Serie numeriche

Capitolo 14
Serie numeriche
14.1
Serie convergenti, divergenti, indeterminate
Data una successione di numeri reali
(14.1)
u1 , u2 , . . . , uk , . . . ,
si chiama serie ad essa relativa il simbolo
u1 + u2 + . . . + uk + . . .
oppure
∞
X
(14.2)
uk
k=1
che rappresenta formalmente la somma degli infiniti numeri (14.1), ordinati al crescere del
loro indice. I numeri uk , k = 1, 2, . . ., si chiamano termini delle serie.
Si chiama somma parziale di ordine n (n = 1, 2, . . .), della serie (14.2) — e si indica con
Sn — la somma dei suoi primi n termini:
S1 = u1 ,
S2 = u1 + u2 ,
...,
Sn = u1 + u2 + . . . + un ,
....
La successione S1 , S2 , . . . , Sn , . . . può ammettere limite finito S, oppure limite infinito (+∞
o −∞), oppure non ammettere limite. Nel primo caso la serie si dice convergente ed il limite
finito S si chiama somma della serie; nel secondo caso la serie si dice divergente; nel terzo
caso si dice indeterminata. Per le serie convergenti si può scrivere
u1 + u2 + . . . + un + . . . = S
con S = lim Sn .
n→∞
Illustriamo quanto detto fin qui con alcuni esempi. Consideriamo la serie
∞
X
1
1
1
1
+
+
+ ··· =
;
1·2 2·3 3·4
k(k + 1)
k=1
poiché
1
1
1
= −
,
k(k + 1)
k k+1
la somma parziale di ordine n si scrive:
1 1
1
1 1
1
1
Sn =
−
+
−
+ ··· +
−
=1−
,
1 2
2 3
n n+1
n+1
quindi:
lim Sn = 1.
n→∞
137
Capitolo 14. Serie numeriche
La serie è dunque convergente e si può scrivere
∞
X
1
= 1.
k(k + 1)
k=1
Passiamo ora ad un caso più articolato, Preso un numero reale arbitrario x, consideriamo
la serie geometrica di ragione x
1 + x + x + ... + x
2
k−1
+ ... =
∞
X
k=1
x
k−1
=
∞
X
xk
(14.3)
k=0
dove, come in molti casi, si può scegliere di far partire l’indice da 0 o da 1, scegliendo poi in
modo appropriato l’espressione del termine generico della serie.
Se x = 1 la serie si scrive 1 + 1 + 1 + . . . e si ha dunque Sn = n, quindi:
lim Sn = +∞,
n→∞
cioè la serie è divergente.
Se x 6= 1 si può scrivere
1 + x + x 2 + . . . + x n−1 + . . . =
1 − xn
1
xn
=
−
1−x
1−x 1−x
e la ricerca del limite di Sn per n → ∞ conduce a risultati diversi.
Se x 6 −1 è evidente che
non esiste il lim x n e quindi nemmeno il lim Sn ;
n→∞
Se −1 < x < 1 si ha
lim x n = 0, lim Sn =
n→∞
n→∞
n→∞
1
;
1−x
la serie è quindi indeterminata.
quindi la serie è convergente e ha per somma
1
.
1−x
Infine, se x > 1 si ha
lim x n = +∞, lim Sn = +∞;
n→∞
n→∞
la serie è dunque divergente.
Possiamo quindi riassumere come segue.
La serie geometrica (14.3) è indeterminata per x 6 −1, divergente per x > 1 ed è
convergente per −1 < x < 1; in quest’ultimo caso risulta
∞
X
xk =
k=0
138
1
.
1−x
(14.4)
14.2. Proprietà delle serie convergenti
14.2
Proprietà delle serie convergenti
Un’importante caratteristica delle serie convergenti è che esse possono essere trattate come
somme di un numero finito di termini. In particolare, è possibile operare con combinazioni
lineari di serie convergenti, per le quali vale il seguente risultato:
14.2.I Siano date le serie convergenti
∞
X
u (1)
k
=S
(1)
,
k=1
∞
X
u (2)
k
=S
(2)
,
...,
k=1
∞
X
u (m) = S (m) .
k
k=1
Allora, date le costanti c1 , c2 , . . . , cm , anche la serie
∞
X
(c1 u (1) + c2 u (2) + . . . + cm u (m) )
k
k
k
k=1
è convergente con la somma c1 S (1) + c2 S (2) + . . . + cm S (m) .
È facile convincersi che il carattere di convergenza di una serie dipende dall’andamento
dei suoi termini per n → ∞ (anche se, in caso di convergenza, il valore della somma dipende
da tutti i termini). Questa considerazione introduce al criterio generale diconvergenza, che
si esprime formalmente come segue:
14.2.II Condizione necessaria e sufficiente affinché la serie (14.2) sia convergente è che,
comunque si fissi ε > 0, sia possibile determinare un indice νε tale che, non appena si assuma
n > νε , risulti
|un+1 + un+2 . . . + un+p | < ε
(14.5)
qualunque sia l’intero p.
Da questo risultato ne deriva immediatamente un altro.
14.2.III Se la serie (14.2) è convergente, allora si ha necessariamente
lim uk = 0
(14.6)
k→∞
Questo teorema afferma che una condizione necessaria per la convergenza di una serie è
che il suo termine generico uk tenda a zero per k → ∞. Tale condizione non è sufficiente a
garantire la convergenza di una serie, come mostreremo nel seguito con un esempio specifico.
Se in una serie u1 +u2 +. . .+uk +. . . si sopprimono i primi p termini, si ottiene una nuova
serie up+1 + up+2 + . . ., che si chiama il resto di ordine p della serie data. Le somme parziali
139
Capitolo 14. Serie numeriche
Tn di questa seconda serie sono legate a quelle Sn della prima dalla relazione Tn = Sp+n − Sp
e perciò l’esistenza o meno del
lim Tn
n→∞
equivale all’esistenza o meno del
lim Sp+n , che è la stessa cosa del lim Sn ;
n→∞
n→∞
nel caso che il limite esista risulta poi
lim Tn = lim Sn − Sp ,
n→∞
n→∞
(con Sp = u1 + u2 + . . . + up ).
Vale allora il seguente risultato:
14.2.IV Il resto di ordine p di una serie u1 + u2 + . . . + uk + . . . è una nuova serie che
è convergente, divergente o indeterminata a seconda che sia convergente, divergente o indeterminata la serie data. Se la serie data è convergente con la somma S, il suo resto di
ordine p è una serie convergente con somma uguale a S − (u1 + u2 + . . . + up ), e viceversa, se tale resto è convergente con somma T , anche la serie data è convergente con somma
T + (u1 + u2 + . . . + up ).
14.3
Serie a termini di segno costante
Consideriamo qui un particolare tipo di serie, cioè quelle i cui termini uk hanno tutti lo stesso
segno, che possiamo supporre non negativo. Oltre alle somme parziali Sn = u1 +u2 +. . .+un ,
verranno considerate anche le somme di un numero qualsiasi (finito) di termini della serie
scelti ad arbitrio, cioè somme del tipo U = uk + uk + . . . + ukn con n intero arbitrario
1
2
e k1 < k2 < . . . < kn indici arbitrari. Ogni somma U sarà chiamata somma generalizzata
relativa alla serie data. Va osservato che le somme parziali Sn sono un caso particolare delle
somme generalizzate U (quando si assuma k1 = 1, k2 = 2 . . . kn = n).
Si dimostrano i seguenti teoremi.
14.3.I Una serie a termini non negativi non è mai indeterminata (cioè è convergente oppure
divergente) ed ha per somma (finita o +∞) l’estremo superiore dell’insieme numerico A
formato dalle somme parziali Sn , che è anche l’estremo superiore dell’insieme B di tutte le
possibili somme generalizzate U .
14.3.II Date due serie
∞
X
∞
X
uk ,
k=1
vk
k=1
a termini non negativi, se per ogni indice k si ha uk 6 c vk (con c costante positiva), dalla
convergenza della seconda serie segue la convergenza della prima, dalla divergenza della
prima segue la divergenza della seconda.
140
14.4. Serie assolutamente convergenti
Utilizzando i due teoremi precedenti si può studiare la serie:
∞
X 1
1
1
1
1
+
+
+
·
·
·
+
+
·
·
·
=
;
1α 2α 3α
kα
kα
(14.7)
k=1
ove α è un arbitrario numero reale. Per α = 1 la (14.7) si riduce alla serie armonica (??)
che si è dimostrato essere divergente. Se α < 1 si ha 1/k < 1/k α e perciò, per il teorema
(14.3.II), risulterà anche divergente la serie (14.7). Si dimostra poi che nel caso α > 1 la
stessa serie è convergente. Si può riassumere come segue.
La serie
∞
X
1
kα
k=1
è divergente se α 6 1, convergente se α > 1.
Le serie a termini non negativi godono della proprietà commutativa. Il significato di
questa frase va precisato mediante alcune definizioni. Data una serie qualsiasi
∞
X
uk ,
∞
X
vk ,
∞
X
uk
∞
X
vk
k=1
si dirà che un’altra serie
k=1
è stata da essa dedotta alterandone l’ordine dei termini se esiste una successione di numeri
naturali ν1 , ν2 , ν3 , . . . tale che ogni numero naturale compaia in essa una ed una sola volta e
tale inoltre che risulti v1 = uν 1 , v2 = uν 2 , v3 = uν 3 , . . .. Ciò premesso si può dimostrare che:
14.3.III Se la serie
k=1
è a termini non negativi ed ha somma S (finita o +∞), ogni altra serie
k=1
da essa dedotta alterandone l’ordine dei termini ha ancora la somma uguale a S.
14.4
Serie assolutamente convergenti
Data una serie qualsiasi
∞
X
uk
k=1
141
Capitolo 14. Serie numeriche
si consideri accanto ad essa quella
∞
X
|uk |
∞
X
|uk |
k=1
avente come termini i valori assoluti dei termini della prima. Si dimostra che:
14.4.I Se la serie
k=1
è convergente, allora anche la serie
∞
X
uk
k=1
è convergente.
Questo teorema legittima la seguente definizione: una serie si dice assolutamente convergente quando converge la serie formata con i valori assoluti dei suoi termini (onde è
convergente anche la serie data).
Evidentemente una serie convergente a termini di segno costante è sempre assolutamente
convergente. Si dimostra anche immediatamente che se più serie
∞
X
u (1) ,
k
∞
X
u (2) ,
k
...,
u (m)
k
k=1
k=1
k=1
∞
X
sono assolutamente convergenti, anche una qualsiasi loro combinazione lineare
∞ X
c1 u (1) + c2 u (2) + . . . + cm u (m)
k
k
k
k=1
è una serie assolutamente convergente.
Per le serie assolutamente convergenti (e solo per esse) vale la proprietà commutativa. Si
ha infatti il seguente risultato.
Se la serie
∞
X
uk
∞
X
vk
k=1
è assolutamente convergente, ogni altra serie
k=1
da essa dedotta alterandone l’ordine dei termini è convergente ed ha la stessa somma.
142
14.5. Criteri di convergenza assoluta
È noto che il prodotto di due polinomi è uguale alla somma dei termini che si ottengono
moltiplicando in tutti i modi possibili un termine del primo polinomio per un termine del
secondo. Possiamo domandarci se una regola analoga valga per il prodotto di due serie.
Date le due serie
∞
X
uh ,
h=1
∞
X
vk ,
(14.8)
k=1
si chiamerà serie prodotto di esse ogni serie avente come termini tutti e soli i prodotti del
tipo uh vk , al variare degli indici h, k indipendentemente l’uno dall’altro.
Le serie prodotto sono dunque infinite e si ottengono l’una dall’altra per alterazione
dell’ordine dei termini. Fra queste infinite serie prodotto quelle che più comunemente si considerano sono la serie prodotto di Cauchy (o per diagonali) e la serie prodotto per quadrati,
che si scrivono rispettivamente:
u1 v1 + u1 v2 + u2 v1 + u1 v3 + u2 v2 + u3 v1 + . . . ,
u1 v1 + u1 v2 + u2 v2 + u2 v1 + u1 v3 + u2 v3 + u3 v3 + u3 v2 + u3 v1 + . . . .
(14.9)
(14.10)
Ciò premesso si pone la questione: se le due serie (14.8) sono convergenti, con le rispettive
somme S, T , una loro serie prodotto è convergente? e se lo è, la sua somma vale ST ?
In generale la risposta a queste due domande è negativa; però se le due serie (14.8) sono
assolutamente convergenti si può rispondere affermativamente ad entrambe. Si può quindi
enunciare il seguente teorema:
14.4.II Se le due serie (14.8) sono assolutamente convergenti, ogni loro serie prodotto è
pure assolutamente convergente ed ha per somma il prodotto ST delle somme S, T delle due
serie date.
14.5
Criteri di convergenza assoluta
Sono largamente usati in pratica i seguenti teoremi che forniscono delle condizioni sufficienti
affinché una data serie
∞
X
uk
(14.11)
k=1
sia assolutamente convergente.
14.5.I (Criterio di confronto) Sia
∞
X
pk ,
k=1
143
(14.12)
Capitolo 14. Serie numeriche
un’assegnata serie a termini positivi. Se per ogni indice k si ha |uk | < c pk (con c costante
positiva) e se la serie (14.12) converge, allora la serie (14.11) converge assolutamente. Se
per ogni indice k si ha |uk | > c pk e se la serie (14.12) diverge, allora la serie (14.11) non
converge assolutamente.
14.5.II Per k → ∞, il termine generico uk della serie (14.11) sia infinitesimo con un ordine
determinato α (rispetto all’infinitesimo principale 1/k). Allora se α > 1 la serie (14.11) è
assolutamente convergente; se α 6 1 la serie (14.11) non è assolutamente convergente.
14.5.III (Criterio della radice) Se esiste un numero positivo p < 1, tale da aversi per
ogni indice k
q
k
|uk | 6 p < 1,
(14.13)
allora la serie (14.11) è assolutamente convergente. Se è sempre
q
k
|uk | > 1,
la serie (14.11) non è convergente.
Nell’applicare questo criterio conviene tener conto del seguente corollario:
14.5.IV Se esiste il limite
lim
k→∞
q
k
|uk | = l
la serie (14.11) è assolutamente convergente se l < 1, non è convergente se l > 1.
14.5.V (Criterio del rapporto) Se la serie (14.11) ha tutti i termini diversi da zero ed
esiste un numero positivo p < 1, tale da aversi per ogni indice k
u
k+1 (14.14)
6 p < 1,
uk allora la serie (14.11) è assolutamente convergente. Se è sempre
u
k+1 > 1,
uk la serie (14.11) non è convergente.
Questo criterio si applica di solito nella forma espressa dal seguente corollario:
14.5.VI Se la serie (14.11) ha tutti i termini diversi da zero ed esiste il limite
u
k+1 lim = l,
k→∞ uk la serie (14.11) è assolutamente convergente se l < 1, non converge se l > 1.
144
14.5. Criteri di convergenza assoluta
Per esempio, la serie
1+
x
x2
x k−1
+
+ ··· +
+ ···
1!
2!
(k − 1)!
è convergente assolutamente, qualunque sia il numero reale x. Infatti, per x = 0 la cosa è
evidente; per x 6= 0 si ha
x k /k!
= lim |x| = 0.
lim k−1
/(k − 1)! k→∞ k
k→∞ x
14.5.VII Se la serie (14.11) ha tutti i termini diversi da zero ed esiste un numero positivo
p tale da aversi per ogni indice k
u k k
(14.15)
− (k + 1) > p,
uk+1 allora la serie (14.11) è assolutamente convergente. Se è sempre
u k k
− (k + 1) 6 0,
uk+1 la serie (14.11) non è assolutamente convergente.
14.5.VIII Se la serie (14.11) ha tutti i termini diversi da zero ed esiste il limite
!
u k lim k − 1 = l,
uk+1 k→∞
(14.16)
la serie (14.11) è assolutamente convergente se l > 1, non è assolutamente convergente se
l < 1.
145