Esercizi settima unità - serale Archivo

Corso di Laurea INTERFACOLTÀ - Esercitazione di Statistica n° 7
ESERCIZIO
1:
Si supponga che un dado truccato, formato da sei facce contrassegnate dai numeri da 1 a 6, sia
costruito in modo tale che la probabilità di ottenere un “6” è doppia rispetto a quella degli altri
punteggi. Sia X la variabile casuale “punteggio ottenuto in un lancio di un dado”. Determinare:
1. la legge di probabilità della variabile casuale X
2. il valore atteso e la varianza della variabile casuale X.
ESERCIZIO 1 – Soluzione:
Ω ={1,2,3,4,5,6}
X = “Punteggio ottenuto in un lancio di un dado”
P(X = xi ) = p
P(X = 6) = 2p
i = 1,2,3,4,5
1.
P(X = xi )
p
p
p
p
p
2p
7p
xi
1
2
3
4
5
6
6
Deve essere:
∑ P( X = x ) =1
i
i =1
Quindi p + p + p + p + p + 2 p = 7 p = 1 da cui p =
1
7
La funzione di probabilità della v.c. X è quindi:
xi
P(xi)
1
2
3
4
5
6
1/7
1/7
1/7
1/7
1/7
2/7
1
2.
Si definisce valore atteso o media della v.c. discreta X, e si indica con E(X), se esiste, il seguente
valore:
∑ x ⋅ p(x )
i
i
i
Elena Siletti: [email protected], [email protected]
1
6
1
1
1
1
1
2 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 12
= 3.857
E ( X ) = ∑ xi P ( X = xi ) = 1 ⋅ + 2 ⋅ + 3 ⋅ + 4 ⋅ + 5 ⋅ + 6 ⋅ =
7
7
7
7
7
7
7
i =1
Si definisce varianza della v.c. discreta X, e si indica con Var(X), il valore atteso dei quadrati degli
scarti dal valore atteso:
Var ( X ) = E  X − E ( X )  = ∑  xi − E ( X )  p ( xi ) = ∑ xi2 p ( xi ) −  E ( X ) 
2
2
2
2
2
27  2 160
 27  1

Var ( X ) = ∑  xi − E ( X )  P ( X = xi ) = 1 −  ⋅ + ... +  6 −  ⋅ =
= 3.625
7  7
7  7 49


i =1
6
2
ESERCIZIO 2:
Un gioco consiste nel lanciare un dado ed una moneta non truccati. Come risultato del lancio del
dado si considera il numero riportato sulla faccia superiore, mentre per il lancio della moneta si
considera il punteggio 0 se si presenta testa, punteggio 1 se si presenta croce.
Determinare il valore atteso e la varianza della variabile casuale che descrive la somma dei punteggi
riportati nel lancio del dado e della moneta.
ESERCIZIO 2 – Soluzione:
Gli eventi elementari dello spazio Campionario sono 2x6 = 12, in particolare sono le coppie
seguenti:
(dado,moneta)
(1, 0)
(1, 1)
(2, 0)
(2, 1)
(3, 0)
(3, 1)
(4, 0)
(4, 1)
(5, 0)
(5, 1)
(6, 0)
(6, 1)
Somma - S
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
7
Ciascun evento elementare ha probabilità 1/12.
P ( S = 1) =
1
1 1
2
; P ( S = 2) = + = ;
12
12 12 12
Proseguendo si ottiene la seguente distribuzione di probabilità della v.c. Somma:
si
P(S = si)
1
2
3
4
5
6
7
1/12
2/12
2/12
2/12
2/12
2/12
1/12
1
Tot
Elena Siletti: [email protected], [email protected]
2
Da cu si ottiene il valore atteso:
7
E ( S ) = ∑ si P ( S = si ) = 1 ⋅
i =1
1
2
1
+ 2 ⋅ + ... + 7 ⋅ = 4
12
12
12
e la varianza:
Var ( S ) = ∑ si2 p ( si ) −  E ( S )  =
2
1 8
49 2
+ + ... +
− 4 = 3.167
12 12
12
ESERCIZIO 3:
Un’urna contiene tre palline contrassegnate dai numeri 1,2,3. Si estrae con riposizione un campione
di ampiezza due. Sia X la variabile casuale che esprime la media dei numeri riportati sulle palline
estratte. Calcolare media e varianza di X.
ESERCIZIO 3 – Soluzione:
Spazio Campionario = {(1, 1) (1, 2) (1, 3) (2, 1) (2, 2) (2, 3) (3, 1) (3, 2) (3, 3)}
Distribuzione di probabilità:
xi
P(xi)
1
1.5
2
2.5
3
1/9
2/9
3/9
2/9
1/9
1
Da cui si calcola il valore atteso:
5
1
1
E ( X ) = ∑ xi P ( X = xi ) = 1 ⋅ + ... + 3 ⋅ = 2
9
9
i =1
e la varianza:
Var ( X ) = ∑ xi2 p ( xi ) −  E ( X )  =
2
1
2
1
1
+ 1.52 ⋅ + ... + 32 ⋅ − 2 2 = = 0.33
9
9
9
3
Elena Siletti: [email protected], [email protected]
3