MATEMATICA GENERALE
I appello, SESSIONE ESTIVA 2014/15
Prof. Valerio Lacagnina
TEMA 1
•
Studiare la funzione
=
+ 1
e tracciare il grafico ||.
•
Dire se la tangente alla curva di equazione
= 2
− 2 nel punto di ascissa = −1, forma con l'asse delle un angolo maggiore o minore di .
•
Data la funzione : − 1, + 3 → ℝ definita da
2
= − + ln scrivere la formula di Taylor di punto iniziale = 2 e arrestata al 2° ordine.
•
Data la serie
$%
!&
determinare il carattere della serie per ogni
"!
"!
!
∈ ℝ$ − {}.
1
E' obbligatorio svolgere lo studio di funzione.
MATEMATICA GENERALE
I appello, SESSIONE ESTIVA 2014/15
Prof. Valerio Lacagnina
Soluzioni Tema 1
1 =
+ 1
→%
lim
→%
234
5
+31
6
= −∞; lim
→
< = lim
→%
; C. E. : ∈ ℝ\{0}
+ 1
+1 1
=1=;
6
→% 89:
→
1
− = lim
→% 6
→
× lim + 1 − = 1 × > lim 1 + lim 1 − ? =
→%
→
→%
→%
1−
− 1
= lim 1 + lim
= 1 − lim
= 1 − ln = 1 − 1 = 0e = èasint. obliquosx
1
1
→%
→%
→%
+ 1
+ 1
lim
= +∞asintotoverticalesx; mentre limK
=0
→J
→
6
6
lim
→K
→$%
→$%
234
5
+31
6
→$%
+1 1
=1=;
→$% 89:
6
→
= +∞; lim
→
< = lim
→$%
+ 1
1
× lim + 1 − = 1 × > lim 1 + lim 1 − ? =
→$% →$%
→$%
→$%
6
− = lim
→
→
1−
− 1
= lim 1 + lim
= 1 − lim
= 1 − ln = 1 − 1 = 0e = èasint. obliquodx
1
1
→$%
→$%
→$%
1
+
1
− + 1 Q− R S 1 + R
R + + 1
P =
=
=
conT P = T
R
R P R
≥ 0 ⇒ + + 1 ≥ 0 ⇒ ∆= 1 − 4 < 0 e quindi P > 0 nel dominio.
inoltre limK
→
→
23
R 343
35
++
1
6R
6
→K →$%
= limK
1
→
+ limK
1
→
+ limK
1
→
R = 0 + limK
1
→
+ limK
→
1
R =⨂
1
, per → 0$ ⇒ ] = +∞equindigliultimiduelimitipossonoessereriscritticome
]
]R
⨂ = lim _ + lim _ = 0equindilatangentedestrain = 0èparallelaallP asse
_→$% →$% Da tale tangente destra orizzontale si evince il punto di flesso indicato con F in figura, visto che la curva si
adagia inferiormente sull'asintoto obliquo destro. Inoltre, dato l'asintoto verticale sinistro in = 0 e
l'asintoto obliquo sinistro non è necessario procedere allo studio della derivata seconda.
seponiamo] =
2
E' obbligatorio svolgere lo studio di funzione.
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e il valore assoluto della funzione è quindi
2 = 2
− 2 bastavedereilcoefaicienteangolaredellarettatangenteallacurva(seesiste)
nel punto di ascissa = −1 e quindi basta effettuare la derivata prima in -1:
P () = 2
−
1
3 R − 2
(
) >−
ln
2
−
2
? ln 2 dacuisiricava
( − 1)R
( − 1)R
P (−1) = 2
−
1
3+2
ln 2
5 ln 2
(
) −
R
R
ln
2
−
2
ln
2
=
−2
+
2
=
(−1 − 1)R
1(−1 − 1)R
4
4
3
E' obbligatorio svolgere lo studio di funzione.
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I appello, SESSIONE ESTIVA 2014/15
=−
ln 2
4√2
+
5 ln 2
4√2
=
4ln 2
4√2
=
ln 2
√2
Prof. Valerio Lacagnina
= 0.49 < 1
Poiché il coefficiente angolare della retta tangente alla curva in = −1 è minore di 1, ne consegue che
l'angolo formato da essa con l'asse delle e inferiore a (dato che tan = 1).
2
3 = − + ln scriverelaformuladiTaylordipuntoiniziale = 2earrestataal2°ordine
tenendo conto che l'insieme di partenza di è − 1, + 3.
R
Tenendo conto che il dominio della funzione è ristretto dalla condizione > 0e ≠ 0 si ottiene
> 0 ∩ − 1, + 3 = − 1, + 3. Inoltre il punto iniziale − 1 < 2 < + 3 ⇒ −1 < < 3
Abbiamo che
2
1
2
= − + ln = − − 1 = −3.72
= − + ln ; 2 = − 2 + ln
2
1
2
1
2 + 1
P = −1 + − R = −1 − ; P 2 = −1 −
=−
= −1.18
2
2
2
1
1
PP = R ; PP 2 = R = 0.03
4
e quindi la formula di Taylor richiesta è
≃ −3.72 − 1.18 − 2 +
$%
4 !&
"!
con ∈ ℝ$ − {}
"!
!
0.03 − 2R
2
Utilizziamo il criterio del rapporto:
lim
!→$%
" + 1! "!
= lim
" + 1!$
! "! !→$%
!$
=
lim
!→$%
1
1 !
Q1 + "S
!
" + 1
!
=
<1⇒
"!
"!
=
"! " + 1" + 1!
< peressereconvergente.
4
E' obbligatorio svolgere lo studio di funzione.
" !
lim Q
S =
!→$% " + 1
