Statistica Descrittiva File - e-Learning

Quesito
Statistica descrittiva
Grafici e tabelle permettono di fare valutazioni qualitative,
non quantitative.
C’è la necessità di sintetizzare le caratteristiche
salienti di una variabile:
• indici di locazione o di posizione
• indici di variabilità o dispersione
E’ più efficace una dieta alimentare (A) o un trattamento
farmacologico (B) per diminuire di peso?
Per valutare l’entità della perdita di peso (kg) che si verifica dopo
trattamento (A o B) sono stati considerati 14 soggetti confrontabili.
Trattamento
A
B
3.8
3.3
2.9
4.3
13.8
5.4
4.9
10.5
9.8
8.6
6.5
11.1
9.2
12.6
Media Aritmetica
Indici di posizione
L’indice di locazione più utilizzato (anche quando non
sarebbe appropriato farlo) è la media aritmetica.
Numeri che sono rappresentativi dei dati
e forniscono indicazioni sull’ordine di
grandezza del fenomeno in studio
Formalmente:
dato un campione di n unità su cui è stata rilevata la
variabile X:
x1, x2, x3,......, xn
la media aritmetica x è definita come:
x
x1  x2  ....  xn

n
n
x
i
i 1
n
n
x
N.B. l’espressione
i
si legge “sommatoria di xi con i esteso da 1 a n”
i 1
1
La media aritmetica rappresenta il baricentro
della distribuzione.
Parametro e stimatore
Media del
campione
Si presta bene a sintetizzare
distribuzioni simmetriche
(stimatore)
n
x
x
i
i 1
n
E’ meno utile quando la distribuzione è asimmetrica.
N
Media della
popolazione
(parametro)
Esempio (0): variabile qualitativa ordinale
Titolo di studio
f(x)
Lic. Elementare
18
Lic. Media
12
Maturità
Laurea
36
54
Totale
120

x
i 1
i
N
Esempio (1): variabile continua (dati singoli)
Peso perso (kg) dopo dieta (trattamento A):
dieta ?
3.8, 3.3, 2.9, 4.3, 13.8, 5.4, 4.9
Qual è il titolo di studio medio?
2
Esempio (1): variabile continua (dati singoli)
Peso perso (kg) dopo dieta (trattamento A):
dieta ?
Esempio (2): variabile discreta
N° di automobili per famiglia:
3.8, 3.3, 2.9, 4.3, 13.8, 5.4, 4.9
x
3.8  3.3  2.9  4.3 13.8  5.4  4.9 38.4

 5.49 kg
7
7
X
f(x)
0
1
2
3
Tot.
2
20
25
3
50
n
x
x
i 1
i
n
Esempio (2): variabile discreta
N° di automobili per famiglia:
Esempio (2): variabile discreta
X
f(x)
0
1
2
3
Tot.
2
20
25
3
50
Se k è il # di valori distinti assunti dalla variabile X, allora:
f ( x1 )
f ( x2 )
f ( xk )

 



( x1  x1  ...  x1 )  ( x2  x2  ...  x2 )  ...  ( xk  xk  ...  xk )
x

n

0  2  1 20  2  25  3  3 79

 1.58
50
50
k
x   xi p( xi ) dato che
i 1
x
i
i
i 1
k
 f (x )
i 1
Se si utilizzassero le frequenze relative:
20  
25

0  0  1  1  ....  1  2  2  ...  2  3  3  3
x

50
k
 x f (x )
i
k
 p( x )  1
i 1
i
0  0.04  1 0.40  2  0.50  3  0.06
 1.58
1
3
Esempio (3): variabile continua (dati aggregati in classi)
Lunghezza supina (cm) di 51 neonati
Lunghezza supina (cm) di 51 neonati
Estremi di
classe
freq. ass.
f(x)
45.75 - 47.25
5
Esempio (3): variabile continua (dati aggregati in classi)
Estremi di
classe
45.75 - 47.25
Val.
centrale(cx)
46.5
freq. ass.
f(x)
5
47.25 - 48.75
48.75 - 50.25
48.0
49.5
7
14
51.0
52.5
16
9
47.25 - 48.75
7
48.75 - 50.25
14
50.25 - 51.75
16
51.75 - 53.25
9
50.25 - 51.75
51.75 - 53.25
Totale
51
Totale
Per il calcolo della media è necessario considerare come
valore rappresentativo di ogni classe il suo valore centrale cxi.
51
Ciò equivale ad assumere che le unità siano equidistribuite
all’interno della classe.
Esempio (3):…….
Estremi di
classe
45.75 - 47.25
Val.
centrale(cx)
46.5
freq. ass.
f(x)
5
47.25 - 48.75
48.75 - 50.25
48.0
49.5
7
14
50.25 - 51.75
51.75 - 53.25
51.0
52.5
16
9
Totale
x
51
Proprietà della media aritmetica (1)
k
x

i 1
c
xi f ( xi )
k
 f (x )
i
La media aritmetica è sempre compresa tra il più piccolo ed il
più grande dei valori osservati:
i 1
k = # classi
i = 1,…, k
x(1)< x < x(n)
dove: x(1)=minx1, x2,..., xn
x(n)=maxx1, x2,..., xn
46.5  5  48  7  49.5 14  5116  52.5  9 2550

 50 cm
51
51
La media calcolata sui dati (50 cm) raggruppati in classi rappresenta
una approssimazione di quella determinata a partire dai singoli dati
(50.02 cm) .
min=2.9
max=13.8
4
Proprietà della media aritmetica (2)
Altezza (m) relativa a 85 ragazzi che frequentano 3 classi diverse
n1=20
n2=15
x1  1.68
x2  1.60
Proprietà della media aritmetica (2)
La media di un insieme di osservazioni organizzate in k
gruppi è pari alla media ponderata delle medie parziali
( x1 , x2 ,..., xk ) con pesi uguali alla numerosità dei
sottogruppi (n1, n2,…,nk):
k
n3=50
xglobale 
x3  1.90
xglobale 
xn
i
n
La somma degli scarti delle osservazioni dalla
media è pari a
???
i
i 1
1.68  20  1.60  15  1.90  50 152.6

 1.80 m
85
85
Proprietà della media aritmetica (3)
i
i 1
k
Proprietà della media aritmetica (3)
Voti esami sostenuti: 23, 24, 27, 25, 27, 30
( xi  x )
x  26

( xi  x )

-3
-2
+1
( x  x )  ( x  x )

-1
+1
i

i
+4
(x  x)

i
 6
( x  x )
i

 6
5
Proprietà della media aritmetica (3)
La somma degli scarti delle osservazioni dalla
media è pari a
n
(x  x )  0
i
i 1
Si considerino i valori di peso (kg) persi dai 7 soggetti che
sono stati sottoposti a dieta (trattamento A) :
3.8, 3.3, 2.9, 4.3, 13.8, 5.4, 4.9
la media di 5.49 kg non è un valore tipico dell’insieme di
osservazioni, dato che un solo valore su sette risulta
superiore alla media.
la media di 5.49 kg non è un valore tipico dell’insieme di
osservazioni, dato che un solo valore su sette risulta
superiore alla media.
Mediana
La mediana è quella modalità tale per cui l’insieme delle
osservazioni risulta essere per metà inferiore e per metà superiore ad
essa.
Per calcolare la mediana di una variabile quantitativa:
Es: Peso perso (kg) dopo dieta
3.8, 3.3, 2.9, 4.3, 13.8, 5.4, 4.9
si ordinano le osservazioni: 2.9, 3.3, 3.8, 4.3, 4.9, 5.4, 13.8
6
Mediana
La mediana è quella modalità tale per cui l’insieme delle
osservazioni risulta essere per metà inferiore e per metà superiore ad
essa.
Per calcolare la mediana di una variabile quantitativa:
Per n dispari, la mediana è quel valore che occupa la
posizione n  1 nell’insieme ordinato:
2
Es: Peso perso (kg) dopo dieta:
Es: Peso perso (kg) dopo dieta
3.8, 3.3, 2.9, 4.3, 13.8, 5.4, 4.9
si individua quella modalità che è più grande del 50% delle
osservazioni e più piccola del restante 50%:
2.9, 3.3, 3.8, 4.3, 4.9, 5.4, 13.8
(7+1)/2=4
1 2 3 4 5 6
7
2.9, 3.3, 3.8, 4.3, 4.9, 5.4, 13.8
3 osservazioni
3 osservazioni
Per n pari, la mediana è il valore centrale tra quello che
n
occupa la posizione
e  n  1 nell’insieme ordinato:


2
2 
Lunghezza supina (cm) di 51 neonati
Estremi di
Es: Voto esami
23, 24, 25, 27, 27, 30
6/2=3
1
Quando i dati sono organizzati in seriazioni:
2
3
25  27

2
(6/2)+1=4
4 -5
6
classe
45.75 - 47.25
47.25 - 48.75
48.75 - 50.25
50.25 - 51.75
51.75 - 53.25
freq.ass. freq.rel.
5
7
14
16
9
%
9.8
13.7
27.5
31.4
17.6
F(x)
F(x) rel
5
12
26
42
51
%
9.8
23.5
51.0
82.4
100.0
1) ci si può limitare alla classe mediana:
(48.75-50.25)
…..oppure….
7
2) si può calcolare la mediana per mezzo di una interpolazione
lineare (assumendo cioè che la distribuzione delle
osservazioni sia uniforme entro la classe mediana).
Med  xi 1 
( xi  xi 1 ) 0.5  F ( xi 1 ) 

 F ( xi )  F ( xi1 ) 
F(x)
Med  xi 1 
A:B  C:D
F(xi)
0.5
C
D
x Med  xi 1  A
AB
B
F(xi-1)
xi-1
x
A Med i
 48.75 
( xi  xi 1 ) 0.5  F ( xi 1 ) 

 F ( xi )  F ( xi1 ) 
(50.25  48.75)  0.5  0.235 
 48.75  1.45  50.20
 0.51  0.235 
…..oppure….
C
3) si può approssimare la mediana utilizzando il grafico delle
frequenze cumulate percentuali (ogiva di Galton) per mezzo
di una interpolazione lineare.
…continua
La mediana di una variabile qualitativa ordinale è quella
modalità xi tale per cui valgono le due seguenti condizioni:
F(xi-1)< 0.5
Percentuali
D
2) si può calcolare la mediana per mezzo di una interpolazione
lineare (assumendo cioè che la distribuzione delle
osservazioni sia uniforme entro la classe mediana).
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
45.75
47.25
48.75
50.25
51.75
Alte z z a (cm)
mediana ~ 50 cm
53.25
e
F(xi ) > 0.5
Titolo di studio
f(x)
f(x) rel F(x) rel
%
%
Lic. Elementare
Lic. Media
6
2
30
10
Maturità
6
30
70
Laurea
6
30
100
Totale
20
30
40
8
Moda
La mediana risulta essere meno sensibile della media
alla presenza di dati anomali.
x
Mediana
2.9, 3.3, 3.8, 4.3, 4.9, 5.4, 13.8
4.3
2.9, 3.3, 3.8, 4.3, 4.9, 5.4, 130.8
4.3
4.59
22.2
La moda è quella modalità/valore più frequente, il più
rappresentato.
Var. qualitativa
moda = Lunga
Tipi di gonna portate dalle donne italiane
Mini
Corta
Midi
Longuette
120
57
70
87
Lunga
Tot.
230
564
moda = 27
Var. quantitativa (dati singoli)
23, 24, 25, 27, 27, 30
Voto esami:
Var. quantitativa (dati organizzati in classi)
Quando il fenomeno è quantitativo ed espresso in intervalli di
uguale ampiezza si parla di classe modale come di quella classe
che ha associata la frequenza più elevata.
0.3
Nella stessa distribuzione possono esservi più mode
Distribuzione bimodale
14.0
0.3
ISTOGRAMMA
POLIGONO DI
FREQUENZA
12.0
0.2
0.2
centro della
classe
0.1
0.1
Frequenze assolute
frequenza relativa
Moda
10.0
8.0
6.0
4.0
2.0
0
0
45
48
51
54
57
cm
0.0
Gennaio
Febbraio
Marzo
Aprile
Maggio
Giugno
Luglio
Agos to
Settembre Ottobre Novembre Dicembre
Mesi dell'anno
Distribuzione del numero di nascite per mese
[48.75-50.25]
9
Posizione relativa di Moda, Mediana e Media
Moda
Nella stessa distribuzione possono esservi più mode
Frequenze relative
Distribuzione multimodale o senza moda?
Distribuzione simmetrica
moda
=
mediana
=
media
1
0.8
Distribuzione con asimmetria positiva
0.6
0.4
moda
0.2
<
mediana
<
media
0
0-1
1-2
2-3
4-5 cm
3-4
Distribuzione con asimmetria negativa
moda
Distribuzione simmetrica
>
mediana
>
Distribuzione asimmetrica
Età alla diagnosi di fibrosi cistica
Concentrazione di cloro nel sudore
2500
900
media
800
moda
600
media
= 98.8 mEq/l
mediana = 100.0 mEq/l
700
media
= 4.2 anni
mediana = 9 mesi
2000
moda
= 100.0 mEq/l
= 3 mesi
1500
500
400
1000
300
500
200
100
0
< 30
60
100
150
mE/l
0
0
5
10
40
anni
10
Quantile (Percentile)
?
Es: p=0.10 x0.10= 52.9
Il quantile rappresenta una estensione del concetto di
mediana.
10%
90%
Il quantile xp (0p1) è quel valore della variabile per cui
valgano contemporaneamente:
1. il p% delle osservazioni assume valori minori ad esso,
2. l’(1-p)% delle osservazioni assume valori maggiori o
uguali ad esso.
Es. p=0.50 x0.50= 58
?
50%
50%
Esempi
Quartili
Quantili particolari:
Quartili: suddividono i dati in quattro parti uguali (25%)
Es. p=0.25 Q1=x0.25=55.29
p=0.50 Q2=x0.50=58.00
p=0.75 Q3=x0.75=60.68
Mediana: suddivide i dati in due parti uguali (50%)
P ercentua li
Es. Mediana: p=0.50
25%
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
45.75
47.25
48.75
50.25
51.75
53.25
Altez z a (cm)
50%
50%
Q1 Q2 Q3
11
Quantili particolari:
Tabella riassuntiva
Quartili: suddividono i dati in quattro parti uguali (25%)
Moda
Mediana
Media
Aritmetica
Var. quant.
Continua/Discreta



Var. qual. Ordinale


Var. qual. Nominale

P ercentua li
Es. Quartili: p=0.25, p=0.50, p=0.75
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
45.75
47.25
48.75
50.25
51.75
53.25
Altez z a (cm)
25%
25% 25% 25%
Quesito
E’ più efficace una dieta alimentare (A) o un trattamento
farmacologico (B) per diminuire di peso?
Per valutare l’entità della perdita di peso (kg) che si verifica dopo
trattamento (A o B) sono stati considerati 14 soggetti confrontabili.
Trattamento
A
B
3.8
3.3
2.9
4.3
13.8
5.4
4.9
10.5
9.8
8.6
6.5
11.1
9.2
12.6
...gli indici di locazione non dicono tutto
….se l’esperimento sulla perdita di peso avesse fornito i seguenti risultati:
Trattamento
A
B
13.0
3.2
7.4
4.3
8.5
5.9
10.0
8.4
5.4
7.6
6.0
9.6
6.7
9.0
Cosa avremmo concluso?
12
1) I due trattamenti A e B forniscono risultati
sovrapponibili in termini di media e
mediana.
Grafico “Box Plot”
Max
3° quartile
2) I dati relativi al trattamento A sono più
dispersi di quelli ottenuti con il trattamento
B.
Tratt.
A
B
Tratt.
A
B
Media Mediana
7.47
7.4
7.53
7.6
Min
3.2
5.4
Max
13.0
9.6
Media
Mediana
1° quartile
Min
Indici di posizione
Campo di variazione
Numeri che sono rappresentativi dei dati e forniscono
indicazioni sull’ordine di grandezza del fenomeno in
studio.
Il campo di variazione (range) è la differenza fra il massimo ed il
minimo valore osservato.
Indici di dispersione
Numeri che forniscono informazioni
sulla variabilità (eterogeneità) del
fenomeno in studio.
Range= maxx1, x2,..., xn - minx1, x2,..., xn= x(n)-x(1)
Tratt. A
Tratt. B
RangeA=9.8
max=13.0
min=3.2
RangeB=4.2
min=5.4
max=9.6
 Viene calcolato a partire dai due valori più estremi e non tiene
conto di tutti gli altri dati.
 E’ influenzato dalla presenza di eventuali valori anomali.
13
Scarto interquartile
Lo scarto interquartile (SIQ) è la differenza fra il terzo ed il primo
quartile.
SIQ = III quartile - I quartile
Tratt. A
Tratt. B
Iq=5.1 SIQA=4.35 IIIq=9.45
max=13.0
min=3.2
…non siamo ancora soddisfatti
Si potrebbe costruire un indicatore che:
2) misuri il grado di dispersione dei
dati rispetto ad un “particolare”
valore.
1) tenga conto di tutte le
osservazioni del
campione;
Iq=6.35 SIQB=2.35IIIq=8.7
max=9.6
min=5.4
n
(x  x)
i
i 1
 Nell’intervallo identificato dallo SIQ cade il 50% delle
osservazioni posizionate nella zona centrale della distribuzione.
 Dipende da due quantità che non sono sensibili alla presenza di
eventuali valori anomali.
….ma, poiché
n
( x  x )  0
i
possibili misure, come ad esempio
… esempio
Devianza
La devianza è la somma dei quadrati degli scarti delle singole
osservazioni (xi) rispetto alla media campionaria ( x ):
n
D   ( xi  x )
2
è necessario valutare altre
i 1
Trattamento A
Axi
( A xi  xA )
2
Trattamento B
Bxi
13.0
8.4
3.2
5.4
La devianza:
7.4
7.6
 può assumere valori strettamente positivi;
 vale 0 in assenza di variabilità; (es. 3.5, 3.5, 3.5 3.5)
4.3
6.0
8.5
9.6
5.9
6.7
10.0
9.0
i 1
 è tanto più elevata quanto più i dati sono dispersi in un
intervallo ampio di valori;
 è fortemente influenzata dall’eventuale presenza di dati per il
fatto che si utilizzano i quadrati delle distanze.
( B xi  xB )
2
14
… esempio
Trattamento A
( A xi  xA )
Axi
2
Devianza
Trattamento B
Bxi
( B xi  xB )
13.0
30.57
8.4
0.76
3.2
18.25
5.4
4.54
7.4
0.01
7.6
0.01
4.3
10.06
6.0
2.34
8.5
1.06
9.6
4.28
5.9
2.47
6.7
0.69
10.0
6.39
9.0
2.16
DA = 68.79
 n 
  xi 
2
D   xi   i 1 
n
i 1
… esempio
Trattamento A
n
D   ( xi  x )
Trattamento B
2
i 1
può essere riscritta come:
 n 
  xi 
n
2
D   xi   i 1 
n
i 1
2
La devianza è l’ingrediente di base di altre misure di
dispersione per variabili quantitative.
DB = 14.78
2
n
La formula della devianza
2
 n 
  xi 
2
D   xi   i 1 
n
i 1
2
n
… esempio
Trattamento A
Trattamento B
Axi
Bxi
Axi
2
Axi
13.0
8.4
13.0
169.00
8.4
70.56
3.2
5.4
3.2
10.24
5.4
29.16
7.4
7.6
7.4
54.76
7.6
57.76
4.3
6.0
4.3
18.49
6.0
36.00
8.5
9.6
8.5
72.25
9.6
92.16
5.9
6.7
5.9
34.81
6.7
44.89
10.0
9.0
2
Axi
10.0
100.00
9.0
81.00
52.3
459.55
52.7
411.53
DA = 68.79
Calcolare D con la formula alternativa
Bxi
DB = 14.78
Calcolare D con la formula alternativa
15
Se i 7 soggetti trattati con B venissero clonati 4 volte
ottenendo così 35 soggetti:
Varianza
La varianza è la media dei quadrati degli scarti:
n=7
n=35
2
DB(n=7) = 14.78
s 
2
D
1 n

( xi  x )

n  1 n  1 i 1
 Ha le medesime proprietà della devianza
DA = 68.79
DB(n=35) = 14.78 x 5 = 73.9
 E’ espressa in unità di misura al quadrato
A parità di variabilità, la devianza aumenta solo
perché è aumentato il numero di unità statistiche
Il denominatore è (n-1) non n
Parametro e stimatore
Deviazione standard
N
Varianza della
popolazione
 
2
 x
i
  2
N
n
Varianza del
campione
s2 
Per ovviare al problema dell’unità di misura al quadrato:
i 1
2
s s 
 x  x 
i 1
2
i
n 1
Stimatore con buone
proprietà statistiche
2
1 n
( xi  x )

n  1 i 1
Nell’esempio dei pazienti sottoposti a trattamenti per la
perdita del peso:
s A  11.47  3.39
s B  2.46  1.57
16
Quando i dati sono organizzati in seriazioni si adegua la formula per
tenere conto delle classi:
s
k = # di classi
i = 1,…, k
2
1 k
( c xi  x ) f ( xi )

n  1 i 1
Lunghezza supina (cm) di 51 neonati
Estremi di
classe
45.75 - 47.25
47.25 - 48.75
48.75 - 50.25
50.25 - 51.75
51.75 - 53.25
Quando i dati sono organizzati in seriazioni si adegua la formula per
tenere conto delle classi:
s
k = # di classi
i = 1,…, k
2
1 k
( c xi  x ) f ( xi )

n  1 i 1
Lunghezza supina (cm) di 51 neonati
freq.ass. Val.cen.
f(xi)
(cxi)
5
46.5
7
48.0
14
49.5
16
51.0
9
52.5
Estremi di
classe
45.75 - 47.25
47.25 - 48.75
48.75 - 50.25
50.25 - 51.75
51.75 - 53.25
freq.ass. Val.cen.
f(xi)
(cxi)
5
7
14
16
9
46.5
48.0
49.5
51.0
52.5
 c x i x 
2
f  xi 
61.25
28.00
3.50
16.00
56.25
s
165
 3.3  1.82 cm
50
Fate attenzione al calcolo della varianza utilizzando le
frequenze relative!!!!
Distribuzione simmetrica
Il coefficiente di variazione (CV) è il rapporto fra la deviazione
standard e la media aritmetica:
Concentrazione di cloro nel sudore
900
media
800
CV 
= 98.8 mEq/l
mediana = 100.0 mEq/l
700
moda
600
= 100.0 mEq/l
s
x
È un numero puro che può assumere valori positivi o negativi
a seconda del segno della media.
500
400
300
Viene utilizzato per:
200
100
0
Coefficiente di variazione
1. tenere conto dell’ordine di grandezza del fenomeno,
< 30
x-2s
60
x-s
100
x
150
x+s
mE/l
2. confrontare la variabilità di fenomeni di natura diversa.
x+2s
17
1) Medesimo fenomeno (reddito) in gruppi con ordine
di grandezza differente (operai e miliardari)
Reddito (migliaia di €)
Operai
xo  40000€
Miliardari
1
20
1
800020
2
60
2
800060
xM  800040000€
sO= sM= 28300 €
x
s
Una differenza di 20000 € in +/- nel reddito annuo è rilevante
per Orazio, ma non per Paperone!!!
CVO 
2) Fenomeni differenti (capre & cavoli)
28.3
 0.71
40
CVM 
28.3
 0.00004
800040
La variabilità del reddito dei miliardari risulta
trascurabile rispetto all’ordine di grandezza del
fenomeno.
PESO
CAPRE
(kg)
LUNG. FOGLIE
CAVOLI
(cm)
65.7
7.8
24.7
6.3
E’ più variabile il peso delle capre o la lunghezza
delle foglie dei cavoli?
CVCAPRE 
7.8
 0.1187
65.7
CVCAVOLI 
6.3
 0.2551
24.7
La variabilità della lunghezza delle foglie di cavolo risulta
più elevata rispetto a quella del peso delle capre.
Cambiamento di origine
Cambiamento di scala
Si supponga di considerare la trasformazione:
Si supponga di considerare la trasformazione:
*
*
Xi  Xi  a
la media di x* cambia:
X i  bX i
*
la media di x* cambia:
x  x a
(il centro della distribuzione si sposta di una quantità pari ad a)
la d.s. di x* non cambia:
*
(il centro della distribuzione si sposta proporzionalmente alla quantità b)
la d.s. di x* cambia:
s s
(ogni valore conserva la medesima distanza dalla media)
a = -2
*
s  bs
(la distribuzione si allunga/restringe proporzionalmente alla quantità b)
x *  24 s* = 2.53
x  26
*
x  bx
s = 2.53
in decimi
b
in 30-esimi
10
30
x*  8.67 s* = 0.84
x  26
s = 2.53
a=-2
18