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Omotetie (1/2)
• in geometria una trasformazione omotetica di centro Q è
una corrispondenza biunivoca tra punti dello spazio che
– fa corrispondere al punto Q se stesso
– ad un punto P, distinto da Q, un punto P’ tale che Q, P, P’ siano
allineati e che QP’=kQP con k∈
∈R, k≠
≠0, 1, -1 (k si dice ragione di
omotetia)
Corso di Laurea in Disegno Industriale
Corso di “Metodi Numerici per il Design”
Lezione 28 Maggio 2003
Trasformazioni IV
F. Caliò
1
Omotetia è una trasformazione geometrica non isometrica
con un punto unito, che modifica le distanze fra punti
attraverso un fattore di proporzionalità.
 k > 1 dilatazione
 k < 1 contrazione
2
Omotetia con centro in Q diverso da O
Omotetie (2/2)
• in algebra omotetia con centro in Q diverso da O è
una trasformazione lineare
• in algebra una omotetia, con centro in O, è una
trasformazione lineare
Av+b=x
 k 0 0  Av=x
A =  0 k 0 
 0 0 k  con k∈
tale che:
∈R, k≠
≠0, 1,-1
ottenuta attraverso:
– traslazione di Q in O
– omotetia di centro O e ragione k
– traslazione opposta a quella del primo passo
È evidente la corrispondenza fra le due
definizioni geometrica e algebrica
Si può dimostrare la corrispondenza fra le due
definizioni geometrica e algebrica
3
Osservazione sull’omotetia
4
Applicazione di un'omotetia
Il centro di omotetia, individuato come punto unito
della trasformazione
risulta:
b1
x
 =
1
−k

2
y = b

1− k

b3
z =
1− k

Av+b=x
5
6
Lezione 28 Maggio 2003
1
Esempio 1) (dalla definizione geometrica alla
Esempio 1) (dalla definizione geometrica alla
definizione algebrica) (1/2)
definizione algebrica) (2/2)
1) Esempio di costruzione di una omotetia di centro
Q(2,1,-3) e ragione k=2
2
0

 0
0
2
0
 1 0 0 v 1   − 2 
 0 1 0  v  +  − 1
 2   

 0 0 1 v 3   3 
0  v 1   − 2    2 


0   v 2  +  − 1  +  1 
2   v 3   3    − 3 
2
0

 0
0  v 1  − 2   2 
    
   
0   v 2  +  − 1   +  1 
  
  
2   v 3   3    − 3 
2

0

0
0
0
2
0 v 1   − 4   2  2
0  v 2  +  − 2  +  1  =  0
2  v 3   6   − 3   0
0
2
0
0
2
0
0 v 1   − 2 
0  v 2  +  − 1
2  v 3   3 
7
Esempio 2) (dalla definizione algebrica alla
8
Esempio 2) (dalla definizione algebrica alla
definizione geometrica) (1/2)
1) Esempio di verifica di una omotetia; data la
definizione geometrica) (2/2)
trasformazione
2

0

0
0
2
0
− 2 = x − 2 x

− 1 = y − 2y

 + 3 = z − 2 z
2 x − 2 = x

2y − 1 = y

 2 z + 3 = z
0 v 1  − 2
  

0  v 2  +  − 1 
  

2  v 3   3 
è un'omotetia di ragione 2 e di centro determinabile
come punto unito della trasformazione:
x =2

 y =1

 z = − 3
Punto unito della trasformazione, centro dell'omotetia
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Similitudine (1/2)
10
Similitudine (2/2)
• in geometria una trasformazione di similitudine di
ragione k  è una corrispondenza biunivoca tra
punti dello spazio che
• in algebra una similitudine , di rapporto di similitudine
|k||, è una trasformazione lineare
– a due punti P e Q fa corrispondere due punti P’ e Q’ in modo
tale che la distanza fra P’ e Q’ sia |k|| con k≠
≠ 0,1,-1 volte la
distanza fra P e Q.
Similitudine è una trasformazione geometrica non
isometrica, che modifica le distanze fra punti
attraverso un fattore di proporzionalità |k|| .
Av+b=x
k 2
T
tale che: A A =  0
0

0
k2
0
0

0
2
k 
con k∈
∈R, k≠
≠0, 1, -1
Si può dimostrare la corrispondenza fra le due
definizioni geometrica e algebrica
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Lezione 28 Maggio 2003
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Esempio 1) (dalla definizione geometrica alla
Osservazione sulla similitudine
definizione algebrica) (1/2)
1) Esempio di costruzione di una similitudine generata
• Se k fosse uguale ad 1 e -1 sarebbe una isometria
da una rotazione intorno all’asse z e angolo di
• omotetia di ragione k è similitudine |k||
• si può dimostrare che l’applicazione successiva di
omotetie e isometrie è similitudine
rotazione π/2 e da una omotetia di centro O e ragione
2, applicate successivamente
0 − 1 0  v 1 
 1 0 0  v 
 2 

 0 0 1 v 3 
13
14
Esempio 1) (dalla definizione geometrica alla
Esempio 2) (dalla definizione algebrica alla
definizione algebrica) (2/2)
definizione geometrica) (1/2)
3
0

 0
0
3
0
0
3

 0
2) Esempio di verifica di una similitudine;data la
trasformazione:
0  0 − 1 0 v 1 
0   1 0 0  v 2 
3   0 0 1 v 3 
−3
0
0
0
3

 0
0  v 1 
0  v 2 
3  v 3 
−3
0
0
0  v 1 
0  v 2 
3  v 3 
è una similitudine infatti:
15
Esempio 2) (dalla definizione algebrica alla
Applicazione di una similitudine
definizione geometrica) (2/2)
 0 3

− 3 0

 0 0
0  0

0  3

3  0
−3
0
0
0  9
 
0  = 0
 
3  0
0
9
0
16
0

0

9 
È una similitudine di ragione 3
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Lezione 28 Maggio 2003
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Sintesi
Av+b=x det(A)≠
≠0
A ortogonale
– A=I b=0
Sintesi
affinità
–A matrice di rotazione, b≠
≠ 0, nessun punto unito
glissorotazione
isometria
–A ortogonale, b=0 oppure b≠
≠ 0, un piano π
di punti uniti
riflessione rispetto a π
identità
– A=I b ≠ 0
–A matrice di riflessione, b≠
≠ 0, nessun punto unito
glissoriflessione
traslazione
– A ortogonale, b=0 oppure b ≠ 0, una retta r di
punti uniti
rotazione attorno ad r
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Sintesi
k 0 0 


A =  0 k 0  , un punto unito


k≠
≠0, 1, -1
 0 0 k 
k 2

AA A =  0

0

T
0
k
2
0
0

0

k2

omotetia
similitudine
k≠
≠0, 1, -1
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Lezione 28 Maggio 2003
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