Il decadimento alfa L`emissione di particelle α da parte di vari

Il decadimento alfa
L’emissione di particelle α da parte di vari radionuclidi rappresenta una delle prime
scoperte della fisica moderna: nel 1908 Rutherford dimostrò che tale radiazione è
costituita da nuclei di 4He. Tra i componenti delle famiglie radioattive troviamo circa
30 emettitori α. La maggior parte degli isotopi creati artificialmente con numero di
massa maggiore del Piombo sono emettitori α. Non vi sono emettitori α con A<146
(
146
62
Sm ). Questo è spiegato dall’andamento dell’energia di legame B/A in funzione di A.
L’energia di legame B/A per lo 4He vale 7.07 MeV (contro i 2.57 e 2.83 MeV per lo 3He
ed il 3H rispettivamente, e di 5.33 MeV per il 6Li ecc. ecc.). Pertanto emettendo α un
sistema nucleare guadagna in energia di legame solo se si trova nella zona al di là del
massimo della curva B/A: in questa regione il valore di B/A aumenta al diminuire di A (e
quindi all’emissione di particelle α). Questo non è però più vero quando ci si avvicina al
massimo (e a maggior ragione a sinistra del massimo), dove l’emissione α non è più un
fenomeno che permetta guadagno di energia. Il decadimento α è energeticamente
possibile quando :
Q = M(Z,A)-M(Z-2,A-4)-M(2,4) > 0
Il Q-valore della reazione rappresenta in pratica l’energia cinetica della particella α.
Infatti, considerando il nucleo a riposo nell’istante del decadimento:
0 = pα + P → pα = - P
M0 = mα + Tα + M + T → Tα + T = Q
Dove M0 è la massa del nucleo iniziale e P, T ed M si riferiscono al nucleo residuo.
p2α ⎛ 1
1⎞
⎜
+
=
+ ⎟ =Q
⎜
2m α 2M 2 ⎝ m α M ⎟⎠
p2α
P2
p2α ⎛
mα ⎞
⎜1 +
⎟ =Q
⎜
2m α ⎝
M ⎟⎠
e
Tα = Q
M
M + mα
Q,
essendo mα << M
In generale l’energia delle particelle alfa emesse varia tra 4 e 9 MeV ed i tempi di
dimezzamento dei nuclei che le emettono variano tra 1010 y e 10-7 s. Confrontando
energia delle particelle alfa e tempo di dimezzamento si nota che ad energie più basse
corrispondono tempi di dimezzamento più lunghi e viceversa: questa è una regola
generale osservata e studiata fin dal 1911 da Geiger e Nuttal, che formularono la
seguente legge: per una stessa serie radioattiva, il logaritmo della costante di
decadimento λ dipende linearmente dal logaritmo dell’energia delle particelle alfa
emesse: ln(λ) = A + B·ln(E)
La relazione originaria trovata era del tipo: ln(λ) = a + b·ln(R)
dove R indica il percorso (range) delle particelle alfa in un mezzo assorbitore: ma
poichè, come vedremo nel seguito, il range è legato all’energia da una legge del tipo:
R = En (e quindi lnR ∝ lnE), si vede che le due relazioni sono del tutto equivalenti.
Se si raggruppano radionuclidi α-emettitori appartenenti agli stessi elementi si
ottengono i risultati riportati nelle figure che seguono.
andamento di λ in funzione del range R delle particelle α
La regola di Geiger e Nuttal fu trovata fenomenologicamente, ma può essere dedotta
rigorosamente attraverso la meccanica quantistica: anzi, le teoria del decadimento α
fu uno dei primi successi dell’applicazione della meccanica quantistica ad un problema di
fisica nucleare (1928, Gamow, Condon e Gurney).
Possedendo questa energia cinetica ΔE in eccesso, le particelle α dovrebbero lasciare il
nucleo in un tempo dell’ordine di : t ≈ R/vα dove R rappresenta il raggio del nucleo e vα
la velocità della particella. Anche per la minima energia cinetica osservata Tα = 4 MeV,
il calcolo numerico fornisce il valore:
t=
R
vα
=
mα
2Tα
⋅R =
m αc2 R
⋅ =
2Tα c
3727
2⋅ 4
⋅
10−12
3 ⋅ 1010
= 7 ⋅ 10−22 s
Viceversa le vite medie dei radionuclidi α-emettitori possono essere anche dell’ordine
del miliardo di anni. Se si analizza l’andamento dell’energia potenziale U(r) in funzione
della distanza, si ottiene un andamento del tipo riportato nella figura che segue:
andamento dell’energia potenziale α-nucleo in funzione della distanza r
dove R rappresenta il raggio nucleare; per r<R prevalgono le forze nucleari
(schematizzate come una buca di potenziale costante), mentre per r>R le forze
nucleari, a causa del loro cortissimo range, sono inefficaci e prevale il campo
colombiano, il cui potenziale ha il tipico andamento del tipo 1/r.
La particella alfa, immersa nella materia nucleare, si trova nella zona con r<R.
Se si misura la sua energia cinetica Tα una volta emessa dal nucleo (e quindi per r → ∞),
abbiamo visto che si trovano valori compresi tra 4 e 9 MeV. Viceversa, l’altezza della
barriera colombiana vale:
(
)
UC r = R =
zZe2
R
per z=2, Z=90, R=10 fm, e ricordando che e2=1.44 MeV⋅fm, si ottiene: UC ≈ 30 MeV,
quindi UC >> Tα.
Nasce allora il problema inverso: classicamente la particella α non potrebbe mai
lasciare il nucleo, e non esisterebbero nuclei α-emettitori.
Questo paradosso fu risolto da Gamow e da Condon e Gurney (1929), i quali, trattando
quantisticamente il problema, mostrarono l’esistenza di una probabilità di fuga finita
anche nel caso in cui la meccanica classica avrebbe predetto una barriera
assolutamente insormontabile, cioè completa stabilità nucleare.
L’effetto tunnel quantistico
Nel caso generale l’equazione di Schroedinger per il moto della particella α si scrive
nel seguente modo:
−
2
2m
() () ()
()
∇2ψ r + V r ⋅ ψ r = Eψ r
Separando le variabili si può scrivere:
() () () ( )
ψ r = ρ r ⋅Θ θ ⋅Φ ϕ
radiale seguente:
( ) + 2m
d2u r
dr
2

2
α
(
)
( ) r , si arriva all’equazione differenziale
, e se si scrive: ρ r =
u r
( ) ⎞⎟ u (r) = 0
⎟
⎛
2  + 1
⎜ T − V( r) +
2
⎜ α
2m
r
α
⎝
⎠
( )
La quantità:    + 1 rappresenta il momento angolare ℓ con il quale la particella α
lascia il nucleo. Vediamo, con un ragionamento semi-classico, quanto vale ℓ. Il massimo
parametro d’urto ℓmax con il quale la particella può uscire dal nucleo è appunto il raggio
nucleare.
( )
  +1 ≈
ℓ ≤ ℓmax = pαR, dove pα rappresenta il momento della particella. Pertanto si
ricava:
≤
p αR

=
2m αTα ⋅ R

=
2m αc2Tα ⋅ R
c
per Tα = 5 MeV e R=10 fm, si ottiene: ℓ ≤ 11. ℓ però non può assumere qualsiasi valore:
infatti, a causa del principio di conservazione del momento angolare, deve essere: J =
Ja + J’ , avendo indicato con J e J’ i momenti angolari totali del nucleo padre e figlio e
con Ja il momento angolare totale della particella α.
Considerando la regola di addizione dei momenti angolari in meccanica quantistica, si
ha:
|J’-J| ≤ Jα ≤ J’+J
dove Ja = Ia + ℓα rappresenta lo spin totale della particella α, somma del suo spin
intrinseco Ia e del suo momento angolare orbitale ℓα. Essendo Ia = 0, risulta che ℓα può
avere solo questo intervallo di valori:
|J’-J| ≤ ℓα ≤ J’+J
In genere, a causa di questa limitazione, risulta ℓα = 0, 1, 2.
Comunque, anche considerando il massimo valore ottenuto dal conto precedente, risulta
( )
2  + 1
che il termine di “barriera centrifuga”
( )≤
2  + 1
p2αR2
2m αr
2m αR
2
2
= Tα
2m αr2
calcolato per r = R vale, al più:
= 5 MeV e risulta quindi ben minore di VC(R) = 26 MeV.
Nella trattazione semplificata che segue trascureremo il contributo della barriera
centrifuga (considerando quindi ℓα = 0).
L’equazione di Schroedinger si riscrive allora nella forma più semplice:
( ) + 2m (T
dr

d2u r
2
α
2
α
) ()
− V( r) u r = 0
Consideriamo come primo passo una barriera di potenziale più semplice (vedi figura) ,
descritta da:
V(r) = V0 per R < r < R1
V(r) = 0 altrove.
V
Tα
1
2
R
3
R1
r
schematizzazione di una barriera quantistica ad altezza costante
Se consideriamo il moto di una particella α che si trova nella regione 1 avente una
energia cinetica Tα < V0, l’equazione di Schroedinger nelle zone 1, 2 e 3 prende la
forma:
d2u
dr
2
d2u
dr
2
+
+
2m α

2
2m α

2
Tα u = 0
(T
α
)
− V0 u = 0
La soluzione risulta:
(regioni 1 e 3)
(regione 2)
⎛
⎛
r⎞
r⎞
u1 = exp ⎜ i ⋅ 2m αTα ⋅ ⎟ + B ⋅ exp ⎜ −i ⋅ 2m αTα ⋅ ⎟
⎠
⎠
⎝
⎝
⎛
r⎞
u3 = a ⋅ exp ⎜ i ⋅ 2m αTα ⋅ ⎟
⎠
⎝
⎛ ⎛
⎛
r⎞
r⎞⎞
u2 = α ⋅ exp ⎜ 2m α V0 − Tα ⋅ ⎟ + β ⋅ exp ⎜ − ⎜ 2m α V0 − Tα ⋅ ⎟ ⎟
⎜⎝ ⎝
⎠
 ⎠ ⎟⎠
⎝
(
)
(
)
Abbiamo posto uguale all’unità il coefficiente dell’onda incidente sulla barriera in
quanto, ai fini della probabilità di penetrazione della barriera, ha importanza solo
l’ampiezza relativa delle onde. Abbiamo inoltre considerato nella regione 3 solo l’onda
che si sposta verso r crescente (la particella α si allontana dal nucleo).
La penetrabilità della barriera D è data da:
D=
Φ3
Φ1
=
u23 ⋅ v 3
u21 ⋅ v 1
=
u23
u21
= a2
Φ1 e Φ3 rappresentano il flusso quantistico di particelle α nelle regioni 1 e 3 (nel verso
di r crescente), mentre v1 = v3 rappresenta la velocità delle particelle α nelle rispettive
regioni 1 e 3.
Le quattro costanti B, α, β ed a, sono determinate dalle condizioni di continuità della
funzione u e della sua derivata prima nei punti di discontinuità del potenziale.
Sviluppando i calcoli si ottiene:
⎡ 2
D = exp ⎢ −
2m α V0 − Tα ⋅ R 1 − R
⎢⎣ 
(
)(
)
⎤
⎥
⎥⎦
il risultato può essere esteso ad una barriera di altezza variabile V(r). Nel caso di
potenziale colombiano:
R
⎡
⎤
T
⎛ zZe2
⎞
2
D = exp ⎢ − ∫ 2m α ⎜
− Tα ⎟ ⋅ dr ⎥ = exp( −2G )
⎢ 
⎥
⎝ r
⎠
R
⎣
⎦
dove RT è la distanza alla quale si annulla il radicando:
RT =
zZe2
Tα
1
Il fattore: G = 
R
T
∫
R
⎛ zZe2
⎞
2m α ⎜
− Tα ⎟ ⋅ dr si chiama fattore di Gamow.
⎝ r
⎠
Svolgendo l’integrale si trova:
⎫
⎛
⎞
2m α zZe2 ⎧⎪
R
R
R
⎪
−1
⎟ − 1−
G=
⋅
⎨cos ⎜
⎬
⎜
⎟
Tα
 ⎪
RT RT ⎪
⎝ RT ⎠
⎩
⎭
Poichè R e RT sono legati all’energia cinetica della particella α e all’altezza B della
barriera dalle relazioni:
B=
zZe2
R
e
Tα =
zZe2
RT
,
risulta:
R
RT
=
Tα
B
e possiamo esprimere G in termini della sola energia:
G=
⎧
⎫
⎛ T ⎞
2m α zZe2 ⎪
T
T
⎪
−1
α ⎟
− 1− α ⋅ α ⎬
⎨cos ⎜
⎜ B ⎟
Tα
 ⎪
B
B ⎪
⎝
⎠
⎩
⎭
La penetrabilità risulta quindi:
( )
D = exp −2G
La penetrabilità della barriera è legata alla costante di decadimento λ. Infatti D
esprime la probabilità di attraversamento della barriera per urto, λ rappresenta la
probabilità di attraversamento per unità di tempo. Le due quantità sono legate tra loro
dal valore di ν rappresenta la frequenza degli urti contro la barriera ed e’ dato da:
ν=
vα
2R
, dove vα è la velocità della particella α nel nucleo di raggio R
Si ottiene pertanto: λ = ν⋅D
In una trattazione più rigorosa si dovrebbe scrivere:
λ = P⋅ν⋅D
P rappresenta la probabilità che all’interno del nucleo si formi una particella α in
seguito alle interazioni tra protoni e neutroni. Il calcolo di P è molto complicato e
comunque a tutt’oggi una sua valutazione esatta non esiste.. Noi assumiamo P=1, che è
comunque una stima realistica per nuclei ad alto A, specie per i nuclei pari-pari.
Per particelle α di energia cinetica pari a 4 MeV, il valore numerico di ν è:
ν=
vα
2R
=
β αc
2R
=
pα c
E α 2R
=
(T
2m αTα
α
)
c
+ m αc2 2R

2Tα
c
m αc2 2R
= 1020 ÷ 1021 s −1
Esplicitando D:
R
⎡
⎤
T
⎛ zZe2
⎞
2
λ = ν ⋅ D = ν ⋅ exp ⎢ − ∫ 2m α ⎜
− Tα ⎟ ⋅ dr ⎥ = ν ⋅ exp ⎡⎢ϕ Tα ⎤⎥
⎣
⎦
⎢ 
⎥
⎝ r
⎠
R
⎣
⎦
( )
che si riscrive:
( )
ln λ = ln ν + ϕ Tα
In forma generale diventa:
ln λ = A + B ⋅ Tα
dove A e B sono costanti che non variano (o variano pochissimo) con Z.
Questa espressione coincide con la relazione trovata sperimentalmente da Geiger e
Nuttal.
La teoria di Gamow rappresentò il primo grande successo della meccanica quantistica.
Per la verità Geiger e Nuttal trovarono una espressione leggermente diversa:
lnλ = A + B’⋅lnTα
Ma nel range di variabilità dell’energia cinetica delle particelle α le espressioni sono del
tutto equivalenti (vedi figura).
( )
Andamento delle funzioni Tα e ln Tα e del loro rapporto tra 4 e 9 MeV
La dipendenza trovata spiega come mai l’intervallo di variazione di λ è molto maggiore
dell’intervallo di variazione dell’energia cinetica.
Spiega inoltre anche l’esistenza di un limite inferiore per l’energia cinetica della
particella α. Una variazione del 10% in Tα cambia la costante di disintegrazione di un
fattore 103.
Per Tα < 2 MeV la vita media diventa talmente lunga che è praticamente impossibile
rivelare particelle α.
Questo spiega anche il fatto che non esistono in pratica nuclei α–radioattivi per Z < 82,
dove il ΔE risulta minore di 2 MeV.
Appendice.
Soluzione dell’ integrale di Gamow
G=
1

RT =
G=
G=
1

1
R
T
∫
R
⎛ zZe2
⎞
2m α ⎜
− Tα ⎟ ⋅ dr
⎝ r
⎠
zZe2
Tα
RT
∫
R
RT
∫

R
Tα =
zZe2
RT
R
⎛ zZe2 zZe2 ⎞
⎛
1 T
1 ⎞
2 1
2m α ⎜
−
⎟ ⋅ dr = ∫ 2m αzZe ⎜ −
⎟ ⋅ dr
⎜⎝ r
⎜⎝ r R ⎟⎠
R T ⎟⎠
 R
T
⎞
2m αTα
zZe2 ⎛ R T
2m α
− 1⎟ ⋅ dr =
⎜
⎜
⎟⎠
RT ⎝ r

RT
∫
R
RT
r
− 1 ⋅ dr
Effettuiamo il cambiamento di variabile:
r = R T cos 2 ϑ (nel range di variabilità r ≤ RT),
dr = −2R T sin ϑ ⋅ cos ϑ ⋅ dϑ
RT
∫
R
RT
r
− 1 ⋅ dr = −
0
∫
cos −1
1
cos 2 ϑ
R
0
∫
− 1 ⋅2R T cos ϑ ⋅ sin ϑ ⋅ dϑ = −2R T
cos −1
RT
sin 2 ϑ ⋅ dϑ
R
RT
La funzione sin2ϑè integrabile e si ottiene:
RT
∫
R
RT
∫
R
G=
RT
0
⎡1
⎤
− 1 ⋅ dr = −2R T ⎢ ϑ − sin ϑ ⋅ cos ϑ ⎥
r
⎢⎣ 2
⎥⎦cos −1
(
)
0
R
⎡
⎤
= −R T ⎢⎛ ϑ − 1 − cos 2 ϑ ⋅ cos ϑ ⎞ ⎥
⎠ ⎦cos −1
⎣⎝
RT
⎛
R
R
R ⎞
−1
⎟
− 1 ⋅ dr = R T ⎜ cos
−
1−
⎜⎝
r
RT
RT
R T ⎟⎠ Quindi:
RT
2m αTα

⎛
R
R
R ⎞
⎟
R T ⎜ arccos
−
1−
⎜⎝
RT
RT
R T ⎟⎠
⎫
⎛
⎞
2m α zZe2 ⎧⎪
R
R
R
⎪
−1
⎟ − 1−
G=
⋅
⎨cos ⎜
⎬
⎜
⎟
Tα
 ⎪
RT RT ⎪
⎝ RT ⎠
⎩
⎭
E sostituendo
RT =
zZe2
Tα :
R
RT