CENTRO SALESIANO DON BOSCO – TREVIGLIO Corso di Informatica 1) Calcola la media aritmetica, la moda e la mediana dei seguenti valori 6, 10, 12, 9, 10, 15, 16, 11, 12, 13, 9, 12 R: Per la media aritmetica otteniamo n ∑x 6 + 10 + 12 + 9 + 10 + 15 + 16 + 11 + 12 + 13 + 9 + 12 135 = = 11,25 n 12 12 La moda, ovvero il valore più frequente, è 12 Per la mediana, dopo aver ordinato in modo crescente i valori, 6, 9, 9, 10, 10, 11, 12, 12, 12, 13, 15, 16 si osserva il valore di mezzo della sequenza di valori. Quando il numero dei valori è pari, si considera la semisomma dei valori precedente e successivo alla metà della sequenza. Nel nostro esempio si ha 11 + 12 Me = = 11,5 2 M = i =1 i = 2) Calcola la media aritmetica, la moda e la mediana della seguente distribuzione di valori xi fi 3 2 4 4 5 4 6 7 7 5 8 4 9 3 10 1 La media aritmetica (ponderata) vale n ∑x ⋅ fi 3 ⋅ 2 + 4 ⋅ 4 + 5 ⋅ 4 + 6 ⋅ 5 + 7 ⋅ 6 + 8 ⋅ 5 + ⋅9 ⋅ 3 + 10 ⋅ 1 191 = = 6,37 n 30 30 Dalla tabella si osserva che: M = i =1 xi i = fi xi*fi Σfi 3 4 5 2 4 4 6 16 20 2 6 10 6 5 30 15 7 6 42 21 8 9 10 5 3 1 40 27 10 26 29 30 30 191 la moda è il valore presenta la frequenza maggiore: 7; la mediana è il valore che si ha in corrispondenza del valore centrale della distribuzione 15, pertanto essa vale 6 Statistica_Probabilità Statistica - 1 CENTRO SALESIANO DON BOSCO – TREVIGLIO Corso di Informatica 3) La tabella seguente riporta la distribuzione per classi di peso di alcuni atleti peso atleti 56-58 2 58-60 10 60-62 14 62-64 22 64-66 20 66-68 16 68-70 12 70-72 4 Calcola a) il peso medio degli atleti b) la moda della distribuzione c) il peso che la metà degli atleti possiede R: Per distribuzioni con valori rappresentati in classi per il calcolo degli indici si devono considerare i valori centrali delle classi a) per il calcolo della Media (ponderata) pertanto si ha 57 ⋅ 2 + 59 ⋅ 10 + 61 ⋅ 14 + 63 ⋅ 22 + 65 ⋅ 20 + 67 ⋅ 16 + 69 ⋅ 12 + 71 ⋅ 4 = 64,28 M = 100 b) la Moda è 63, valore centrale della classe 62-64 che ha maggior frequenza c) si tratta di calcolare la Mediana della distribuzione. Poiché la frequenza cumulata non corrisponde al valore centrale della popolazione, è necessario eseguire l’interpolazione fra i dati 63 e 65 a cui corrispondono le frequenze 48 e 68 impostando la proporzione (65 − 63) ÷ (68 − 48) = x ÷ (50 − 48) da cui si ottiene x = 0,2 Pertanto la Mediana risulta M e = 63 + 0,2 = 63,2 Vedi la tabella riportata xi 57 59 61 fi 2 10 14 xi*fi 114 590 854 63 22 1386 48 65 20 1300 68 67 69 71 16 12 4 1072 828 284 84 96 100 100 6428 Statistica_Probabilità Statistica - 1 Σfi 2 12 26 CENTRO SALESIANO DON BOSCO – TREVIGLIO Corso di Informatica 4) Verifica che la media aritmetica degli scarti della sequenza di valori 4, 7, 9, 13, 14, 18, 21, 34 è nulla. Dimostra che tale risultato è valido per ogni n R: Calcoliamo dapprima la media aritmetica dei valori 4 + 7 + 9 + 13 + 14 + 18 + 21 + 34 = 15 M = 8 Pertanto la media aritmetica della somma degli scarti è (4 − 15) + (7 − 15) + (9 − 15) + (13 − 15) + (18 − 15) + (21 − 15) + (34 − 15) = 0 = 0 8 8 Il risultato ottenuto è valido per ogni n. Infatti indicati con x1 , x 2 ,..., x n i diversi dati e con M la loro media aritmetica, si ha che la media degli scarti (x1 − M ) + (x 2 − M ) + .... + (xn − M ) x1 + x2 + ... + xn − M − M − ... − M = = n n x1 + x 2 + ... + x n − nM x1 + x 2 + ...x n = −M = M −M =0 n n 5) Calcola lo scarto quadratico medio della distribuzione di valori valori frequenza 1 4 2 1 10 2 11 2 12 1 R: La media aritmetica ponderata dei valori è 1 ⋅ 4 + 2 ⋅ 1 + 10 ⋅ 2 + 11 ⋅ 2 + 12 ⋅ 1 M = =6 10 Lo scarto quadratico medio risulta pertanto 4 ⋅ (1 − 6 ) + (2 − 6 ) + 2 ⋅ (10 − 6 ) + 2 ⋅ (11 − 6 ) + (12 − 6 ) = 4,83 10 Vedi tabella 2 σ= xi 2 fi 1 2 10 11 12 2 2 xi*fi 4 1 2 2 1 4 2 20 22 12 (xi-M) .fi 100 16 32 50 36 10 60 234 Statistica_Probabilità Statistica - 1 2 2