POLITECNICO di TORINO Corso di ANALISI MATEMATICA 1

POLITECNICO di TORINO
Corso di ANALISI MATEMATICA 1
lettere MIL-ORR. Periodo didattico: 1◦ semestre, a.a. 2015 - 2016.
Docente: Prof. Roberto Camporesi
Presentazione del corso
Il corso si propone di fornire allo studente gli elementi di base del calcolo differenziale e integrale in
una variabile.
Organizzazione del corso
Le ore si dividono in lezioni ed esercitazioni (circa il 60% di lezioni ed il 40% di esercitazioni). Le
lezioni si tengono in aula 8. Le esercitazioni saranno tenute per metà dal Dott. Silvio Mercadante
nelle aule 1S e 3S. A tal fine il corso sarà diviso in due squadre di esercitazione secondo lo schema:
sq.A (MIL-MUOLO) aula 1S, sq.B (MURA-ORR) aula 3S.
L’altra metà delle esercitazioni sarà tenuta dal docente a squadre riunite in aula 8.
Programma del corso
Richiami e preliminari
Insiemi, operazioni sugli insiemi e simboli logici, principio di induzione. Funzioni: iniettività e suriettività, funzioni composte e inverse. Funzioni reali di variabile reale: funzioni elementari, grafici e
operazioni sui grafici, monotonia e inverse delle funzioni elementari.
Sommatorie, fattoriale, binomiale, interpretazione insiemistica.
Numeri reali e proprietà di completezza.
Circa 15 ore (9 lez. + 6 es.)
Limiti e continuità
Successioni e limiti. Unicità del limite, limiti di successioni monotone, numero e. Algebra dei limiti.
Forme indeterminate. Permanenza del segno, teoremi del confronto. Confronto di infiniti: ordine di
infinito, parte principale.
Limiti e continuità per funzioni reali di variabile reale. Definizione unificata di limite utilizzando gli
intorni della retta reale. Limiti laterali. Classificazione delle discontinuità. Teorema di relazione tra
limiti di funzioni e di successioni. Cambio di variabile nei limiti. Limiti notevoli con funzioni trigonometriche, esponenziali, logaritmiche. Confronto di funzioni: infiniti e infinitesimi, parte principale,
funzioni equivalenti, simbolo o-piccolo, sviluppi accorciati. Asintoti.
Funzioni continue su un intervallo: teoremi di Weierstrass, di esistenza degli zeri, dei valori intermedi.
Circa 25 ore (15 lez. + 10 es.)
Calcolo differenziale
Derivata. Interpretazione geometrica: retta tangente al grafico di una funzione. Derivate delle funzioni
elementari. Algebra delle derivate. Derivate e continuità. Punti di non derivabilità. Derivata della
funzione composta e della funzione inversa. Punti di estremo e punti critici: teorema di Fermat.
Problemi di massimo e di minimo. Derivate di ordine superiore.
Funzioni derivabili su un intervallo: teoremi fondamentali del calcolo differenziale (Rolle e Lagrange)
e loro conseguenze. Regola di de L’Hospital. Formula di Taylor e sviluppi di McLaurin fondamentali.
Uso degli sviluppi di Taylor nello studio del comportamento locale delle funzioni: estremi, convessità.
Applicazioni allo studio del grafico di funzioni.
Circa 25 ore (15 lez. + 10 es.)
Integrali e primitive
Integrale di Riemann di una funzione limitata. Interpretazione geometrica: area del trapezoide. Classi
di funzioni integrabili: monotone, continue, continue a tratti. Proprietà dell’integrale: monotonia,
additività, linearità. Media integrale. Primitive. Funzione integrale. Teorema fondamentale del
calcolo integrale: relazione tra primitive ed integrazione definita.
Integrale indefinito e regole di calcolo delle primitive: integrazione per sostituzione, per decomposizione
in somma, per parti. Integrazione delle funzioni razionali. Tecniche di razionalizzazione. Primitive di
funzioni definite a tratti.
Integrali impropri su intervalli non limitati e di funzioni non limitate. Criteri di convergenza: confronto, confronto asintotico, convergenza assoluta. Integrali impropri convergenti solo semplicemente.
Circa 20 ore (12 lez. + 8 es.)
Numeri complessi ed equazioni differenziali
Numeri complessi: forma algebrica, rappresentazione geometrica, parte reale ed immaginaria, modulo,
coniugato, disuguaglianze triangolari. Operazioni con i numeri complessi. Forma trigonometrica,
prodotto, potenze, formula di de Moivre. Forma esponenziale, formule di Eulero, radici dei numeri
complessi. Fattorizzazione di polinomi in campo complesso, teorema fondamentale dell’algebra.
Equazioni differenziali ordinarie. Forma normale, problema di Cauchy, curve integrali. Esempi.
Equazioni differenziali del primo ordine a variabili separabili e lineari. Equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti.
Circa 15 ore (9 lez. + 6 es.)
Materiale didattico
Sul sito http://calvino.polito.it/∼campores/pagina.htm è disponibile del materiale contenente esercizi
risolti e proposti. Lo stesso materiale, unitamente ad esercizi con test a risposta multipla, sarà caricato
sul portale della didattica.
Alcuni libri di testo e di esercizi
C. Canuto, A. Tabacco, Analisi Matematica I, Springer-Verlag Italia, Milano, 2014.
M. Bramanti, C.D. Pagani, S. Salsa, Analisi Matematica 1, Zanichelli, Bologna, 2014.
F. Nicola, Analisi Matematica I - Appunti delle lezioni, CLUT, 2012.
G. G. Quelali, Il bernoccolo del Calcolo I. Esercizi di Analisi matematica I, CLUT, 2014.
S. Lancelotti, Esercizi di Analisi Matematica I, Celid, Torino, nuova edizione, 2010.
Tutorato
A partire da lunedı̀ 5 ottobre, tutti i giorni in aula 6D dalle ore 11.30 alle ore 14.30 saranno a disposizione dei tutori (studenti borsisti) per rispondere a domande inerenti a esercizi di analisi matematica.
Modalità d’esame
L’esame consiste in un test a risposte multiple seguito da una prova scritta. Le modalità precise sono
descritte nel documento “regole per l’esame”, che si trova sul portale della didattica oppure sul sito
sopra citato. Per sostenere l’esame, gli studenti devono prenotarsi tramite il portale. Non è consentito
l’uso di libri, appunti, calcolatrici.
Modalità di contatto con il docente
Ricevimento in ufficio: solo su appuntamento, presso il Dipartimento di Scienze Matematiche, Corso
Duca degli Abruzzi 24, e-mail: [email protected]; tel. 011-0907536.