Corso di Laurea INTERFACOLTÀ - Esercitazione di Statistica n° 2
ESERCIZIO
1
Date le seguenti distribuzioni di frequenza
Calcolare la Moda:
Tit. Godimento
Freq. Relative
Settore
Freq. Assolute
Affitto
0.40
Agricoltura
4
Proprietà
0.50
Industria
11
Altro
0.10
Altro
5
1
20
Calcolare la Moda, la Mediana e i Quartili:
Calcolare la Moda, la Mediana ed i Quartili:
N° Figli
Freq. Assolute
Freq.
Cumulate
0
3
3
Tit. di Studio
Freq.
Percentuali
Freq. Perc.
Cumulate
Senza Titolo
5%
5%
1
5
8
Lic. Elem.
5%
10%
2
5
13
Lic. Media
30%
40%
3
4
17
Diploma
25%
65%
4
1
18
Laurea
35%
100%
5
2
20
20
Calcolare la Moda, la Mediana ed i Quartili:
Classe Età
Freq. Assolute
25 -| 30
5
30- | 45
2
45 -| 50
4
50 -| 60
7
60 -| 70
2
Calcolare Moda e Mediana:
Classe Reddito
Freq. Relative
15000 |- 20000
0.60
20000 |- 25000
0.15
25000 |- 30000
0.25
1
20
Calcolare la Moda:
ESERCIZIO
1 – Soluzione:
1. Settore di Attività: Mo è “industria”
2. Titolo di Godimento dell’Abitazione: Mo è “proprietà”
Elena Siletti: [email protected], [email protected]
1
3. Titolo di Studio del Capo Famiglia: Mo è “laurea”; Me è “diploma”, Q1 è “lic. Media” e Q3
è “laurea”
4. Numero Figli: il fenomeno è bimodale Mo sono “1 figlio” e “2 figli”,
P1 = 10 e P2 = 11; Me è “2 figli”, Q1 è “1 figlio”, Q3 è “3 figli”
5. Età del Capo Famiglia:
Classe Età
Freq. Assolute
Ampiezza
Freq. Specifiche
Freq. Cumulate
25 -| 30
5
5
1
0.25
30- | 45
2
15
0.13
0.35
45 -| 50
4
5
0.8
0.55
50 -| 60
7
10
0.7
0.90
60 -| 70
2
10
0.2
1.00
20
La classe modale è 25 -| 30, Mo è “27 anni e 6 mesi”
P = 10.5, la classe mediana è 45 -| 50, Me è “47 anni e 6 mesi” oppure
ai
5
5
(α − Fi −1 ) = 45 + ( 0.5 − 0.35) = 45 + ( 0.15 ) = 48.75 , ovvero Me “48 anni e nove
fi
0.2
0.2
mesi”, Q1 è “30 anni” e Q3 è “55.7 anni”ovvero “55 anni e circa 8 mesi e mezzo” essendo P1 =
5.25 e P2 = 15.75.
li +
6. Reddito Lordo Annuo:
Classe Reddito
Freq. Relative
Freq. Cumulate
15000 |- 20000
0.60
0.60
20000 |- 25000
0.15
0.75
25000 |- 30000
0.25
1
La classe modale è 15000 -| 20000, Mo è “17500 euro”,
la classe mediana è 15000 -| 20000, Me è “17500 euro”, oppure
li +
ai
5000
5000
(α − Fi −1 ) = 15000 +
( 0.5 − 0 ) = 15000 +
( 0.5 ) = 19166.67
fi
0.6
0.6
ESERCIZIO
2:
Data la distribuzione per età degli individui visitati nel centro medico in una giornata:.
ETA'
10 |- 30
30 |- 50
50 |- 70
70 |- 90
Totale
ni
3
10
7
5
25
Calcolare la moda, la mediana e la media aritmetica e rappresentare graficamente la funzione di
ripartizione
Elena Siletti: [email protected], [email protected]
2
ESERCIZIO
2 – Soluzione:
ETA'
10 |- 30
30 |- 50
50 |- 70
70 |- 90
ni
Ni
fi
Fi
3
10
7
5
3
13
20
25
0.12
0.40
0.28
0.20
0.12
0.52
0.80
1.00
25
Dato che le classi sono di uguale ampiezza, non è necessario considerare le frequenze specifiche,
quindi la classe modale è “30 -| 50” e la Mo è “40 individui”. La posizione mediana è P = 13, la
classe mediana è “30 -| 50”, e la Me è “40 individui”.
La media aritmetica è:
M1 = µ X =
1 k
1
60 + 400 + 420 + 400
= 51.2
xi ni = [ 20 ⋅ 3 + 40 ⋅10 + 60 ⋅ 7 + 80 ⋅ 5] =
∑
n i =1
25
25
Ovvero l’età media è di circa “51 anni e 73 giorni ”
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
10
ESERCIZIO
30
50
70
90
3:
Individuare la moda e la mediana, se possibile, dei dati rappresentati nella seguente tabella
riguardanti gli occupati in Italia per settore di attività economica nel 2004 e nel 2005:
SETTORE DI ATTIVITA'
agricoltura
industria
altre attività
Totale
ESERCIZIO
ANNO 2004
1034
6956
14640
22630
ANNO 2005
999
6998
14689
22685
3 – Soluzione:
Sia nel 2004 che nel 2005 la Mo è “altre attività”.
Non essendo il fenomeno almeno ordinale è impossibile identificare la mediana.
Elena Siletti: [email protected], [email protected]
3
ESERCIZIO
4:
Dall’esame di 20 dipendenti emerge la seguente distribuzione del titolo di studio. Individuare moda
e mediana se possibile.
Titolo di studio
ni
Senza Titolo
Lic. Elem.
Lic. Media
Diploma
Laurea
ESERCIZIO
1
1
6
5
7
4 – Soluzione:
La moda è “Laurea”.
Il fenomeno è qualitativo rettilineo è quindi possibile ordinare le modalità con cui si manifesta ed
individuare la mediana: n è pari quindi avremo P1 = 10 e P2 = 11;
Titolo di studio
Ni
Senza Titolo
Lic. Elem.
Lic. Media
Diploma
Laurea
1
2
8
13
20
Coincidendo le modalità di P1 e P2 Me è “Diploma”.
ESERCIZIO
5:
Individuare la moda utilizzando la distribuzione delle frequenze assolute relativa agli incidenti
stradali suddivisi per giorni della settimana in Italia nel 2004.
Giorni
lunedì
martedì
mercoledì
giovedì
venerdì
sabato
domenica
ESERCIZIO
N° incidenti
41.042
39.793
40.802
40.564
40.412
47.364
43.113
5 – Soluzione:
La moda è “sabato”, ovvero il maggior numero di incidenti avviene al sabato.
ESERCIZIO
6:
Individuare moda e mediana, se possibile, utilizzando i dati della seriazione che descrive il numero
di vani nelle 100 abitazioni del quartiere.
NUMERO
VANI
FREQUENZE
1
2
3
4
5
6
22
28
25
15
8
2
Elena Siletti: [email protected], [email protected]
4
ESERCIZIO
6 – Soluzione:
La moda è “2 vani”
NUMERO
VANI
CUMULATE
1
2
3
4
5
6
22
50
75
90
98
100
Essendo n pari P1 = 50 e P2 = 51, a P1 è associata la modalità “2 vani” mentre a P2 è associata la
modalità
7:
Date le seguenti distribuzioni di frequenza, calcolare la Media Aritmetica, la Media Geometrica e la
Media Armonica:
ESERCIZIO
N° Figli
Freq. Assolute
0
3
1
5
2
5
3
4
4
1
5
2
20
Classe Età
Freq. Assolute
25 -| 30
5
30- | 45
2
45 -| 50
4
50 -| 60
7
60 -| 70
2
20
Classe Reddito
Freq. Relative
15000 |- 20000
0.60
20000 |- 25000
0.15
25000 |- 30000
0.25
1
ESERCIZIO
7 – Soluzione:
X: “Numero di Figli”
Media Aritmetica
x=
1 k
0 ⋅ 3 + 1 ⋅ 5 + 2 ⋅ 5 + 3 ⋅ 4 + 4 ⋅1 + 5 ⋅ 2 5 + 10 + 12 + 4 + 10 41
xi ni =
=
=
= 2.05
∑
20
20
20
n i =1
Elena Siletti: [email protected], [email protected]
5
Media Geometrica
k
Mo = M g =
n
k
ni
k
3
5
5
4
1
2
∏ xini = ∏ xin = ∏ xifi = 0 20 ⋅120 ⋅ 2 20 ⋅ 320 ⋅ 4 20 ⋅ 5 20 = 0
i =1
i =1
i =1
In effetti ha senso calcolare la media solo per valori maggiori di zero.
Media Armonica
n
20
20
M −1 = k
=
=
=
3
5
5
4
1
2
5
4 1 2
ni
+
+
+
+
+
5
+
+
+
+
∑
0 1 2 3 4 5
2 3 4 5
i =1 xi
=
20
1200
1200
=
=
= 2.11
60 ⋅ 5 + 30 ⋅ 5 + 20 ⋅ 4 + 15 ⋅1 + 12 ⋅ 2 300 + 150 + 80 + 15 + 24 569
60
X: “Età del Capo Famiglia”
Media Aritmetica
1 k
∑ xi ni =
n i =1
27.5 ⋅ 5 + 37.5 ⋅ 2 + 47.5 ⋅ 4 + 55 ⋅ 7 + 65 ⋅ 2 137.5 + 75 + 190 + 385 + 130 917.5
=
=
=
= 45.9
20
20
20
x=
Media Geometrica
k
n
5
2
4
7
2
ln M g = ∑ i ln xi =
ln 27.5 + ln 37.5 + ln 47.5 + ln 55 + ln 65 =
20
20
20
20
20
i =1 n
1
1
1
7
1
= ln 27.5 + ln 37.5 + ln 47.5 + ln 55 + ln 65 = 0.83 + 0.36 + 0.77 + 1.40 + 0.42 = 3.78
4
10
5
20
10
M g = e3.78 = 43.72
Media Armonica
n
20
20
M −1 = k
=
=
= 41.93
5
2
4
7
2 0.477
ni
+
+
+ +
∑
27.5 37.5 47.5 55 65
i =1 xi
X: “Reddito della Famiglia”
Media Aritmetica
k
x = ∑ xi f i = 17500 ⋅ 0.6 + 22500 ⋅ 0.15 + 27500 ⋅ 0.25 = 20750
i =1
Media Geometrica
k
ln M g = ∑ f i ln xi = 0.6 ln17500 + 0.15ln 22500 + 0.25 ln 27500 = 5.86 + 1.50 + 2.56 = 9.92
i =1
M g = e9.92 = 20332.99
Media Armonica
1
1
1
M −1 = k
=
=
= 20000
0.6
0.15
0.25
fi
0.00005
+
+
∑
17500 22500 27500
i =1 xi
Elena Siletti: [email protected], [email protected]
6
ESERCIZIO
8:
Le medie aritmetiche dei voti riportati da un campione di studenti del corso di laurea XXX suddivisi
nei tre anni di corso sono le seguenti
Anno di
Corso
Voto
Medio
N°
Studenti
1°
2°
3°
24.3
25.7
28
320
250
230
800
Calcolare la media del voto tra tutti gli studenti del corso di laurea.
ESERCIZIO
8 – Soluzione:
Si utilizza il teorema per la media di un miscuglio per cui.
x=
1 k
1
7776 + 6425 + 6440 20641
xi ni =
=
= 25.8
[ 24.3 ⋅ 320 + 25.7 ⋅ 250 + 28 ⋅ 230] =
∑
n i =1
800
800
800
ESERCIZIO
9:
Facendo riferimento alla seguente seriazione:
X
Freq. Assolute
1
3
3
5
5
2
10
2
Determinare la media aritmetica della trasformata Y = 2 ( X − 3) + 5
ESERCIZIO
9 – Soluzione:
La media aritmetica è
(
2
)
M (Y ) = M 2 ( X − 3) + 5 = 2 M
( ( X − 3) ) + 5 = 2 M ( X
2
2
− 6 X + 9) + 5 =
= 2 M ( X 2 ) − 12 M ( X ) + 23
M (X ) =
1 k
1 ⋅ 3 + 3 ⋅ 5 + 5 ⋅ 2 28
xi ni =
=
= 2.8
∑
n i =1
10
10
M (X2) =
1 k 2
12 ⋅ 3 + 32 ⋅ 5 + 52 ⋅ 2 3 + 45 + 50
x
n
=
=
= 9.8
∑i i
n i =1
10
10
M ( Y ) = 2 M ( X 2 ) − 12 M ( X ) + 23 = 2 ⋅ 9.8 − 12 ⋅ 2.8 + 23 = 19.6 − 33.6 + 23 = 9
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7
ESERCIZIO
10
Una ricerca rivolta allo studio del peso in kg di 100 studenti iscritti al primo biennio delle superiori,
ha consentito di calcolare i seguenti indici:
N
mediana = 60;
∑x
i
= 6000 ;
i =1
valutare il livello di simmetria del fenomeno analizzato.
ESERCIZIO
10 – Soluzione:
N
1
n = 100 e Me = 60, essendo ∑ xi = 6000 , allora x =
N
i =1
N
∑x
i
=
i =1
6000
= 60
100
Sostituendo si ricava l’indice delta di simmetria, ma siccome la media è uguale alla mediana, risulta
essere nullo., la distribuzione potrebbe essere simmetrica.
ESERCIZIO
11:
In un’azienda produttrice di semilavorati per prefabbricati edili, è stato valutato il peso in quintali
dei prodotti realizzati nell’ultima settimana, le informazioni inerenti sono state sintetizzate nella
seguente tabella.
Peso in quintali
Prodotti
40 |- 50
50 |- 55
55 |- 60
60 |- 65
65 |- 70
70 |- 80
80 |-95
16
20
35
43
53
78
32
Valutare la simmetria della distribuzione del peso.
ESERCIZIO
11 – Soluzione:
Per valutare, come richiesto, la simmetria della distribuzione di frequenze si calcola l’indice di
simmetria:
α1 =
1
N
k
∑( x − µ )
i
3
ni
i =1
σ3
Quindi è necessario calcolare la media:
1 k
1
x = ∑ xi ni =
( 45 ⋅16 + 52.5 ⋅ 20 + 57.5 ⋅ 35 + 62.5 ⋅ 43 + 67.5 ⋅ 53 + 75 ⋅ 78 + 87.5 ⋅ 32 ) =
N i =1
277
720 + 1050 + 2012.5 + 2687.5 + 3577.5 + 5850 + 2800
=
= 67.5
277
Il numeratore nell’indice si calcola come:
1
−11390.63 ⋅16 − 3375 ⋅ 20 + ... + 8000 ⋅ 32
3
3
= 214.01
( 45 − 67.5 ) ⋅16 + ... + (87.5 − 67.5) ⋅ 32 =
277
277
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8
Mentre per ricavare il denominatore prima si ricava la varianza:
1
506.25 ⋅16 + ... + 400 ⋅ 32
2
2
σ2 =
45 − 67.5 ) ⋅16 + ... + ( 87.5 − 67.5 ) ⋅ 32 =
= 124.05
(
277
277
Da cui si ricava lo scarto quadratico medio: σ = 124.05 = 11.14 e quindi σ 3 = 11.143 = 1382.47
1
N
k
∑(x − µ )
i
3
ni
214.01
= 0.16
σ
1382.47
Essendo l’indice, che è molto vicino a 0, il grado di asimmetria positiva (perché è positivo) è
minimo.
α1 =
ESERCIZIO
i =1
3
=
12:
In un liceo privato, visto il grande numero di studenti che hanno fatto richiesta di iscrizione, si è
deciso di effettuare un test di ingresso in modo da poter effettuare un’eventuale graduatoria. Ad
ogni test è stato effettuato un punteggio da 0 a 4. i risultati sono riportati di seguito.
Punteggio test d’ingresso
Percentuale di studenti
0
1
2
3
4
45 %
30 %
10 %
10 %
5%
Verificare se è possibile affermare che la distribuzione dei punteggi è simmetrica, in caso negativo
si valuti il grado di asimmetria.
ESERCIZIO
12 – Soluzione:
Per valutare, come richiesto, la simmetria della distribuzione di frequenze si calcola l’indice di
simmetria:
δ = µ − me
Quindi è necessario calcolare la media e la mediana:
k
x = ∑ xi f i = ( 0 ⋅ 0.45 + 1 ⋅ 0.30 + 2 ⋅ 0.10 + 3 ⋅ 0.10 + 4 ⋅ 0.05 ) = 1
i =1
Utilizzando le frequenze relative cumulate: 0.45, 0.75, 0.85, 0.95, 1, la mediana è 1.
δ = µ − me = 1 − 1 = 0
Quindi utilizzando l’indice sembra esserci simmetria perfetta, ma calcolando la moda = 0, ci si
accorge che essendo quest’ultima diversa dalla media e dalle mediana non c’è simmetria.
Se X è simmetrica, allora l’indice è nullo, ma non è vero il contrario. Notando invece che la moda <
media si può affermare che si è in una situazione di asimmetria positiva.
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9
ESERCIZIO
13:
Date le seguenti distribuzioni di frequenza, calcolare la Varianza:
N° Figli
Freq. Assolute
0
3
1
5
2
5
3
4
4
1
5
2
20
Classe Età
Freq. Assolute
25 -| 30
5
30- | 45
2
45 -| 50
4
50 -| 60
7
60 -| 70
2
20
Classe Reddito
Freq. Relative
15000 |- 20000
0.60
20000 |- 25000
0.15
25000 |- 30000
0.25
1
ESERCIZIO
13 – Soluzione:
X: “Numero di Figli”
1 k 2
02 ⋅ 3 + 12 ⋅ 5 + 22 ⋅ 5 + 32 ⋅ 4 + 42 ⋅1 + 52 ⋅ 2
5 + 20 + 36 + 16 + 50
2
2
2
x
n
−
x
=
− ( 2.05 ) =
− ( 2.05 ) =
∑
i i
n i =1
20
20
127
2
=
− ( 2.05 ) = 6.35 − 4.2 = 2.15
20
X: “Età del Capo Famiglia”
1 k
27.52 ⋅ 5 + 37.52 ⋅ 2 + 47.52 ⋅ 4 + 552 ⋅ 7 + 652 ⋅ 2
2
σ 2 = ∑ xi2 ni − x 2 =
− ( 45.9 ) =
n i =1
20
3781.25 + 2812.5 + 9025 + 21175 + 8450
45243.8
=
− 2106.8 =
− 2106.8 = 155.4
20
20
σ2 =
X: “Reddito della Famiglia”
k
σ 2 = ∑ xi2 f i − x 2 = 175002 ⋅ 0.6 + 225002 ⋅ 0.15 + 275002 ⋅ 0.25 − ( 20750 ) = 18187500
2
i =1
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10
ESERCIZIO
14:
Date la seguente distribuzione di frequenza, calcolare il campo di variazione e la differenza
interquartile, e creare il box plot:
N° Figli
Freq. Assolute
0
3
1
5
2
7
3
5
4
2
5
3
25
ESERCIZIO
14 – Soluzione:
X: “Numero di Figli”
K = xn − x1 = 5 − 0 = 5
N° Figli
Freq. Relative
Cumulate
0
0.12
1
0.32
2
0.6
3
0.8
4
0.88
5
0.1
DI = Q3 − Q1 = 3 − 1 = 2
Per disegnare il box plot è necessario individuare anche la mediana che è 2:
Box Plot
6
5
4
3
2
1
0
Elena Siletti: [email protected], [email protected]
11
ESERCIZIO
15:
Facendo riferimento alla seguente distribuzione:
X
Freq. Assolute
1
3
3
5
5
2
10
Determinare lo scarto quadratico medio della trasformata Z = 12 − 3 X
ESERCIZIO
15 – Soluzione:
Lo scarto quadratico medio è
2
2
σ Z = V ( Z ) = V (12 − 3 X ) = M ( −3 X + 3x ) = 9M ( X − x ) = 9σ X2
σ X2 =
2
1 k 2
2
xi ni − x 2 = M ( X 2 ) − ( M ( X ) ) = 9.8 − ( 2.8 ) = 9.8 − 7.84 = 1.96
∑
n i =1
σ Z = 3 1.96 = 4.2
ESERCIZIO
16:
Facendo riferimento alle variabili dell’esercizio 6 dire qual è il fenomeno più variabile.
ESERCIZIO
16 – Soluzione:
Per confrontare la variabilità è necessario calcolare i coefficienti di variazione
X: “Numero di Figli”
1 k
x = ∑ xi ni = 2.05
n i =1
X: “Età del Capo Famiglia”
1 k
x = ∑ xi ni = 45.9
n i =1
X: “Reddito della Famiglia”
k
x = ∑ xi f i = 20750
i =1
σ2 =
1 k 2
xi ni − x 2 = 2.15
∑
n i =1
σ2 =
1 k 2
xi ni − x 2 = 155.4
∑
n i =1
CV =
CV =
k
σ 2 = ∑ xi2 f i − x 2 = 18187500
CV =
i =1
σ
x
=
σ
x
σ
x
=
=
2.15
= 0.72
2.05
155.4
= 0.27
45.9
18187500
= 0.21
20750
Il fenomeno più variabile è il “Numero di Figli” essendo:
0.72 > 0.27 > 0.21
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12
ESERCIZIO
17:
Date le seguenti tabelle contenenti informazioni sui fenomeni “temperatura registrata dalla sonda
frigorifera” e “diametro in cm dei bulloni”:
Temperatura
ni
x1 = -1
x2 = 0
x3 = 5
x4 = 8
x5 = 10
6
4
12
3
8
Id
1
2
3
4
Diametro del
bullone in cm
Id
yi
yi
0.89 5 0.84
0.85 6 0.85
0.88 7 0.85
0.85 8 0.86
calcolare il campo di variazione, lo scarto quadratico medio, ed inoltre, dire qual è il fenomeno più
variabile.
ESERCIZIO
17 – Soluzione:
Nella prima tabella il campo di variazione è: il valore maggiore – valore minore = 10 – (-1) = 11,
mentre nella seconda tabella è: 0.89 – 0.84 = 0.05.
La prima tabella è una distribuzione di frequenza del fenomeno “temperatura” su una popolazione
statistica di n = 33, per calcolare gli indici sarà quindi necessario utilizzare le formule ponderate,
mentre la seconda tabella è una matrice dei dati con n = 8 unità statistiche (bulloni) sulle quali è
stato rilevato il diametro, in questo caso sarà necessario utilizzare le formule semplici.
Per calcolare gli scarti quadratici medi è necessario calcolare le varianze, quindi anche le medie di
entrambi i fenomeni:
1 k
1
xi ni = [ −1 ⋅ 6 + 0 ⋅ 4 + 5 ⋅12 + 8 ⋅ 3 + 10 ⋅ 8] = 4.79
∑
n i =1
33
n
1
1
y = ∑ yi = [ 0.89 + 0.85 + 0.88 + 0.85 + 0.84 + 0.85 + 0.85 + 0.86] = 0.859
n i =1
8
x=
σ X = σ X2 =
=
σ Y = σ Y2 =
1 k 2
∑ xi ni − x 2 =
n i =1
1
2
( −1) ⋅ 6 + 02 ⋅ 4 + 52 ⋅12 + 82 ⋅ 3 + 102 ⋅ 8 − ( 4.792 ) = 4.05
33
1 n 2
∑ yi − y 2 =
n i =1
1
2
0.89 2 + 0.852 + 0.882 + 0.852 + 0.84 2 + 0.852 + 0.852 + 0.86 2 − ( 0.859 ) = 0.00026 = 0.016
8
Per confrontare la variabilità si calcolano i coefficienti di variazione perché sono indici di variabilità
relativi:
σ
4.05
σ
0.016
CVX = X =
= 0.85
CVY = Y =
= 0.019
x
4.79
y 0.859
ovvero il fenomeno X: temperatura è il più variabile.
=
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13
ESERCIZIO
18:
I dati riguardo al peso in grammi di un dolce prodotto nella prima ora di produzione dall’azienda kk
sono riportati nella seguente tabella:
Peso in gr.
200
330
250
450
230
350
400
280
Numero di dolci
50
20
15
34
5
12
18
10
1. Calcolare la deviazione standard del peso in grammi;
2. Dopo aver costruito una tabella di frequenze per la variabile peso secondo le seguenti classi
200 |- 300, 300 |- 450, 450 |- 500, calcolare la deviazione standard partendo dai dati forniti
dalla stessa tabella. Se si riscontrano differenze con i risultati ottenuti al punto 1. motivarli.
ESERCIZIO
18 – Soluzione:
1.
Per calcolare la deviazione standard è necessario calcolare la media e la varianza del peso:
1 k
M 1 = x = ∑ xi ni =
N i =1
1
=
( 200 ⋅ 50 + 330 ⋅ 20 + 250 ⋅15 + 450 ⋅ 34 + 230 ⋅ 5 + 350 ⋅12 + 400 ⋅18 + 280 ⋅10 ) =
164
1
51000
=
= 310.98
(10000 + 6600 + 3750 + 15300 + 1150 + 4200 + 7200 + 2800 ) =
164
164
σ = σ2 =
=
1 k 2
∑ xi ni − x =
n i =1
1
2
2002 ⋅ 50 + 3302 ⋅ 20 + 2502 ⋅15 + 4502 ⋅ 34 + 230 2 ⋅ 5 + 350 2 ⋅12 + 4002 ⋅18 + 2802 ⋅10 ) − ( 310.98 ) =
(
164
= 9385.63 = 96.88
2.
xi |- xi+1
200 |- 300
300 |- 450
450 |- 500
ni
80
50
34
Individuati i valori centrali delle classi
xi |- xi+1
200 |- 300
300 |- 450
450 |- 500
ni
80
50
34
xi
250
375
475
si calcola la media e lo scarto quadratico medio:
M1 = x =
σ = σ2 =
1 k
1
xi ni =
[ 250 ⋅ 80 + 375 ⋅ 50 + 475 ⋅ 34] = 334.76
∑
n i =1
164
1 k 2
1
2
2502 ⋅ 80 + 3752 ⋅ 50 + 4752 ⋅ 34 − ( 334.76 ) = 89.86
xi ni − x =
∑
n i =1
164
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14
Quando si raccolgono i dati in classi si effettua un’approssimazione è quindi normale ottenere dei
risultati differenti.
ESERCIZIO
19:
Utilizzando i dati rappresentati nella seguente tabella riguardanti il numero di vani delle abitazioni
in due differenti comuni, individuare la varianza del fenomeno in entrambi i comuni.
Successivamente, utilizzando l’indice opportuno, dire dove il fenomeno è più variabile.
N° vani
ni
nel Comune A
1 |- 3
3 |- 5
5 |- 9
ESERCIZIO
ni
nel Comune B
1034
6956
14640
22630
999
14689
6998
22686
19 – Soluzione:
Per calcolare la varianza del numero dei vani delle abitazioni in entrambi i comuni è prima
necessario calcolare le due medie:
xA =
1 k
1
xi ni =
[ 2 ⋅1034 + 4 ⋅ 6956 + 7 ⋅14640] = 5.85
∑
n i =1
22630
xB =
1 k
1
xi ni =
[ 2 ⋅ 999 + 4 ⋅14689 + 7 ⋅ 6998] = 4.84
∑
n i =1
22686
quindi si ottiene:
σ A2 =
1 k
1 k 2
2
x
−
x
n
=
(
)
∑ i
∑ xi ni − x 2 = 2.58
i
n i =1
n i =1
σ B2 =
1 k
1 k 2
2
x
−
x
n
=
(
)
∑ i
∑ xi ni − x 2 = 2.25
i
n i =1
n i =1
Per individuare se c’è più variabilità è necessario individuare i coefficienti di variazione:
CVA =
σ
x
= 0.28 e CVB =
ESERCIZIO
σ
x
= 0.31 , c’è più variabilità nel Comune B.
20:
Facendo riferimento alla seguente seriazione:
X
1
3
7
10
12
Freq. Assolute
3
5
4
6
2
20
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Determinare il campo di variazione, la varianza e lo scarto quadratico medio della variabile X.
Successivamente considerando il fenomeno Y che è legato al fenomeno X dalla seguente relazione:
Y = 1.3 − 0.1X
calcolare la varianza di Y.
ESERCIZIO
20 – Soluzione:
Freq. Assolute
3
5
4
6
2
20
X
1
3
7
10
12
xini
3
15
28
60
24
130
xi2
1
9
49
100
144
xi2ni
3
45
196
600
288
1132
2
σ2 =
1 k
1 k 2
1132 130
2
x
−
x
n
=
−
( i ) i ∑ xi ni − x 2 =
∑
= 14.35
n i =1
n i =1
20 20
σ = 14.35 = 3.79
Campo di Variazione = 12 – 1 = 11
2
Ricordando le proprietà della varianza: σ Y2 = ( −0.1) σ X2 = 0.14
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16
