2.8 Riordinamento dei termini di una serie

2.8
Riordinamento dei termini di una serie
Cosa succede se si modifica l’ordine degli addendi di una serie? Le proprietà
di convergenza si mantengono o si alterano?
Intanto bisogna intendersi sul significato di questa operazione: ad esempio,
“sommare i termini in ordine inverso” ha senso solo per somme finite. Andiamo allora a chiarire con una definizione ciò che intendiamo quando parliamo
di “riordinamento” dei termini di una serie.
P
Definizione 2.8.1 Sia
an una serie a termini reali o complessi, e sia
τ : N → N una funzione bigettiva, cioè sia iniettiva che surgettiva: in altre
parole, per ogni k ∈ N esiste uno edPun solo n ∈ N tale che τ (n) = k. Posto
bn = aτ (n) per ogni n ∈ N, la serie ∞
n=0 bn si dice riordinamento della serie
P
∞
n=0 an .
P∞
Osservazioni 2.8.2 (1) Nella serie
n=0 bn ciascun termine ak compare
esattamente una volta, e cioè quando n = τ −1 (k),P
ossia quando n assume
∞
l’unico valore nk ∈ N tale
P∞ che τ (nk ) = k. Quindi n=0 bn ha esattamente
“gli stessi addendi” di k=0 ak .
P∞
P
an (costruito mediante la cor(2) Se ∞
n=0P
n=0 bn è un riordinamento di
rispondenza
biunivoca τ ), allora, viceversa, ∞
n=0 an è un riordinamento di
P∞
b
(mediante
la
corrispondenza
biunivoca
τ −1 , inversa di τ ).
n=0 n
Il risultato che segue risponde alla domanda iniziale.
P
Teorema 2.8.3 (di Dirichlet) Sia
an una serie reale
P o complessa assolutamente convergente. Allora ogni suo riordinamento
bn è assolutamente
convergente ed ha la stessa somma:
∞
X
n=0
an =
∞
X
bn .
n=0
P
Se la serie
an non è assolutamente convergente, allora nessun suo riordinamento lo è.
P
Si osservi
an e per ogni suo riordinaP che, di conseguenza, per ogni serie
mento
bn si ha
∞
∞
X
X
|an | =
|bn |
n=0
n=0
173
(questo valore potrà essere finito o +∞).
Dimostrazione Con le stesse considerazioni fatte alla fine della dimostrazione della proposizione 2.5.2, si verifica che possiamo limitarci al caso di
serie a termini reali. Supponiamo dapprima an ≥ 0 per ogni n ∈ N, e siano
S=
∞
X
an ,
sn =
n=0
n
X
ak ,
σn =
k=0
n
X
bk .
k=0
Per ipotesi, si ha sn ≤ S per ogni n ∈ N; inoltre, posto
mn = max{τ (0), τ (1), . . . , τ (n)},
si ha
σn =
n
X
aτ (k) ≤
mn
X
ah = s m n ≤ S
∀n ∈ N,
h=0
k=0
P
cosicché
bP
a S. D’altra parn è convergente ed ha somma non superiore
P
te, essendo
an a sua volta un riordinamento di
bn , con ragionamento
simmetrico si ha
∞
X
bn ,
S≤
n=0
e dunque vale l’uguaglianza.
Passiamo ora al caso generale: come si è fatto nella dimostrazione della
proposizione 2.5.2, poniamo
αn = |an | − an ,
βn = |bn | − bn
∀n ∈ N,
0 ≤ αn ≤ 2|an |,
0 ≤ βn ≤ 2|bn |
∀n ∈ N.
cosicché
P
La serie
αn è a termini positivi e converge per il criterio
P del confronto;
dunque, per la parte già dimostrata, il suo riordinamento βn è convergente
e vale l’uguaglianza
∞
∞
X
X
αn =
βn .
n=0
n=0
Inoltre, sempre in virtù della parte
Pgià dimostrata, poiché la serie
convergente, il suo riordinamento
|bn | è convergente e
∞
X
n=0
|an | =
∞
X
n=0
174
|bn |,
P
|an | è
cosicché
P
bn è assolutamente convergente. Ne segue
∞
X
bn =
n=0
∞
X
|bn | −
n=0
∞
X
βn =
n=0
∞
X
|an | −
n=0
∞
X
n=0
αn =
∞
X
an .
n=0
P
Notiamo infine P
che se
an non è assolutamente
convergente, non può esP
serlo nemmeno
bnP
, perché sePfosse
|bn | < +∞, per la parte già
P dimostrata dedurremmo
|bn | < +∞, essendo a sua volta
an un
P |an | =
riordinamento di
bn .
P
Osservazione 2.8.4 Per le serie
an assolutamente convergenti si ha una
proprietà di riordinamento ancora più forte di quella espressa dal teorema di
Dirichlet: se A e B sono sottoinsiemi disgiunti di N, la cui unione è tutto N,
allora
∞
X
X
X
an
an +
an =
n=0
n∈A
n∈B
(esercizio 2.8.1). Si noti che questa proprietà non può valere senza l’ipotesi
di assoluta convergenza: se A è l’insieme
dei numeri
naturali pari e B quello
P
(−1)n
dei numeri naturali dispari, la serie ∞
si
decomporrebbe
in due serie
n=0 n+1
divergenti a +∞ ed a −∞, la cui addizione non avrebbe senso.
P
Se una serie
an è convergente, ma non assolutamente convergente, l’operazione di riordinamento può alterare il valore della somma, come è mostrato
dal seguente
P∞ (−1)n
Esempio 2.8.5 La serie
n=0 n+1 è convergente ad un numero reale S
(che è uguale a ln 2, come vedremo più avanti), ma non è assolutamente
convergente. Si ha quindi
1−
1 1 1 1 1 1 1
+ − + − + − + . . . = S,
2 3 4 5 6 7 8
e dividendo per 2
1 1 1 1
1
1
1
1
S
− + − +
−
+
−
+ ... = .
2 4 6 8 10 12 14 16
2
P
Dunque la serie
cn , ove

se n è dispari
 0
n/2
cn =
 − (−1)
se n è pari,
n
175
è convergente con somma S/2, in quanto le sue somme parziali di indice 2N
coincidono con quelle di indice N della serie precedente: ossia
1
1
1
1
1
1
S
+0− +0+ +0− +0+
+0−
+ 0 + ... = .
2
4
6
8
10
12
2
P
(−1)n
Sommando ora questa serie con la serie ∞
n=0 n+1 si trova
0+
1 1
−
+ 0+
(0 + 1) +
2 2
1 1
+
−
+ 0+
6 6
1
1 1
1
+ − −
+ 0+
+
3
4 4
5
1
1 1
S
+ − −
+ ... =
+S ,
7
8 8
2
ovvero
1+0+
1 1 1
1
1
1
3S
1 1 1
− + +0+ − + +0+
− +
+ 0 + ... =
;
3 2 5
7 4 9
11 6 13
2
ora notiamo che la serie che si ottiene da questa sopprimendo i termini nulli
(che sono quelli di indici 1, 5, 9, . . . , 4n + 1, . . . ) converge alla stessa somma
3S
: infatti, le sue somme parziali di indice 3N + 1 coincidono con le somme
2
parziali di indice 4N + 1 della serie contenente anche i termini nulli. Tuttavia
la serie cosı̀ ottenuta, cioè
1 1 1 1 1 1
1
1
1
− + + − + +
− +
+ ...,
3 2 5 7 4 9 11 6 13
P
(−1)n
è evidentemente un riordinamento della serie ∞
n=0 n+1 , che convergeva a
S. Non è difficile verificare che la corrispondenza τ fra gli indici delle due
serie è data da

 τ (3n) = 4n
τ (3n + 1) = 4n + 2
∀n ∈ N.

τ (3n + 2) = 2n + 1
1+
Per le serie non assolutamente convergenti vale questo risultato ancora più
drastico:
P
Teorema 2.8.6 (di Riemann) Sia
an una serie reale convergente, ma
non assolutamente convergente. Allora:
P
(i) per ogni L ∈ R esiste un riordinamento di
an che ha somma L;
176
(ii) esiste un riordinamento di
P
an che diverge positivamente;
P
(iii) esiste un riordinamento di
an che diverge negativamente;
P
(iv) esiste un riordinamento di
an che è indeterminato.
P
Dimostrazione (i) Osserviamo anzitutto che la serie
an contiene infiniti
termini strettamente positivi e infiniti termini strettamente negativi, altrimenti essa avrebbe termini definitivamente a segno costante e quindi, essendo
convergente, sarebbe anche assolutamente convergente. Poniamo
pn = max{an , 0},
∀n ∈ N,
qn = max{−an , 0}
cosicché
pn ≥ 0,
qn ≥ 0,
pn − qn = an ,
pn + qn = |an |
∀n ∈ N;
inoltre an coincide o con pn (e allora qn = 0), o con −qn (e allora pn = 0).
Essendo in particolare
N
X
n=0
an =
N
X
pn −
n=0
dall’ipotesi sulla serie
N
X
N
X
qn ,
n=0
P
|an | =
n=0
N
X
pn +
n=0
N
X
qn
∀N ∈ N,
n=0
an si deduce
∞
X
pn =
n=0
∞
X
qn = +∞
n=0
(altrimenti,
se entrambe queste due serie fossero convergenti, otterremmo che
P
P |an | converge, mentre se convergesse solo una delle due otterremmo che
an diverge).
D’altra parte, essendo 0 ≤ pn ≤ |an | e 0 ≤ qn ≤ |an | per ogni n ∈ N, si ha
anche
lim pn = lim qn = 0.
n→∞
n→∞
Ciò premesso, fissiamo LP∈ R. Costruiremo adesso una serie, che si otterrà
riordinando i termini di
an , e che soddisferà la tesi. Essa sarà formata da
un certo numero di pn , seguiti da un certo numero di qn , poi ancora da un
po’ di pn , poi di nuovo da un po’ di qn , e cosı̀ di seguito, in modo da “oscillare” attorno al valore L prescelto. A questo scopo andiamo a costruire due
177
opportune successioni crescenti di indici, {mn }n∈N+ e {kn }n∈N+ , e formiamo
la serie
m1
X
n=0
pn −
k1
X
m2
X
qn +
n=0
pn −
n=m1 +1
k2
X
mh
X
qn + . . . +
pn −
mh−1 +1
n=k1 +1
kh
X
qn + . . . ;
n=kh−1 +1
denoteremo con sn la sua n-sima somma parziale.
Fissiamo due successioni {αn } e {βn }, entrambe convergenti a L e tali che
αn < L < βn : ad esempio prenderemo senz’altro αn = L − n1 e βn = L + n1 .
Definiamo
P adesso gli indici mn e kn : m1 è il minimo numero naturale m
per cui m
p > L + 1, mentre k1 è il minimo numero naturale k per cui
n=0
Pm1
Pk n
pn − Pn=0 qn < L − 1. Questi indici esistono per la divergenza delle
n=0P
serie pn e qn . In generale, avendo costruito mh e kh come i minimi indici
maggiori rispettivamente di mh−1 e kh−1 tali che

mh
m1
k1
X
X
X

1



pn −
qn + . . . +
pn > L + ,


h
n=0
n=0
m
+1
h−1






m1
X
n=0
pn −
k1
X
mh
X
qn + . . . +
n=0
kh
X
pn −
mh−1 +1
qn < L −
n=kh−1 +1
1
,
h
definiremo mh+1 e kh+1 come i minimi indici maggiori rispettivamente di mh
e kh tali che

mh+1
m1
k1

X
X
X
1



p
−
,
q
+
.
.
.
+
pn > L +
n
n


h+1
n=0
n=0
mh +1
kh+1
mh+1
m1
k1
X
X
X
X

1



p
−
q
+
.
.
.
+
p
−
qn < L −
.
n
n
n


h+1
n=0
n=0
m +1
n=k +1
h
h
P
P
Nuovamente, tali indici esistono in virtù della divergenza di
pn e
qn .
Indichiamo con σn e τn le somme parziali della serie cosı̀ costruita, cioè {sn },
gli ultimi termini delle quali sono rispettivamente pmn e −qkn : in altre parole,
σn = sm1 +k1 +...+mn ,
τn = sm1 +k1 +...+mn +kn .
Allora otteniamo, per la minimalità di mn e kn ,
σ n − pm n ≤ L +
1
< σn ,
n
τn < L −
178
1
≤ τ n + qk n ,
n
cosicché σn → L e τn → L per n → ∞. D’altra parte, consideriamo una
generica somma parziale sn : esisterà un unico indice h tale che sia vera una
delle due relazioni
m1 + k1 + . . . mh ≤ n ≤ m1 + k1 + . . . + mh + kh ,
oppure
m1 + k1 + . . . mh + kh ≤ n ≤ m1 + k1 + . . . + mh + kh + mh+1 ;
ne segue
τ h ≤ sn ≤ σ h ,
oppure τh ≤ sn ≤ σh+1 ,
e dunque anche sn converge a L per n → ∞. Ciò prova (i).
(ii)-(iii)-(iv) Questi enunciati si provano in modo del tutto simile: basta
scegliere le successioni {αn } e {βn } entrambe divergenti a +∞, o entrambe
divergenti a −∞, o convergenti a due valori L1 e L2 con L1 < L2 .
Raggruppamento dei termini di una serie
Vale la proprietà associativa per i termini di una serie? Si possono mettere
le parentesi per racchiudere un numero finito di addendi, senza alterare la
somma? Vediamo.
P∞
Definizione 2.8.7 Sia
n=0 an una serie reale o complessa. Sia inoltre
{kn } una successione strettamente crescente di numeri naturali. Posto
b0 =
k0
X
h=0
si dice che la serie
P
ah ,
bn =
kn
X
ah
∀n ∈ N+ ,
h=kn−1 +1
bn è ottenuta da
P
an raggruppandone i termini.
P
P∞ (−1)n+1
1
Esempio 2.8.8 La serie ∞
raggrupn=1 2n(2n−1) è ottenuta da
n=1
n
pandone i termini a due a due: in questo caso {kn } è definita da kn =
2n.
Il risultato che segue stabilisce che il raggruppamento dei termini di una serie
è un’operazione del tutto lecita.
179
P
P
Teorema 2.8.9
an una serie reale o complessa,
e sia
bn una serie
P Sia
P
ottenuta
an raggruppandone i termini. Se
an è convergente, allora
Pda
P
anche
bn lo è e in tal caso le due serie hanno
la
stessa
somma.
Se
an
P
è assolutamente convergente, allora anche
bn lo è e in tal caso si ha
∞
X
∞
X
|bn | ≤
n=0
|an |.
n=0
Dimostrazione Per m, n ∈ N poniamo sm =
ha allora, per definizione di bh ,
σ n = sk 0 +
n
X
Pm
k=0
skh − skh−1 = skn
ak e σn =
Pn
k=0 bk ;
si
∀n ∈ N.
h=1
Poiché {sn } è per ipotesi convergente ad un numero S, dato ε > 0 si avrà
|sn − S| < ε per tutti gli n maggiori di un certo ν. Ma allora, essendo kn ≥ n,
sarà anche
P∞ |σn − S| = |skn − S| < ε per ogni n > ν, cioè σn → S per n → ∞.
Se poi n=0 |an | < ∞, allora a maggior ragione, per la parte già dimostrata,
∞
X
n=0
|bn | ≤
k0
X
|ah | +
∞
X
kn
X
|ah | =
n=1 h=kn−1 +1
h=0
∞
X
|ah | < +∞.
h=0
Osservazioni 2.8.10 (1) Il teorema vale anche nel caso di serie reali divergenti (esercizio 2.8.2).
(2) Non mantiene la convergenza, al contrario, l’operazione inversa al raggruppamento, che consiste nell’eliminare eventuali parentesi presenti: ad
esempio, la serie
(1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + . . .
converge ed ha somma 0, mentre la serie
1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + ...
è indeterminata. In generale, si può scrivere l’uguaglianza
∞
X
n=0
(an + bn ) =
∞
X
an +
∞
X
n=0
P
bn
n=0
P
solo quando ciascuna delle due serie
an e
bn è convergente; in tal caso
l’uguaglianza è conseguenza dell’esercizio 2.2.1. Più generalmente, si veda
l’esercizio 2.8.3.
180
Esercizi 2.8
P
1. Sia
an una serie assolutamente convergente. Si provi che se A e B
sono sottoinsiemi disgiunti di N tali che A ∪ B = N, allora
∞
X
X
an =
n=0
an +
n∈A
X
an .
n∈B
P
2. Si provi chePse
an è una serie
P divergente a +∞, oppure a −∞, allora
ogni serie
bn ottenuta da
an raggruppandone i termini è ancora
divergente a +∞, oppure a −∞.
P
3. Sia ∞
n=0 an una serie reale o complessa, sia {kn } ⊆ N una successione
strettamente crescente e siano
b0 =
k0
X
ah ,
bn =
P∞
n=0 bn
kn
X
lim
P∞
n=0
∀n ∈ N.
è convergente, e se
n→∞
allora
ah
h=kn−1 +1
h=0
Si provi che se
kn
X
|ah | = 0,
h=kn−1 +1
an è convergente.
4. (i) Per n, k ∈ N+ siano ank numeri non negativi. Si dimostri che se
#
"∞
∞
X
X
ank = S,
n=1
allora si ha anche
k=1
"∞
∞
X
X
k=1
#
ank = S.
n=1
(ii) Verificare che il risultato di (i) è falso se gli ank hanno segno
variabile, utilizzando i seguenti ank :

1
se k = n, n ∈ N+




2n−1 − 1
ank =
− n
se k = n + 1, n ∈ N+

2
−
1



0
altrimenti.
181