∑ ∑ - Salesiani Treviglio

CENTRO SALESIANO DON BOSCO – TREVIGLIO
Corso di Informatica
1) Calcola la media aritmetica, la moda e la mediana dei seguenti valori
6, 10, 12, 9, 10, 15, 16, 11, 12, 13, 9, 12
R:
Per la media aritmetica otteniamo
n
∑x
6 + 10 + 12 + 9 + 10 + 15 + 16 + 11 + 12 + 13 + 9 + 12 135
=
= 11,25
n
12
12
La moda, ovvero il valore più frequente, è 12
Per la mediana, dopo aver ordinato in modo crescente i valori,
6, 9, 9, 10, 10, 11, 12, 12, 12, 13, 15, 16
si osserva il valore di mezzo della sequenza di valori.
Quando il numero dei valori è pari, si considera la semisomma dei valori precedente e
successivo alla metà della sequenza.
Nel nostro esempio si ha
11 + 12
Me =
= 11,5
2
M =
i =1
i
=
2) Calcola la media aritmetica, la moda e la mediana della seguente distribuzione di
valori
xi
fi
3
2
4
4
5
4
6
7
7
5
8
4
9
3
10
1
La media aritmetica (ponderata) vale
n
∑x
⋅ fi
3 ⋅ 2 + 4 ⋅ 4 + 5 ⋅ 4 + 6 ⋅ 5 + 7 ⋅ 6 + 8 ⋅ 5 + ⋅9 ⋅ 3 + 10 ⋅ 1 191
=
= 6,37
n
30
30
Dalla tabella si osserva che:
M =
i =1
xi
i
=
fi
xi*fi
Σfi
3
4
5
2
4
4
6
16
20
2
6
10
6
5
30
15
7
6
42
21
8
9
10
5
3
1
40
27
10
26
29
30
30
191
la moda è il valore presenta la frequenza maggiore: 7;
la mediana è il valore che si ha in corrispondenza del valore centrale della distribuzione
15, pertanto essa vale 6
Statistica_Probabilità
Statistica - 1
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3) La tabella seguente riporta la distribuzione per classi di peso di alcuni atleti
peso
atleti
56-58
2
58-60
10
60-62
14
62-64
22
64-66
20
66-68
16
68-70
12
70-72
4
Calcola
a) il peso medio degli atleti
b) la moda della distribuzione
c) il peso che la metà degli atleti possiede
R:
Per distribuzioni con valori rappresentati in classi per il calcolo degli indici si devono
considerare i valori centrali delle classi
a) per il calcolo della Media (ponderata) pertanto si ha
57 ⋅ 2 + 59 ⋅ 10 + 61 ⋅ 14 + 63 ⋅ 22 + 65 ⋅ 20 + 67 ⋅ 16 + 69 ⋅ 12 + 71 ⋅ 4
= 64,28
M =
100
b) la Moda è 63, valore centrale della classe 62-64 che ha maggior frequenza
c) si tratta di calcolare la Mediana della distribuzione. Poiché la frequenza cumulata non
corrisponde al valore centrale della popolazione, è necessario eseguire l’interpolazione
fra i dati 63 e 65 a cui corrispondono le frequenze 48 e 68 impostando la proporzione
(65 − 63) ÷ (68 − 48) = x ÷ (50 − 48) da cui si ottiene x = 0,2
Pertanto la Mediana risulta M e = 63 + 0,2 = 63,2
Vedi la tabella riportata
xi
57
59
61
fi
2
10
14
xi*fi
114
590
854
63
22
1386
48
65
20
1300
68
67
69
71
16
12
4
1072
828
284
84
96
100
100
6428
Statistica_Probabilità
Statistica - 1
Σfi
2
12
26
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4) Verifica che la media aritmetica degli scarti della sequenza di valori
4, 7, 9, 13, 14, 18, 21, 34
è nulla. Dimostra che tale risultato è valido per ogni n
R:
Calcoliamo dapprima la media aritmetica dei valori
4 + 7 + 9 + 13 + 14 + 18 + 21 + 34
= 15
M =
8
Pertanto la media aritmetica della somma degli scarti è
(4 − 15) + (7 − 15) + (9 − 15) + (13 − 15) + (18 − 15) + (21 − 15) + (34 − 15) = 0 = 0
8
8
Il risultato ottenuto è valido per ogni n.
Infatti indicati con x1 , x 2 ,..., x n i diversi dati e con M la loro media aritmetica, si ha che
la media degli scarti
(x1 − M ) + (x 2 − M ) + .... + (xn − M ) x1 + x2 + ... + xn − M − M − ... − M
=
=
n
n
x1 + x 2 + ... + x n − nM x1 + x 2 + ...x n
=
−M = M −M =0
n
n
5) Calcola lo scarto quadratico medio della distribuzione di valori
valori
frequenza
1
4
2
1
10
2
11
2
12
1
R: La media aritmetica ponderata dei valori è
1 ⋅ 4 + 2 ⋅ 1 + 10 ⋅ 2 + 11 ⋅ 2 + 12 ⋅ 1
M =
=6
10
Lo scarto quadratico medio risulta pertanto
4 ⋅ (1 − 6 ) + (2 − 6 ) + 2 ⋅ (10 − 6 ) + 2 ⋅ (11 − 6 ) + (12 − 6 )
= 4,83
10
Vedi tabella
2
σ=
xi
2
fi
1
2
10
11
12
2
2
xi*fi
4
1
2
2
1
4
2
20
22
12
(xi-M) .fi
100
16
32
50
36
10
60
234
Statistica_Probabilità
Statistica - 1
2
2