UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI MILANO – BICOCCA
FACOLTÀ DI SOCIOLOGIA
A. A. 2011-2012
Esercitazioni del corso:
STATISTICA
Elena Siletti: [email protected]
Sommario Esercitazione 2:
•
Moda
•
Mediana
•
Media Aritmetica
•
Variabilità: Varianza, Deviazione Standard, Coefficiente di Variazione
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FACOLTÀ DI SOCIOLOGIA
Statistica – a. a. 2011-2012
ESERCIZIO 1:
Utilizzando i dati rilevati su alcuni dipendenti della filiale milanese di una nota
multinazionale sono state costruite le distribuzioni di frequenza dei seguenti fenomeni:
“sesso”, “n° benefit percepiti nell’ultimo anno”, “migliaia di € percepiti come bonus
nell’ultimo anno” e “statura in cm”. Calcolare gli indici di posizione ricavabili per ogni
fenomeno e commentare i risultati ottenuti:
Sesso
Freq. Assolute fi Freq. Relative pi Freq. Percentuali
Femmine
Maschi
12
8
0.60
0.40
60%
40%
20
1.00
100%
N°
Freq. Assolute Freq. Relative Freq. Percentuali
Benefit
fi
pi
0
1
2
3
4
6
3
1
3
1
7
5
0.15
0.05
0.15
0.05
0.35
0.25
15 %
5%
15 %
5%
35 %
25 %
20
1.00
100 %
Freq. Relative
Freq.
Freq.
pi
migliaia € Assolute fi
Percentuali
0 -| 1
1 -| 2
2 -| 3
3 -| 4
Statura
155 -| 165
165 -| 175
175 -| 190
6
8
3
3
0.30
0.40
0.15
0.15
30%
40%
15%
15%
20
1.00
100%
Freq.
8
8
4
Freq. Relative
pi
0.40
0.40
0.20
Freq.
Percentuali
40%
40%
20%
20
1.00
100%
Assolute fi
Cumulate
Ass. Fi
3
4
7
8
15
20
Cumulate Cumulate
Rel. Pi
Perc.
0.15
0.20
0.35
0.40
0.75
1.00
Cumulate Cumulate Cumulate
Ass. Fi
Rel. Pi
Perc.
6
14
17
20
Cumulate
Ass. Fi
8
16
20
0.30
0.70
0.85
1.00
30%
70%
85%
100%
15 %
20 %
35 %
40 %
75 %
100 %
Ampiezza
ai
Densità
di
1
1
1
1
6
8
3
3
Densità
di
Cumulate Cumulate Ampiezza
Rel. Pi
Perc.
ai
0.40
40%
10
0.80
80%
10
1.00
100%
15
0.80
0.80
0.27
ESERCIZIO 1 – Soluzione:
- La prima tabella rappresenta la serie di un fenomeno nominale: “sesso”. Per questo
tipo di fenomeni è possibile identificare esclusivamente la moda, ovvero la modalità a
cui è associata la frequenza maggiore: Moda = Femmine.
- La seconda tabella è la distribuzione di un fenomeno quantitativo discreto: “numero di
benefit”. In generale oltre alla moda è possibile ricavare la mediana e la media.
Moda = 4 benefit;
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N = 20 pari, P1 = N/2 = 10 e P2 = N/2 + 1=11, osservando le frequenze cumulate si
comprende che entrambe le posizioni sono associate alla modalità “4 benefit” che è la
mediana.
Per calcolare la media aritmetica è necessario utilizzare la seguente formula:
1 k
1
1 + 6 + 3 + 28 + 30
= 3.4
x = ∑ xi fi = [ 0 ⋅ 3 + 1⋅1 + 2 ⋅ 3 + 3 ⋅1 + 4 ⋅ 7 + 6 ⋅ 5] =
20
20
N i=1
- La terza tabella rappresenta la distribuzione in classi di uguale ampiezza di un
fenomeno quantitativo.
Per individuare la moda è sufficiente individuare il punto centrale della classe a cui è
associata la frequenza maggiore: Moda = 1.5.
Per individuare la mediana è necessario individuare la posizione (N+1)/2 = 10.5 a cui è
associata la classe mediana: 1 -| 2; si può quindi considerare come mediana il punto
centrale di tale classe 1.5, oppure si può ricavarne il valore utilizzando la seguente
formula:
a
1
xl + i ( P − Fi−1 ) = 1 + (10.5 − 6 ) = 1 + 0.56 = 1.56
fi
8
Si può calcolare la media aritmetica utilizzando i valori centrali delle classi:
1 k
1
3 + 12 + 7.5 + 10.5
= 1.65
x = ∑ xi fi = [ 0.5 ⋅ 6 + 1.5 ⋅ 8 + 2.5 ⋅ 3 + 3.5 ⋅ 3] =
20
20
N i=1
- L’ultima tabella rappresenta la distibuzione in classi di differente ampiezza di un
fenomeno quantitativo: “statura”.
Per individuare la moda è necessario individuare il punto centrale della classe a cui è
associata la frequenza specifica maggiore: essendoci due classi con frequenza specifica
massima pari a 0.8, il fenomeno è bimodale e Moda = 160 = 170.
Per individuare la mediana è necessario individuare la posizione (N+1)/2 = 10.5 a cui è
associata la classe mediana: 165 |- 175; si può quindi considerare come mediana il punto
centrale di tale classe 170, oppure si può ricavarne il valore utilizzando la seguente
formula:
a
10
xl + i ( P − Fi−1 ) = 165 + (10.5 − 8 ) = 165 + 3.13 = 168.13
fi
8
Si può calcolare la media aritmetica utilizzando i valori centrali delle classi:
1 k
1
1280 + 1360 + 730
= 168.5
x = ∑ xi fi = [160 ⋅ 8 + 170 ⋅ 8 + 182.5 ⋅ 4] =
20
20
N i=1
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ESERCIZIO 2:
Le medie aritmetiche dell’età ed il numero dei dipendenti nelle tre filiali di una azienda
produttrice di accessori per ufficio sono riportati nella seguente tabella
Filiale
Età Medie
1
2
3
35.4
28.3
43
N°
Dipendenti
85
63
39
187
Calcolare la media dell’età tra tutti i dipendenti dell’azienda.
ESERCIZIO 2 – Soluzione:
Si utilizza un teorema per cui la media dell’età di tutti i dipendenti dell’azienda è uguale
alla media delle età medie nelle filiali ponderata con le numerosità nelle stesse filiali:
x=
x=
1 k
∑ xi fi
N i =1
1 k
1
3009 + 1782.9 + 1677 6468.9
=
= 34.6
xi fi =
[35.4 ⋅ 85 + 28.3 ⋅ 63 + 43 ⋅ 39] =
∑
187
187
187
N i=1
Ovvero l’età media tra tutti i dipendenti è di 34 anni e circa 7 mesi.
ESERCIZIO 3:
Date le distribuzioni di frequenza presentate nell’esercizio 1, in cui sono riportati i
seguenti fenomeni “numero di benefit aziendali acquisiti negli ultimi 2 mesi”, “migliaia
di € ottenuti come premio aziendale nell’ultimo semestre” e “statura in cm”, calcolare la
varianza, la deviazione standard e il coefficiente di variazione.
ESERCIZIO 3 – Soluzione:
Nella prima tabella, utilizzandole frequenze relative, è necessario utilizzare la seguente
formula per calcolare la varianza:
k
σ 2 = ∑ ( xi − x ) pi =
2
i =1
k
= ∑ xi2 pi − x 2 = 02 ⋅ 0.15 + 12 ⋅ 0.05 + 22 ⋅ 0.15 + 32 ⋅ 0.05 + 42 ⋅ 0.35 + 62 ⋅ 0.25 − ( 3.4 ) 2 = 4.14
i =1
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dove la media si ottiene come:
k
x = ∑ xi pi = [ 0 ⋅ 0.15 + 1⋅ 0.05 + 2 ⋅ 0.15 + 3 ⋅ 0.05 + 4 ⋅ 0.35 + 6 ⋅ 0.25] = 3.4
i =1
successivamente dalla varianza si ottiene la deviazione standard che ricordiamo essere
utile per l’interpretazione della variabilità perché si presenta con la stessa unità di
misura del fenomeno:
σ = σ 2 = 4.14 = 2.03 , ovvero mediamente le singole osservazioni si scostano dalla
media aritmetica di 2.03.
Avendo calcolato media e la deviazione è immediato il calcolo del coefficiente di
variazione, che è un numero assoluto che permette di confrontare la variabilità:
2.03
CV =
= 0.6
3.4
Nella seconda tabella, utilizzando la media calcolata nell’esercizio 1 come:
1 k
1
x = ∑ xi fi = [ 0.5 ⋅ 6 + 1.5 ⋅ 8 + 2.5 ⋅ 3 + 3.5 ⋅ 3] = 1.65
N i=1
20
è possibile calcolare la varianza come segue:
σ2 =
=
1 k
2
( xi − x ) fi =
∑
N i=1
1 k 2
1
0.52 ⋅ 6 + 1.52 ⋅ 8 + 2.52 ⋅ 3 + 3.52 ⋅ 3 − (1.65 ) 2 = 1.03
xi f i − x 2 =
∑
20
N i=1
da cui si ottiene la deviazione standard come: σ = 1.03 = 1.02
e il coefficiente di variazione come: CV =
1.02
= 0.62 .
1.65
Anche nella terza tabella, utilizzando la media calcolata nell’esercizio 1 come:
x=
1 k
1
xi fi = [160 ⋅ 8 + 170 ⋅ 8 + 182.5 ⋅ 4] = 168.5
∑
N i=1
20
è possibile calcolare la varianza come segue:
1 k
2
σ 2 = ∑ ( xi − x ) fi =
N i=1
=
1 k 2
1
1602 ⋅ 8 + 1702 ⋅ 8 + 182.52 ⋅ 4 − (168.5 ) 2 = 69
xi f i − x 2 =
∑
N i=1
20
da cui si ottiene la deviazione standard come: σ = 69 = 8.31 ovvero mediamente le
singole osservazioni si scostano dalla media di più o meno 8.31 cm.
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e il coefficiente di variazione come: CV =
8.31
= 0.05 .
168.5
Confrontando la variabilità dei fenomeni si può concludere che il fenomeno più
variabile è il fenomeni “migliaia di € ottenuti come premio aziendale nell’ultimo
semestre”, mentre il meno variabile è la “statura in cm”.
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