CLEM, Prof. Gustavo Piga AA 2 - Facoltà di Economia

Università degli Studi di Roma Tor Vergata – Facoltà di Economia
Corso di Microeconomia – CLEM, Prof. Gustavo Piga
A. A. 2014-2015, Secondo Esonero – 21 aprile
“L’istruzione e la formazione sono le armi più potenti che si possono utilizzare per cambiare il mondo”.
(Nelson Mandela)
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Tempo a disposizione: 30 minuti
SCRIVERE TASSATIVAMENTESOLO ALL’INTERNO DEGLI SPAZI PREDISPOSTI
Quesito unico.
La funzione di utilità di un consumatore è
𝑈 = 2𝑥10,5 𝑥20,5 .
1. Derivare analiticamente la funzione di domanda individuale del consumatore per i due beni, per
generici livelli del reddito e dei prezzi.
2. Calcolare la scelta ottima (paniere A) quando i prezzi dei due beni sono p1 = p2 = 2 e il reddito è
R = 40.
3. Calcolare il livello di utilità massimo che il consumatore può raggiungere.
4. Illustrare graficamente i risultati ottenuti, specificando la curva di indifferenza ed il vincolo di
bilancio (indicare pendenza e intercette).
5. Derivare la nuova scelta ottima (paniere B) in seguito ad una riduzione del prezzo del bene 2, che
diventa p2’ = 0,5.
6. Scomporre la variazione totale in effetto sostituzione ed effetto reddito secondo Hicks ed indicare
se i due beni sono normali, e se sono superiori o inferiori.
7. Evidenziare graficamente le variazioni complessive della domanda, scomponendo l’effetto
prezzo in effetto reddito ed effetto sostituzione.
R. Il consumatore alloca il suo reddito, pari a 40, in parti uguali pari a 20 per l’acquisto dei due
beni (α = β = 0,5). La domanda ottima dei due beni si ottiene dividendo la frazione di spesa
destinata al singolo bene per il suo prezzo. Si ottiene, quindi, x1 = x2 = 10. Il massimo livello di
utilità che il consumatore può raggiungere dato il suo reddito è dunque pari a 20.
X2
20
X2 = X1
E
10
1
-1
20
10
X1
Per p2’ = 0,5, la domanda del bene 1 resta invariata, mentre la domanda del bene 2 aumenta a
20/0,5=40. L’effetto prezzo sulla domanda dei due beni è dunque pari a EP1 = 0, EP2 = 30.
Le domande ottime compensate rispondono invece alla logica seguente:
- Ai nuovi prezzi il consumatore deve poter raggiungere il livello di utilità precedente e cioè
x1H x2H = 100
(N.B. Il risultato si ottiene ricordando che trasformazioni monotone positive della funzione di utilità
non modificano la mappatura delle curve di indifferenza. Dividendo per due ed elevando al
quadrato si ottiene il risultato presentato)
- Nel nuovo punto di ottimo il SMS deve essere uguale al rapporto tra i prezzi, e cioè
x2H = 2/0,5(x1H)  x2H = 4 x1H.
Sostituendo la seconda condizione nella prima si ottiene che (4 x1H)2 = 100. Segue che x1H = 5, ed
x2H = 20. Quindi: ES1 = 5 – 10 = -5. ES2 = 20 – 10 = 10. Infine, ER1 = EP1 – ES1 = 0 – (-5) = 5,
ER2 = EP2 – ES2 = 30 – (10) = 20.
La funzione che rappresenta le preferenze del consumatore è una Cobb-Douglas. Poiché le funzioni
di utilità Cobb-Douglas hanno elasticità delle domande ottime rispetto al prezzo pari a -1 ed
elasticità delle domande ottime rispetto al reddito pari a 1, i beni x1 ed x2 sono normali superiori.
X2
80
p2
X2 = 4X1
2
40
X2 = X 1
E
20
10
0,5
P2(X1)
5 10
RH = 20 < R
20
X1
5
H
P2(X2)M
H
P2(X1)M P2(X2)
10
20
40
ER2 = X2(p2)M – X2(p2)H, ER1 = X1(p2)M – X1(p2)H
X