LAVORO ESTIVO di MATEMATICA

LAVORO ESTIVO di MATEMATICA
Classi Quarte Scientifico Moderno
N.B. DA CONSEGNARE ALLA PRIMA LEZIONE DI MATEMATICA DI SETTEMBRE
Geometria analitica:
1) Nel fascio di circonferenze di equazione x2 + y2 - (2 – k)x – (4 + k)y + 4 + 2k = 0 determinare:
a) le coordinate dei punti base; b) l’equazione dell’asse radicale; c) l’equazione della retta dei
centri; d) l’equazione della circonferenza del fascio avente centro sulla retta x + 3y – 6 = 0; e) le
equazioni delle circonferenze aventi raggio = 1; f) l’equazione della circonferenza del fascio
tangente all’asse delle ordinate; g) l’equazione della circonferenza del fascio tangente alla retta
di equazione 2x + 3y + 7 = 0.
2) Dato il fascio di parabole di equazione y = kx2 + (k + 3)x – 1 determinare: a) le coordinate dei
punti base; b) l’equazione della parabola del fascio avente vertice sull’asse y; c) l’equazione
della parabola del fascio passante per P (- 2 ; - 5); d) l’equazione della parabola del fascio avente
per direttrice la retta di equazione 4y + 17 = 0; e) l’equazione della parabola del fascio tangente
alla retta di equazione 3x + y – 1 = 0; f) l’equazione della parabola del fascio tangente all’asse x;
g) l’equazione del luogo descritto dai vertici delle parabole del fascio.
3) Determinare l’equazione dell’ellisse, riferita agli assi, passante per il punto P (3 , 2) e avente
un fuoco nel punto F (- 3 ; 0).
4) Determinare l’equazione dell’ellisse che ha i fuochi nei punti F1 (- 2 ; - 2), F2 (4 ; - 2)
eccentricità e = 3/5.
e ha
5) Dopo aver ricondotto l’equazione in forma canonica, determinare le coordinate del centro, dei
vertici e dei fuochi dell’ellisse di equazione 3x2 + 2y2 + 12x – 12y + 18 = 0.
6) Dopo aver scritto l’equazione del fascio di rette di centro P (1 ; 2), stabilire per quali valori del
coefficiente angolare m tali rette risultano esterne, tangenti, secanti l’ellisse di equazione
x2 y2

 1 . Determinare le equazioni delle rette tangenti e le coordinate dei punti di tangenza.
2
4
7) Determinare l’equazione di una iperbole con fuochi sull’asse y, passante per P (5 ; - 2) e con un
asintoto di equazione 5y + 2 x = 0.
8) Dopo aver ricondotto l’equazione in forma canonica, determinare le coordinate del centro, dei
vertici e dei fuochi, le equazioni degli asintoti e l’eccentricità dell’iperbole di equazione
2x2 – y2 – 8x – 10y – 9 = 0.
9) Determinare l’equazione di una iperbole avente fuochi F1 (- 2 ; - 3) e F2 (- 2 , 9) e un asintoto
con coefficiente angolare m = 3.
10) Dopo aver scritto l’equazione del fascio di rette di centro P (2 ; - 1), stabilire per quali valori del
coefficiente angolare m tali rette risultano esterne, tangenti, secanti l’iperbole di equazione
2x2 – y2 = - 2. Determinare le equazioni delle rette tangenti.
11) Determinare l’equazione della funzione omografica passante per il punto P (2 , - 1) e avente
asintoti di equazioni x + 2 = 0 e y – 1 = 0. Dopo averla rappresentata graficamente, disegnare il
x 6
x6
grafico della curva di equazione y 
e quello della curva di equazione y 
.
x 2
x2
x2
y2
rappresenta:

1
k  3 5k  k 2
a) ellissi con centro nell’origine; b) circonferenze; c) iperboli con i fuochi sull’asse x.
12) Determinare per quali valori del parametro k l’equazione
Trasformazioni geometriche piane:
1) Scrivere le equazioni della simmetria di centro C (- 1 , 3) e determinare l’equazione della curva
trasformata dell’ellisse di equazione 3x2 + y2 = 9.

2) Scrivere le equazioni della traslazione individuata dal vettore v (- 2 : 4) e determinare: a) il
punto P’ trasformato del punto P (1 ; - 1/5); b) il triangolo A’B’C’ trasformato del triangolo
ABC con A (0 ; 1), B (4 ; 4), C (2 ; 5), l’area di ABC e l’area di A’B’C’.
3)
Scrivere le equazioni della simmetria rispetto alla retta y + 2 = 0 e determinare l’equazione
della curva trasformata della circonferenza di equazione x2 + y2 + 4x + 2y + 1 = 0.

2
5
y
 x '  x 
3
3
4) Verificare che l’affinità di equazioni
è una simmetria assiale di asse

 y'  5 x  2 y

3
3
x - 5 y = 0. Determinare: a) i punti uniti e le rette unite; b) l’equazione della curva trasformata
della circonferenza avente il centro in C (0 , 1) e raggio r = 2.
5) Determinare le equazioni dell’affinità che ai punti O (0 ; 0) , A (1 ; 1) , B (- 1 ; 4) fa
corrispondere i punti O’ (- 1 , 0) , A’ (3 ; 6) e B’ (0 ; 4) e verificare che il quadrato con il lato di
misura 3 e con un vertice in P (2 ; 1) e gli altri vertici nel primo quadrante, viene trasformato in
un parallelogramma di area 18.
 x'  (2 k  1) x  5 y  1  h
determinare i valori dei

 y '  (h  1) x  2 y  2 k
parametri reali h e k per cui: a) T è un’affinità; b) T è una similitudine diretta, di cui si chiedono
le equazioni; c) T è una traslazione; d) al punto A (0 ; - 1) corrisponde il punto A’ ( 3 , - 4).
6) Data la trasformazione T di equazioni
 x'  3x  6
7) Determinare punti uniti e rette unite della trasformazione di equazioni 
 y'  x  y  3
Disequazioni irrazionali e in modulo:
1)
4)
x 2  16  2  x
0
x 4  8x
3x  1  x
x2  1  x  2
2)
0
5)
x4 x2
0
1  x2
3x  1  5  x
x2 4 x
3)
0
6)
3x  1
4
x2
8)
0
3  2x  x  1
1  x  x2  x  2
0
7)
2x  1
3
x
2x  3  4x 2  1
5  9 x2  6x  1
1 2 x  3
2 x  3 x  10
0
0
9) cosx.(2senx - 1) > 0
Equazioni esponenziali e logaritmiche:
1) ( 2 .4 x  1) 2  (1  3.2 2 x )  ( 2 2 .4 x  1)
4) 2x + 2x - 1 + 2x - 2 + 2x - 3 + 2x - 4 = 31
3) 34x – 5.32x – 36 = 0
2) 3 16 2 x 1  2 8 4 x
1
1
64
x 
x 3
x 
x 3
x
8.2  3
2 3
(2  3 )(2 x 3  3x )
5)
x
7) log2x – 3logx + 2 = 0
6) log(6  2 x 2  5 )  log(14  x )
8) log 3 ( x 2  4  2)  log 3 ( x 2  4  2)  2
9) log3x – log9(3 – x) + log32 = 0
10) (2logx – 3)2 – 5.(log2x – 1) = 14
11) log 2x + 5 + log 3x + 5 – 3/2. log 6x = 2log6
Disequazioni esponenziali e logaritmiche:
x 7
1) 52x – 6 . 5x + 5  0
1
1
3) –1 
2) 3 x 2  3 x 3 .27 x 2
1
5) log1/2 (x2 – x + 7) > - 3
4) a 3 x .( a.5 a 4 ) x .3 a x  2  ( 5 a x  4 ) 2 , (0  a  1)
log 3 x  1
1
6)
log 3 x  1
2x  1
1
2 x 1  1
x 1
0
7) log 1 ( x 2  3x  3)
8) log2[log2(x – 1 ) ] > 1
3
9) log2 ( 4x – 3.2x + 1 + 8)  3
10) (log1/3 3x)2 – log1/3 33x + 2 < 0
1
1
11) log2 ( ) 2 x  log4 ( ) x  5  0
4
4
12)
1  log2 x 1  log 2 x

1  log2 x 1  log 2 x
Limiti
Calcolare i seguenti limiti:
x 2  10 x  21
1) lim
x 3
x3
1 x

3 
1 x 

lim
log

1

x


e
3) x1 
x 2  1 

x3  x 2  5x  3
2) lim 3
x 1 2 x  5 x 2  4 x  1
3x  x
x
2 x x

2
5) lim x  1
x
x 1
4) lim
2x  1  3
x2  2
6) lim
x 1
3sen 2 x  senx  4
lim
9) x 
cos 2 x
x3
8) lim
x 0 senx  cos x  senx
2
2
7) lim( x  4 x  x  3 )
x 
2
x 2
 x

 x 1 
x e  1
11) lim 
12) xlim


x  x  3 


lim cos 2 x  1  tgx
2x  5
lim
(log e x  1  log x )
x
13) xlim
14)
15)

x 
2
0
x  x2  4
1
1 x
)
10) lim(1 
x
2x


Continuità:
Determinare i valori dei parametri in modo che le seguenti funzioni siano continue in tutto R:

e senx  1

ax

2
2) f(x) = 
 b ln(2 x  1)  1  cos x

senx

  sen10 x 
log x , x  0

1) f(x) =  
2x

,
x0
 tg ( ax)
,
x0
,
x0
'
x0
Punti di discontinuità:
Classificare i punti di discontinuità delle seguenti funzioni:
1) f(x) =
4  x2
2x
2) f(x) =
senx
1  cos x
3) f(x) =
1 2 ctgx
senx

cos x,

4) f(x) =  x  1,
log x,



x0
2
0  x 1

x 1
Asintoti:
Determinare gli eventuali asintoti delle seguenti funzioni:
cos x
2x 3  x
1  x2
1) f(x) = 2
2) f(x) =
3) f(x) =
ln x  1
x  x  12
x3
4) f(x) = x  x 2  x
Disegnare il grafico probabile delle seguenti funzioni:
1) f(x) =
x2  5x  6
x
2) f(x) =
x3  1
9  x2
3) f(x) =
x 3
x2  4
4) f(x) = 2 x  4 x 2  1