Università degli Studi di Bari
Dipartimento di Scienze Economiche e Metodi Matematici
Corso di Econometria
Corsi di Laurea Magistrale in
Economia degli Intermediari e dei Mercati Finanziari
8 CFU
Statistica per le per le Decisioni Finanziarie ed Attuariali
6 CFU
Economia e Management
6 CFU
1
Orario Lezioni
mercoledì
11:30 – 14:30
giovedì
12:30 – 14:30
costituiscono parte integrante del corso le esercitazioni sull’uso di Gretl.
Orario ricevimento
martedì 11.30-13.00
[email protected]
Comunicazioni
Pagina web docente
2
Programma (8 CFU)
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Il Modello Lineare Classico di Regressione
Regressione Multipla
Funzioni di regressione non lineari
Valutazione degli studi di regressione
Regressione con dati panel
Regressione con variabili strumentali
Regressione con variabile dipendente binaria
Regressioni con serie storiche
Libro di testo
Stock J.H. e Watson M.W. Introduzione all’Econometria, Pearson Education Italia
3
Obiettivi del corso
Introduzione all’analisi empirica dei dati economici. La teoria
economica suggerisce relazioni molto interessanti che hanno
un’interpretazione di natura politica.
• Quali sono le variabili che possono influenzare i cicli
economici?
Tuttavia molto spesso la grandezza degli effetti CAUSALI è
ignorata:
• Qual è l’effetto della produttività del lavoro sulla crescita?
• Da che variabili dipende il rendimento di un titolo?
4
L’econometria serve a rispondere a queste domande e a…
1. sottoporre a verifica empirica le teorie economiche
2. prevedere i valori futuri delle variabili economiche
3. adattare dei modelli economici/matematici ai dati del
mondo reale
4. formulare raccomandazioni di “policy” quantitative
5
Alcune domande empiriche:
1.
ridurre la dimensione delle classi migliora il livello di
istruzione nella scuola elementare? nel senso comune
orientativamente si, ma bisogna quantificare
2.
qual è il rendimento di un titolo di studio come la laurea?
bisogna tenere costanti le altre caratteristiche dei richiedenti
3.
effetti della tassazione: di quanto riduce il consumo del bene
tassato?
4.
di quanto aumenta il rendimento di un titolo se aumenta il
rendimento del mercato?
6
Esempio di stima
L’econometria utilizza metodi statistici e matematici per l’analisi
di dati economici con il fine di dare riscontro empirico alle teorie
economiche.
Modelli economici = rappresentazione schematizzata della realtà di
un fenomeno economico
Esempio
Teoria del consumo di Keynes
Funzione implicita ⇒ Consumo = f(Reddito)
7
Dati economici (serie storica)
Consumo Reddito
1971Q1
6.420
6.629
1971Q2
6.433
6.635
1971Q3
6.443
6.642
1971Q4
6.456
6.662
1972Q1
6.473
6.676
1972Q2
6.475
6.695
1972Q3
6.50
6.699
1972Q4
6.499
6.715
1973Q1
6.529
6.735
1973Q2
6.535
6.753
1973Q3
6.535
6.751
1973Q4
6.554
6.770
8
19
72
19 Q1
73
19 Q2
74
19 Q3
75
19 Q4
77
19 Q1
78
19 Q2
79
19 Q3
80
19 Q4
82
19 Q1
83
19 Q2
84
19 Q3
85
19 Q4
87
19 Q1
88
19 Q2
89
19 Q3
90
19 Q4
92
19 Q1
93
19 Q2
94
19 Q3
95
19 Q4
97
19 Q1
98
Q
2
Proponiamo una rappresentazione grafica al fine di cogliere
l’andamento di questi dati nel tempo.
7.4
7.2
7
6.8
6.6
6.4
6.2
6
9
Diagramma a nuvola- scatter plot
7.1
7
6.9
Consumo
6.8
6.7
6.6
6.5
6.4
6.3
6.5
6.6
6.7
6.8
6.9
7
7.1
7.2
7.3
Reddito
10
Funzione esplicita (lineare) ⇒ C = α + βR
7.1
7
6.9
Consumo
6.8
6.7
6.6
6.5
6.4
6.3
6.5
6.6
6.7
6.8
6.9
7
7.1
7.2
7.3
Reddito
11
1.
C = α + βR +ε ; α=0.6; β=0.9; C = 0.6 + 0.9R
è solo un’ approssimazione della realtà.
(α + βR) parte deterministica , (ε) parte stocastica
Qual è il significato di α=0,6; β=0.9 ?
↓
Inferenza …
2.
bisogna tenere conto di altre variabili?
3.
etc..
12
Tipi di dati:
1. Dati sperimentali: provengono da esperimenti disegnati
per valutare l’effetto di un trattamento o un’azione di
politica economica;
2. Dati sezionali (cross-section): dati che si riferiscono ad
entità diverse (lavoratori, consumatori, unità governative,
paesi etc.) osservate solo una volta nel tempo.
3. Serie storiche (time series): dati che si riferiscono ad una
singola entità (individuo, impresa, paese) osservati più
volte nel tempo - quelli dell’esempio precedente - .
13
4. Dati longitudinali (panel): dati che riguardano più entità
ognuna delle quali è osservata in due o più periodi
14
Riassunto su Probabilità e Statistica
Problema empirico: grandezza della classe e output dell’istruzione
• Domanda politica: qual è l’effetto di ridurre la grandezza delle
classi di uno studente per classe? e di 8 studenti?
• Qual è la misura corretta per l’output (variabile dipendente)?
o Soddisfazione dei genitori
o Sviluppo personale degli studenti
o Guadagno e/o benessere futuro degli alunni
o Performance (voto) nei test
15
Che cosa ci dicono i dati sulla relazione fra grandezza della classe e
i voti?
Variabili considerate
• Voti ottenuti in 5a (Stanford-9 achievement test, combina
matematica e lettura), media dei distretti (tipo PISA)
• Rapporto fra studenti ed insegnanti Student Teacher Ratio (STR)
= numero di studenti nel distretto scolastico diviso per in numero
di insegnanti
16
17
Come possiamo iniziare a capire se numericamente i distretti con basso
STR ottengono voti più alti?
Tre possibili strategie:
1. confrontare numericamente le medie dei voti ottenuti nei
distretti con basso STR con quelli con alto STR (stima)
2. test di ipotesi sulle medie dei test nei due tipi di distretto (test di
ipotesi)
3. stimare un intervallo di confidenza per la differenza delle medie
dei voti, alto vs basso STR. (intervallo di confidenza)
18
Analisi dei dati iniziale:
Confronto fra i distretti con classi piccole, STR< 20, e classi grandi,
STR>=20.
Grandezza della classe
Voto medio stimato
Deviazione standard
(Y )
stimata (sY)
Classi Piccole STR< 20
657.4
19.4
238
Classi Grandi STR ≥ 20
650.0
17.9
182
n
19
Procedura d’analisi:
1. Stimiamo ∆ = differenza fra le medie dei gruppi
2. Testiamo l’ipotesi che ∆ = 0
3. costruiamo un intervallo di confidenza per ∆
2. e 3. sono alternative che conducono allo stesso risultato
20
1. Stima
Y
small
−Y
Ysmall =
large
1
nsmall
= 657.4 – 650.0 = 7.4
n small
∑Y
i
1
Y =
1
nl arg e
nl arg e
∑Y
i
1
Domanda: Questa differenza può essere considerata grande?
• La deviazione standard fra i distretti è di 19.1 (vedi tabella)
• La differenza fra il 60° e il 75° percentile dei voti è
667.6-659.4=8.2
• È una differenza abbastanza grande per aprire un dibattito su una
eventuale riforma della scuola.
21
2. Test d’ipotesi
Test di differenze fra medie: calcoliamo la statistica t
t=
Ys − Yl
ss2 sl2
+
ns nl
=
Ys − Yl
SE(Ys − Yl )
Ricordate?
dove SE(Ys − Yl ) è lo standard error di (Ys −Yl ) e lo standard error è la stima
della deviazione standard.
22
Utilizzando il nostro campione
Grandezza delle classi
Y
sY
N
Piccole
657.4
19.4
238
Grandi
650.0
17.9
182
657.4 − 650.0
7.4
t=
=
= 4.05
19.42 17.92 1.83
+
238 182
|t|>1.96 rifiutiamo (al livello di significatività del 5%) l’ipotesi nulla
che le due medie sono uguali
23
3. Intervallo di confidenza
Un intervallo di confidenza al 95% per la differenza fra le medie è
Y s − Y l ± 1.96 × SE(Ys − Yl ) = 7.4± 1.96 ×1.83 = (3.8. - 11.0)
Due conclusioni equivalenti:
1.
l’intervallo di confidenza al 95% per ∆ non include lo 0;
2.
l’ipotesi che ∆=0 è rifiutata al 5%
24
Dovreste già conoscere tutto questo ma: quali sono i presupposti che
giustificano questo procedimento?
1.
Stima: perché stimiamo ∆ utilizzando Y s − Y l ?
2. Test: che cos’è in realtà lo standard error di Y s − Y l? perché
rifiutiamo ∆ = 0 se |t|>1.96 ?
3. Intervallo di confidenza: cos’è in realtà l’intervallo di
confidenza?
25
Nozioni di probabilità per inferenza statistica
1. stima
2. test
3. intervalli di confidenza
Popolazione
• gruppo o collettivo di entità di interesse
• nel nostro esempio “tutti i possibili” distretti scolastici. “Tutti i
possibili” significa tutte le possibili circostanze che conducono
a valori specifici di STR e voti
• in genere si pensa alla popolazione come infinitamente grande;
il nostro compito è di fare inferenza utilizzando un campione
estratto da una grande popolazione
Variabile casuale
• indicatore numerico sintetico di un risultato casuale
• nel nostro esempio, il valore numerico della media distrettuale dei
risultati dei test (o gli STR distrettuali), una volta scelto l’anno e il
distretto da campionare
Distribuzione di probabilità di Y
• la probabilità con cui i diversi valori di Y si ripetono nella
popolazione, es. Pr[Y=650] per Y discreta
• le probabilità con cui un insiemi di questi valori si ripete, es.
Pr[Y<=650] per Y continua
Momenti di una distribuzione di probabilità
media = valore atteso
= E(Y)
1 n
= Y = ∑ Yi
n 1
= µY
varianza = E(Y- E(Y))2 = E(Y-µY)2
= σY2
= misura dell’ampiezza della distribuzione (distanza dalla
media) al quadrato
2
σ
deviazione standard = Y = σY
Distribuzione condizionata
La distribuzione di Y, dati i valori di un’altra variabile casuale, es. la
distribuzione dei voti dato che STR < 20
Momenti di una distribuzione di probabilità
media condizionata = media della distribuzione condizionata
= E(Y|X=x)
varianza condizionata = varianza della distribuzione condizionata
es. E(voti|STR>20) la media dei voti per i distretti con le classi più
grandi, i.e. E(voti) = 654.2 mentre E(voti|STR>20) = 650.0
La differenza delle medie è la differenza fra le medie di due
distribuzioni condizionate
∆ = E(voti|STR<20) - (voti|STR>=20)
altri esempi di medie condizionate:
• salari delle donne lavoratrici (Y=salari, X=genere)
• tasso di mortalità ad un anno per coloro a cui è stato dato un
trattamento sperimentale (Y=vivo/morto, X=trattato, non trattato)
La media condizionata è un nuovo termine per un concetto già noto
come media di gruppo
Inferenza su medie, medie condizionate, e differenze fra medie
condizionate
Vorremmo conoscere ∆ (differenza fra i voti, differenza fra i salari
delle donne e degli uomini, effetto di un trattamento sperimentale).
Abbiamo dunque bisogno di dati che ci permettano di fare inferenza
statistica su ∆, 2 possibilità:
• dati sperimentali
• dati osservati
Campionamento casuale semplice
scegliamo un individuo (distretto, entità) casualmente dalla
popolazione
Casualità e dati
• Prima di raccogliere i dati, il valore di Y è casuale perché
l’individuo selezionato è causale
• quando l’individuo è stato selezionato e il valore di Y è osservato,
allora Y è solo un numero – non più casuale
• Il campione di dati è (Y1, Y2, … Yn) dove Yi è il valore di Y per
l’individuo/distretto/entità i-esimo/a del campione
Implicazioni di un campionamento casuale semplice
Poiché gli individui #1 e #2 sono selezionati casualmente il valore
Y1 non fornisce alcuna informazione su Y2. In questo senso si dice
che:
• Y1 e Y2 sono indipendentemente distribuite
• Y1 e Y2 provengono dalla stessa distribuzione e cioè sono
identicamente distribuite
↓
Una conseguenza del campionamento casuale è che Y1 e Y2 sono
indipendentemente ed identicamente distribuite (i.i.d.)
Più in generale, sotto un campionamento casuale semplice si dice
che {Yi}, i=1,2,…,n sono i.i.d.
Nozioni di probabilità per inferenza statistica
1. stima
2. test
3. intervalli di confidenza
Y è uno stimatore “naturale” della media ma quali sono le proprietà di
questo stimatore? altri esempi potrebbero essere Y1 la prima
osservazione o una media ponderata con pesi diversi per diverse
osservazioni o la mediana della distribuzione di Yi .
Si può dimostrare che Y è il miglior stimatore della media guardando
alle sue proprietà
NB proprietà/caratteristiche di uno stimatore => media e varianza
Per rispondere a queste domande dobbiamo caratterizzare la
distribuzione campionaria di Y
• gli individui del campione sono distribuiti casualmente
• dunque i valori di (Y1, Y2, … Yn) sono casuali
• dunque le funzioni di (Y1, Y2, … Yn), come Y , sono casuali (se
estraiamo un altro campione avremmo valori diversi)
• la distribuzione di Y su tutti i possibili campioni diversi di
grandezza n è chiamata distribuzione campionaria di Y
• la media e la varianza di Y sono media e varianza della sua
distribuzione campionaria, E( Y ) e Var( Y )
• per calcolare Var( Y ) abbiamo bisogno della covarianza (vedi
par 2.3)
La covarianza fra X e Z è
cov(X,Z)=E[(X-E(X)) (Z-E(Z))]= σXZ
• La covarianza è una misura di associazione lineare fra X e Z
• cov(X,Z) > 0 (<0). C’è una relazione positiva (negativa) fra X e Z.
• Se X e Z sono indipendentemente e identicamente distribuite
allora cov(X,Z)=0 (ma non viceversa!!!)
la covarianza di una variabile casuale con se stessa è la sua varianza
cov(X,X)=E[(X-E(X)) (X-E(X))]= σ2X
Digressione:
Il coefficiente di correlazione è definito in termini della varianza
corr ( X , Z ) =
cov( X , Z )
σ XZ
=
= rXZ
var( X ) var( Z ) σ X σ Z
• -1 ≤ corr(X,Z) ≤ 1
• corr(X,Z) = 1 associazione lineare positiva perfetta
• corr(X,Z) = - 1 associazione lineare negativa perfetta
• corr(X,Z) = 0 non c’è associazione lineare
Ora siamo i grado di valutare le proprietà dello stimatore Y
La media e la varianza della distribuzione campionaria di Y
- Media
1 n
1 n
1 n
nµY
E (Y ) = E ( ∑ Yi ) = ∑ E (Yi ) = ∑ µY =
= µY
n i =1
n i =1
n i =1
n
NB il valore atteso di una costante è uguale alla costante stessa
- Varianza
n
1 n
1
Var(Y ) = Var( ∑ Yi ) = 2 Var ∑ Yi
n i =1
n
i =1
1 n
1 n n
= 2 ∑Var(Yi ) + 2 ∑ ∑ cov(Yi , Y j )
n i =1
n i =1 j =1, j ≠i
n 2 σ Y2
= 2 σY =
n
n
NB la varianza di una costante è uguale alla costante al quadrato +
cov(Yi,Yj)=0 + vedi fine par 2.3 media e varianza di somme di due
variabili casuali
Implicazioni:
• Y è uno stimatore corretto di µY , cioè E( Y )=µY
• var( Y ) è inversamente proporzionale a n
• l’ampiezza (distanza dalla media) della distribuzione
campionaria è proporzionale a 1/√n
• dunque l’incertezza campionaria che deriva dal fatto di fare
inferenza su µY usando Y proporzionalmente a 1/√n
Cosa dire dell’intera distribuzione di Y oltre che della media e
varianza? In generale è molto difficile estrarre la distribuzione
campionaria di Y , è complicato perché essa dipende dalla
distribuzione di Y. Tuttavia si nota che al crescere di n la distribuzione
di Y si concentra attorno a µY e dunque l’incertezza campionaria
diminuisce.
Uno stimatore è consistente se la probabilità che esso cada all’interno
di un intervallo che comprende i veri valori della popolazione tende a 1
quanto più la grandezza campionaria cresce.
La legge dei grandi numeri
se (Y1, Y2, … Yn) sono i.i.d. e σ Y2 < ∞ allora Y è uno stimatore
consistente di µY cioè Pr[ | Y - µY| < ε]→1 come n→∞ che può essere
scritto come Y → µY
( Y converge in probabilità verso µY)
Teorema del limite centrale
se (Y1, Y2, … Yn) sono i.i.d. e σ Y2 < ∞ => quando n è grande la
distribuzione di Y è ben approssimata da una distribuzione normale:
σY2
N µ ,
•Y~
n
(Y
− µY )
;
• σY / n
n (Y − µ Y )
σY
~ N(0,1)
• l’approssimazione migliora se n cresce
normale standardizzata
Y − E (Y )
Distribuzione di
var(Y )
Sommario per (Y1, Y2, … Yn) assumendo che sono i.i.d. e σ Y2 < ∞
• la distribuzione campionaria esatta di Y ha media µY e varianza
σY2
n
• a parte media e varianza, l’esatta distribuzione di Y è complicata e
dipende dalla distribuzione di Y
p
→ µY (legge dei grandi numeri)
•Y
Y − E (Y )
•
var(Y ) si distribuisce approssimativamente N(0,1) (teorema
del limite centrale)
Perché usiamo Y per stimare µY ?
• correttezza
E( Y ) = µY
p
→ µY
Y
• consistenza
• Y ha la varianza minore fra tutti gli altri stimatori lineari di µY
(teorema di Gauss-Markov che non abbiamo dimostrato)
Nozioni di probabilità per inferenza statistica
1. stima
2. test
3. test d’ipotesi
4. intervalli di confidenza
Il test d’ipotesi (per le medie) ci aiuta a prendere una decisione: o è
vera l’ipotesi nulla o lo è qualche altra ipotesi alternativa?
H0 : E(Y) = µY,0 vs H1 : E(Y) > µY,0 (ad una coda)
H0 : E(Y) = µY,0 vs H1 : E(Y) < µY,0 (ad una coda)
H0 : E(Y) = µY,0 vs H1 : E(Y) ≠ µY,0 (ad due coda)
p-valore: assumendo che la H0 è vera, il p-valore è probabilità di
ottenere una statistica che sia tanto sfavorevole all’H0 almeno quanto
quella calcolata per mezzo del campione.
p-valore = PrHo[| Y - µY,0|>| Yatt - µY,0|]
dove
Yatt
è il valore di
Y
attualmente osservato (non casuale).
Probabilità di ottenere un valore di Y che, sotto H0, sia diverso da µY,0
almeno quanto lo è Y .
p-valore è l’area nelle code della distribuzione di Y , sotto H0,
corrispondente ai valori esterni all’intervallo | Y att - µY,0|.
Se il p-valore è elevato allora il valore Y è coerente con l’ipotesi
nulla.
att
att
se n è grande possiamo utilizzare l’approssimazione alla normale
dunque
Y − µY
Yatt − µY
PrHo
>
p-value =
σY / n
σ Y / n
≈ probabilità sotto le code destra
e sinistra di una N(0,1)
livello di significatività di un test è la probabilità specificata a priori di
rifiutare non correttamente H0, quando H0 è vera.
Stima della varianza di Y
n
1
2
sY2 =
(
Y
−
Y
)
∑
i
n −1 i=1
di fatto se (Y1, Y2, … Yn) sono i.i.d. e
p
E(Y 4 ) < ∞ , sY2
→
σY2
• la legge dei grandi numeri si applica perché anche sY2 è una media
campionaria, vedi appendice 3.3
• si assume che E(Y 4 ) < ∞ perché la media non è di Yi ma del suo
quadrato, vedi appendice 3.3
Il p-value con sY2 al posto di σY2 è
Y − µY ,0 Yatt − µY ,0
PrH 0
>
sY / n
sY / n
= PrH 0 [ t > tatt ]
≈ probabilità sotto le
code destra e sinistra di una normale
dove
(
Y −µ )
t=
Y ,0
sY / n è la statistica t che già conosciamo
Il p-value e il livello di significatività
con un livello di significatività già specificato a priori (es 5%)
• rifiutiamo se |t|≥1.96
• allo stesso modo rifiutiamo se p≤0.05
• il p-value è a volte chiamato livello di significatività marginale
La distribuzione t-student
se Y è una normale N(µY,σY2) allora da statistica t ha una
distribuzione t-student con gradi di libertà n
per n grandi (n>30) la distribuzione t e la N(0,1) sono molto simili
In questo corso utilizzeremo principalmente questa approssimazione
Nozioni di probabilità per inferenza statistica
5. stima
6. test
7. test d’ipotesi
8. intervalli di confidenza
un intervallo di confidenza al 95% può sempre essere costruito come
un insieme di valori di µY non rifiutati da un test di ipotesi con un
livello di significatività del 5%
(
Y − µY )
Y − µY
≤ 1 . 96 = µ Y : − 1 . 96 ≤
≤ 1 . 96 =
µY :
sY / n
sY / n
sY
sY
, Y + 1 . 96
µ Y ∈ Y − 1 . 96
n
n
il concetto dell’intervallo di confidenza si basa sui risultati visti prima
che presuppongono n grande e dunque che Y sia approssimativamente
p
σY2
normalmente distribuito e che sY2 →
Sommario
Assumendo
1. un campionamento casuale e che (Y1, Y2, … Yn) sono i.i.d.
2. 0 < E(Y4) < ∞
possiamo sviluppato per n grande:
• teoria dello stimatore (distribuzione campionaria di Y )
• teoria del test d’ipotesi (statistica t e p-value)
• teoria dell’intervallo di confidenza (costruita invertendo la
statistica t)
Le assunzioni 1. e 2. sono plausibili in pratica? SI !
Domanda di natura politica:
qual’è l’effetto di ridurre STR di uno studente a classe?
Fino ad ora abbiamo esaminato ∆ = differenza fra le medie, anche se ∆
non risponde propriamente alla nostra domanda.
∆ voti
Saremmo piuttosto interessati a conoscere il valore di ∆ STR che è la
pendenza della retta che mette in relazione i voti con STR
…in qualche modo dobbiamo stimare questa pendenza..
Obiettivo principale del corso:
utilizzare metodi statistici ed econometrici per quantificare gli effetti
causali:
idealmente dovremmo fare uso di dati sperimentali ma nella maggior
parte dei casi faremo riferimento a dati osservati
i principali problemi dei dati osservati sono:
• effetti che confondo le nostre conclusioni (fattori omessi)
• causalità simultanea (STR→ voti o voti→ STR ?)
• correlazione non implica causalità
In questo corso
1. imparerete i metodi di stima degli effetti causali usando dati
osservati;
2. imparerete qualche metodo che può essere utilizzato per qualche
altro scopo, es prevedere serie storiche;
3. vi concentrerete sulle applicazioni empiriche al fine di
comprendere il “perché” di questi metodi;
4. imparerete a fare la vostra analisi empirica e a comprendere
quella che hanno fatto altri;
Tavole della distribuzione t-student
Degrees of Freedom
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
40
60
120
∞
Probability, p
0.1 0.05 0.01 0.001
6.31 12.71 63.66 636.62
2.92
4.3 9.93
31.6
2.35 3.18 5.84 12.92
2.13 2.78
4.6
8.61
2.02 2.57 4.03
6.87
1.94 2.45 3.71
5.96
1.89 2.37
3.5
5.41
1.86 2.31 3.36
5.04
1.83 2.26 3.25
4.78
1.81 2.23 3.17
4.59
1.8
2.2 3.11
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