Separare un quadrato e un cubo ...
Il numero 26 separa due numeri dispari, il 25 e il 27, che sono
rispettivamente un quadrato e un cubo. Esistono altri numeri che separano
un cubo e un quadrato (o viceversa ) e se la risposta è affermativa sono in
numero finito od infinito ?
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Il problema consiste nello stabilire se l'equazione
(1)
y2 = x3 − 2
possiede altre soluzioni intere oltre a quella banale
(2)
x=3
y=± 5
Fermat affermò di aver dimostrato che la soluzione (2) era l'unica soluzione
intera della (1). La dimostrazione non fu tuttavia pubblicata. Vari
matematici, tra cui Eulero, si occuparono in seguito del problema e
dimostrarono l'unicità della soluzione (2).
In Internet sono disponibili una ricca bibliografia e varie dimostrazioni,
molto simili tra loro e tutte basate sulla teoria dei campi dei numeri algebrici
e in particolare sull'impiego dell'aritmetica nell'anello Z − 2 .
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Una di queste dimostrazioni è sul sito
http://mathforum.org/library/drmath/view/51569.html
Non esistono quindi oltre al 26 altri numeri che separano un cubo da
un quadrato.
