Ks (V ) s + Ks
5(57 µV)
F =
=
=
= 2, 25
[H.30]
s
(85 µV)
s (V )
2
2
in cui s W
stima σ W
e sB2 stima σB2 . Poichè s 2 V jk
2
W
2
2
2
W
j
jk
jk
2
j
jk
2
2
B
2
W
2
2
2
che porta dunque a
sB2
=
( )
( ) = (43 µV) , ovvero s
Ks 2 V j − s 2 V jk
K
( )
2
B
= 43 µV
[H.31a]
2
sW
= s 2 V jk = (85 µV) , ovvero s W = 85 µV
2
[H.31b]
( )
( )
La varianza stimata di V viene ottenuta da s 2 V j , equazione (H.25d), in quanto s 2 V j
già tiene conto in modo adeguato delle due componenti tra giorni diversi e giornaliera
della varianza [vedere equazione (H.29)]. Dunque
()
( ) J = (57 µV)
s2 V = s2 V j
2
()
10 , ovvero s V = 18 µV
[H.32]
()
con S V avente J - 1 = 9 gradi di libertà.
2
I gradi di libertà di s W
(e dunque di s W ) sono pari a J(K - 1) = 40 [vedere equazione
(H.26b)]. I gradi di libertà di sB2 (e dunque di sB ) sono quelli effettivi della differenza
( )
( )K
sB2 = s 2 V j − s 2 V jk
H.5.2.7
[equazione (H.31a)], ma la loro stima è problematica.
La miglior stima della differenza di potenziale del campione di tensione è allora
()
VS = V = 10,000 097 V, con s V = u c = 18 µV come si è ricavato dall'equazione (H.32).
Questo valore di u c ed i suoi 9 gradi di libertà vanno confrontati con u c = 13 µV ed i suoi
49 gradi di libertà, risultato questo ottenuto in H.5.2.5 [equazione (H.28b)] respingendo
l'esistenza di un effetto tra giorni diversi.
In un esperimento reale un evidente effetto tra giorni diversi dovrebbe essere
investigato, se possibile, sia per determinarne le ragioni sia per appurare la presenza di
un effetto sistematico che invaliderebbe l'uso dei metodi ANOVA. Infatti, come già
precisato all'inizio di questo paragrafo, i metodi ANOVA sono concepiti per identificare e
valutare componenti dell'incertezza originate da effetti casuali; essi non possono dire
nulla riguardo a componenti originate da effetti sistematici.
Nota nazionale
Vedere nota nazionale in H.5.
Il ruolo dell'ANOVA nella misurazione
H.5.3.1
L'esempio del campione di tensione illustra quello che normalmente viene chiamato
piano a nido bilanciato ad uno stadio. È piano a nido ad uno stadio poichè vi è un livello di
raggruppamento delle osservazioni con un fattore, il giorno in cui si effettuarono le
osservazioni, che varia nel corso della misurazione. È bilanciato poichè per ogni giorno si
--``,`,,,,,,``,`,,,,,,`,,``,`,,`-`-`,,`,,`,`,,`--
H.5.3
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effettua lo stesso numero di osservazioni. L'analisi presentata in questo esempio può
essere utilizzata per determinare l'esistenza di un "effetto dell'operatore", di un "effetto
dello strumento", di un "effetto del laboratorio", di un "effetto del campionamento" o
persino di un "effetto del metodo" in una specifica misurazione. Così, in questo esempio,
si può immaginare di sostituire le osservazioni effettuate nei J giorni diversi con
osservazioni fatte nello stesso giorno ma da J distinti operatori; la componente tra giorni
diversi della varianza diventa allora una componente della varianza associata ad operatori
diversi.
H.5.3.2
Come si è rilevato in H.5, i metodi ANOVA sono largamente applicati nella certificazione
dei materiali di riferimento (MR) mediante prove interlaboratorio. Simili certificazioni
implicano che un certo numero di laboratori indipendenti e di pari competenza misurino
campioni di un materiale per quanto attiene alla proprietà per la quale il materiale stesso
deve essere certificato. Si ipotizza di norma che le differenze tra i singoli risultati, sia entro
sia tra i laboratori, siano di natura statistica indipendentemente dalle cause. La media di
ciascun laboratorio è considerata una stima imparziale della proprietà del materiale, e di
solito la media non pesata delle medie dei laboratori viene considerata la miglior stima
della proprietà in questione.
La certificazione di un MR può riguardare differenti laboratori I, ognuno dei quali misura la
proprietà richiesta di J diversi campioni del materiale, con K osservazioni ripetute ed
indipendenti per ogni misurazione di un singolo campione. Allora il numero totale di
osservazioni è IJK ed il numero totale di campioni è IJ. È questo un esempio di piano a
nido bilanciato a due stadi analogo all'esempio ad uno stadio del campione di tensione. In
questo caso vi sono due livelli di raggruppamento delle osservazioni con due distinti
fattori, il campione ed il laboratorio, che variano nel corso della misurazione. Il piano è
bilanciato poichè ogni campione viene osservato un uguale numero di volte (K) in
ciascun laboratorio e ciascun laboratorio misura un uguale numero di campioni (J). Come
ulteriore analogia con l'esempio del campione di tensione, nel caso dei MR scopo
dell'analisi dei dati è quello di appurare la possibile esistenza di effetti tra campioni e tra
laboratori, e quello di determinare l'incertezza appropriata da assegnare alla miglior stima
del valore della proprietà da certificarsi. Secondo la linea del precedente punto, la stima
viene identificata con la media delle medie degli I laboratori, che è anche la media delle
IJK osservazioni.
H.5.3.3
L'importanza di variare le grandezze d'ingresso da cui dipende il risultato di una
misurazione, cosicchè la sua incertezza sia basata su dati osservati elaborati per via
statistica, è evidenziata in 3.4.2. I piani a nido e l'analisi dei dati risultanti per mezzo dei
metodi ANOVA possono essere applicati con successo in molte delle situazioni
sperimentali che si incontrano nella pratica.
Cionondimeno, come già puntualizzato in 3.4.1, raramente è possibile variare tutte le
grandezze d'ingresso, a causa di limiti di tempo e di risorse; al più, nella maggior parte
delle situazioni pratiche, è possibile valutare con metodi ANOVA solo poche componenti
d'incertezza. Come evidenziato in 4.3.1, molte componenti devono essere valutate con
un giudizio scientifico basato su tutte le informazioni disponibili in merito alla variabilità
della grandezza d'ingresso in questione; in molte situazioni una componente
d'incertezza, originata da un effetto tra campioni, tra laboratori, tra strumenti o tra
operatori, non potendo essere valutata mediante l'analisi statistica di serie di osservazioni
deve esserlo mediante il ricorso all'insieme delle informazioni disponibili.
H.6
MISURAZIONI CON UNA SCALA DI RIFERIMENTO: DUREZZA
La durezza è un esempio di concetto fisico che non può essere quantificato senza far
riferimento ad un metodo di misurazione; di conseguenza non esiste una sua unità di
misura che sia indipendente dal metodo stesso. La grandezza "durezza" si differenzia
dalle grandezze misurabili classiche in quanto non la si può far intervenire in equazioni
algebriche per definire altre grandezze misurabili (sebbene sia talvolta usata in equazioni
empiriche che legano la durezza a qualche altra proprietà per una certa categoria di
materiali). Ogni valore di durezza è determinato mediante una misurazione
convenzionale, quella cioè della dimensione lineare di una impronta in un blocco del
materiale di interesse, o blocco di riferimento. La misurazione viene effettuata seguendo
--``,`,,,,,,``,`,,,,,,`,,``,`,,`-`-`,,`,,`,`,,`---
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una norma, che comprende la descrizione del "penetratore", della macchina che lo
aziona e della procedura di impiego della macchina stessa. Poichè esistono diverse
norme, esistono diverse scale di durezza.
Il valore della durezza è una funzione (dipendente dalla scala) della dimensione lineare
che viene misurata. Nell'esempio qui illustrato essa è una funzione lineare della media
aritmetica delle profondità di cinque impronte ripetute, ma per altre scale la funzione è
non lineare.
Particolari realizzazioni dell'apparecchiatura prevista dalla norma fungono da campioni
nazionali (non esiste un campione internazionale); il confronto tra una qualsiasi macchina
e la macchina campione nazionale viene effettuato mediante un blocco di trasferimento.
H.6.1
Il problema sperimentale
In questo esempio la durezza di un provino di materiale viene determinata nella scala
"Rockwell C" usando una macchina tarata rispetto alla macchina campione nazionale.
L'unità di misura della scala di durezza Rockwell C è 0,002 mm, cosicchè la durezza su
questa scala è definita come 100 × (0,002 mm) meno la media delle profondità in millimetri
di cinque impronte. Il valore di questa grandezza diviso l'unità di misura della scala
Rockwell, 0,002 mm, è chiamato "indice di durezza HRC". In questo esempio la
grandezza è chiamata per semplicità "durezza", con il simbolo h Rockwell C. Il valore
numerico della durezza espresso in unità di lunghezza Rockwell è chiamato "indice di
durezza" ed ha simbolo HRockwell C.
H.6.2
Modello matematico
La media delle profondità delle impronte praticate nel provino dalla macchina usata per
determinarne la durezza, la macchina di taratura, deve essere corretta allo scopo di
determinare la media delle profondità delle impronte che sarebbero state praticate nello
stesso provino dalla macchina campione nazionale. Pertanto
(
)
hRockwell C = f d , ∆c , ∆b , ∆S = 100 (0, 002 mm) − d − ∆c − ∆b − ∆S
[H.33a]
H Rockwell C = hRockwell C (0, 002 mm)
[H.33b]
in cui
d
∆c
∆b
∆S
è la media delle profondità di cinque impronte praticate con la macchina di taratura
nel provino;
è la correzione ottenuta da un confronto della macchina di taratura con la macchina
campione nazionale mediante un blocco di trasferimento, uguale alla media delle
profondità di 5m impronte praticate nel blocco con la macchina campione nazionale
meno la media delle profondità di 5n impronte praticate nello stesso blocco con la
macchina di taratura;
è la differenza di durezza (espressa come differenza di profondità media di
impronta) tra le due parti del blocco di trasferimento utilizzate per le impronte con le
due macchine, che viene considerata pari a zero;
è l'errore dovuto alla mancanza di ripetibilità della macchina campione nazionale ed
all'incompleta definizione della grandezza durezza. Sebbene debba essere posto
uguale a zero, ∆S ha un'incertezza tipo u( ∆S ) non nulla.
Poichè le derivate parziali ∂f ∂d , ∂f ∂∆c , ∂f ∂∆b e ∂f ∂∆S della funzione dell'equazione
(H.33a) sono tutte uguali a - 1, l'incertezza tipo composta u c2 (h ) della durezza del provino
misurata dalla macchina di taratura è data semplicemente da
()
u c2 (h ) = u 2 d + u 2 ( ∆c ) + u 2 ( ∆b ) + u 2 ( ∆S )
[H.34]
dove per semplicità di notazione h ≡ hRockwell C .
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H.6.3
Varianze dei contributi all'incertezza
H.6.3.1
Incertezza della profondità media d del'impronta nel blocco, u d
()
Incertezza di osservazioni ripetute. Non è possibile la ripetizione in senso stretto di
un'osservazione in quanto non si può praticare una nuova impronta nella stessa
posizione di una precedente. Poichè ogni impronta deve essere praticata in una diversa
posizione, la variazione nel risultato comprende l'effetto delle variazioni nella durezza tra
una posizione e l'altra. Dunque u d , l'incertezza tipo della media delle profondità di
()
cinque impronte nel provino, è pari a sp (d k ) 5 , in cui sp (d k ) è lo scarto tipo
sperimentale cumulato delle profondità di impronte determinata mediante misurazioni
"ripetute" su di un blocco avente durezza sensibilmente uniforme (vedere 4.2.4).
Incertezza dell'indicazione. Benchè la correzione a d dovuta al visualizzatore della
macchina di taratura sia zero, vi è un'incertezza su d dovuta all'incertezza dell'indicazione
della profondità, a causa della risoluzione δ del visualizzatore stesso, data da
u 2 ( δ) = δ 2 12 (vedere F.2.2.1). La varianza stimata di d è pertanto
()
u 2 d = s 2 (d k ) 5 + δ 2 12
[H.35]
Incertezza della correzione per la differenza tra le due macchine, u ( ∆c )
H.6.3.2
Come indicato in H.6.2, ∆c è la correzione per la differenza tra la macchina campione
nazionale e la macchina di taratura. Si può esprimere questa correzione come
m
∆c = z' S − z' , in cui z' S = 
z  m è la profondità media delle 5m impronte praticate
 i =1 S,i 
∑
∑
dalla macchina campione nazionale nel blocco di trasferimento, e z' = 
z  n è la
 i =1 i 
profondità media delle 5n impronte praticate nello stesso blocco dalla macchina di
taratura. Quindi, supponendo che nel confronto l'incertezza dovuta alla risoluzione finita
del visualizzatore sia trascurabile, la varianza stimata di ∆c è
n
u ( ∆c ) =
2
( ) + s (z )
2
s av
zS
2
av
m
[H.36]
n
dove
( ) ∑
( )
m 2
2
s av
zS = 
s z S,i  m è la media delle varianze sperimentali delle medie di
 i =1

ciascuna delle m serie di impronte z S,ik praticate dalla macchina campione;
()
2
s av
z =
[∑
n
s2
i =1
(z )] n è la media delle varianze sperimentali delle medie delle n serie di
i
impronte z ik praticate dalla macchina di taratura.
Nota
( )
2
Le varianze s av
zS
( ) sono stime cumulate di
2
e s av
z
una varianza - vedere la trattazione
H.6.3.3
Incertezza della correzione dovuta alle variazioni della durezza del blocco di
trasferimento, u ( ∆b )
La Raccomandazione OIML R 12, Verification and calibration of Rockwell C hardness
standardized blocks, richiede che le profondità massima e minima delle impronte
ottenute dalle cinque misurazioni sul blocco di trasferimento differiscano tra di loro di non
più di una frazione x della profondità media di impronta, con x definito in funzione del
valore di durezza. Sia pertanto la massima differenza di profondità tra le impronte
sull'intero blocco pari a xz', con z' definita come in H.6.3.2 con n = 5. Sia tale differenza
massima descritta da una distribuzione di probabilità triangolare intorno al valor medio
xz'/2 (nella fondata ipotesi che i valori intorno al valor medio siano più probabili dei valori
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dell'equazione (H.26b) in H.5.2.2.
estremi - vedere 4.3.9). Allora, se nell'equazione (9b) in 4.3.9 si pone a = xz'/2, la varianza
stimata della correzione alla profondità media di impronta, dovuta alla differenza tra le
durezze viste dalla macchina campione e dalla macchina di taratura, è
u 2 ( ∆b ) = xz' 24
[H.37]
Come già indicato in H.6.2, si ipotizza che la miglior stima della correzione ∆b sia pari a
zero.
Incertezza della macchina campione nazionale e della definizione di durezza, u ( ∆S )
H.6.3.4
L'incertezza della macchina campione nazionale, unitamente a quella derivante
dall'incompleta definizione della grandezza durezza, è descritta da uno scarto tipo stimato
u( ∆S ) (grandezza di dimensione lunghezza).
Incertezza tipo composta, u c (h )
H.6.4
Sostituendo i vari termini discussi da H.6.3.1 a H.6.3.4 nell'equazione H.34 si ottiene per
la varianza stimata della misurazione di durezza
u c2
(h ) =
s 2 (d k )
5
( )
()
2
2
2
s av
z
xz' )
δ 2 s av z S
(
+
+
+
+
+ u 2 ( ∆S )
m
n
12
24
[H.38]
da cui si ricava l'incertezza tipo composta u c (h ) .
H.6.5
Esempio numerico
I dati relativi a questo esempio sono presentati nel prospetto H.10.
prospetto
H.10
Riassunto dei dati per la determinazione della durezza di un provino sulla scala Rockwell C
Origine dell'incertezza
Valore
Profondità media d di 5 impronte effettuate dalla macchina di taratura nel provino: 0,072 mm
36,0 unità di scala Rockwell
Indice di durezza del provino indicato dalle 5 impronte:
64,0 HRC
HRockwell C = hRockwell C / (0,002 mm) =
[100(0,002 mm) - 0,072 mm] / (0,002 mm) (vedere H.6.1)
Scarto tipo sperimentale cumulato s p (d k ) delle profondità delle impronte praticate dalla macchina di 0,45 unità di scala Rockwell
taratura in un blocco avente durezza uniforme
0,1 unità di scala Rockwell
Risoluzione δ del visualizzatore della macchina di taratura
( )
s av z S , radice quadrata della media delle varianze sperimentali delle medie di m serie di impronte
0,10 unità di scala Rockwell, m = 6
praticate dalla macchina campione nazionale nel blocco di trasferimento
( )
s av z S , radice quadrata della media delle varianze sperimentali delle medie di n serie di impronte
0,11 unità di scala Rockwell, n = 6
praticate dalla macchina di taratura nel blocco di trasferimento
Variazione percentuale della profondità x consentita nel blocco di trasferimento
1,5 × 10-2
Incertezza tipo u( ∆S ) della macchina campione nazionale e della definizione di durezza
0,5 unità di scala Rockwell
La scala è la Rockwell C, indicata con HRC. L'unità di misura della scala Rockwell è
0,002 mm, per cui, nel prospetto H.10 e qui di seguito, s'intende, per esempio, che
l'espressione "36,0 unità di scala Rockwell" significa 36,0 × (0,002 mm) = 0,072 mm ed è
solamente un modo comodo di esprimere dati e risultati.
Se si sostituiscono nell'equazione (H.38) i valori pertinenti indicati nel prospetto H.10, si
ottengono le seguenti espressioni:
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2
u c2

 0, 452 0,12 0,102 0,112 (0, 015 × 36, 0)2
+
+
+
+
+ 0, 52 
(h ) = 
2
12
6
6
24
 (unità di scala Rockwell)
 5
= 0,307(unità di scala Rockwell)2
u c (h ) = 0,55 unità di scala Rockwell = 0,001 1 mm
dove per il calcolo dell'incertezza è stato sufficiente porre z ' = d = 36,0 unità di scala
Rockwell.
Pertanto, ipotizzando ∆c = 0, la durezza del provino è
h Rockwell C = 64,0 unità di scala Rockwell, ovvero 0,128 0 mm con incertezza tipo
composta uc = 0,55 unità di scala Rockwell, ovvero 0,001 1 mm.
L'indice di durezza del provino è hRockwell C / (0,002 mm) = (0,128 0 mm) / (0,002 mm),
ovvero
HRockwell C = 64,0 HRC con incertezza tipo composta uc = 0,55 HRC.
Oltre alla componente d'incertezza derivante dalla macchina campione nazionale e
dall'incompleta definizione della grandezza durezza, u( ∆S ) = 0,5 unità di scala Rockwell,
le componenti significative dell'incertezza sono quelle derivanti dalla ripetibilità della
macchina, sp (d k ) 5 = 0,20 unità di scala Rockwell, e le variazioni di durezza del blocco
di trasferimento, (xz' ) 24 = 0,11 unità di scala Rockwell. I gradi di libertà effettivi di uc
possono essere valutati usando la formula di Welch-Satterthwaite come indicato in H.1.6.
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2
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APPENDICE J
GLOSSARIO DEI SIMBOLI PRINCIPALI
a
Semiampiezza di una distribuzione rettangolare dei possibili valori di una
grandezza d'ingresso Xi: a = (a + − a − ) 2
a+
Estremo, o limite, superiore di una grandezza d'ingresso Xi
a−
Estremo, o limite, inferiore di una grandezza d'ingresso Xi
b+
Estremo, o limite, superiore dello scostamento di una grandezza d'ingresso
Xi dalla sua stima xi: b + = a + − x i
b−
Estremo, o limite, inferiore dello scostamento di una grandezza d'ingresso
Xi dalla sua stima xi: b − = x i − a −
ci
Derivata parziale o coefficiente di sensibilità c i ≡ ∂f ∂x i
f
Relazione funzionale tra il misurando Y e le grandezze d'ingresso Xi da cui Y
dipende, e tra la stima d'uscita y e le stime d'ingresso xi da cui y dipende
∂f ∂x i
Derivata parziale rispetto alla grandezza d'ingresso X i della relazione
funzionale f tra il misurando Y e le grandezze d'ingresso Xi da cui Y dipende,
valutata mediante stime xi per le Xi: ∂f ∂x i = ∂f ∂X i
x 1, x 2 ,..., x N
Fattore di copertura utilizzato per calcolare l'incertezza estesa U = ku c ( y )
k
della stima d'uscita y dalla sua incertezza tipo composta u c ( y ) , con U che
individua un intervallo Y = y ± U avente un alto livello di fiducia
Fattore di copertura utilizzato per calcolare l'incertezza estesa U p = k pu c ( y )
kp
n
N
della stima d'uscita y dalla sua incertezza tipo composta u c ( y ) , con U p che
individua un intervallo Y = y ± U p avente un livello di fiducia p elevato e
specificato
Numero di osservazioni ripetute
Numero di grandezze d'ingresso Xi da cui dipende il misurando Y
p
Probabilità; livello di fiducia: 0 ≤ p ≤ 1
q
Grandezza variabile in modo casuale descritto da una distribuzione di
probabilità
q
Media aritmetica di n osservazioni ripetute ed indipendenti q k di una
grandezza q variabile in modo casuale; stima del valore atteso µ q della
distribuzione di probabilità di q
k-esima osservazione ripetuta ed indipendente di una grandezza q variabile
in modo casuale
qk
(
r xi ,x j
)
Coefficiente di correlazione stimato, associato con le stime d'ingresso xi ed
xj
che
stimano
le
grandezze
d'ingresso
X i ed X j :
(
) (
r xi ,x j = u xi ,x j
(
r X i ,X j
)
)
( )
u (x i )u x j
Coefficiente di correlazione stimato delle medie d'ingresso X i ed X j ,
determinato su n coppie indipendenti di osservazioni simultanee ripetute
Xi,k ed Xj,k di Xi ed Xj: r X i , X j = s X i , X j s X i s X j
(
r yi ,y j
sp2
--``,`,,,,,,``,`,,,,,,`,,``,`,,`-`-
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)
(
) (
) ( )( )
Coefficiente di correlazione stimato, associato alle stime d'uscita y i e y j,
allorquando nella stessa misurazione sono determinati due o più misurandi
o grandezze d'uscita
Stima combinata, o cumulata, della varianza
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sp
Scarto tipo sperimentale combinato, o cumulato, pari alla radice quadrata
positiva di sp2
()
s2 q
Varianza sperimentale della media q ; stima della varianza σ 2 n di q :
()
s 2 q = s 2 (q k ) n ;
varianza stimata ottenuta da una valutazione di
categoria A
()
sq
Scarto tipo sperimentale della media q , pari alla radice quadrata positiva di
()
() ()
s 2 q ; s q è uno stimatore polarizzato di σ q (vedere C.2.21, nota);
incertezza tipo ottenuta da una valutazione di categoria A
s 2 (q k )
Varianza sperimentale determinata da n osservazioni ripetute ed
indipendenti qk di q; stima della varianza σ 2 della distribuzione di probabilità
di q
s (q k )
Scarto tipo sperimentale, pari alla radice quadrata positiva di s 2 (q k ) ; s (q k ) è
uno stimatore polarizzato dello scarto tipo σ della distribuzione di probabilità
di q
( )
s2 X i
Varianza sperimentale della media d'ingresso X i , determinata da n
osservazioni ripetute ed indipendenti Xi,k di Xi; varianza stimata ottenuta da
una valutazione di categoria A
( )
Scarto tipo sperimentale della media d'ingresso X i , pari alla radice quadrata
s Xi
( )
positiva di s 2 X i ; incertezza tipo ottenuta da una valutazione di categoria A
( )
Stima della covarianza delle medie q ed r che stimano i valori attesi µq e µr
s q,r
--``,`,,,,,,``,`,,,,,,`,,``,`,,`-`-`,,`,,`,`,,`---
(
s X i ,X j
)
di due grandezze q ed r variabili in modo casuale, determinata su n coppie
indipendenti di osservazioni simultanee ripetute q k ed r k di q ed r;
covarianza stimata ottenuta da una valutazione di categoria A
Stima della covarianza delle medie d'ingresso X i ed X j , determinata su n
coppie indipendenti di osservazioni simultanee ripetute Xi,k ed Xj,k di Xi ed
Xj; covarianza stimata ottenuta da una valutazione di categoria A
t p (ν )
Fattore t della distribuzione t per ν gradi di libertà corrispondente ad una
probabilità p specificata
t p (νeff )
Fattore t della distribuzione t per νeff gradi di libertà corrispondente ad una
probabilità p specificata, usato per calcolare l'incertezza estesa Up
u 2 (x i )
Varianza stimata associata alla stima d'ingresso xi che stima la grandezza
d'ingresso Xi
Nota
Quando xi è determinata mediante la media aritmetica di n osservazioni ripetute ed
( ) è una varianza stimata ottenuta da una valutazione
2
2
indipendenti, u ( x i ) = s X i
di categoria A.
u (x i )
Incertezza tipo della stima d'ingresso xi che stima la grandezza d'ingresso Xi,
pari alla radice quadrata positiva di u 2 (x i )
Nota
Quando xi è determinata mediante la media aritmetica di n osservazioni ripetute ed
( ) è un'incertezza tipo ottenuta da una
indipendenti, u ( x i ) = s X i
valutazione di
categoria A.
(
u xi ,x j
)
Covarianza stimata associata a due stime d'ingresso xi ed xj che stimano le
grandezze d'ingresso Xi ed Xj
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Quando xi ed xj sono determinate mediante n coppie indipendenti di osservazioni
Nota
(
) (
ripetute e simultanee, u x i , x j = s X i , X
j
) è una covarianza stimata ottenuta da
una valutazione di categoria A.
u c2 ( y )
Varianza composta associata alla stima d'uscita y
u c (y )
Incertezza tipo composta della stima d'uscita y, pari alla radice quadrata
positiva di u c2 ( y )
u cA ( y )
Incertezza tipo composta della stima d'uscita y determinata da incertezze
tipo e covarianze stimate ottenute esclusivamente da valutazioni di
categoria A
u cB ( y )
Incertezza tipo composta della stima d'uscita y determinata da incertezze
tipo e covarianze stimate ottenute esclusivamente da valutazioni di
categoria B
u c (y i )
Incertezza tipo composta della stima d'uscita yi, allorquando nella stessa
misurazione sono determinati due o più misurandi o grandezze d'uscita
u i2 ( y )
Componente della varianza composta u c2 ( y ) associata alla stima d'uscita y
generata dalla varianza stimata u 2 (x i ) associata alla stima d'ingresso x i:
[
]
u i2 ( y ) ≡ c i u (x i )
ui (y )
(
u yi ,y j
2
Componente dell'incertezza tipo composta u c ( y ) della stima d'uscita y
generata dal'incertezza tipo della stima d'ingresso xi: u i ( y ) ≡ c i u (x i )
)
Covarianza stimata, associata alle stime d'uscita yi e yj determinate nella
stessa misurazione
u (x i ) x i
Incertezza tipo relativa della stima d'ingresso xi
u c (y ) y
Incertezza tipo composta relativa della stima d'uscita y
[u (x i ) x i ]
2
[u c (y ) y ]
u (x i , x j )
2
xi x j
Varianza stimata relativa associata alla stima d'ingresso xi
Varianza stimata relativa associata alla stima d'uscita y
Covarianza stimata relativa associata alle stime d'ingresso xi ed xj
U
Incertezza estesa della stima d'uscita y che individua un intervallo Y = y ± U
avente un alto livello di fiducia, pari al prodotto del fattore di copertura k per
l'incertezza tipo composta u c ( y ) di y: U = ku c ( y )
Up
Incertezza estesa della stima d'uscita y che individua un intervallo
Y = y ± U p avente un livello di fiducia p elevato e specificato, pari al prodotto
del fattore di copertura k p per l'incertezza tipo composta u c ( y ) di y :
U p = k pu c ( y )
xi
Nota
Stima della grandezza d'ingresso X i
Quando x i viene determinata mediante la media aritmetica di n osservazioni ripetute ed
indipendenti, x i = X i
Xi
Nota
Grandezza d'ingresso i-esima tra quelle da cui dipende il misurando Y
X i può indicare tanto la grandezza fisica quanto la variabile casuale (vedere 4.1.1, nota 1).
Xi
Stima del valore della grandezza d'ingresso X i , uguale alla media aritmetica
di n osservazioni ripetute ed indipendenti X i ,k di X i
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X i ,k
Osservazione indipendente k-esima di X i
y
yi
Stima del misurando Y; risultato di una misurazione; stima d'uscita
Stima del misurando Y i allorquando nella stessa misurazione sono
determinati due o più misurandi
Misurando
Y
∆u (x i )
u (x i )
µq
ν
νi
Incertezza relativa stimata dell'incertezza tipo u (x i ) della stima d'ingresso xi
Speranza matematica o media della distribuzione di probabilità della
grandezza variabile in modo casuale q
Gradi di libertà (in generale)
Gradi di libertà, o gradi di libertà effettivi, dell'incertezza tipo u (x i ) della stima
d'ingresso xi
νeff
Gradi di libertà di u c ( y ) , utilizzati per ottenere t p ( νeff ) allo scopo di calcolare
l'incertezza estesa Up
νeffA
Gradi di libertà effettivi di un'incertezza tipo composta determinata da
incertezze tipo ottenute esclusivamente mediante valutazioni di categoria A
Gradi di libertà effettivi di un'incertezza tipo composta determinata da
incertezze tipo ottenute esclusivamente mediante valutazioni di categoria B
Varianza della distribuzione di probabilità, per esempio, di una grandezza
variabile in modo casuale q, stimata da s 2 (q k )
νeffB
σ2
σ
()
σ (q )
σ2 q
Scarto tipo di una distribuzione di probabilità, pari alla radice quadrata
positiva di σ2; s (q k ) è uno stimatore distorto di σ
()
Varianza di q , pari a σ 2 n , stimata da s 2 q = s 2 (q k ) n
() ()
Scarto tipo di q , pari alla radice quadrata positiva di σ 2 q ; s q
()
è uno
stimatore distorto di σ q
[ ( )]
σ[s (q )]
σ2 s q
()
Scarto tipo dello scarto tipo sperimentale s (q ) di q , pari alla radice quadrata
positiva di σ [s (q )]
Varianza dello scarto tipo sperimentale s q di q
2
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APPENDICE K
BIBLIOGRAFIA
[1]
[2]
Nota
Esistono due traduzioni in inglese della Raccomandazione INC-1 (1980), che differiscono
lievemente: quella riportata nella versione in inglese della presente guida è la versione finale della
Raccomandazione, tratta da un rapporto interno del BIPM, ed è coerente con il testo ufficiale
francese di BIPM Proc. - Verb. Com. Int. Poids et Mesures 4 9 , che è quello di riferimento,
riportato anche nell'appendice A della presente guida, sotto A.1. Quella riportata in Metrologia 1 7
si basa su di una bozza del rapporto BIPM.
[3]
[4]
[5]
Nota
CIPM (1980), BIPM Proc. - Verb. Com. Int. Poids et Mesures 48, C1 - C30 (in
francese); BIPM (1980), Rapport BIPM-80/3, Report on the BIPM enquiry on error
statements, Bur. Intl. Poids et Mesures (Sèvres, Francia) (in inglese).
KAARLS, R. (1981), BIPM Proc. - Verb. Com. Int. Poids et Mesures 49, A1-A12
(in francese); Giacomo, P. (1981), Metrologia 17, 73-74 (in inglese).
CIPM (1981), BIPM Proc. - Verb. Com. Int. Poids et Mesures 49, 8-9, 26 (in
francese); Giacomo, P. (1982), Metrologia 18, 43-44 (in inglese).
CIPM (1986), BIPM Proc. - Verb. Com. Int. Poids et Mesures 54, 14, 35 (in
francese); Giacomo, P. (1987), Metrologia 24, 49-50 (in inglese).
ISO 5725:1986, Precision of test methods - Determination of repeatability and
reproducibility for a standard test method by inter-laboratory tests, Organizzazione
Internazionale di Normazione (International Organization for Standardization, ISO)
(Ginevra, Svizzera).
Questa norma è attualmente in revisione. La revisione ha un nuovo titolo, "Accuratezza (veridicità
e precisione) dei metodi di misura e dei risultati". Essa è composta da sei parti.
[6]
Vocabolario Internazionale dei termini fondamentali e generali in metrologia,
seconda edizione, 1993, Organizzazione Internazionale di Normazione
(International Organization for Standardization, ISO) (Ginevra, Svizzera).
L'abbreviazione del titolo di questo vocabolario è VIM.
Nota 1
Le definizioni riportate nell'appendice B sono tratte dal testo inglese revisionato del VIM,
precedentemente alla sua pubblicazione come documento finale.
Nota 2
La seconda edizione del VIM è pubblicata dall'ISO a nome delle sette organizzazioni seguenti, che
partecipano ai lavori del Gruppo Tecnico Consultivo sulla Metrologia (Technical Advisory Group on
Metrology, TAG 4) dell'ISO, cioè del gruppo responsabile dello sviluppo del VIM: l'Ufficio
Internazionale dei Pesi e delle Misure (Bureau International des Poids et Mesures, BIPM), la
Commissione Elettrotecnica Internazionale (International Electrotechnical Commission, IEC), la
Federazione Internazionale di Chimica Clinica (International Federation of Clinical Chemistry,
IFCC), l'ISO stessa, l'Unione Internazionale di Chimica Pura ed Applicata (International Union of
Pure and Applied Chemistry, IUPAC), l'Unione Internazionale di Fisica Pura ed Applicata
(International Union of Pure and Applied Physics, IUPAP), e l'Organizzazione Internazionale di
Metrologia Legale (Organisation Internationale de Métrologie Légale, OIML).
Nota 3
La prima edizione del VIM fu pubblicata dall'ISO nel 1984 a nome di BIPM, IEC, ISO e OIML.
[7]
[8]
[9]
[10]
[11]
[12]
[13]
--``,`,,,,,,``,`,,,,,,`,,``,`,,`-`-`,,`,,`,`,,`---
[14]
[15]
ISO 3534-1:1993, Statistics - Vocabulary and symbols - Part 1: Probability and
general statistical terms, Organizzazione Internazionale di Normazione
(International Organization for Standardization, ISO) (Ginevra, Svizzera).
FULLER, W. A. (1987), Measurement error models, John Wiley (New York, N.Y.).
ALLAN, D. W. (1987), IEEE Trans. Instrum. Meas., IM-36, 646-654.
DIETRICH, C. F. (1991), Uncertainty, calibration and probability, seconda
edizione, Adam-Hilger (Bristol).
MÜLLER, J. W. (1979), Nucl. Instrum. Meth., 163, 241-251.
MÜLLER, J. W. (1984), in Precision measurement and fundamental constants II,
Taylor, B. N., and Phillips, W. D., eds., Natl. Bur. Stand. (U.S.) Spec. Publ. 617,
US GPO (Washington, D.C.), 375-381.
JEFFREYS, H. (1983), Theory of probability, terza edizione, Oxford University
Press (Oxford).
PRESS, S. J. (1989), Bayesian statistics: principles, models, and applications,
John Wiley (New York, N.Y.).
BOX, G. E. P., HUNTER, W. G., and HUNTER, J. S. (1978), Statistics for
experimenters, John Wiley (New York, N.Y.).
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[15]
[17]
[18]
[19]
[20]
WELCH, B. L., (1936), J. R. Stat. Soc. Suppl. 3, 29-48; (1938) Biometrika 29,
350-362; (1947), ibid. 34, 28-35.
FAIRFIELD-SMITH, H. (1936), J. Counc. Sci. Indust. Res. (Australia) 9(3), 211.
SATTERTHWAITE, F. E. (1941), Psychometrika 6, 309-316; (1946) Biometrics
Bull. 2(6), 110-114.
ISO Guide 35:1989, Certification of reference materials - General and statistical
principles, seconda edizione, Organizzazione Internazionale di Normazione
(International Organization for Standardization, ISO) (Ginevra, Svizzera).
BARKER, T. B. (1985), Quality by experimental design, Marcel Dekker (New York,
N.Y.).
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Indice alfabetico
A
accuratezza di misura ......................................................................... 3.1.3, 3.4.1, B.2.14
analisi dell'errore ...................................................................................................... 0.2
analisi della varianza ................................................................................. vedere ANOVA
ANOVA............................................................................................4.2.8, H.5 e seguenti
arrotondamento dell'incertezza .................................................................................7.2.6
B
bias .............................................................................................................. 3.2.3 nota
BIPM ................................................................................. premessa, 0.5, 7.1.1, A.1, A.2
Bureau International des Poids et Mesures ...................................................... vedere BIPM
C
calcolo numerico dell'incertezza di tipo composto .............................. 5.1.3 nota 2, 5.2.2 nota 3
caratteristica ......................................................................................................C.2.15
casuale ................................................................................... 3.3.3, E.1.3, E.3.5 a E.3.7
casuale, effetto.............................................................................. vedere effetto casuale
casuale, errore ............................................................................... vedere errore casuale
casuale variabile .......................................................................... vedere variabile casuale
casualità.......................................................................................F.1.1, F.1.1.3 a F.1.1.5
casuali variazioni, correlate ..............................................vedere variazioni casuali correlate
catena di taratura ............................................................................................ 4.2.8 nota
categorizzazione delle grandezze di ingresso ..............................................................4.1.3
categorizzazione e classificazione delle componenti dell'incertezza...... 3.3.3, 3.3.4, E.3.6, E.3.7
certificazione dei materiali di riferimento ............................................................ H.5, H.5.3.2
cifre significative dell'incertezza................................................................................7.2.6
CIPM .................................................................. premessa, 0.5, 6.1.1, 6.1.2, A.1, A.2, A.3
coefficiente di correlazione......................5.2.2, 5.2.3, C.3.6, F.1.2.3, H.2.3, H.2.4, H.3.2, H.1.2
coefficiente di correlazione, matrice di .................. vedere matrice dei coefficienti di correlazione
coefficiente di fiducia ............................................................................................C.2.29
coefficiente di sensitività ................................................................................ 5.1.3, 5.1.4
Comitato Elettrotecnico Internazionale ...............................................................vedere IEC
Comitè International des Poids et Mesures ....................................................... vedere CIPM
comparazione di taratura................................................................................ F.1.2.3 nota
componenti dell'incertezza, categorizzazioni, e classificazioni dell'....... vedere categorizzazione
e classificazione delle componenti dell'incertezza
componenti dell'incertezza, doppio conteggio ............................................................ 4.3.10
componenti raggruppati di incertezza ................................................ 3.3.3 nota, 3.4.3, E.3.7
condizioni di ripetibilità......................................................................... 3.1.4, B.2.15 nota 1
controllo statistico ......................................................................................... 3.4.2, 4.2.4
convoluzione ......................................................... 4.3.9 nota 2, G.1.4 a G.1.6, G.2.2, G.6.5
coppie indipendenti di osservazioni simultanee............. 5.2.3, C.3.4, F.1.2.2, H.2.2, H.2.4, H.4.2
correlazione .............................................. 5.1, 5.2 e seguenti, C.2.8, F.1.2, F.1.2.1 a F.1.2.4
correlazione, coefficiente di.............................................. vedere coefficiente di correlazione
correlazione, coefficiente di, numero di cifre significative ...............................................7.2.6
correlazione, eliminazione della ....................................................5.2.4, 5.2.5, F.1.2.4, H.3.5
correlazione, matrice di.......................................................................................... nota 2
correzione.......................................................................... 3.2, 3.2.3, 3.2.4 nota 2, B.2.23
correzione, fattore di .................................................................vedere fattore di correzione
correzione, incertezza di una ...........................................vedere incertezza di una correzione
correzione, trascurare una ................................................. vedere trascurare una correzione
covarianza .................................................................. 3.3.6, 5.2.2, C.3.4, F.1.2.1 a F.1.2.4
covarianza di categoria A, valutazione della.............................................. vedere valutazione
della covarianza di categoria A
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covarianza di categoria B, valutazione della ............................................. vedere valutazione
della covarianza di categoria B
covarianza di due medie aritmetiche ........................ .............. 5.2.3, C.3.4, H.2.2, H.2.4, H.4.2
covarianza di misurandi correlati ........................... vedere stime d'uscita o grandezze correlate
covarianza, matrice di ............................................................. vedere matrice di covarianza
covarianza, valutazione sperimentale della .............................................. vedere valutazione
sperimentale della covarianza
curva di errore di uno strumento verificato ................................................................ F.2.4.2
curva di taratura....................................................................................... F.2.4.2, F.2.4.5
curva di taratura .......................................................................... vedere taratura, curva di
curva lineare di taratura ............................................................................H.3 e successivi
D
definizione o specifica del misurando ........................................................ vedere misurando
densità di probabilità ............................... 3.3.5, 4.3.8 nota 2, 4.4.2, 4.4.5, 4.4.6, C.2.5, F.2.4.4
densità parziale ..................................................................................................... 5.1.3
determinazione dell'errore ........................................................................................ 3.4.5
determinazione sperimentale dei coefficienti di sensibilità .............................................. 5.1.4
dichiarazione dell'incertezza tipo composta........ vedere incertezza tipo composta, dichiarazione
distorsione..................................................................................................... 3.2.3 nota
distribuzione asimmetrica ................................................................... 4.3.8, F.2.4.4, G.5.3
distribuzione di frequenza ............................................................3.3.5, 4.1.6, C.2.18, B.3.5
distribuzione di Laplace-Gauss ............................................................................... C.2.14
distribuzione di probabilità ............................. .............3.3.4, 4.1.1 nota 1, 4.1.6, 4.2.3 nota 1,
4.4.1 a 4.4.4, C.2.3, E.4.2, G.1.4, G.1.5
distribuzione di Student ................................................................................. C.3.8. G.3.2
distribuzione F ................................................................................................... H.5.2.3
distribuzione, funzione di ..................................................... vedere funzione di distribuzione
distribuzione iniziale ........4.1.6, 4.3.1 nota, 4.4.4 e successivi, D.6.1, E.3.4, E.3.5, G.4.2, G.4.3
distribuzione normale ............... 4.2.3 nota 1, 4.3.2 nota, 4.3.4 a 4.3.6, 4.3.9 nota 1, 4.4.2, 4.4.6,
C.2.14, E.3.3, F.2.3.3, G.1.3, G.1.4, G.2.1 a G.2.3, G.5.2 nota 2
distribuzione rettangolare ........4.3.7, 4.3.9, 4.4.5, F.2.2.1 a F.2.2.3, F.2.3.3, G.2.2 nota 1, G.4.3
distribuzione t............................................................4.2.3 nota 1, C.3.8, G.3, G.3.2, G.3.4,
G.4.1, G.4.2, G.5.4, G.6.2
distribuzione T tabulata in quantili .......................................................................G.3.4 nota
distribuzione trapezoidale ........................................................................................ 4.3.9
distribuzione triangolare ...................................................................... 4.3.9, 4.4.6, F.2.3.3
distribuzioni, convoluzione di............................................................... vedere convoluzione
distribuzioni determinate matematicamente ................................................................. F.2.2
effetto casuale .............................................................3.2.2, 3.3.1, 3.3.3, 4.2.2, E.1.1, E.3
effetto sistematico ............................. 3.2.3, 3.2.4, 3.3.1, 3.3.2, 3.3.3, D.6.1, E.1.1, E.3, E.4.4
elemento di probabilità...........................................................................C.2.5 nota, F.2.4.4
errore casuale .................................................................................. 3.2.1 a 3.2.3, B.2.21
errore, determinazione dello ............................................... vedere determinazione dell'errore
errore di misura ......................... 0.2, 2.2.4, 3.2, 3.2.1 nota, 3.2.2 nota 2, 3.2.3 nota, 3.3.1 nota,
3.3.2, B.2.19, D, D.4, D.6.1, D.6.2, E.5.1 e successivi
errore e incertezza, confusione tra ...........................................3.2.2 nota 2, 3.2.3 nota, E.5.4
errore massimo ammesso ..................................................................................... F.2.4.2
errore relativo ...................................................................................................... B.2.20
errore sistematico ...............................................................................3.2.1, 3.2.3, B.2.22
F
F distribuzione ................................................................................ vedere distribuzione F
fattore di copertura ............2.3.6, 3.3.7, 4.3.4 nota, 6.2.1, 6.3 e successivi, G.1.3, G.2.3, G.3.4,
G.6.1 e successivi
fattore di correzione..................................................................................... 3.2.3, B.2.24
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E
fattore T.............................................E.3.3, G.3.2, G.3.4, G.4.1, G.5.4, G.6.2, G.6.4 a G.6.6
fiducia, intervallo di .....................................................................vedere intervallo di fiducia
fiducia, livello di.............................................................................. vedere livello di fiducia
fiducia, propagazione di intervalli di ........................................................................... E.3.3
fonti di incertezza ...................................................................................................3.3.2
formula di Welch-Satterthwaite ..................................................... G.4.1, G.4.2, G.6.2, G.6.4
frequenza ...........................................................................................................C.2.17
frequenza relativa.................................................................................................. E.3.5
funzione cumulativa ............................................................................................... C.2.4
funzione di densità di probabilità ................3.3.5, 4.3.8 nota 2, 4.4.2, 4.4.5, 4.4.6, C.2.5, F.2.4.4
funzione di distribuzione ......................................................................................... C.2.4
funzione di massa di probabilità ................................................................................ C.2.6
G
giustificazione per una valutazione realistica dell'incertezza ..........................E.2, E.2.1 a E.2.3
gradi di libertà .................................... 4.2.6, C.2.31, E.4.3, G, G.3, G.3.2, G.3.3, G.6.3, G.6.4
gradi di libertà di un'incertezza tipo di categoria A...................................... G.3.3, G.6.3, G.6.4
gradi di libertà di un'incertezza tipo di categoria B............................. G.4.2, G.4.3, G.6.3, G.6.4
gradi di libertà di una stima cumulata della varianza .......................................H.1.6, H.3.6 nota
gradi di libertà effettivi ........................................ 6.3.3, G.4, G.4.1, G.5.4, G.6.2 e successivi
gradi di libertà effettivi, di sole componenti di categoria A............................. 7.2.1, G.4.1 nota 3
gradi di libertà effettivi, di sole componenti di categoria B............................. 7.2.1, G.4.1 nota 3
grado di credenza ................................................................. 3.3.5, E.3.5, E.4.4. E.5.2 nota
grandezza controllata........................................................................................... F.2.4.3
grandezza di influenza........................................................ 3.1.5, 3.1.6, 3.2.3, 4.2.2, B.2.10
grandezza di influenza casuale ...................................................................F.1.1.3, F.1.1.4
grandezza di ingresso .............................................................................................4.1.2
grandezza di ingresso, limiti di una .............................vedere limiti di una grandezza di ingresso
grandezza di uscita.................................................................................................4.1.2
grandezza internamente consistente per esprimere l'incertezza ........................................ 0.4
grandezza misurabile ............................................................................................. B.2.1
grandezza o stima di uscita correlata............................. 3.1.7, 7.2.5, H.2.3, H.2.4, H.3.2, H.4.2
grandezza o valore di ingresso importata......................................................... F.2.3, F.2.3.1
grandezza particolare............................................................................3.1.1, B.2.1 nota 1
grandezza realizzata.............................................................. D.2, D.2.1, D.3.1 a D.3.3, D.4
grandezza trasferibile per l'espressione dell'incertezza.................................................... 0.4
grandezza, valore di una .......................................................vedere valore di una grandezza
grandezza, valore vero convenzionale di una grandezza ..............................vedere valore vero
convenzionale di una grandezza
grandezza valore vero di ................................................ vedere valore vero di una grandezza
grandezze....................................................................... 3.4.1, 3.4.2, 4.2.8, F.2.1, H.5.3.3
gruppo di informazioni per una valutazione di categoria B............... 3.3.5 nota, 4.3.1, 4.3.2, 5.2.5
Gruppo di lavoro per l'espressione dell'incertezza ......................... premessa, 0.5, 3.3.3, 6.1.1,
6.1.2, A.1, A.2, A.3
Gruppo tecnico consultivo sulla metrologia ........................................................... premessa
I
IEC ...................................................................................................premessa, A.3, B.1
IFC ......................................................................................................... premessa, B.1
ignorare una componente di incertezza .......................................................................3.4.4
illustrazione grafica dell'incertezza tipo........................................................4.4 e successivi
incertezza, arrotondamento dell'................................... vedere arrotondamento dell'incertezza
incertezza, cifre significative dell' ............................... vedere cifre significative dell'incertezza
incertezza, componenti ragruppati di ..................... vedere componenti raggruppati di incertezza
incertezza, confronto di due concezioni ...................................................... E.5 e successivi
incertezza, definizione dei termini di .............................................vedere incertezza di misura
incertezza del campione ........................................................................ F.2.6 e successivi
incertezza del confronto ................................................................................ F.1.2.3 nota
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incertezza del metodo di misurazione ..............................................................F.2.5, F.2.5.1
incertezza dello scarto tipo della media....................................................... 4.3.2 nota, E.4.3
incertezza derivata da aritmetica a precisione finita ................................................... F.2.2.3
incertezza di categoria A, valutazione dell' ............................................... vedere valutazione
dell'incertezza di categoria A
incertezza di categoria B ...................................................................... vedere valutazione
dell'incertezza di categoria B
incertezza di misura............................................0.1, 0.2, 1.1, 2.2, 2.2.1 a 2.2.4, 3.3.1, 3.3.2,
B.2.18, D, D.5, D.5.1 a D.5.3, D.6.1, D.6.2
incertezza di una correzione.....................................3.2.3 nota, 3.3.1, 3.3.3, D.6.1, E.1.1, E.3
incertezza di una grandezza controllata................................................................... F.2.4.3
incertezza di una osservazione singola di uno strumento tarato.................................... F.2.4.1
incertezza di una osservazione singola di uno strumento verificato ............................... F.2.4.2
incertezza dovuta a isteresi .................................................................................. F.2.2.2
incertezza dovuta al campionamento limitato ............................................... 4.3.2 nota, E.4.3
incertezza dovuta all'incompleta definizione del misurando............ 3.13 nota, D.1.1, D.3.4, D.6.2
incertezza dovuta alla risoluzione di un'indicazione digitale ......................................... F.2.2.1
incertezza estesa ................................................2.3.5, 3.3.7, 6, 6.2.1 a 6.2.3, G.1.1, G.2.3,
G.3.2, G.4.1, G.5.1 a G.5.4, G.6.4 a G.6.6
incertezza estesa dichiarata ........................................................................... 7.2.3, 7.2.4
incertezza estesa per una distribuzione asimmetrica.................................................... G.5.3
incertezza estesa relativa........................................................................................ 7.2.3
incertezza, fonti di....................................................................... vedere fonti di incertezza
incertezza, giustificazione per la valutazione realistica........................... vedere giustificazione
per la valutazione realistica
incertezza globale ......................................................................................... 2.3.5 nota 3
incertezza, grandezza internamente consistente per esprimere una...............................vedere
grandezza internamente consistente per esprimere una incertezza
incertezza, grandezza trasferibile per l'espressione dell'...............................vedere grandezza
trasferibile per l'espressione dell'incertezza
incertezza, Gruppo di lavoro per l'espressione dell' .............................. vedere Gruppo di lavoro
per l'espressione dell'incertezza
incertezza identificata dello scarto tipo.............................................. E.3.2, E.4, E.4.1, E.4.4
incertezza, ignorare una componente di............... vedere ignorare una componente di incertezza
incertezza intrinseca ..............................................................................................D.3.4
incertezza, legge di propagazione dell' .................. vedere legge di propagazione dell'incertezza
incertezza, mancanza di un rapporto esplicito di.......................................... vedere mancanza
di un rapporto esplicito di incertezza
incertezza massima ammessa ............................................................................... F.2.4.2
incertezza, metodo per la valutazione e l'espressione dell' ...........................................vedere
metodo per la valutazione e l'espressione dell'incertezza
incertezza minima ..................................................................................................D.3.4
incertezza quando una correzione non è applicata ............................. 3.4.4, 6.3.1 nota, F.2.4.5
incertezza quotata, qualità ed utilità dell'............................................. vedere qualità ed utilità
dell'incertezza quotata
incertezza, registrazione della ......................................................................7 e successivi
incertezza, riassunto della procedura per la valutazione e l'espressione dell' ...................vedere
riassunto della procedura per la valutazione e l'espressione dell'incertezza
incertezza, sicura o prudenziale................................ E.1.1. E.1.2. E.2.1, E.2.3, E.4.1, F.2.3.1
incertezza tipo..........................................2.3.1, 3.3.5, 3.3.6, 4.1.5, 4.1.6, 4.2.3, D.6.1, E.4.1
incertezza tipo composta........................................ 2.3.4, 3.3.6, 4.1.5, 5, 5.1.1 a 5.1.3, 5.1.6,
5.2.2, 6.1.1, D.6.1, E.3.6
incertezza tipo composta, calcolo numerico della ............................................ vedere calcolo
numerico dell'incertezza tipo composta
incertezza tipo composta e Comitati Consultivi.......................................................6.1.1, A.3
incertezza tipo composta e confronti internazionali .................................................6.1.1, A.3
incertezza tipo composta esclusivamente di componenti di categoria A ..........7.2.1, G.4.1 nota 3
incertezza tipo composta esclusivamente di componenti di categoria B ..........7.2.1, G.4.1 nota 3
--``,`,,,,,,``,`,,,,,,`,,``,`,,`-`-`,,`,,`,`,,`---
incertezza tipo composta, registrata ................................................................. 7.2.1, 7.2.2
incertezza tipo composta relativa ..................................................................... 5.1.6, 7.2.1
incertezza tipo di categoria A .................................................................. 3.3.5, 4.2.3, C.3.3
incertezza tipo di categoria B .................................................................. 3.3.5, 4.3.1, C.3.3
incertezza tipo, illustrazione grafica dell' ....................................... vedere illustrazione grafica
dell'incertezza tipo
incertezza tipo relativa ............................................................................................5.1.6
incertezza, valutazione statistica, variando le grandezze di ingresso dell' ...................... vedere
valutazione statistica variando le grandezze di ingresso, dell'incertezza
indipendenza .................................................................................................. 5.1, C.3.7
influenza, grandezza di.......................................................... vedere grandezza di influenza
International Organization di Legal Metrology .................................................... vedere OIML
International Organization for Standardization..................................................... vedere ISO
International System di Units (Sl) .........................................................................0.3, 3.4.6
International Union di Pure and Applied Chemistry .............................................vedere INPAC
International Union di Pure and Applied Physics ...............................................vedere INPAP
intervallo di confidenza (di fiducia) ............................. 4.2.3 nota 1, 6.2.2, C.2.27, C.2.28, F.3.3
intervallo di copertura statistica...............................................................................C.2.30
intervallo di fiducia bilaterale ...................................................................................C.2.27
intervallo di fiducia, propagazione di .........................vedere propagazione di intervallo di fiducia
intervallo di fiducia unilaterale .................................................................................C.2.28
intervallo di tolleranza statistica .....................................................................C.2.30 nota 2
ISO.................................................................................................. premessa, A.3, B.1
ISO 3534-1 ....................................................................................................... 2.1, C.1
ISO/TAG 4 ISO Technical Advisory Group on Metrology .......................................... premessa
ISO/TAG 4/WG 3 . ........................................................................................... premessa
ISO/TAG 4/WG 3, termini di riferimento ................................................................ premessa
istogramma .........................................................................................4.4.3, D.6.1 nota 1
IUPAC ..................................................................................................... premessa, B.1
IUPAP ..................................................................................................... premessa, B.1
International vocabulary of basic and general terms in metrology ............................ vedere VIM
L
laboratori, metrologia o norme nazionali sui ........................................................... premessa
Laplace-Gauss, distribuzione di ................................... vedere distribuzione di Laplace-Gauss
legge di propagazione dell'incertezza .............3.3.6, 3.4.1, 5.1.2, E.3, E.3.1, E.3.2, E.3.6, G.6.6
legge generale di propagazione degli errori.................................................5.2.2 nota 1, E.3.2
limite centrale, teorema del .................................................vedere teorema del limite centrale
limite di sicurezza ............................................................................................ 6.3.1 nota
limite massimo ......................................................vedere limite di una grandezza di ingresso
limite massimo dell’errore ........................................................................................ E.4.1
limiti di una grandezza d'ingresso ....................................... 4.3.7 a 4.3.9, 4.4.5, 4.4.6, F.2.3.3
linearizzazione di una relazione funzionale .............................. 5.1.5, F.2.4.4 nota, 5.2.6 nota 1
livello di confidenza................................ 0.4, 2.2.3 nota 1, 2.3.5 nota 1 e 2, 3.3.7, 4.3.4, 6.2.2,
6.2.3, 6.3.1 a 6.3.3, C.2.29, G, G.1.1 a G.1.3, G.2.3, G.3.2, G.3.4, G.4.1, G.6.1, G.6.4, G.6.6
livello di fiducia............................................................................................ 6.2.2, C.2.29
livello di fiducia minimo ......................................................................................... F.2.3.2
M
mancanza di un rapporto esplicito di incertezza ............................................................7.1.3
materiale di riferimento, certificazione di.............vedere certificazione del materiale di riferimento
matrice dei coefficienti di correlazione ......................................................7.2.5, C.3.6 nota 2
matrice di varianza e covarianza................................. ..3.1.7, 5.2.2 nota 2, 7.2.5, C.3.5, H.2.3
media (mean) ............................................................................................... C.2.9, C.3.1
media aritmetica ...........................................................................4.1.4 nota, 4.2.1, C.2.19
metodo dei minimi quadrati...................................................... 4.2.5, G.3.3, H.3, H.3.1, H.3.2
metodo di misurazione ....................................................................................3.1.1, B.2.7
metodo di misurazione, incertezza del ................... vedere incertezza del metodo di misurazione
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metodo di misurazione, unità dipendente dal .......................................vedere unità dipendente
dal metodo di misurazione
metodo ideale per la valutazione e l'espressione dell'incertezza .........................................0.4
metodo universale per la valutazione e l'espressione dell'incertezza ...................................0.4
metrologia, Gruppo tecnico consultivo sulla......................................... vedere Gruppo tecnico
consultivo sulla metrologia
metrologia legale .................................................................................................... 3.4.5
migliore misurazione possibile del ..............................................................................D.3.4
minima incertezza .......................................................................vedere incertezza minima
misura, accuratezza di ........................................................... vedere accuratezza di misura
misurando.................................................. 1.2, 3.1.1, 3.1.3, B.2.19, D.1, D.1.1, D.1.2, D.3.4
misurando, descrizione o specifica del ...................................................... vedere misurando
misurando, incertezza dovuta all'incompleta definizione del...........................vedere incertezza
dovuta all'incompleta definizione del misurando
misurando, migliore misurazione possibile del .................................................vedere migliore
misurazione possibile del misurando
misurando, valore del ............................................................... vedere valore del misurando
misurando, valori del ................................................................. vedere valori del misurando
misurazione ...................................................................................... .....3.1, 3.1.1, B.2.5
misurazione, accuratezza della..................................... vedere accuratezza della misurazione
misurazione, gerarchia ................................................................................. ...........7.1.1
misurazione, metodo di........................................................... vedere metodo di misurazione
misurazione, modello matematico ..................................................................... 3.1.6, 3.4.1
misurazione, principio di ........................................................vedere principio di misurazione
misurazione, procedimento di ..........................................vedere procedimento di misurazione
misurazione, risultato di una ............................................. vedere risultato di una misurazione
misurazione, ruolo dell'ANOVA nella.................. .......vedere ruolo dell'ANOVA nella misurazione
modello matematico della misurazione ............................... 3.1.6, 3.4.1, 3.4.2, 4.1, 4.1.1, 4.1.2
momento centrale di ordine q ..................................................... C.2.13, C.2.22, E.3.1 nota 1
N
normale, distribuzione ............................................................. vedere distribuzione normale
O
OIML ........................................................................................... .....premessa, A.3, B.1
Organizzazione Internazionale di Metrologia legale .............................................vedere OIML
Organizzazione Internazionale di Normazione......................................................vedere ISO
osservazioni ripetitive ........................................... ....3.1.4 a 3.1.6, 3.2.2, 3.3.5, 4.2.1, 4.2.3,
4.3.1, 4.4.1, 4.4.3, 5.2.3, E.4.2, E.4.3, F.1, F.1.1, F.1.1.1, F.1.1.2, G.3.2
P
parametro .............................................................................................................C.2.7
particolare, grandezza .......................................................................... 3.1.1, B.2.1 nota 1
piano a nido bilanciato .............................................................................. H.5.3.1, H.5.3.2
popolazione ........................................................................................................ C.2.16
precisione.................................................................................................. B.2.14 nota 2
principio di massima entropia ........................................................................... 4.3.8 nota 2
principio di misurazione ...........................................................................................B.2.6
probabilità.................................................... 3.3.5, 4.3.7 a 4.3.9, C.2.1, E.3.5, E.3.6, F.2.3.3
probabilità, copertura ........................................................... vedere copertura di probabilità
probabilità, densità di ............................................................... vedere densità di probabilità
probabilità di copertura ................................0.4, 2.3.5 nota 1, 3.3.7, 6.2.2, G.1.1, G.1.3, G.3.2
probabilità, distribuzione.................................................... vedere distribuzione di probabilità
probabilità, elemento di........................................................... vedere elemento di probabilità
probabilità, funzione di massa di................................... vedere funzione di massa di probabilità
probabilità, soggettiva.................................................................................... 3.3.5, D.6.1
procedimento di misurazione ....................................................... 3.1.1, 7.1.2, B.2.8, F.1.1.2
propagazione degli scarti tipo ................................................................... E.3, E.3.1, E.3.2
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propagazione dei multipli degli scarti tipo .................................................................... E.3.3
propagazione di intervalli di fiducia ............................................................................ E.3.3
Q
qualità ed utilità dell'incertezza quotata.......................................................................3.4.8
R
Raccomandazione I (CI-1986), CIPM .....................................................0.5, 6.1.1, 6.1.2, A.3
Raccomandazione I (Cl-1981), CIPM ....................................................... 0.5, 6.1.1, A.2, A.3
Raccomandazione INC-I (1980) ...........................premessa, 0.5, 0.7, 3.3.3, 6.1.1, 6.1.2, 6.3.3,
A.1, A.3, E, E.2.3, E.3.7
relazione funzionale ....................................................................................... 4.1.1, 4.1.2
relazione funzionale non lineare........................................4.1.4 nota, 5.1.2 nota, F.2.4.4 nota,
5.1.5, H.1.7, H.2.4
retta di taratura ......................................................................................... H.3 e seguenti
riassunto della procedura per la valutazione e la dichiarazione dell'incertezza ......................... 8
ripetibilità, condizione di....................................................................... 3.1.4, B.2.15 nota 1
ripetibilità dei risultati di misura ................................................................................B.2.15
ripetizioni indipendenti .......................................................................................... F.1.1.2
riproducibilità dei risultati di misura ...........................................................................B.2.16
risultato, bruto .....................................................................................................B.2.12
risultato corretto.......................................................................... B.2.13, D.3.1, D.3.4, D.4
risultato di una misurazione ..................................................................... 1.3, 3.1.2, B.2.11
risultati della misurazione e sulla sua incertezza, disponibilità di informazioni sui........ 7.1.1, 7.1.3
risultati della misurazione e della sua incertezza, espressione per indicare i .............. 7.2.2, 7.2.4
risultati della misurazione e della sua incertezza, espressione per indicare in dettaglio i.......7.1.4,
7.2.7
ruolo dell'ANOVA nella misurazione ..........................................................H.5.3 e successivi
S
scarto tipo.............................................................................. 3.3.5, C.2.12, C.2.21, C.3.3
scarto tipo cumulato sperimentale................................... vedere stima cumulata della varianza
scarto tipo, sperimentale............................................................................... 4.2.2, B.2.17
scarto tipo sperimentale della media ....................................................... 4.2.3, B.2.17 nota 2
scarti tipo, propagazione degli......................................... vedere propagazioni degli scarti tipo
scarti tipo, propagazione dei multipli degli .................................vedere propagazioni dei multipli
degli scarti tipo
sensitività, coefficiente di ................................................... vedere coefficiente di sensitività
serie di Taylor .......................................................... 5.1.2, E.3.1, G.1.5, G.4.2, H.1.7, H.2.4
sicurezza, limite di .......................................................................vedere limite di sicurezza
Sistema Internazionale di Unità di misura (SI) .........................................................0.3, 3.4.6
sistematico .............................................................................. 3.3.3, E.1.3, E.3.4 a E.3.7
sistematico, effetto ................................................................... vedere effetto sistematico
sistematico, errore ..................................................................... vedere errore sistematico
speranza matematica (o valore atteso) ........................................... 3.2.2, 3.2.3, 4.1.1 nota 3,
4.2.1, 4.3.7 a 4.3.9, C.2.9, C.3.1, C.3.2
spettro della misurazione a cui si applicano i principi della guida ......................................... 1.1
statistica ................................................................................................... 4.2.7, C.2.23
statistica, controllo .....................................................................vedere controllo statistico
statistica, intervallo di copertura.................................. vedere intervallo di copertura statistica
stima......................................................................................................... 3.1.2, C.2.26
stima cumulata della varianza ........................... 4.2.4, 4.2.8 nota, H.1.3.2, H.3.6 nota, H.5.2.2,
H.5.2.5, H.6.3.1, H.6.3.2 nota
stima della varianza sperimentale ............................................. vedere varianza sperimentale
stima d'ingresso ................................................................................... 4.1.4, 4.1.6, 4.2.1
stima d'uscita ...................................................................................... 4.1.4, 4.1.5, 7.2.5
stimatore ................................................................................................... 4.2.7, C.2.25
stime o grandezze di ingresso correlate .................................................. vedere correlazione
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stime o grandezze d'uscita correlate ............................. 3.1.7, 7.2.5, H.2.3, H.2.4, H.3.2, H.4.2
Student, distribuzione .......................................................... vedere distribuzione di Student
sviste .................................................................................................................. 3.4.7
T
t-distribuzione ................................................................................. vedere distribuzione t
t-fattore.................................................................................................. vedere fattore t
taratura, catena di ....................................................................... vedere catena di taratura
taratura, curva di........................................................................... vedere curva di taratura
Taylor, serie di ................................................................................. vedere serie di Taylor
teorema del limite centrale.................................G.1.6, G.2, G.2.1 a G.2.3, G.6.2, G.6.5, G.6.6
termini di ordine superiore ............................................................... 5.1.2 nota, E.3.1, H.1.7
test F ....................................................................................................... H.2.2, H.5.2.4
trascurare una correzione ............................................3.2.4 nota 2, 3.4.4, 6.3.1 nota, F.2.4.5
U
Unione Internazionale di Chimica Pura ed applicata ........................................... vedere IUPAC
Unione Internazionale di Fisica Pura ed applicata.............................................. vedere IUPAP
unità dipendente dal metodo di misurazione ................................................................... H.6
unità, utilizzazione di un valore adottato di una misurazione tipo come ............................vedere
utilizzazione di un valore adottato di una misurazione tipo
utilizzazione di un valore adottato di una misurazione tipo come unità ................3.4.6, 4.2.8 nota
V
valore atteso .................................................. 3.2.2, 3.2.3, 4.1.1 nota 3, 4.2.1, 4.3.7 a 4.3.9,
C.2.9, C.3.1, C.3.2
valore del misurando ..................................................................................... 3.1.1 a 3.1.3
valore di una grandezza.................................................................................. 3.1.1, B.2.2
valore o grandezza di ingresso impostata.........................................................F.2.3, F.2.3.1
valore vero convenzionale di una grandezza................................................................B.2.4
valore vero di una grandezza ........................................2.2.4, 3.1.1 nota, B.2.3, D, D.3, D.3.1,
D.3.4, D.3.5, E.5.1 a E.5.4
valori del misurando ................................................................................................D.6.2
valutazione dell'incertezza di categoria A..................................2.3.2, 3.3.3 a 3.3.5, 4.1.6, 4.2,
4.2.1 a 4.2.8, 4.3.2, 4.4.1 a 4.4.3, E.3.7, F.1, F.1.1.1 a F.1.2.4
valutazione dell'incertezza di categoria B............. 2.3.3, 3.3.3 a 3.3.5, 4.1.6, 4.3, 4.3.1 a 4.3.11,
4.4.4 a 4.4.6, E.3.7, F.2 e successivi
valutazione della covarianza di categoria A ................................................................. 5.2.3
valutazione della covarianza di categoria B ................................................................. 5.2.5
valutazione di categoria B ........................................................................................ F.2.1
valutazione sperimentale della covarianza ................................................ 5.2.5, C.3.6 nota 3
valutazione statistica, variando le grandezze di ingresso, dell'incertezza........3.4.1, 3.4.2, 4.2.8,
F.2.1, H.5.3.3
variabile aleatoria ...................................................................................................C.2.2
variabile causale ......................................................4.1.1, nota 1, 4.2.1, 4.2.3 nota 1, C.2.2,
C.3.1, C.3.2, C.3.4, C.3.7, C.3.8, E.3.4, F.1.2.1, G.3.2
variabile casuale centrata ..................................................................................... C.2.10
varianza ............................................................... 3.1.7, 4.2.2, 4.2.3, C.2.11, C.2.20, C.3.2
varianza, analisi della.................................................................................vedere ANOVA
varianza composta ........................................................................................ 3.3.6, 5.1.2
varianza della media ...................................................................................... 4.2.3, C.3.2
varianza della media sperimentale .................................................................... 4.2.3, C.3.2
varianza di Allan ............................................................................................. 4.2.7 nota
varianza di categoria A ............................................................................................ 4.2.3
varianza di categoria B ............................................................................................ 4.3.1
varianza relativa .................................................................................................... 5.1.6
varianza relativa composta ...................................................................................... 5.1.6
varianza, sperimentale (o stima della)...................................................... ...4.2.2, H.3.6 nota
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varianza, stima cumulata della ....................................... vedere stima cumulata della varianza
variazioni casuali correlate .......................................................................................4.2.7
VIM.................................................................................................2.1, 2.2.3, 2.2.4, B.1
Vocabolario Internazionale dei termini fondamentali e generali di metrologia .............. vedere VIM
W
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Welch-Satterthwaite formula .........................................vedere formula di Welch-Satterthwaite
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