Cognome Nome Matricola Universit`a degli Studi di Venezia

Cognome
Nome
Matricola
Università degli Studi di Venezia – Facoltà di Scienze M.F.N.
Laurea in Informatica, – E. Jabara, A. Magris, A. Tonolo
Prova scritta di Calcolo - TEMA 1
1
Venezia, 3 luglio 2006
2
3
4
Esercizio 1 Risolvere il seguente problema di Cauchy
y 0 x = π2
y(−1) = 2
Esercizio 2 Dire se esiste finito l’integrale
Z 1
0
sin x
dx.
x3/2 (1 + x2 )
Esercizio 3 Studiare la funzione
x2 + 1/3
,
e|x|
(dominio, limiti ed eventuali asintoti, continuità, derivabilità, eventuali punti angolosi o cuspidi, monotonia, eventuali punti di estremo relativo od assoluto, convessità, concavità, punti di flesso, grafico).
f (x) =
Esercizio 4 (i)Si determini lo sviluppo di Taylor in 0 al secondo ordine delle funzioni tan x, sin x
e cos x.
(ii) Si calcoli il seguente limite utilizzando gli o-piccolo
sin x − 1/2x + x3
.
x→0 tan x + cos x − 1
lim
Cognome
Nome
Matricola
Università degli Studi di Venezia – Facoltà di Scienze M.F.N.
Laurea in Informatica, – E. Jabara, A. Tonolo
Prova scritta di Calcolo - TEMA 1
Venezia, 12 gennaio 2006
1
2
3
4
Esercizio 1 Risolvere il seguente problema di Cauchy
y 0 = 3x2y+1
y(0) = 5
Esercizio 2 Studiare la convergenza della serie
∞ X
n=1
1
1−
2n
4n2
[Ricordare che limm→∞ (1 + a/m)m = ...]
Esercizio 3 Studiare la funzione
f (x) = x − 1 − x log |x|,
(dominio, limiti ed eventuali asintoti, continuità, derivabilità, eventuali punti angolosi o cuspidi, monotonia, eventuali punti di estremo relativo od assoluto, convessità, concavità, punti di flesso, grafico).
Esercizio 4 Dopo aver esplicitato gli sviluppi di Taylor in 0 delle funzioni log(1 + y), ey e sin y, si
calcoli il limite
2
log(1 + x) − ex sin x
lim
.
x→0+
sin(x2 ) + 4x3
Cognome
Nome
Matricola
Università degli Studi di Venezia – Facoltà di Scienze M.F.N.
Laurea in Informatica, – E. Jabara, A. Tonolo
Prova scritta di Calcolo - TEMA 1
1
Venezia, 12 settembre 2006
2
3
4
Esercizio 1 Risolvere il seguente problema di Cauchy
2x
y 0 = 1+x
2y + x
y(0) = 1
Esercizio 2 Studiare la convergenza della serie
∞
X
n−1
n3 + 2n
n=2
[Sugg. utilizzare il criterio del confronto]
Esercizio 3 Studiare nell’intervallo ]0, 2π[ la funzione
f (x) =
| sin x|
.
1 − cos x
(dominio, limiti ed eventuali asintoti, continuità, derivabilità, eventuali punti angolosi o cuspidi, monotonia, eventuali punti di estremo relativo od assoluto, convessità, concavità, punti di flesso, grafico).
Esercizio 4 Dopo aver esplicitato gli sviluppi di Taylor in 0 delle funzioni log(1 + y), ey , sin y e
cos y, si calcoli il limite
2
2ex − 2 cos x − 3 log(1 + x2 )
lim
.
x→0
sin2 x − x2
Cognome
Nome
Matricola
Università degli Studi di Venezia – Facoltà di Scienze M.F.N.
Laurea in Informatica, – E. Jabara, A. Magris, A. Tonolo
Prova scritta di Calcolo - TEMA 1
1
Venezia, 19giugno 2006
2
3
4
Esercizio 1 Risolvere il seguente problema di Cauchy
y 0 = 4y − e2x
y(0) = 1/2
Esercizio 2 Studiare la convergenza della serie
∞
X
(n!)2
· n3
(2n)!
n=1
Esercizio 3 Studiare la funzione reale di variabile reale
f (x) =
ex
,
x+2
(dominio, limiti ed eventuali asintoti, continuità, derivabilità, eventuali punti angolosi o cuspidi, monotonia, eventuali punti di estremo relativo od assoluto, convessità, concavità, punti di flesso, grafico).
Esercizio 4 Si calcoli il limite
1/3
lim xx log x .
x→0+
[ Sugg.: scrivere la funzione di cui si deve calcolare il limite come e... .]
Cognome
Nome
Matricola
Università degli Studi di Venezia – Facoltà di Scienze M.F.N.
Laurea in Informatica, – E. Jabara, A. Magris, A. Tonolo
Prova scritta di Calcolo - TEMA 1
1
Venezia, 2 febbraio 2006
2
3
4
Esercizio 1 Risolvere il seguente problema di Cauchy
x
y 0 = − y+sin
x
y(π) = 1
Esercizio 2 Dire se esiste finito l’integrale
Z 1
(x2 sin x)−1/5 dx.
−1
In caso di risposta affermativa, calcolarlo.
Esercizio 3 Studiare la funzione
f (x) = 2ex − 3|x|,
(dominio, limiti ed eventuali asintoti, continuità, derivabilità, eventuali punti angolosi o cuspidi, monotonia, eventuali punti di estremo relativo od assoluto, convessità, concavità, punti di flesso, grafico).
Esercizio 4 (i)Si determini il polinomio di Taylor di grado 4 di centro x0 = −1 della funzione
f (x) = ex − 3|x|.
(ii) Si calcoli il seguente integrale indefinito
Z
2
x3 e−2x dx.
Suggerimenti per la correzione della prova scritta di Calcolo del 15 febbraio 2007
TEMA 1
Esercizio 1 Risolvere il seguente problema di Cauchy
0 y
y + x = x13
y(1) = 1
L’equazione è definita in R \ {0}. Risolviamo per x > 0. Tutte le soluzioni dell’equazione y 0 = − xy + x13
sono date da
R
y(x) = (C + K(x))e a(x)dx ,
R
R
dove a(x)dx è una primitiva di a(x) = − x1 e K(x) è una primitiva di b(x)e− a(x)dx , con b(x) = x13 .
R
R
Pertanto − x1 dx = − log(x) = log( x1 ), mentre K(x) = x13 elog(x) dx = − x12 .
Per trovare la costante C sostituiamo x = 1 e imponiamo y = 1, ottenendo 1 = C − 1 cioè C = 2.
La soluzione cercata è pertanto y(x) = x2 − x12 .
Esercizio 2 Dire se esiste finito l’integrale
Z +∞
−∞
e−1/|x|
dx.
x2
R +∞ e−1/x
R e−1/x
Poiché la funzione integranda è pari, è sufficiente calcolare 0
dx.
Inoltre
dx =
2
x
x2
R +∞ e−1/x
R b e−1/x
−1/x
−1/x
b
−e
. Allora 0
dx = lima→0,b→+∞ a x2 dx = lima→0,b→+∞ [e
]a = 1 − 0 = 1. Quindi
x2
l’integrale esiste finito e vale 2.
Esercizio 3 Studiare la funzione
f (x) =
e2x − 3ex + 4
,
e2x − 4
.
Il dominio è R \ {log(2)}. I limiti agli estremi degli intervalli di definizione di f (x) sono:
lim
x→log(2)−
f (x) = −∞
lim f (x) = 1
x→+∞
lim
x→log(2)+
f (x) = +∞
lim f (x) = −1.
x→−∞
Ponendo t = ex si verifica che t2 − 3t + 4 > 0 per ogni t ∈ R e pertanto e2x − 3ex + 4 > 0 per ogni
x ∈ R. Inoltre e2x − 4 = (ex + 2)(ex − 2) è positiva per x > log(2). Pertanto la funzione è positiva per
x > log(2).
Asintoto verticale è la retta x = log(2) mentre asintoti orizzontali sono le rette y = −1 e y =√1.
x
2x
x +12)
La derivata prima è f 0 (x) = e (3e(ex−16e
che si annulla nei punti di ascissa x1 = log( 8−23 7 ) e
−4)2
√
√
√
x2 = log( 8+23 7 ). Pertanto la funzione è crescente negli intervalli (−∞, log( 8−23 7 )) e (log( 8+23 7 ), +∞).
Non ha punti di massimo o minimo assoluti, mentre x1 è un punto di massimo relativo e x2 è un punto
di minimo relativo.
Esercizio 4 Determinare l’ordine di infinito o infinitesimo per x → 0 della seguente funzione
f (x) =
x2 (ex − 1 + sin x)
.
(1 + x)2 − 1 + tan x
Osserviamo che limx→0 f (x) = 0. Pertanto f (x) è infinitesima per x → 0. Per calcolare l’ordine di
infinitesimo dobbiamo confrontarla con la funzione campione xα , con α > 0 e controllare che il limite
sia un numero reale non nullo. Si ha
f (x)
2
lim 2 =
x→0 x
3
da cui segue che f (x) è infinitesima di ordine 2.
TEMA 2
Esercizio 1
y 0 + xy = x12
y(1) = 1
L’equazione è definita in R \ {0}. Risolviamo per x > 0. Tutte le soluzioni dell’equazione y 0 =
+ x12 sono date da
R
y(x) = (C + K(x))e a(x)dx ,
R
R
dove a(x)dx è una primitiva di a(x) = − x1 e K(x) è una primitiva di b(x)e− a(x)dx con b(x) = x12 .
R
R
Pertanto − x1 dx = − log(x) = log( x1 ), mentre K(x) = x12 elog(x) dx = log x.
Per trovare la costante C sostituiamo x = 1 e imponiamo y = 1, ottenendo 1 = C. La soluzione
cercata è pertanto y(x) = x1 + logx x .
Esercizio 2 Dire se esiste finito l’integrale
Z +∞
1
√
dx.
x(1
+ x)
0
− xy
1
L’integrale esiste finito poiché √x(1+x)
è asintotica a √1x per x che tende a 0 e a
√
tende a ∞. Posto t = x, si ha
Z +∞
Z +∞
1
2t
√
dx =
dt =
t(1 + t2 )
x(1 + x)
0
0
1
x3/2
per x che
2 [arctan t]∞
0 = 2(π/2 − 0) = π.
Esercizio 3 Studiare la funzione
f (x) =
e2x − 3ex − 4
,
e2x − 4
.
Il dominio è R \ {log(2)}. La funzione è positiva per x < log 2 oppure x > 2 log 2. I punti
di intersezione con gli assi coordinati sono A = (2 log 2, 0) e B = (0, 2). I limiti agli estremi degli
intervalli di definizione di f (x) sono:
lim f (x) = 1
x→±∞
lim
x→log(2)−
f (x) = +∞
lim
x→log(2)+
f (x) = −∞.
Le rette x = 2 e y = 1 sono asintoti per la funzione.
x 2x +4)
La derivata prima è f 0 (x) = 3e(e(e
che è positiva su tutto l’insieme di definizione. Pertanto la
x −4)2
funzione è crescente nei 2 intervalli di definizione. Non ha punti di massimo o minimo ne’ assoluti ne’
relativi.
Esercizio 4 Determinare l’ordine di infinito o infinitesimo per x → 0 della seguente funzione
f (x) =
x(ex − 1 + sin x)
.
(1 + x)3 − 1 + tan x
Osserviamo che limx→0 f (x) = 0. Pertanto f (x) è infinitesima per x → 0. Per calcolare l’ordine di
infinitesimo dobbiamo confrontarla con la funzione campione xα , con α > 0 e controllare che il limite
sia un numero reale non nullo. Si ha
1
f (x)
lim
=
x→0 x
2
da cui segue che f (x) è infinitesima di ordine 1.
Suggerimenti per la correzione della prova scritta di Calcolo del 18 giugno 2007
Esercizio 1 Risolvere il seguente problema di Cauchy
0
y + 3y + cos(3x) = 0
y(0) = 1
Tutte le soluzioni dell’equazione y 0 = −3y − cos(3x) sono date da
R
y(x) = (C + K(x))e
a(x)dx
,
R
R
R
a(x)dx . Pertanto
3dx =
dove a(x)dx è una primitiva
di
−3
e
K(x)
è
una
primitiva
di
−
cos(3x)e
R
−3x, mentre K(x) = − cos(3x)e3x dx. Integriamo per parti due volte, operando dapprima la sostituzione y = 3x. Si ha
Z
Z
Z
1
1
1
y
y
y
y
y
− cos ye dy = (− sin ye + sin ye dy) = (− sin ye − cos ye + cos yey dy) =
3
3
3
R
Ora sommanndo al primo e all’ultimo termine della precedente uguaglianza − 13 cos yey dy, otteniamo
Z
2
1
− cos yey dy = (− sin yey − cos yey )
3
3
da cui, dividendo per 2, otteniamo l’integrale cercato:
K(x) =
(− sin yey − cos y)ey
,
6
che sostituito nella formula precedente da’
y(x) = (C +
− sin(3x)e3x − cos(3x)e3x −3x
)e
6
Per trovare la costante C sostituiamo x = 0 e imponiamo y = 1, ottenendo 1 = C −
La soluzione cercata è pertanto
1
6
cioè C = 76 .
7
sin(3x)e3x + cos(3x)
y(x) = e−3x −
.
6
6
Esercizio 2 Calcolare il seguente integrale indefinito
Z
x arctan2 (x)dx.
Integriamo per parti:
Z
Z
1 2
arctan(x)
2
2
x arctan (x)dx = x arctan (x) − x2 2
dx =
2
x +1
Z
Z
Z
1 2
arctan(x)
1
arctan(x)
x arctan2 (x) − (x2 + 1 − 1) 2
dx = x2 arctan2 (x) − arctan(x)dx +
dx =
2
x +1
2
x2 + 1
Il secondo integrale lo facciamo nuovamente per parti
Z
Z
x
1
arctan(x)dx = x arctan(x) −
dx = x arctan(x) − log (x2 + 1).
x2 + 1
2
L’ultimo integrale invece è
Z
arctan(x)
1
dx = arctan(x).
2
x +1
2
La soluzione risulta pertanto
1 2
1
1
x arctan2 (x) − x arctan(x) + log (x2 + 1) + arctan2 (x) + c,
2
2
2
ove c è una costante.
Esercizio 3 Studiare la funzione
f (x) = cos(2x) − x,
(dominio, limiti ed eventuali asintoti, continuità, derivabilità, monotonia, eventuali punti di estremo
relativo od assoluto, convessità, concavità, grafico).
L’insieme di definizione è tutto R e la funzione è continua nel suo insieme di definizione.
lim f (x) = −∞
limx→−∞ f (x) = +∞.
x→+∞
Non ha asintoti obliqui. La derivata prima è f 0 (x) = −2 sin 2x − 1, che si annulla per sin 2x = − 12 ,
7
11
cioè nei punti 2x = 67 π + 2kπ e 2x = 11
6 π + 2kπ, da cui x = 12 π + kπ e x = 12 π + kπ, k ∈ Z. Pertanto
7
i punti di minimo relativo sono x = 12 π + kπ e i punti di massimo relativo sono x = 11
12 π + kπ, k ∈ Z.
00
Non ha punti di massimo e minimo assoluti. La derivata seconda è f (x) = −4 cos 2x che si annulla
per 2x = π2 + kπ, cioè x = π4 + k π2 sono punti di flesso. Pertanto la funzione è concava negli intervalli
] − 41 π + kπ, 14 π + kπ[ e convessa negli intervalli ] 41 π + kπ, 34 π + kπ[ al variare di k in Z.
Esercizio 4 Data la serie
∞
X
(n2 − 1)β
n=1
5n
cos 3n
si dica per quali valori del parametro β essa converge.
Osserviamo che per ogni n ∈ N si ha
(n2 − 1)β
(n2 − 1)β
≤
cos
3n
.
5n
5n
Studiamo la serie
P∞
n=1
(n2 −1)β
.
5n
r
lim
n→∞
n
Usiamo il criterio della radice
(n2 − 1)β
(n2 − 1)β/n
1
2
= lim eβ/n log (n −1) .
=
lim
n
n→∞
5
5
5 n→∞
Calcoliamo
log (n2 − 1)
log (n2 (1 − 1/n2 ))
2 log n log 1 − 1/n2
= lim
= lim (
+
) = 0.
n→∞
n→∞
n→∞
n
n
n
n
lim
Pertanto si ha
r
lim
n
n→∞
2
β
(n2 − 1)β
1
= <1
5n
5
per ogni β ∈ R. Allora la serie n=1 (n 5−1)
converge per il criterio della radice e di conseguenza la
n
P∞ (n2 −1)β
serie n=1 5n cos 3n converge assolutamente per ogni β ∈ R perche’ limitata superiormente in
modulo da una serie convergente.
P∞
Correzione prova scritta di Calcolo del 31 gennaio 2007
TEMA 1
Esercizio 1 Si dica per quali α ∈ R converge la serie
∞
X
(n + 4)!
(n + 7)α n!
n=1
Il termine generale della serie è
an =
che è asintotico a
n4
nα
=
1
nα−4
(n + 4)(n + 3)(n + 2)(n + 1)
(n + 7)α
e pertanto converge per α − 4 > 1, cioè α > 5.
Esercizio 2 Calcolare il seguente integrale definito
Z π/4
(tan x)4 − 25
√ dx.
tan x + 5
0
Z
0
π/4
(tan x)4 − 25
√ dx =
tan x + 5
Z
π/4
((tan x)2 + 5)(tan x −
√
5)dx
0
dy
Effettuo il cambiamento di variabile y = tan x, osservando che dy = (1 + (tan x)2 )dx da cui dx = 1+y
2
π
π
e gli estremi di integrazione risultano x = 0 ⇒ y = tan 0 = 0 e x = 4 ⇒ y = tan 4 = 1.
Pertanto l’integrale diventa
√
√
√
√ !
Z 1 2
Z 1 2
Z 1
(y + 5)(y − 5)
(y + 1 + 4)(y − 5)
(y 2 + 1)(y + 5) 4y − 4 5
dy =
dy =
+
dy =
1 + y2
1 + y2
1 + y2
1 + y2
0
0
0
√ !
4y
4 5
=
y+ 5+
+
dy =
1 + y2 1 + y2
0
1
2
√
√
√ π
1 √
y
+ 5y + 2 log |1 + y 2 | − 4 5arctg(y) = + 5 + 2 log 2 − 4 5 .
=
2
2
4
0
Z
1
√
Esercizio 3 Studiare la funzione
x −x
e ,
x+1
(dominio, limiti ed eventuali asintoti, continuità, derivabilità, eventuali punti angolosi o cuspidi, monotonia, eventuali punti di estremo relativo od assoluto, convessità, concavità, punti di flesso, grafico).
f (x) =
Il dominio è R \ {−1}. I limiti agli estremi degli intervalli di definizione di f (x) sono:
lim f (x) = +∞
x→−1−
lim f (x) = +∞
x→−∞
lim f (x) = −∞
x→−1+
lim f (x) = 0.
x→+∞
Osserviamo che f (x) = 0 se e solo se x = 0. Poiché limx→−∞ f (x)
x = +∞ non ci sono asintoti obliqui.
La retta x = −1 è asintoto verticale, mentre la retta y = 0 è asintoto orizzontale.
Calcoliamo la derivata prima:
e−x (1 − x2 − x)
f 0 (x) =
(x + 1)2
√
che si annulla
√ nei punti di
√ ascissa −1 ± 5. Pertanto la funzione f (x) è decrescente
√ negli intervalli
(−∞, −1 − 5) e (−1 + 5, +∞), mentre è√crescente nell’intervallo (1 − sqrt5, + √5) Non ha punti
di massimo o minimo assoluti, mentre 1 − 5 è un punto di minimo relativo e 1 + 5 è un punto di
massimo relativo.
Calcoliamo la derivata seconda:
f 00 (x) =
e−x (x3 + 2x2 − x − 4)
.
(x + 1)3
Dallo studio della funzione g(x) = x3 + 2x2 − x − 4 segue che g(x) si annulla solo in punto ξ con
1 < ξ < 2 e vale g(x) < 0 per x < ξ e g(x) > 0 per x > ξ. Pertanto dallo studio del segno della
derivata seconda, si ha che f (x) è convessa negli intervalli (−∞, −1) e (ξ, +∞), mentre è concava
nell’intervallo (−1, ξ). Infine ξ è un punto di flesso.
Esercizio 4 Determinare l’ordine di infinito o infinitesimo per x → 0 della seguente funzione
f (x) =
esin x − 1 − x − 3x2
.
7x
Osserviamo che
f (x) =
1 + x + x2 /2 − 1 − x + o(x2 ) − 3x2
−5/2x2 + o(x2 )
=
per x → 0,
7x
7x
da cui segue che
5x
= 0.
14
Pertanto f (x) è infinitesima per x → 0. Per calcolare l’ordine di infinitesimo dobbiamo confrontarla
con la funzione campione xα , con α > 0 e controllare che il limite sia un numero reale non nullo. Si
ha
f (x)
5
lim
=−
x→0 x
14
da cui segue che f (x) è infinitesima di ordine 1.
lim f (x) = lim −
x→0
x→0
TEMA 2
Esercizio 1 Si dica per quali α ∈ R converge la serie
∞
X
n=1
(n + 5)!
(n + 3)α (n + 1)!
Il termine generale della serie è
an =
che è asintotico a
n4
nα
1
nα−4
=
(n + 5)(n + 4)(n + 3)(n + 2)
(n + 3)α
e pertanto converge per α − 4 > 1, cioè α > 5.
Esercizio 2 Calcolare il seguente integrale definito
Z π/4
(tan x)4 − 9
√ dx.
tan x + 3
0
Z
0
π/4
(tan x)4 − 9
√ dx =
tan x + 3
Z
π/4
((tan x)2 + 3)(tan x −
√
3)dx
0
dy
Effettuo il cambiamento di variabile y = tan x, osservando che dy = (1 + (tan x)2 )dx da cui dx = 1+y
2
e gli estremi di integrazione risultano x = 0 ⇒ y = tan 0 = 0 e x = π4 ⇒ y = tan π4 = 1.
Pertanto l’integrale diventa
√
√
√
√ !
Z 1 2
Z 1 2
Z 1
(y + 3)(y − 3)
(y + 1 + 2)(y − 3)
(y 2 + 1)(y − 3) 2y − 2 3
dy =
dy =
+
dy =
1 + y2
1 + y2
1 + y2
1 + y2
0
0
0
√ !
2y
2 3
=
y− 3+
−
dy =
1 + y2 1 + y2
0
1
2
√ π
√
√
1 √
y
2
=
− 3y + log |1 + y | − 2 3arctg(y) = − 3 + log 2 − 2 3 .
4
2
2
0
Z
√
1
Esercizio 3 Studiare la funzione
x −x
e ,
x−1
(dominio, limiti ed eventuali asintoti, continuità, derivabilità, eventuali punti angolosi o cuspidi, monotonia, eventuali punti di estremo relativo od assoluto, convessità, concavità, punti di flesso, grafico).
Il dominio è R \ {1}. I limiti agli estremi degli intervalli di definizione di f (x) sono:
f (x) =
lim f (x) = −∞
x→1−
lim f (x) = +∞
x→−∞
lim f (x) = +∞
x→1+
lim f (x) = 0.
x→+∞
Osserviamo che f (x) = 0 se e solo se x = 0. Poiché limx→−∞ f (x)
x = +∞ non ci sono asintoti obliqui.
La retta x = 1 è asintoto verticale, mentre la retta y = 0 è asintoto orizzontale.
Calcoliamo la derivata prima:
f 0 (x) =
e−x (−x2 + x − 1)
,
(x − 1)2
che non si annulla in nessun punto del dominio. Pertanto la funzione f (x) è decrescente in tutto il
suo dominio. Non ha punti di massimo o minimo assoluti o relativi.
Calcoliamo la derivata seconda:
f 00 (x) =
e−x (x2 − 2x + 3)x
.
(x − 1)3
Poiché il polinomio x2 − 2x + 3 ha ∆ < 0 la derivata seconda si annulla solo nel punto x = 0. Pertanto
dallo studio del segno della derivata seconda, si ha che f (x) è convessa negli intervalli (−∞, 0) e
(1, +∞), mentre è concava nell’intervallo (0, 1). Infine 0 è un punto di flesso.
Esercizio 4 Determinare l’ordine di infinito o infinitesimo per x → 0 della seguente funzione
f (x) =
esin x − 1 − x − 5x2
.
3x
Osserviamo che
f (x) =
1 + x + x2 /2 − 1 − x + o(x2 ) − 5x2
−9/2x2 + o(x2 )
=
per x → 0,
3x
3x
da cui segue che
3x
= 0.
2
Pertanto f (x) è infinitesima per x → 0. Per calcolare l’ordine di infinitesimo dobbiamo confrontarla
con la funzione campione xα , con α > 0 e controllare che il limite sia un numero reale non nullo. Si
ha
f (x)
3
lim
=−
x→0 x
2
da cui segue che f (x) è infinitesima di ordine 1.
lim f (x) = lim −
x→0
x→0