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Concetti chiave e regole
L’integrale indefinito
La funzione F ðx Þ è la primitiva di una funzione f ðx Þ in un intervallo ½a, b se per tutti i punti di tale intervallo è
F 0 ðx Þ ¼ f ðx Þ. Una funzione f ðx Þ ha infinite primitive che sono però definite a meno di una costante additiva; l’insieme di tutte le primitive di f ðx Þ è il suo integrale indefinito:
Z
f ðx Þdx ¼ F ðx Þ þ c
Affinché esista l’integrale indefinito, la funzione f ðx Þ deve essere continua.
L’integrale indefinito gode di alcune proprietà:
Z
Z
l si può portare fuori dal simbolo di integrazione una costante moltiplicativa:
k f ðx Þdx ¼ k f ðx Þdx
l
con k 2 R
l’integrale della somma di due o più funzioni è la somma degli integrali delle singole funzioni:
Z
Z
Z
½ f 1 ðx Þ þ f 2 ðx Þdx ¼ f 1 ðx Þdx þ f 2 ðx Þdx
I metodi di integrazione
Per calcolare l’integrale indefinito di una funzione si applicano le regole di integrazione delle funzioni fondamentali e
le proprietà di linearità.
Nel caso di una funzione razionale fratta, dopo aver eventualmente eseguito la divisione del numeratore per il denominatore in modo da ottenere una frazione propria, si opera in questo modo:
l se il denominatore si può scomporre nel prodotto di due o più fattori:
– si scompone il denominatore della frazione
– si scrive la funzione come somma di altre frazioni che hanno come denominatori i fattori della scomposizione
– si integra ciascuna frazione ottenuta;
l
l
l
1
con b2 4ac < 0, si scrive il trinomio al denominatore come una somma di
ax 2 þ bx þ c
quadrati e si integra applicando la regola dell’arcotangente.
se la frazione è del tipo
Metodo di integrazione per parti. Si usa quando la funzione integranda può essere vista come il prodotto di due
funzioni, una delle quali è la derivata di una funzione nota; se f 0 ðx Þ è la derivata della funzione nota e gðx Þ è l’altro
fattore del prodotto, la formula di integrazione per parti è la seguente:
Z
Z
f 0 ðx Þ gðx Þ dx ¼ f ðx Þ gðx Þ f ðx Þ g 0 ðx Þdx
Metodo di sostituzione. Si usa quando, operando un cambio di variabile, si ottiene un integrale facilmente calcolabile. Per applicare questo metodo:
- si opera la sostituzione x ¼ gðt Þ
- si calcola il differenziale dei due membri della precedente relazione
- si operano le sostituzioni
- si integra e si applicano le sostituzioni inverse alla primitiva ottenuta.
Alcune comode formule di integrazione, ottenute applicando uno dei metodi precedenti, sono poi le seguenti:
Z
Z
1
1
x
1
1
f ðx Þ
l
p
ﬃﬃ
ﬃ
p
ﬃﬃ
ﬃ
f 0 ðx Þdx ¼ pﬃﬃﬃ arctan pﬃﬃﬃ þ c
dx
¼
arctan
þ
c
e
2
x2 þ k
½ f ðxÞ þk
k
k
k
k
Z
l
1
x
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ dx ¼ arcsin pﬃﬃﬃ þ c
k x2
k
e
Z
1
f ðx Þ
qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ f 0 ðx Þdx ¼ arcsin pﬃﬃﬃ þ c
2
k
k ½ f ðx Þ
Gli integrali
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
L’integrale definito e il teorema fondamentale
Data una funzione f ðx Þ continua e positiva in un intervallo ½a, b, si chiama trapezoide la parte di piano delimitata
dalla curva corrispondente, dall’asse x e dalle rette x ¼ a e x ¼ b. L’area di un trapezoide si indica con il simbolo
Z b
f ðx Þdx
a
che prende il nome di integrale definito della funzione f ðx Þ nell’intervallo ½a, b.
l
Teorema della media. Se f ðx Þ è continua in un intervallo ½a, b, esiste almeno un punto c 2 ½a, b per il quale vale la
Z b
relazione:
f ðx Þdx ¼ ðb aÞ f ðcÞ
a
Considerata una funzione f ðx Þ continua in un intervallo ½a, b , il suo integrale calcolato fra a e un punto x variabile in
½a, b è esso stesso una funzione che si chiama funzione integrale; tale funzione ha espressione
Z x
F ðx Þ ¼
f ðt Þdt
con x 2 ½a, b a
La funzione integrale ha come proprietà che la sua derivata coincide con f ðx Þ, cioè
F 0 ðx Þ ¼ f ðx Þ.
Per calcolare il valore di un integrale definito si usa la formula di Newton-Leibniz; se ’ðx Þ è una primitiva di f ðx Þ, si
ha che:
Z b
h
ib
f ðt Þdt ¼ ’ðx Þ a ¼ ’ðb Þ ’ðaÞ
a
Il calcolo delle aree
Per calcolare l’area di una regione finita di piano delimitata da una funzione
continua f ðx Þ e dall’asse delle ascisse in un intervallo ½a, b si deve calcolare l’integrale definito di f ðx Þ fra a e b quando f ðx Þ è positiva o nulla, l’opposto di questo integrale se f ðx Þ è negativa.
In pratica, si individuano gli intervalli dell’asse x nei quali la funzione f ðx Þ è positiva e quelli in cui è negativa e poi si calcolano gli integrali definiti in questi
intervalli prendendoli con segno positivo quando f ðx Þ 0, con segno negativo
quando f ðx Þ < 0. Con riferimento alla figura a lato:
Z c
Z d
Z b
f ðxÞdx f ðxÞdx þ
f ðxÞdx
a
b
c
Se la superficie di cui calcolare l’area è delimitata da più funzioni come nella
figura a lato, si affrontano i seguenti passi:
l si individuano le ascisse dei punti di intersezione di ciascuna coppia di curve
l si calcolano gli integrali definiti in ciascuno degli intervalli individuati da tali
punti, ad iniziare da uno di essi e percorrendo il contorno della figura in senso
orario:
Z c
Z a
Z b
f ðxÞdx þ
gðxÞdx þ
hðxÞdx
a
b
c
Il calcolo dei volumi
Con il calcolo di un integrale definito si possono anche calcolare misure di volumi, di superfici di rotazione, di lunghezze di linee curve. Se f ðx Þ è una funzione continua in ½a, b :
l
il volume V del solido generato da f ðx Þ in una rotazione completa attorno all’asse x si calcola con la formula:
Z b
2
V ¼
½ f ðx Þ dx
a
l
il volume V del solido generato da f ðx Þ in una rotazione completa attorno all’asse y si calcola con la formula:
Z q
Z b
1
2
x f ðx Þ dx
oppure
V ¼ 2
½gðy Þ dy se gðy Þ ¼ f ðx Þ e p ¼ f ðaÞ, q ¼ f ðbÞ
a
Gli integrali
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
p
Gli integrali impropri
Quando la funzione diventa infinita in uno degli estremi di integrazione oppure quando uno degli estremi è infinito si
parla di integrale improprio:
l
se f ðx Þ diventa infinita in x ¼ a e/o x ¼ b, si dice che la funzione è integrabile se esistono finiti i limiti
Z b
Z bk
limþ
f ðx Þdx
limþ
f ðx Þdx
h!0
l
k!0
aþh
a
se uno degli estremi di integrazione è infinito, si dice che la funzione è integrabile se esistono finiti i limiti
Z b
Z b
f ðx Þdx
lim
f ðx Þdx
lim
a!1
b!þ1
a
a
L’integrazione numerica
Quando non è possibile o non è conveniente calcolare il valore esatto dell’integrale definito di una funzione f ðx Þ in
un intervallo ½a, b , se ne può calcolare un valore approssimato I procedendo in questo modo:
ba
n
l
si suddivide l’intervallo ½a, b in un numero n di parti uguali di ampiezza h ¼
l
si approssima la funzione f in ciascuno degli intervalli ottenuti con una funzione F
l
si integra F nell’intervallo corrispondente
l
si sommano i valori ottenuti.
A seconda della funzione F che si sceglie si ottengono i diversi metodi di integrazione numerica:
l
con il metodo dei rettangoli la funzione F è una retta parallela all’asse x e si ha che:
n1
n
X
X
oppure
I ¼h
f ðxi Þ
f ðxi Þ
I ¼h
i¼1
i¼0
l
l
con il metodo dei trapezi la funzione F è la retta che passa per i punti estremi di ciascun intervallo e si ha che:
f ðx0 Þ þ f ðxn Þ
þ f ðx1 Þ þ f ðx2 Þ þ ::: þ f ðxn1 Þ
I ¼h
2
con il metodo delle parabole la funzione F è la parabola che passa per i punti estremi e per il punto medio di
ciascun intervallo e si ha che:
1
I ¼ h y0 þ y2n þ 4 ðy1 þ y3 þ ::: þ y2n1 Þ þ2 ðy2 þ y4 þ ::: þ y2n2 Þ
|ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ}
|ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ}
3
ordinate dei punti di indice dispari
ordinate dei punti di indice pari
esclusi y 0 e y 2n
L’errore
L’errore che si introduce nella valutazione dell’integrale definito della funzione f ðx Þ con ciascuno dei tre metodi di
ðÞ ð Þ
approssimazione, posto f Mk ¼ max f k ðx Þ, è:
x0 x xn
2
l
Erettangoli ð b aÞ
n
f 0M
2
3
l
Etrapezi ðb aÞ f 00M
n2
12
5
l
Eparabole ðb aÞ
f ð4Þ
M
n4
2880
Gli integrali
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