Opzioni su azioni e cambi

Assicurazione Vita e Mercato
del Risparmio Gestito
Modello APT
Ancora sull’arbitraggio:
modello APT
• Ipotesi statistiche
– I rendimenti ottenuti acquistando e vendendo
un’attività finanziaria da t a T sono generati da
ri = ai + bi f , con E(f) = 0, Var(f) = 1
• Ipotesi finanziarie
– Esiste un titolo risk-free che da t a T rende r
– Non esistono frizioni e costi di transazione
– Non devono esistere possibilità di arbitraggio
Rendimenti attesi, volatilità e
correlazione
• Ipotesi statistiche
– I rendimenti ottenuti acquistando e vendendo le
attività finanziarie i e j da t a T sono generati da
ri = ai + bi f , rj = aj + bj f
con E(f) = 0, Var(f) = 1
• Ipotesi finanziarie
– Rendimenti attesi: E(ri) = ai, E(rj) = aj
– Volatilità: i = bi, j = bj
– Covarianza: cov(ri, rj) = bi bj ,correlazione = 1
Modello APT a un fattore
• Costruisco un portafoglio con due titoli i e j
in modo da eliminare la dipendenza da f
(un portafoglio immunizzato da variazioni
di f)
• Operativamente: scelgo wi = bj /(bj - bi)
• L’assunzione di non-arbitraggio implica
wi ri + (1- wi ) rj = r …da cui
…(ai - r)/ bi = (aj - r )/ bj =  per ogni i e j
Il premio per il rischio
• Per ogni attività finanziaria i deve risultare
E( ri ) = ai = r + bi  = r +i 
E(Rendimento) = risk-free + risk-premium
• Risk premium = i  dove
i : rischio del titolo i-esimo
 : prezzo di mercato del rischio
• N.B. Il prezzo di mercato del rischio deve
essere lo stesso per tutti i prodotti
finanziari
APT: esempi
• Il rendimento atteso del MIB30 è 4%, il
rendimento del titolo privo di rischio è
2.5% ed il prezzo di mercato del rischio è
6%.
• Ricaviamo la volatilità del MIB30 come
(0.04 – 0.025)/0.06 = 0.25 = 25%
• Una posizione sul MIB30 con  = 0.5 avrà
rendimento atteso pari a
E(r) = 0.025 + 0.06*0.5*0.25 = 0.0325 = 3.25%
Modello APT a N fattori
• L’estensione naturale del modello APT
consiste nell’assumere che il rendimento
di tutti i titoli sia funzione di un numero N
di fattori di rischio.
• Il modello che genera i rendimenti è
N
ri  ai    ij f j
j 1
E  f   0, E  f   1, E  f , f   0 per k  j
j
2
j
k
j
Il portafoglio immunizzato
• Poiché con un solo fattore di rischio utilizziamo 2
titoli per calcolare il portafoglio immunizzato, è
naturale ritenere che con N fattori di rischio
siano necessari N + 1 titoli per ottenere
portafogli immunizzati agli N fattori di rischio.
• Questo portafoglio implica quindi che, per ogni
fattore di rischio j,
N 1
w 
i 1
i
ij
0
j
Il principio di non arbitraggio
• Per escludere possibilità di arbitraggio il
portafoglio immunizzato deve rendere
quanto il titolo privo di rischio
N 1
wa
i 1
i i
r
N 1
N 1
wa  wr
i i
i 1
N 1
i 1
 w a  r   0
i 1
i
i
i
Il problema in forma di matrice
a 1  r
 
 11
 12

 .
 1 N

a2  r . . a N 1  r   1  0





 21 . .  N 1,1   2
0

  
 22 . .  N 1, 2   .    . 

  
.
. .
.  .   . 
 2 N . .  N 1, N   N 1  0
La soluzione
• Sappiamo che un sistema lineare omogeneo
come quello della precedente slide ha soluzione
non banale, cioè non semplicemente wi = 0 per
tutti gli i, se e solo se la matrice è a rango
ridotto, cioè con determinante uguale a zero.
Sappiamo anche che in questo caso ogni riga
può essere scritta come combinazione lineare
delle altre. In particolare possiamo scrivere
N
ai  E ri   r   ij  j
j 1
Premio per il rischio
• L’estensione del modello a N fattori di rischio è quindi
immediata.
• Il rendimento atteso di ogni attività finanziaria deve
essere uguale a
– Il rendimento risk-free r
– Il premio per il rischio
• Il premio per il rischio è il prodotto interno di
– Prezzi di mercato dei fattori di rischio
– Sensitività di ciascuna attività finanziaria ai fattori di rischio
(factor loading)
• Si noti che l’esclusione di possibilità di arbitraggio
richiede che i prezzi di mercato dei fattori di rischio siano
gli stessi per tutte le attività finanziarie.
Un’estensione del modello APT
• Un’estensione naturale del modello APT consiste
nell’assumere che il rendimento di tutti i titoli sia
funzione di un numero N di fattori di rischio e di
elementi di rischio specifici di ciascuna attività
finanziaria
N
ri  ai    ij f j   i
j 1
E  f j   0, E  f
  1, E  f , f   0 per k  j
E    0, E     , E  , f   0
i
2
j
2
i
k
2
i
j
k
j
Rischio sistematico e specifico
• Il modello APT individua un numero finito di
fattori di rischio che influenzano tutti i titoli
presenti sul mercato ed i portafogli
• Il rischio associato a questi fattori è rischio
sistematico, o non diversificabile, e a ciascuna di
queste fonti di rischio viene associato un premio
per il rischio.
• Il rischio non associato a questi fattori può
essere ridotto diversificando il portafoglio, e non
viene “prezzato” dal mercato (rischio
idiosincratico)
Modello APT: riassunto
• Il modello APT descrive le relazioni tra rischio e
rendimento di ciascun titolo
• Il rischio è ripartito in rischio specifico, o idiosincratico,
che è diversificabile, e rischio sistematico, che invece è
retribuito
• L’esclusione di possibilità di arbitraggio richiede che il
rendimento atteso di ogni titolo possa essere scomposto
in rendimento privo di rischio (risk-free) e premio per il
rischio, e che il premio per il rischio sia il prodotto
interno (cioè la somma dei prodotti) dei prezzi di mercato
dei fattori di rischio e delle sensitività al rischio. Inoltre, il
prezzo di mercato dei fattori di rischio deve essere lo
stesso per tutte le attività finanziarie, che invece
differiscono tra loro per sensitività diverse ai diversi
fattori di rischio
Probabilità oggettiva e EMM
• Dal modello APT (e CAPM) sappiamo che
E(Y(T)/Y(t) – 1) = r + Y
• …mentre sotto la misura risk-adjusted
EQ(Y(T)/Y(t) – 1) = 1/P(t,T) = r
• In un modello binomiale…
Y =
Y(H) - Y(L)
Y(0)
p1 - p 
…con p misura di probabilità oggettiva
La relazione tra le misure
• Calcolando la differenza tra le misure
E(Y(T)/Y(t)) - EQ(Y(T)/Y(t)) = Y
E(Y(T)/Y(t)) - EQ(Y(T)/Y(t)) = (p-Q)(Y(H)-Y(L))/Y(t)
e dalla volatilità sotto la misura oggettiva…
p-Q =  p1 - p
• L’aggiustamento per il rischio è quindi
ottenuto cambiando la probabilità
oggettiva
Informazione storica ed implicita
• Informazione storica
• Probabilità “oggettiva”
• Il rendimento dei titoli
E[ri] = rf + ’i
• Valutazione del rischio
Y t  
• Informazione implicita
• Probabilità risk-neutral
• Il rendimento dei titoli
E[ri] = rf
• Valutazione derivati
E p Y T 
1  r  

EQ Y T 
1 r
Teorema di Girsanov
• Per il teorema di Girsanov, dato un processo di
Wiener z(t) definito sotto la misura di probabilità
P e definito un nuovo processo
z*(t) = z(t) + dt
è possibile, sotto opportune condizioni di
regolarità su , individuare una nuova misura di
probabilità, ad es. Q, sotto la quale z*(t) è un
processo di Wiener.
• Per il teorema di Girsanov, cambiare la misura di
probabilità è equivalente a cambiare il drift del
processo stocastico
Teorema di Girsanov:
applicazione
• Dal modello APT
dY(t)) = (r + )Ydt +  Ydz(t)
Se definiamo una misura Q tale che
EQ(d(z(t) + dt) = 0
possiamo scrivere
dY(t)) = rYdt +  Ydz*(t)
con dz*(t) = dz(t) + dt e z*(t) un processo di
Wiener sotto la misura di probabilità Q.
La probabilità risk-neutral
• Sotto la misura di probabilità Q
EQ(dY(t)) = rYdt
• Inoltre dal lemma di Ito otteniamo
EQ(dC(t)) = (C t+ rY CY + ½ 2Y2 CYY)dt
• …e dalla fundamental PDE
EQ(dC(t)) = r Cdt
Valutazione risk-neutral
C(Y,t) = exp(-r(T-t)) EQ(C(Y,T))
• Anche nel tempo continuo vige la stessa
regola di valutazione basata sul principio
di martingala. Nell’ipotesi di tasso
d’interesse privo di rischio costante la
valutazione del contratto derivato avviene
calcolando il valore atteso alla scadenza
scontato con il tasso risk-free.