Serie numeriche

Capitolo 14
Serie numeriche
14.1
Serie convergenti, divergenti, indeterminate
Data una successione di numeri reali
(14.1)
u1 , u2 , . . . , uk , . . . ,
si chiama serie ad essa relativa il simbolo
u1 + u2 + . . . + uk + . . .
oppure
∞
X
(14.2)
uk
k=1
che rappresenta formalmente la somma degli infiniti numeri (14.1), ordinati al crescere del
loro indice. I numeri uk , k = 1, 2, . . ., si chiamano termini delle serie.
Si chiama somma parziale di ordine n (n = 1, 2, . . .), della serie (14.2) — e si indica con
Sn — la somma dei suoi primi n termini:
S1 = u1 ,
S2 = u1 + u2 ,
...,
Sn = u1 + u2 + . . . + un ,
....
La successione S1 , S2 , . . . , Sn , . . . può ammettere limite finito S, oppure limite infinito (+∞
o −∞), oppure non ammettere limite. Nel primo caso la serie si dice convergente ed il limite
finito S si chiama somma della serie; nel secondo caso la serie si dice divergente; nel terzo
caso si dice indeterminata. Per le serie convergenti si può scrivere
u1 + u2 + . . . + un + . . . = S
con S = lim Sn .
n→∞
Illustriamo quanto detto fin qui con alcuni esempi. Consideriamo la serie
∞
X
1
1
1
1
+
+
+ ··· =
;
1·2 2·3 3·4
k(k + 1)
k=1
poiché
1
1
1
= −
,
k(k + 1)
k k+1
la somma parziale di ordine n si scrive:
1 1
1
1 1
1
1
Sn =
−
+
−
+ ··· +
−
=1−
,
1 2
2 3
n n+1
n+1
quindi:
lim Sn = 1.
n→∞
137
Capitolo 14. Serie numeriche
La serie è dunque convergente e si può scrivere
∞
X
1
= 1.
k(k + 1)
k=1
Passiamo ora ad un caso più articolato, Preso un numero reale arbitrario x, consideriamo
la serie geometrica di ragione x
1 + x + x + ... + x
2
k−1
+ ... =
∞
X
k=1
x
k−1
=
∞
X
xk
(14.3)
k=0
dove, come in molti casi, si può scegliere di far partire l’indice da 0 o da 1, scegliendo poi in
modo appropriato l’espressione del termine generico della serie.
Se x = 1 la serie si scrive 1 + 1 + 1 + . . . e si ha dunque Sn = n, quindi:
lim Sn = +∞,
n→∞
cioè la serie è divergente.
Se x 6= 1 si può scrivere
1 + x + x 2 + . . . + x n−1 + . . . =
1 − xn
1
xn
=
−
1−x
1−x 1−x
e la ricerca del limite di Sn per n → ∞ conduce a risultati diversi.
Se x 6 −1 è evidente che
non esiste il lim x n e quindi nemmeno il lim Sn ;
n→∞
Se −1 < x < 1 si ha
lim x n = 0, lim Sn =
n→∞
n→∞
n→∞
1
;
1−x
la serie è quindi indeterminata.
quindi la serie è convergente e ha per somma
1
.
1−x
Infine, se x > 1 si ha
lim x n = +∞, lim Sn = +∞;
n→∞
n→∞
la serie è dunque divergente.
Possiamo quindi riassumere come segue.
La serie geometrica (14.3) è indeterminata per x 6 −1, divergente per x > 1 ed è
convergente per −1 < x < 1; in quest’ultimo caso risulta
∞
X
xk =
k=0
138
1
.
1−x
(14.4)
14.2. Proprietà delle serie convergenti
14.2
Proprietà delle serie convergenti
Un’importante caratteristica delle serie convergenti è che esse possono essere trattate come
somme di un numero finito di termini. In particolare, è possibile operare con combinazioni
lineari di serie convergenti, per le quali vale il seguente risultato:
14.2.I Siano date le serie convergenti
∞
X
u (1)
k
=S
(1)
,
k=1
∞
X
u (2)
k
=S
(2)
,
...,
k=1
∞
X
u (m) = S (m) .
k
k=1
Allora, date le costanti c1 , c2 , . . . , cm , anche la serie
∞
X
(c1 u (1) + c2 u (2) + . . . + cm u (m) )
k
k
k
k=1
è convergente con la somma c1 S (1) + c2 S (2) + . . . + cm S (m) .
È facile convincersi che il carattere di convergenza di una serie dipende dall’andamento
dei suoi termini per n → ∞ (anche se, in caso di convergenza, il valore della somma dipende
da tutti i termini). Questa considerazione introduce al criterio generale diconvergenza, che
si esprime formalmente come segue:
14.2.II Condizione necessaria e sufficiente affinché la serie (14.2) sia convergente è che,
comunque si fissi ε > 0, sia possibile determinare un indice νε tale che, non appena si assuma
n > νε , risulti
|un+1 + un+2 . . . + un+p | < ε
(14.5)
qualunque sia l’intero p.
Da questo risultato ne deriva immediatamente un altro.
14.2.III Se la serie (14.2) è convergente, allora si ha necessariamente
lim uk = 0
(14.6)
k→∞
Questo teorema afferma che una condizione necessaria per la convergenza di una serie è
che il suo termine generico uk tenda a zero per k → ∞. Tale condizione non è sufficiente a
garantire la convergenza di una serie, come mostreremo nel seguito con un esempio specifico.
Se in una serie u1 +u2 +. . .+uk +. . . si sopprimono i primi p termini, si ottiene una nuova
serie up+1 + up+2 + . . ., che si chiama il resto di ordine p della serie data. Le somme parziali
139
Capitolo 14. Serie numeriche
Tn di questa seconda serie sono legate a quelle Sn della prima dalla relazione Tn = Sp+n − Sp
e perciò l’esistenza o meno del
lim Tn
n→∞
equivale all’esistenza o meno del
lim Sp+n , che è la stessa cosa del lim Sn ;
n→∞
n→∞
nel caso che il limite esista risulta poi
lim Tn = lim Sn − Sp ,
n→∞
n→∞
(con Sp = u1 + u2 + . . . + up ).
Vale allora il seguente risultato:
14.2.IV Il resto di ordine p di una serie u1 + u2 + . . . + uk + . . . è una nuova serie che
è convergente, divergente o indeterminata a seconda che sia convergente, divergente o indeterminata la serie data. Se la serie data è convergente con la somma S, il suo resto di
ordine p è una serie convergente con somma uguale a S − (u1 + u2 + . . . + up ), e viceversa, se tale resto è convergente con somma T , anche la serie data è convergente con somma
T + (u1 + u2 + . . . + up ).
14.3
Serie a termini di segno costante
Consideriamo qui un particolare tipo di serie, cioè quelle i cui termini uk hanno tutti lo stesso
segno, che possiamo supporre non negativo. Oltre alle somme parziali Sn = u1 +u2 +. . .+un ,
verranno considerate anche le somme di un numero qualsiasi (finito) di termini della serie
scelti ad arbitrio, cioè somme del tipo U = uk + uk + . . . + ukn con n intero arbitrario
1
2
e k1 < k2 < . . . < kn indici arbitrari. Ogni somma U sarà chiamata somma generalizzata
relativa alla serie data. Va osservato che le somme parziali Sn sono un caso particolare delle
somme generalizzate U (quando si assuma k1 = 1, k2 = 2 . . . kn = n).
Si dimostrano i seguenti teoremi.
14.3.I Una serie a termini non negativi non è mai indeterminata (cioè è convergente oppure
divergente) ed ha per somma (finita o +∞) l’estremo superiore dell’insieme numerico A
formato dalle somme parziali Sn , che è anche l’estremo superiore dell’insieme B di tutte le
possibili somme generalizzate U .
14.3.II Date due serie
∞
X
∞
X
uk ,
k=1
vk
k=1
a termini non negativi, se per ogni indice k si ha uk 6 c vk (con c costante positiva), dalla
convergenza della seconda serie segue la convergenza della prima, dalla divergenza della
prima segue la divergenza della seconda.
140
14.4. Serie assolutamente convergenti
Utilizzando i due teoremi precedenti si può studiare la serie:
∞
X 1
1
1
1
1
+
+
+
·
·
·
+
+
·
·
·
=
;
1α 2α 3α
kα
kα
(14.7)
k=1
ove α è un arbitrario numero reale. Per α = 1 la (14.7) si riduce alla serie armonica (??)
che si è dimostrato essere divergente. Se α < 1 si ha 1/k < 1/k α e perciò, per il teorema
(14.3.II), risulterà anche divergente la serie (14.7). Si dimostra poi che nel caso α > 1 la
stessa serie è convergente. Si può riassumere come segue.
La serie
∞
X
1
kα
k=1
è divergente se α 6 1, convergente se α > 1.
Le serie a termini non negativi godono della proprietà commutativa. Il significato di
questa frase va precisato mediante alcune definizioni. Data una serie qualsiasi
∞
X
uk ,
∞
X
vk ,
∞
X
uk
∞
X
vk
k=1
si dirà che un’altra serie
k=1
è stata da essa dedotta alterandone l’ordine dei termini se esiste una successione di numeri
naturali ν1 , ν2 , ν3 , . . . tale che ogni numero naturale compaia in essa una ed una sola volta e
tale inoltre che risulti v1 = uν 1 , v2 = uν 2 , v3 = uν 3 , . . .. Ciò premesso si può dimostrare che:
14.3.III Se la serie
k=1
è a termini non negativi ed ha somma S (finita o +∞), ogni altra serie
k=1
da essa dedotta alterandone l’ordine dei termini ha ancora la somma uguale a S.
14.4
Serie assolutamente convergenti
Data una serie qualsiasi
∞
X
uk
k=1
141
Capitolo 14. Serie numeriche
si consideri accanto ad essa quella
∞
X
|uk |
∞
X
|uk |
k=1
avente come termini i valori assoluti dei termini della prima. Si dimostra che:
14.4.I Se la serie
k=1
è convergente, allora anche la serie
∞
X
uk
k=1
è convergente.
Questo teorema legittima la seguente definizione: una serie si dice assolutamente convergente quando converge la serie formata con i valori assoluti dei suoi termini (onde è
convergente anche la serie data).
Evidentemente una serie convergente a termini di segno costante è sempre assolutamente
convergente. Si dimostra anche immediatamente che se più serie
∞
X
u (1) ,
k
∞
X
u (2) ,
k
...,
u (m)
k
k=1
k=1
k=1
∞
X
sono assolutamente convergenti, anche una qualsiasi loro combinazione lineare
∞ X
c1 u (1) + c2 u (2) + . . . + cm u (m)
k
k
k
k=1
è una serie assolutamente convergente.
Per le serie assolutamente convergenti (e solo per esse) vale la proprietà commutativa. Si
ha infatti il seguente risultato.
Se la serie
∞
X
uk
∞
X
vk
k=1
è assolutamente convergente, ogni altra serie
k=1
da essa dedotta alterandone l’ordine dei termini è convergente ed ha la stessa somma.
142
14.5. Criteri di convergenza assoluta
È noto che il prodotto di due polinomi è uguale alla somma dei termini che si ottengono
moltiplicando in tutti i modi possibili un termine del primo polinomio per un termine del
secondo. Possiamo domandarci se una regola analoga valga per il prodotto di due serie.
Date le due serie
∞
X
uh ,
h=1
∞
X
vk ,
(14.8)
k=1
si chiamerà serie prodotto di esse ogni serie avente come termini tutti e soli i prodotti del
tipo uh vk , al variare degli indici h, k indipendentemente l’uno dall’altro.
Le serie prodotto sono dunque infinite e si ottengono l’una dall’altra per alterazione
dell’ordine dei termini. Fra queste infinite serie prodotto quelle che più comunemente si considerano sono la serie prodotto di Cauchy (o per diagonali) e la serie prodotto per quadrati,
che si scrivono rispettivamente:
u1 v1 + u1 v2 + u2 v1 + u1 v3 + u2 v2 + u3 v1 + . . . ,
u1 v1 + u1 v2 + u2 v2 + u2 v1 + u1 v3 + u2 v3 + u3 v3 + u3 v2 + u3 v1 + . . . .
(14.9)
(14.10)
Ciò premesso si pone la questione: se le due serie (14.8) sono convergenti, con le rispettive
somme S, T , una loro serie prodotto è convergente? e se lo è, la sua somma vale ST ?
In generale la risposta a queste due domande è negativa; però se le due serie (14.8) sono
assolutamente convergenti si può rispondere affermativamente ad entrambe. Si può quindi
enunciare il seguente teorema:
14.4.II Se le due serie (14.8) sono assolutamente convergenti, ogni loro serie prodotto è
pure assolutamente convergente ed ha per somma il prodotto ST delle somme S, T delle due
serie date.
14.5
Criteri di convergenza assoluta
Sono largamente usati in pratica i seguenti teoremi che forniscono delle condizioni sufficienti
affinché una data serie
∞
X
uk
(14.11)
k=1
sia assolutamente convergente.
14.5.I (Criterio di confronto) Sia
∞
X
pk ,
k=1
143
(14.12)
Capitolo 14. Serie numeriche
un’assegnata serie a termini positivi. Se per ogni indice k si ha |uk | < c pk (con c costante
positiva) e se la serie (14.12) converge, allora la serie (14.11) converge assolutamente. Se
per ogni indice k si ha |uk | > c pk e se la serie (14.12) diverge, allora la serie (14.11) non
converge assolutamente.
14.5.II Per k → ∞, il termine generico uk della serie (14.11) sia infinitesimo con un ordine
determinato α (rispetto all’infinitesimo principale 1/k). Allora se α > 1 la serie (14.11) è
assolutamente convergente; se α 6 1 la serie (14.11) non è assolutamente convergente.
14.5.III (Criterio della radice) Se esiste un numero positivo p < 1, tale da aversi per
ogni indice k
q
k
|uk | 6 p < 1,
(14.13)
allora la serie (14.11) è assolutamente convergente. Se è sempre
q
k
|uk | > 1,
la serie (14.11) non è convergente.
Nell’applicare questo criterio conviene tener conto del seguente corollario:
14.5.IV Se esiste il limite
lim
k→∞
q
k
|uk | = l
la serie (14.11) è assolutamente convergente se l < 1, non è convergente se l > 1.
14.5.V (Criterio del rapporto) Se la serie (14.11) ha tutti i termini diversi da zero ed
esiste un numero positivo p < 1, tale da aversi per ogni indice k
u
k+1 (14.14)
6 p < 1,
uk allora la serie (14.11) è assolutamente convergente. Se è sempre
u
k+1 > 1,
uk la serie (14.11) non è convergente.
Questo criterio si applica di solito nella forma espressa dal seguente corollario:
14.5.VI Se la serie (14.11) ha tutti i termini diversi da zero ed esiste il limite
u
k+1 lim = l,
k→∞ uk la serie (14.11) è assolutamente convergente se l < 1, non converge se l > 1.
144
14.5. Criteri di convergenza assoluta
Per esempio, la serie
1+
x
x2
x k−1
+
+ ··· +
+ ···
1!
2!
(k − 1)!
è convergente assolutamente, qualunque sia il numero reale x. Infatti, per x = 0 la cosa è
evidente; per x 6= 0 si ha
x k /k!
= lim |x| = 0.
lim k−1
/(k − 1)! k→∞ k
k→∞ x
14.5.VII Se la serie (14.11) ha tutti i termini diversi da zero ed esiste un numero positivo
p tale da aversi per ogni indice k
u k k
(14.15)
− (k + 1) > p,
uk+1 allora la serie (14.11) è assolutamente convergente. Se è sempre
u k k
− (k + 1) 6 0,
uk+1 la serie (14.11) non è assolutamente convergente.
14.5.VIII Se la serie (14.11) ha tutti i termini diversi da zero ed esiste il limite
!
u k lim k − 1 = l,
uk+1 k→∞
(14.16)
la serie (14.11) è assolutamente convergente se l > 1, non è assolutamente convergente se
l < 1.
145