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Corso di Laurea INTERFACOLTÀ - Esercitazione di Statistica n° 6
ESERCIZIO
1:
1. Descrivere gli spazi campionari dei seguenti esperimenti casuali:
1. lancio di un dado
2. lancio di due dadi
3. lancio di 3 dadi
ESERCIZIO 1 – Soluzione:
Definizione di Spazio Campionario: Spazio degli eventi elementari (Insieme dei possibili risultati
di un esperimento casuale) = Ω.
1. Ω ={1,2,3,4,5,6}
2. Ω = {(1,1) (1,2) … (1,6)
(2,1) (2,2) … (2,6)
…
(6,1) (6,2) … (6,6)}
3. Ω = {(1,1,1) (1,1,2)… (1,1,6)
(1,2,1) (1,2,2)… (1,2,6)
…
(1,6,1) (1,6,2)… (1,6,6)
(2,1,1) (2,1,2)… (2,1,6)
(2,2,1) (2,2,2)… (2,2,6)
…
(2,6,1) (2,6,2)… (2,6,6)
…
(6,6,1) (6,6,2)… (6,6,6)}
ESERCIZIO
2:
Un esperimento casuale consiste nell’estrarre una pallina da un’urna contenente 5 palline
numerate da 1 a 5. Se si estrae una pallina contrassegnata con un numero dispari si lancia una
moneta, mentre se si ottiene un numero pari si lancia un dado.
1. Descrivere lo spazio campionario di tale esperimento
2. Descrivere gli eventi A = “esce testa” e B = “si presentano solo numeri pari”
ESERCIZIO 2 – Soluzione:
Dispari: 1 3 5 T/C
Possibili risultati: 1 2 3 4 5
Pari: 2 4 {1,2,…,6}
1. Ω = {(P1,T) (P3,T) (P5,T) (P1,C) (P3,C) (P5,C)
(P2, 1) (P2,2) (P2,3) (P2, 4) (P2,5) (P2,6)
(P4, 1) (P4,2) (P4,3) (P4, 4) (P4,5) (P4,6)}
2. A = {(1,T), (3,T), (5,T)}
cardinalità = 3
B = {(2,2), (2,4), (2,6), (4,2), (4,4), (4,6)}
cardinalità = 6
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1
ESERCIZIO
3:
Un’urna contiene cinque palline numerate da 1 a 5 delle quali le prime 3 sono nere e le altre gialle.
Si estrae un campione con reinserimento di ampiezza due.
Sia E1 l’evento “la prima pallina estratta è nera” e sia E2 l’evento “la seconda pallina estratta è
nera”:
1. Descrivere lo spazio campionario Ω
2. Descrivere gli eventi E1 e E2 ed E1 ∩ E2
3. Se le estrazioni avvengono senza reinserimento, come vengono modificati gli eventi Ω, E1 e
E2 ed E1∩E2 ?
ESERCIZIO 3 – Soluzione:
Indichiamo le palline con: N1 N2 N3 G4 G5
1. Ω = {(N1, N1); (N1, N2); (N1, N3); (N1, G4); (N1, G5); (N2, N1); (N2, N2); (N2, N3); (N2, G4); (N2, G5); (N3, N1); (N3, N2); (N3, N3); (N3,
G4); (N3, G5); (G4, N1); (G4, N2); (G4, N3); (G4, G4); (G4, G5); (G5, N1); (G5, N2); (G5, N3); (G5, G4); (G5, G5)}
2. E1 = {(N1, N1); (N1, N2); (N1, N3); (N1, G4); (N1, G5); (N2, N1); (N2, N2); (N2, N3); (N2, G4); (N2, G5); (N3, N1); (N3, N2); (N3, N3); (N3,
G4); (N3, G5)}
E2 = {(N1, N1); (N1, N2); (N1, N3); (N2, N1); (N2, N2); (N2, N3); (N3, N1); (N3, N2); (N3, N3); (G4, N1); (G4, N2); (G4, N3); (G5, N1); (G5,
N2); (G5, N3)}
E1∩E2
E1∩E2 = {(N1, N1); (N1, N2); (N1, N3); (N2, N1); (N2, N2); (N2, N3); (N3, N1); (N3, N2); (N3, N3)}
3. Senza reinserimento:
Ω = {(N1, N2); (N1, N3); (N1, G4); (N1, G5); (N2, N1); (N2, N3); (N2, G4); (N2, G5); (N3, N1); (N3, N2); (N3, G4); (N3, G5); (G4, N1); (G4,
N2); (G4, N3); (G4, G5); (G5, N1); (G5, N2); (G5, N3); (G5, G4)}
E1 = {(N1, N2); (N1, N3); (N1, G4); (N1, G5); (N2, N1); (N2, N3); (N2, G4); (N2, G5); (N3, N1); (N3, N2); (N3, G4); (N3, G5)}
E2 = {(N1, N2); (N1, N3); (N2, N1); (N2, N3); (N3, N1); (N3, N2); (G4, N1); (G4, N2); (G4, N3); (G5, N1); (G5, N2); (G5, N3)}
E1∩E2
E1∩E2 = {(N1, N2); (N1, N3); (N2, N1); (N2, N3); (N3, N1); (N3, N2)}
ESERCIZIO
4:
Un esperimento consiste nel lanciare due dadi regolari
insieme. Dopo aver determinato lo spazio degli eventi elementari,
calcolare la probabilità dei seguenti eventi:
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2
1. A = “nei due lanci le facce superiori sono uguali”,
2. B = “nei due lanci le facce superiori hanno somma cinque”,
3. C = “il numero riportato su una faccia è il doppio dell’altra”.
ESERCIZIO 4 – Soluzione:
Ω = {(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3)
(4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)}
1.
A = {(1,1) (2,2) (3,3) (4,4) (5,5) (6,6)}
2.
B = {(1,4) (2,3) (3,2) (4,1)}
3.
C = {(1,2) (2,1) (2,4) (4,2) (3,6) (6,3)}
ESERCIZIO
P ( A) =
P ( B) =
casi favorevoli 6 1
=
=
casi possibili 36 6
casi favorevoli 4 1
=
=
casi possibili 36 9
P (C ) =
casi favorevoli 6 1
=
=
casi possibili 36 6
5:
Un dado regolare viene lanciato tre volte. Determinare:
1. la probabilità che i numeri ottenuti siano pari;
2. la probabilità che la somma dei numeri ottenuti sia cinque.
ESERCIZIO 5 – Soluzione:
1.
P(ottenere 3 pari in 3 lanci) = P(P1∩P2∩P3) = P(P1)× P(P2)× P(P3)
perchè gli eventi sono indipendenti.
3 3 3 1
= ⋅ ⋅ =
6 6 6 8
2.
P ( somma dei numeri sia 5 ) =
ESERCIZIO
casi favorevoli
6
1
=
=
casi possibili
216 36
6:
Nel lancio di un dado sia A l’evento “esce un numero dispari”, B l’evento “esce un numero pari”.
1. Gli eventi A e B sono incompatibili?
2. Gli eventi A e B sono complementari?
3. Gli eventi A e B sono indipendenti?
ESERCIZIO 6 – Soluzione:
1.
Definizione: Se due eventi A e B non possono verificarsi contemporaneamente (ossia se due insiemi
sono disgiunti ), si dicono incompatibili e si scrive: A ∩ B = ∅
non avendo i due insiemi alcun elemento in comune: A e B sono INCOMPATIBILI
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3
2.
Definizione: A denota l’evento complementare di A, ossia l’evento tale che: A ∪ A = Ω
Poiché A ∪ B = Ω e A ∩ B = ∅ , A e B sono COMPLEMENTARI.
3.
Definizione: Se due eventi A e B sono indipendenti se e solo se: P(A∩ B) = P(A)⋅ P(B)
Poiché A ∩B = φ, non avendo i due insiemi alcun elemento in comune:
P(A∩B) = P(φ) = 0 ≠ (3 / 6)⋅ (3 / 6), Α e B NON sono INDIPENDENTI.
ESERCIZIO
7:
Siano A e B due eventi in Ω tali che P(A) = 0.5 e P(A∪B) = 0.6. Determinare P(B) nel caso in cui:
1. A e B sono eventi incompatibili
2. A e B sono eventi indipendenti
3. P(A | B) = 0.4
ESERCIZIO 7 – Soluzione:
1.
Se A e B sono incompatibili: A ∩ B = φ e P(A∩B) = P(φ) = 0
P(A∪B) = P(A)+ P(B)− P(A∩B) = 0.6
P(B) = 0.6 − 0.5 = 0.1
2.
Se A e B sono eventi indipendenti: P(A∩B) = P(A)⋅ P(B)
P(A∪B) = P(A)+ P(B) − P(A∩B) = P(A)+ P(B) − P(A)⋅ P(B)
P(A∪B) = 0.6 = 0.5 + P(B) − 0.5 ⋅ P(B)
P ( B ) − 0.5 ⋅ P ( B ) = 0.6 − 0.5
P ( B ) ⋅ (1 − 0.5) = 0.1
P ( B) =
0.1
= 0.2
0.5
3.
Definizione: Dati due eventi A e B, con P(B)> 0 , la probabilità di A condizionata a B (ossia
P ( A ∩ B)
condizionata dal fatto che si è verificato l’evento B) è: P ( A | B ) =
.
P ( B)
da cui: P(A∩B) = P(B)⋅ P(A | B)
P(A∪B) = P(A)+ P(B)− P(B)⋅ P(A| B)
P ( B ) − 0.4 ⋅ P ( B ) = 0.6 − 0.5
P ( B ) ⋅ (1 − 0.4 ) = 0.1 P ( B ) = 0.167
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4
ESERCIZIO
8:
Sapendo che la percentuale di persone che hanno i capelli rossi in Piemonte, in Sardegna e nelle
Marche è rispettivamente del 5%, 1% e 2%, e che le tre regioni hanno rispettivamente 4.5, 2 e 1.5
milioni di abitanti. Calcolare la probabilità che la regione di origine di una persona, scelta a caso tra
gli abitanti delle tre regioni, sia la Sardegna, supposto che:
abbia i capelli rossi
a)
b)
non abbia i capelli rossi
ESERCIZIO 8 – Soluzione:
Definiti gli eventi come:
P: regione di origine Piemonte
S: regione di origine Sardegna
M: regione di origine Marche
R: capelli rossi
I dati forniti del testo si possono così riportare:
P ( R | P ) = 0.05 , P ( R | S ) = 0.01 e P ( R | M ) = 0.02
P ( P) =
4.5 9
2 4
1.5 3
= , P(S ) = =
e P(M ) =
=
8 16
8 16
8 16
a) Ora abbiamo gli elementi per applicare la formula di Bayes e ricavare la probabilità richiesta:
P (S | R) =
P(R | S ) P(S )
P ( R | P) P ( P) + P ( R | S ) P (S ) + P ( R | M ) P (M )
0.01 ⋅ 0.25
0.0025
0.0025
=
=
= 0.0727
9
4
3 0.45 + 0.04 + 0.06 0.034375
0.05 ⋅ + 0.01 ⋅ + 0.02 ⋅
16
16
16
16
Ovvero il 7.27%.
b) Per risolvere il secondo punto dobbiamo considerare l’evento complementare R , ed utilizzare la
formula di Bayes
P ( R | P ) = 0.95 , P ( R | S ) = 0.99 e P ( R | M ) = 0.98
P (S | R) =
P (S | R) =
P(R | S ) P(S )
P ( R | P) P ( P) + P ( R | S ) P (S ) + P ( R | M ) P (M )
0.99 ⋅ 0.25
0.2475
0.2475
=
=
= 0.2563
9
4
3 8.55 + 3.96 + 2.94 0.9656
0.95 ⋅ + 0.99 ⋅ + 0.98 ⋅
16
16
16
16
Ovvero il 25.63%.
P (S | R) =
ESERCIZIO
9:
In una fabbrica ci sono tre linee di produzione: A, B e C; le quali forniscono rispettivamente il 55%,
30% e il 15% della produzione totale. Supposto che le percentuali di prodotti difettosi che
provengono dalle tre linee siano rispettivamente il 2%, il 3% ed il 6%, calcolare:
a)
b)
la probabilità che un prodotto scelto a caso dalla produzione totale sia difettoso
la probabilità che un prodotto difettoso provenga dalla linee A
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5
ESERCIZIO 9 – Soluzione:
Definiti gli eventi come:
A: il prodotto proviene dalla linea A
B: il prodotto proviene dalla linea B
C: il prodotto proviene dalla linea C
D: prodotto difettoso
I dati forniti del testo si possono così riportare:
P ( A) = 0.55 , P ( B ) = 0.3 e P ( C ) = 0.15
P ( D | A) = 0.02 , P ( D | B ) = 0.03 e P ( D | C ) = 0.06
Dalla formula della probabilità condizionate ricaviamo che:
P ( A ) P ( D | A) = P ( A ∩ D ) = 0.55 ⋅ 0.02 = 0.011
P ( B ) P ( D | B ) = P ( B ∩ D ) = 0.3 ⋅ 0.03 = 0.009
P ( C ) P ( D | C ) = P ( C ∩ D ) = 0.15 ⋅ 0.06 = 0.009
a) la probabilità che un prodotto scelto a caso dalla produzione totale sia difettoso, si ricava quindi
dal teorema delle probabilità totali come:
P ( D ) = ∑ P ( D | linea ) ⋅ P ( linea ) = 0.011 + 0.09 + 0.09 = 0.029
Ovvero del 2.9%.
b) per calcolare la probabilità che un prodotto difettoso provenga dalla linea A è necessario
utilizzare la formula di Bayes
P ( D | A) P ( A)
P ( A | D) =
P ( D | A) P ( A) + P ( D | B ) P ( B ) + P ( D | C ) P ( C )
0.02 ⋅ 0.55 0.011
=
= 0.3793
P ( D)
0.029
Ovvero del 37.93%
P ( A | D) =
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