2.8 Riordinamento dei termini di una serie Cosa succede se si modifica l’ordine degli addendi di una serie? Le proprietà di convergenza si mantengono o si alterano? Intanto bisogna intendersi sul significato di questa operazione: ad esempio, “sommare i termini in ordine inverso” ha senso solo per somme finite. Andiamo allora a chiarire con una definizione ciò che intendiamo quando parliamo di “riordinamento” dei termini di una serie. P Definizione 2.8.1 Sia an una serie a termini reali o complessi, e sia τ : N → N una funzione bigettiva, cioè sia iniettiva che surgettiva: in altre parole, per ogni k ∈ N esiste uno edPun solo n ∈ N tale che τ (n) = k. Posto bn = aτ (n) per ogni n ∈ N, la serie ∞ n=0 bn si dice riordinamento della serie P ∞ n=0 an . P∞ Osservazioni 2.8.2 (1) Nella serie n=0 bn ciascun termine ak compare esattamente una volta, e cioè quando n = τ −1 (k),P ossia quando n assume ∞ l’unico valore nk ∈ N tale P∞ che τ (nk ) = k. Quindi n=0 bn ha esattamente “gli stessi addendi” di k=0 ak . P∞ P an (costruito mediante la cor(2) Se ∞ n=0P n=0 bn è un riordinamento di rispondenza biunivoca τ ), allora, viceversa, ∞ n=0 an è un riordinamento di P∞ b (mediante la corrispondenza biunivoca τ −1 , inversa di τ ). n=0 n Il risultato che segue risponde alla domanda iniziale. P Teorema 2.8.3 (di Dirichlet) Sia an una serie reale P o complessa assolutamente convergente. Allora ogni suo riordinamento bn è assolutamente convergente ed ha la stessa somma: ∞ X n=0 an = ∞ X bn . n=0 P Se la serie an non è assolutamente convergente, allora nessun suo riordinamento lo è. P Si osservi an e per ogni suo riordinaP che, di conseguenza, per ogni serie mento bn si ha ∞ ∞ X X |an | = |bn | n=0 n=0 173 (questo valore potrà essere finito o +∞). Dimostrazione Con le stesse considerazioni fatte alla fine della dimostrazione della proposizione 2.5.2, si verifica che possiamo limitarci al caso di serie a termini reali. Supponiamo dapprima an ≥ 0 per ogni n ∈ N, e siano S= ∞ X an , sn = n=0 n X ak , σn = k=0 n X bk . k=0 Per ipotesi, si ha sn ≤ S per ogni n ∈ N; inoltre, posto mn = max{τ (0), τ (1), . . . , τ (n)}, si ha σn = n X aτ (k) ≤ mn X ah = s m n ≤ S ∀n ∈ N, h=0 k=0 P cosicché bP a S. D’altra parn è convergente ed ha somma non superiore P te, essendo an a sua volta un riordinamento di bn , con ragionamento simmetrico si ha ∞ X bn , S≤ n=0 e dunque vale l’uguaglianza. Passiamo ora al caso generale: come si è fatto nella dimostrazione della proposizione 2.5.2, poniamo αn = |an | − an , βn = |bn | − bn ∀n ∈ N, 0 ≤ αn ≤ 2|an |, 0 ≤ βn ≤ 2|bn | ∀n ∈ N. cosicché P La serie αn è a termini positivi e converge per il criterio P del confronto; dunque, per la parte già dimostrata, il suo riordinamento βn è convergente e vale l’uguaglianza ∞ ∞ X X αn = βn . n=0 n=0 Inoltre, sempre in virtù della parte Pgià dimostrata, poiché la serie convergente, il suo riordinamento |bn | è convergente e ∞ X n=0 |an | = ∞ X n=0 174 |bn |, P |an | è cosicché P bn è assolutamente convergente. Ne segue ∞ X bn = n=0 ∞ X |bn | − n=0 ∞ X βn = n=0 ∞ X |an | − n=0 ∞ X n=0 αn = ∞ X an . n=0 P Notiamo infine P che se an non è assolutamente convergente, non può esP serlo nemmeno bnP , perché sePfosse |bn | < +∞, per la parte già P dimostrata dedurremmo |bn | < +∞, essendo a sua volta an un P |an | = riordinamento di bn . P Osservazione 2.8.4 Per le serie an assolutamente convergenti si ha una proprietà di riordinamento ancora più forte di quella espressa dal teorema di Dirichlet: se A e B sono sottoinsiemi disgiunti di N, la cui unione è tutto N, allora ∞ X X X an an + an = n=0 n∈A n∈B (esercizio 2.8.1). Si noti che questa proprietà non può valere senza l’ipotesi di assoluta convergenza: se A è l’insieme dei numeri naturali pari e B quello P (−1)n dei numeri naturali dispari, la serie ∞ si decomporrebbe in due serie n=0 n+1 divergenti a +∞ ed a −∞, la cui addizione non avrebbe senso. P Se una serie an è convergente, ma non assolutamente convergente, l’operazione di riordinamento può alterare il valore della somma, come è mostrato dal seguente P∞ (−1)n Esempio 2.8.5 La serie n=0 n+1 è convergente ad un numero reale S (che è uguale a ln 2, come vedremo più avanti), ma non è assolutamente convergente. Si ha quindi 1− 1 1 1 1 1 1 1 + − + − + − + . . . = S, 2 3 4 5 6 7 8 e dividendo per 2 1 1 1 1 1 1 1 1 S − + − + − + − + ... = . 2 4 6 8 10 12 14 16 2 P Dunque la serie cn , ove se n è dispari 0 n/2 cn = − (−1) se n è pari, n 175 è convergente con somma S/2, in quanto le sue somme parziali di indice 2N coincidono con quelle di indice N della serie precedente: ossia 1 1 1 1 1 1 S +0− +0+ +0− +0+ +0− + 0 + ... = . 2 4 6 8 10 12 2 P (−1)n Sommando ora questa serie con la serie ∞ n=0 n+1 si trova 0+ 1 1 − + 0+ (0 + 1) + 2 2 1 1 + − + 0+ 6 6 1 1 1 1 + − − + 0+ + 3 4 4 5 1 1 1 S + − − + ... = +S , 7 8 8 2 ovvero 1+0+ 1 1 1 1 1 1 3S 1 1 1 − + +0+ − + +0+ − + + 0 + ... = ; 3 2 5 7 4 9 11 6 13 2 ora notiamo che la serie che si ottiene da questa sopprimendo i termini nulli (che sono quelli di indici 1, 5, 9, . . . , 4n + 1, . . . ) converge alla stessa somma 3S : infatti, le sue somme parziali di indice 3N + 1 coincidono con le somme 2 parziali di indice 4N + 1 della serie contenente anche i termini nulli. Tuttavia la serie cosı̀ ottenuta, cioè 1 1 1 1 1 1 1 1 1 − + + − + + − + + ..., 3 2 5 7 4 9 11 6 13 P (−1)n è evidentemente un riordinamento della serie ∞ n=0 n+1 , che convergeva a S. Non è difficile verificare che la corrispondenza τ fra gli indici delle due serie è data da τ (3n) = 4n τ (3n + 1) = 4n + 2 ∀n ∈ N. τ (3n + 2) = 2n + 1 1+ Per le serie non assolutamente convergenti vale questo risultato ancora più drastico: P Teorema 2.8.6 (di Riemann) Sia an una serie reale convergente, ma non assolutamente convergente. Allora: P (i) per ogni L ∈ R esiste un riordinamento di an che ha somma L; 176 (ii) esiste un riordinamento di P an che diverge positivamente; P (iii) esiste un riordinamento di an che diverge negativamente; P (iv) esiste un riordinamento di an che è indeterminato. P Dimostrazione (i) Osserviamo anzitutto che la serie an contiene infiniti termini strettamente positivi e infiniti termini strettamente negativi, altrimenti essa avrebbe termini definitivamente a segno costante e quindi, essendo convergente, sarebbe anche assolutamente convergente. Poniamo pn = max{an , 0}, ∀n ∈ N, qn = max{−an , 0} cosicché pn ≥ 0, qn ≥ 0, pn − qn = an , pn + qn = |an | ∀n ∈ N; inoltre an coincide o con pn (e allora qn = 0), o con −qn (e allora pn = 0). Essendo in particolare N X n=0 an = N X pn − n=0 dall’ipotesi sulla serie N X N X qn , n=0 P |an | = n=0 N X pn + n=0 N X qn ∀N ∈ N, n=0 an si deduce ∞ X pn = n=0 ∞ X qn = +∞ n=0 (altrimenti, se entrambe queste due serie fossero convergenti, otterremmo che P P |an | converge, mentre se convergesse solo una delle due otterremmo che an diverge). D’altra parte, essendo 0 ≤ pn ≤ |an | e 0 ≤ qn ≤ |an | per ogni n ∈ N, si ha anche lim pn = lim qn = 0. n→∞ n→∞ Ciò premesso, fissiamo LP∈ R. Costruiremo adesso una serie, che si otterrà riordinando i termini di an , e che soddisferà la tesi. Essa sarà formata da un certo numero di pn , seguiti da un certo numero di qn , poi ancora da un po’ di pn , poi di nuovo da un po’ di qn , e cosı̀ di seguito, in modo da “oscillare” attorno al valore L prescelto. A questo scopo andiamo a costruire due 177 opportune successioni crescenti di indici, {mn }n∈N+ e {kn }n∈N+ , e formiamo la serie m1 X n=0 pn − k1 X m2 X qn + n=0 pn − n=m1 +1 k2 X mh X qn + . . . + pn − mh−1 +1 n=k1 +1 kh X qn + . . . ; n=kh−1 +1 denoteremo con sn la sua n-sima somma parziale. Fissiamo due successioni {αn } e {βn }, entrambe convergenti a L e tali che αn < L < βn : ad esempio prenderemo senz’altro αn = L − n1 e βn = L + n1 . Definiamo P adesso gli indici mn e kn : m1 è il minimo numero naturale m per cui m p > L + 1, mentre k1 è il minimo numero naturale k per cui n=0 Pm1 Pk n pn − Pn=0 qn < L − 1. Questi indici esistono per la divergenza delle n=0P serie pn e qn . In generale, avendo costruito mh e kh come i minimi indici maggiori rispettivamente di mh−1 e kh−1 tali che mh m1 k1 X X X 1 pn − qn + . . . + pn > L + , h n=0 n=0 m +1 h−1 m1 X n=0 pn − k1 X mh X qn + . . . + n=0 kh X pn − mh−1 +1 qn < L − n=kh−1 +1 1 , h definiremo mh+1 e kh+1 come i minimi indici maggiori rispettivamente di mh e kh tali che mh+1 m1 k1 X X X 1 p − , q + . . . + pn > L + n n h+1 n=0 n=0 mh +1 kh+1 mh+1 m1 k1 X X X X 1 p − q + . . . + p − qn < L − . n n n h+1 n=0 n=0 m +1 n=k +1 h h P P Nuovamente, tali indici esistono in virtù della divergenza di pn e qn . Indichiamo con σn e τn le somme parziali della serie cosı̀ costruita, cioè {sn }, gli ultimi termini delle quali sono rispettivamente pmn e −qkn : in altre parole, σn = sm1 +k1 +...+mn , τn = sm1 +k1 +...+mn +kn . Allora otteniamo, per la minimalità di mn e kn , σ n − pm n ≤ L + 1 < σn , n τn < L − 178 1 ≤ τ n + qk n , n cosicché σn → L e τn → L per n → ∞. D’altra parte, consideriamo una generica somma parziale sn : esisterà un unico indice h tale che sia vera una delle due relazioni m1 + k1 + . . . mh ≤ n ≤ m1 + k1 + . . . + mh + kh , oppure m1 + k1 + . . . mh + kh ≤ n ≤ m1 + k1 + . . . + mh + kh + mh+1 ; ne segue τ h ≤ sn ≤ σ h , oppure τh ≤ sn ≤ σh+1 , e dunque anche sn converge a L per n → ∞. Ciò prova (i). (ii)-(iii)-(iv) Questi enunciati si provano in modo del tutto simile: basta scegliere le successioni {αn } e {βn } entrambe divergenti a +∞, o entrambe divergenti a −∞, o convergenti a due valori L1 e L2 con L1 < L2 . Raggruppamento dei termini di una serie Vale la proprietà associativa per i termini di una serie? Si possono mettere le parentesi per racchiudere un numero finito di addendi, senza alterare la somma? Vediamo. P∞ Definizione 2.8.7 Sia n=0 an una serie reale o complessa. Sia inoltre {kn } una successione strettamente crescente di numeri naturali. Posto b0 = k0 X h=0 si dice che la serie P ah , bn = kn X ah ∀n ∈ N+ , h=kn−1 +1 bn è ottenuta da P an raggruppandone i termini. P P∞ (−1)n+1 1 Esempio 2.8.8 La serie ∞ raggrupn=1 2n(2n−1) è ottenuta da n=1 n pandone i termini a due a due: in questo caso {kn } è definita da kn = 2n. Il risultato che segue stabilisce che il raggruppamento dei termini di una serie è un’operazione del tutto lecita. 179 P P Teorema 2.8.9 an una serie reale o complessa, e sia bn una serie P Sia P ottenuta an raggruppandone i termini. Se an è convergente, allora Pda P anche bn lo è e in tal caso le due serie hanno la stessa somma. Se an P è assolutamente convergente, allora anche bn lo è e in tal caso si ha ∞ X ∞ X |bn | ≤ n=0 |an |. n=0 Dimostrazione Per m, n ∈ N poniamo sm = ha allora, per definizione di bh , σ n = sk 0 + n X Pm k=0 skh − skh−1 = skn ak e σn = Pn k=0 bk ; si ∀n ∈ N. h=1 Poiché {sn } è per ipotesi convergente ad un numero S, dato ε > 0 si avrà |sn − S| < ε per tutti gli n maggiori di un certo ν. Ma allora, essendo kn ≥ n, sarà anche P∞ |σn − S| = |skn − S| < ε per ogni n > ν, cioè σn → S per n → ∞. Se poi n=0 |an | < ∞, allora a maggior ragione, per la parte già dimostrata, ∞ X n=0 |bn | ≤ k0 X |ah | + ∞ X kn X |ah | = n=1 h=kn−1 +1 h=0 ∞ X |ah | < +∞. h=0 Osservazioni 2.8.10 (1) Il teorema vale anche nel caso di serie reali divergenti (esercizio 2.8.2). (2) Non mantiene la convergenza, al contrario, l’operazione inversa al raggruppamento, che consiste nell’eliminare eventuali parentesi presenti: ad esempio, la serie (1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + . . . converge ed ha somma 0, mentre la serie 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + ... è indeterminata. In generale, si può scrivere l’uguaglianza ∞ X n=0 (an + bn ) = ∞ X an + ∞ X n=0 P bn n=0 P solo quando ciascuna delle due serie an e bn è convergente; in tal caso l’uguaglianza è conseguenza dell’esercizio 2.2.1. Più generalmente, si veda l’esercizio 2.8.3. 180 Esercizi 2.8 P 1. Sia an una serie assolutamente convergente. Si provi che se A e B sono sottoinsiemi disgiunti di N tali che A ∪ B = N, allora ∞ X X an = n=0 an + n∈A X an . n∈B P 2. Si provi chePse an è una serie P divergente a +∞, oppure a −∞, allora ogni serie bn ottenuta da an raggruppandone i termini è ancora divergente a +∞, oppure a −∞. P 3. Sia ∞ n=0 an una serie reale o complessa, sia {kn } ⊆ N una successione strettamente crescente e siano b0 = k0 X ah , bn = P∞ n=0 bn kn X lim P∞ n=0 ∀n ∈ N. è convergente, e se n→∞ allora ah h=kn−1 +1 h=0 Si provi che se kn X |ah | = 0, h=kn−1 +1 an è convergente. 4. (i) Per n, k ∈ N+ siano ank numeri non negativi. Si dimostri che se # "∞ ∞ X X ank = S, n=1 allora si ha anche k=1 "∞ ∞ X X k=1 # ank = S. n=1 (ii) Verificare che il risultato di (i) è falso se gli ank hanno segno variabile, utilizzando i seguenti ank : 1 se k = n, n ∈ N+ 2n−1 − 1 ank = − n se k = n + 1, n ∈ N+ 2 − 1 0 altrimenti. 181