Laurea triennale in MATEMATICA, Corso di PROBABILIT`A 1 Temi

Laurea triennale in MATEMATICA, Corso di PROBABILITÀ 1
Temi proposti per il 1.05.2015, Canale A-H (L. Bertini)
Esercizio 1. Si considerino lanci ripetuti di una moneta truccata. Calcolare la probabilità di
ottenere a volte testa prima di b volte croce, a, b ≥ 1.
Esercizio 2. Siano {Ai }i=1,...,n eventi. Dimostrare che {Ai }i=1,...,n sono indipendenti se e solo
se {Aci }i=1,...,n sono indipendenti.
Esercizio 3. (Il problema delgli accoppiamenti, bis) Si consideri nuovamente il problema
degli accopiamenti, ovvero la scelta casuale di una permutazione di {1, . . . , N }.
i) Sia qN la probabilità che la permutazione scelta non abbia punti fissi (nessuno riprende il
proprio cappello nella descrizone precedente). Condizionando rispetto all’immagine del punto
1 ed utilizzando la formula delle probabilità totali ricavare una formula ricorsiva per qN in
funzione di qN −1 e qN −2 .
Suggerimento Se 1 finisce in i con i 6= 1 distinguere i casi in cui i è finito in 1 oppure no.
ii) Risolvere la ricorsione e riottenere la stessa espressione ricavata via inclusione/esclusione.
iii) Utilizzare lo stesso metodo per ricavare la probabilità che una permutazione scelta a caso
abbia (esattamente) k punti fissi, k = 0, . . . , N .
Esercizio 4. (Il problema dell’album di figurine, tris) Si consideri nuovamente un album
con n figurine per completare il quale si acquista una figurina al giorno (si supponga probabilità
uniforme sulla distribuzione della figurina comprata ciascun giorno ed indipendenza tra figurine
comprate in giorni diversi).
i) Calcolare la probabilità che dopo k giorni si siano acquistate (tutte) le prime h figurine,
h < N , e nessun’altra.
Suggerimento Utilizzare la probabilità condizionata per ricondurre il problema al completamento di un album con h figurine in k giorni.
ii) Calcolare la probabilità che dopo k giorni si siano attaccate (esattamente) h figurine nell’album, h < N .