Esercizi di Microeconomia Avanzata
Scelta in condizioni di incertezza
May 26, 2016
Esercizio 1
Si calcoli il coeciente di avversione relativa al rischio di Arrow-Pratt per le seguenti funzioni di utilità:
1. u(x) = βx1−ρ + γ
−
u00 (x)
−ρβ(1 − ρ)x−ρ−1
x
=
−
x=ρ
u0 (x)
β(1 − ρ)x−ρ
2. u(x) = βlog(x) + γ
−
u00 (x)
−β/x2
x
=
−
x=1
u0 (x)
β/x
dove γ ∈ R.
Esercizio 2
Si consideri un individuo con la seguente funzione di utilità Bernoulli: u(W ) = −W 2 + 100W .
1. Calcolare i coecienti di avversione al rischio assoluta e relativa per W = 6.
−
u00 (6)
−2
1
=−
=
u0 (6)
−12 + 100
44
2. Calcolare l'equivalente certo della lotteria 1, 2; 21 ,
−
u00 (6)
−12
3
6=−
=
u0 (6)
−12 + 100
22
1
2
.
1
2
1
2
E [u (L)] = (−12 + 100) + (−4 + 200) = 147, 5
Z : −Z 2 + 100Z = 147, 5 =⇒ Z = 1.497
3. Calcolare l'equivalente certo della lotteria 12, 24; 21 ,
1
1
2
.
1
2
1
2
E [u (L)] = (−122 + 1200) + (−242 + 2400) = 1440
Z : −Z 2 + 100Z = 1440 =⇒ Z = 15.11
4. Confrontare i risultati ottenuti ai punti 2 e 3.
Esercizio 3
√
Si consideri un individuo con la seguente funzione di utilità Bernoulli: u(W ) = W .
1. Calcolare i coecienti di avversione al rischio assoluta e relativa per W = 5.
2. Calcolare l'equivalente certo della lotteria 16, 4; 21 ,
1
2
3. Calcolare l'equivalente certo della lotteria 36, 16; 12 ,
.
1
2
.
Esercizio 4
Si consideri un individuo che eettua le proprie scelte massimizzando la funzione di utilità attesa. Può
scegliere tra le seguenti lotterie:
L1 = 0, 16; 21 ,
1
2
, L2 = 0, 48; 56 ,
1
6
, L3 = 2, 18; 58 ,
3
8
, L4 = −15, 15, 24; 13 , 13 ,
1
3
1. Se la funzione di utilità dell'agente è U (L) = αL − βL2 quale lotteria sceglierà?
2. Se la funzione di utilità dell'agente è U (L) = aL − b2 quale lotteria sceglierà?
Esercizio 5
Un consumatore ha una funzione di utilità data da u(w) = log(w). La ricchezza iniziale dell'individuo è w0 .
Gli viene oerta la possibilità di scommettere su un evento che si verica con probabilità π . Se scommette
un ammontare x, avrà ricchezza nale pari a w0 + x in caso di vittoria e ricchezza nale pari a w0 − x in
caso di scontta.
1. Determinare la scelta ottima di x in funzione di π .
E [u (w)] = π · log(w0 + x) + (1 − π) · log(w0 − x)
F OC :
dE [u (w)]
dx
=
π
(1 − π)
−
= 0 =⇒ π(w0 − x) − (1 − π)(w0 + x) = 0 =⇒ x = (2π − 1)w0
w0 + x
w0 − x
2
SOC :
−π
(w0 + x)
2
−
(1 − π)
(w0 − x)
2
<0
2. Qual è la scelta ottima di x se π = 0.5?
Se π = 0.5 il valore atteso della scomessa è zero, quindi un individuo avverso al rischio non accetta la
scommessa.
Esercizio 6
√
Si consideri un consumatore con funzione di utilità u(w) = w e ricchezza iniziale 4. Inoltre il consumatore
possiede il biglietto di una lotteria che vale 12 con probabilità 1/2 e 0 con probabilità 1/2.
1. Qual è l'utilità attesa del consumatore?
√
√
E [u (w)] = 0, 5 · 4 + 0, 5 16 = 3
2. Qual è il prezzo minimo al quale il consumatore sarà disposto a vendere il biglietto della lotteria?
3=
p
4 + p =⇒ 4 + p = 9 =⇒ p = 5
Esercizio 7
Un consumatore ha utilità u(w) = −w−1 . Gli viene oerta una scommessa che gli dà ricchezza w1 con
probabilità p e w2 con probabilità 1 − p. Qual è il livello di ricchezza iniziale per il quale il consumatore
sarebbe indierente tra l'accettare o meno la scommessa?
E [u (w)] = −
(1 − p)
1
w1 w2
p
−
=−
=⇒ w0 =
w1
w2
w0
pw2 + (1 − p)w1
Esercizio 8
Si assuma che, in un mondo con incertezza, ci sono due titoli di investimento. Il primo è privo di rischio
e garantisce il pagamento di 1 dollaro. Il titolo rischioso paga un ammontare a con probabilità π e b con
probabilità 1 − π . Si indichi la domanda per i due titoli con (x1 , x2 ). Supponiamo che le preferenze del
consumatore soddisno gli assiomi dell'utilità attesa e che sia avverso al rischio. La ricchezza iniziale del
consumatore è pari ad 1 ed entrambi i titoli hanno prezzo pari ad 1.
1. Si scriva il vincolo di bilancio del consumatore.
x1 + x2 = 1
3
2. Si dia una condizione necessaria perchè la domanda del titolo privo di rischio sia strettamente positiva.
1 > min(a, b)
3. Si dia una condizione necessaria perchè la domanda del titolo rischioso sia strettamente positiva.
aπ + b(1 − π) > 1
Si assuma che le condizioni ai punti 1 e 2 siano soddisfatte.
4. Si derivino le condizioni del primo ordine per il problema di massimizzazione vincolata dell'utilità.
L(x1 , x2 , λ) = πu(x1 + ax2 ) + (1 − π)u(x1 + bx2 ) − λ(x1 + x2 − 1)
πu0 (x1 + ax2 ) + (1 − π)u0 (x1 + bx2 ) − λ = 0
(1)
aπu0 (x1 + ax2 ) + b(1 − π)u0 (x1 + bx2 ) − λ = 0 (2)
x + x = 1
1
2
πu0 (x1 (1 − a) + a) + (1 − π)u0 (x1 (1 − b) + b) = aπu0 (x1 (1 − a) + a) + b(1 − π)u0 (x1 (1 − b) + b)
5. Assumendo a < 1, mostrare che dx1 /da ≤ 0.
(1 − a)πu0 (x1 (1 − a) + a) + (1 − b)(1 − π)u0 (x1 (1 − b) + b) = 0
πu00 (wa )(1 − a)2
dx1
dx1
+ π(1 − a)u00 (wa )(1 − x1 ) − πu0 (wa ) + (1 − b)2 (1 − π)u00 (wb )
=0
da
da
dx1
π(1 − a)u00 (wa )(1 − x1 ) − πu0 (wa )
= − 00
≤0
da
πu (wa )(1 − a)2 + (1 − b)2 (1 − π)u00 (wb )
6. Determinare dx1 /dπ partendo dalle condizioni del primo ordine. Interpretare il risultato.
πu00 (wa )(1 − a)2
dx1
dx1
+ (1 − a)u0 (wa ) + (1 − b)2 (1 − π)u00 (wb )
− (1 − b)u0 (wb ) = 0
dπ
dπ
(1 − a)u0 (wa ) − (1 − b)u0 (wb )
dx1
=
dπ
πu00 (wa )(1 − a)2 + (1 − b)2 (1 − π)u00 (wb )
4
