Trasformazioni III

Corso di Laurea in Disegno Industriale
Riflessioni in R3
Corso di “Metodi Numerici per il Design”
(TITOLO)
Lezione 21 Maggio 2003
Trasformazioni III
F. Caliò
1
Riflessione rispetto ad un piano (1/4)
2
Riflessione rispetto a un piano (2/4)
in geometria una riflessione rispetto ad un piano (piano di
riflessione) è la corrispondenza biunivoca tra punti
dello spazio tale che:
y
Una riflessione rispetto ad un piano è dunque una
trasformazione geometrica isometrica con un piano di
punti uniti
P
P’
P’
b
π
M
b
– ad ogni punto P del piano di riflessione π corrisponde se
stesso (piano di punti uniti)
– ad ogni punto P di uno dei due semispazi generati dal piano π
corrisponde un punto P’ del semispazio opposto, collocato
sulla perpendicolare r condotta da P a π in modo tale che il
punto medio del segmento PP’ stia su π.
P
0
x
z
3
Riflessione rispetto ad un piano (3/4)
Riflessione rispetto ad un piano (4/4)
• in algebra riflessione rispetto ad un piano
passante per O, è la trasformazione isometrica :
Osservazioni :
• det(A)=-1
Av=x
• la matrice di riflessione è ortogonale
con ax+by+cz=0 piano di riflessione e
 − a2 + b2 + c2
 2
2
2
 a +b +c
−
2
ab
A=  2
 a + b2 + c2

− 2ac
 2
2
2
 a +b +c
a2
a2
a2
a2
− 2ab
+ b2 + c2
− b2 + c2
+ b2 + c2
− 2bc
+ b2 + c2
4
a2
a2
a2
a2
• la matrice di riflessione è simmetrica

− 2ac

+ b2 + c 2 
− 2bc

+ b2 + c 2 
2
2 
+b −c

+ b2 + c 2 
Si può dimostrare la corrispondenza
fra le due definizioni geometrica e algebrica
5
6
Lezione 21 Maggio 2003
1
Casi particolari di riflessione (1/2)
Casi particolari di riflessione (2/2)
Osservazioni :
Osservazioni :
• la matrice di riflessione rispetto al piano xy è
• la matrice di riflessione rispetto al piano xz è
1 0 0 
A = 0 1 0 


0 0 − 1
 1 0 0
A = 0 − 1 0


0 0 1
• la matrice di riflessione rispetto al piano yz è
 − 1 0 0
A =  0 1 0
 0 0 1
7
Applicazione riflessione rispetto al piano xy
8
Esempio 1)
(dalla definizione geometrica alla
definizione algebrica) (1/2)
1) Esempio di costruzione di una riflessione rispetto al
piano di equazione cartesiana -x+y=0
 − 1+ 1
 1+ 1
 − 2( − 1)

 2
 0

− 2( − 1)
2
0
0

0 
v
x
0
 1    
0  v 2  +  0  =  y 

1 + 1 v 3   0   z 
2 
9
Esempio 1)
(dalla definizione geometrica alla
definizione algebrica) (2/2)
10
Esempio 2)
(dalla definizione algebrica alla
definizione geometrica) (1/2)
1) Esempio di riconoscimento di una riflessione
rispetto ad un piano passante per O
0 1 0  v 1  0   x 
 1 0 0  v  +  0  =  y 

 2     
 0 0 1 v 3   0   z 
Av=x
con
È una
•affinità
 0
A= 1

 0
1 0
0

0 1
0
•isometria indiretta
11
•riflessione rispetto al piano y=x
12
Lezione 21 Maggio 2003
2
Esempio 2) (dalla definizione algebrica alla
Esempio 2) (dalla definizione algebrica alla
definizione geometrica) (2/3)
definizione geometrica) (3/3)
Infatti, il sistema A x= x per la determinazione dei
Infatti:
punti uniti ammette infinite soluzioni (piano di
•det(A)=-1≠
≠ 0, è un’affinità
riflessione)
•A è matrice ortogonale, la trasformazione è isometrica
•det(A)=-1, è una isometria indiretta
•Av=x è riflessione rispetto al piano y=x
y = x

x = y
z = z

y = u

x = u
z = v

che ha equazione cartesiana
y = x
13
Riflessione rispetto ad un piano
non passante per O
14
Esempio 1) (dalla definizione geometrica alla
definizione algebrica) (1/4)
• in algebra riflessione rispetto ad un piano non passante per
O è una isometria
Av+b=x
ottenuta attraverso:
– traslazione che porta un punto P del piano di riflessione
e dunque l’intero piano in O
– riflessione rispetto al piano per O
– traslazione opposta a quella del primo passo
Si può dimostrare che la riflessione algebrica così ottenuta
è una riflessione geometrica.
Se Av=x è una riflessione rispetto ad un piano passante per
O, non sempre Av + b=x è una riflessione geometrica.
1) Esempio di costruzione di una riflessione rispetto
al piano di equazione cartesiana x-y-z-2=0
•Traslazione che porta il punto P(0,0,2) ∈ al piano di
riflessione in O e con esso l’intero piano
 1 0 0 v 1   0 
 0 1 0  v  +  0 

 2  
 0 0 1 v 3   − 2 
15
Esempio 1) (dalla definizione geometrica alla
definizione algebrica) (2/4)
Il nuovo piano diviene
u
 1 0 0 
  0   u 
0 1 0  
+ 0  =  v  x−y −z =0
v


   
 a = 1, b = −1, c = −1
 0 0 1 u − v + 2   − 2  u − v 
•Riflessione rispetto al nuovo piano: Av=x
− 1+ 1+ 1
 1 + 1+ 1

2
A=
3

2

3

2
3
1− 1 + 1
3
2
−
3
2

1

3
3

2
2
 =
−
3 
3
1 + 1 − 1
2
3

 3
2
3
1
3
2
−
3
2 
3 
2
− 
3
1 
3 
17
16
Esempio 1) (dalla definizione geometrica alla
definizione algebrica) (3/4)
•Traslazione inversa a quella del primo passo
 1 0 0 v 1  0
 0 1 0  v  +  0 

 2  
 0 0 1 v 3   2 
La trasformazione completa è
 1

 1 0 0  3
0 1 0    2

  3
0 0 1   2

  3
2
3
1
3
2
−
3
2 

3    1 0 0 v 1   0    0 

2 

−   0 1 0  v 2  +  0    + 0 
3 
1   0 0 1 v 3   − 2    2 
3 

18
Lezione 21 Maggio 2003
3
Esempio 1) (dalla definizione geometrica alla
Esempio 2) (dalla definizione algebrica alla
definizione algebrica) (4/4)
definizione geometrica) (1/3)
2) Esempio di riconoscimento di una riflessione
dunque
1
3
2

3
2
 3
2
3
1
3
2
−
3
1 0
0 1

 0 0
2 
 4
−
3  v 1   3 


2
4 

−  v 2  + 
3
 3 
1  v 3   4 
 3 
3 
0  v 1   0   x 
0  v 2  +  0  =  y 
− 1 v 3   − 2   z 
È una
•affinità
•isometria indiretta
•riflessione rispetto al piano z=-1
19
20
Esempio 2) (dalla definizione algebrica alla
Esempio 2) (dalla definizione algebrica alla
definizione geometrica) (2/3)
definizione geometrica) (3/3)
Infatti, il sistema A x+ b = x per la determinazione
dei punti uniti ammette infinite soluzioni (piano di
Infatti:
riflessione)
•det(A)=-1≠
≠ 0, è un’affinità
•A è matrice ortogonale, la trasformazione è isometrica
•det(A)=-1, è una isometria indiretta
•Av=x è riflessione rispetto al piano z=-1
 x = x

 y =y
− z − 2 = z

x =u

y = v
 z = −1

che ha equazione cartesiana
z = −1
OSSERVAZIONE: un vettore direzione ortogonale al piano è
il vettore di traslazione ne è parallelo.
0
0
 
 1 
21
22
Esempio 3) (dalla definizione algebrica alla
Esempio 3) (dalla definizione algebrica alla
definizione geometrica) (1/3)
definizione geometrica) (2/3)
3) Esempio di riconoscimento di una glissoriflessione
 1 0 0  v 1   1   x 
 0 1 0  v  +  − 5  =  y 
  

 2 
 0 0 − 1 v 3   0   z 
Infatti:
•det(A)=-1≠
≠ 0, è un’affinità
•A è matrice ortogonale, la trasformazione è isometrica
È una
•affinità
•det(A)=-1, è una isometria indiretta
•Av+b=x è glissoriflessione
•isometria indiretta
•glissoriflessione
23
24
Lezione 21 Maggio 2003
4
Esempio 2) (dalla definizione algebrica alla
definizione geometrica) (3/3)
il sistema A x+ b = x per la determinazione dei punti
uniti non ammette soluzione
x +1= x

y − 5 = y
 −z =z

Il sistema è impossibile, è una glissoriflessione
Rotoriflessioni in R3
(TITOLO)
OSSERVAZIONE: un vettore direzione ortogonale al piano della riflessione
Av=x è  0 
0 
il vettore di traslazione ne è
 
ortogonale.
 1 
25
Rotoriflessione
26
Esempio: rotoriflessione
Date le matrici di trasformazione
L’applicazione successiva di una riflessione rispetto ad
un piano passante per O e di una rotazione attorno ad
un asse passante per O realizza ancora un’isometria:
• Rotoriflessione, se l’asse di rotazione non appartiene al
piano di riflessione
• Viceversa, riflessione rispetto ad un piano
1
A =  0
 0
0
0 
− 1 0 
0 − 1
− 1 0 0 
B =  0 1 0 
 0 0 1
• A è rotazione attorno all’asse delle x
• B è riflessione rispetto al piano zy
0  È rotoriflessione (isometria
− 1 0
AB =  0 − 1 0  inversa) essendo l’asse delle x
 0
0 − 1 ortogonale al piano zy.
Ha l’effetto di cambiare segno ad
ogni componente del vettore su cui
lavora
27
28
Omotetie (1/2)
• in geometria una trasformazione omotetica di centro Q
è una corrispondenza biunivoca tra punti dello spazio
che
– fa corrispondere al punto Q se stesso
– ad un punto P, distinto da Q, un punto P’ tale che Q, P, P’
siano allineati e che QP’=kQP con k∈
∈R, k≠
≠0, 1, -1 (k si dice
ragione di omotetia)
Omotetie in R3)
Omotetia è una trasformazione geometrica non
isometrica con un punto unito, che modifica le distanze
fra punti attraverso un fattore di proporzionalità.
 k > 1 dilatazione
 k < 1 contrazione
29
30
Lezione 21 Maggio 2003
5
Omotetia con centro in Q diverso da O
Omotetie (2/2)
• in algebra omotetia con centro in Q diverso da O è
una trasformazione lineare
• in algebra una omotetia, con centro in O, è una
trasformazione lineare
Av+b=x
 k 0 0  Av=x
A =  0 k 0 
 0 0 k  con k∈
tale che:
∈R, k≠
≠0, 1,-1
ottenuta attraverso:
– traslazione di Q in O
– omotetia di centro O e ragione k
– traslazione opposta a quella del primo passo
E’ evidente la corrispondenza fra le due
definizioni geometrica e algebrica
Si può dimostrare la corrispondenza fra le due
definizioni geometrica e algebrica
31
32
Osservazione sull’omotetia
Applicazione omotetia
Il centro di omotetia, individuato come punto unito
della trasformazione
b

x = 1
1− k

 y = b2

1− k

b3
z =
1− k

risulta:
Av+b=x
33
34
Esempio 1) (dalla definizione geometrica alla
Esempio 1) (dalla definizione geometrica alla
definizione algebrica) (1/2)
definizione algebrica) (2/2)
1) Esempio di costruzione di una omotetia di centro
Q(2,1,-3) e ragione k=2
2
0

 0
0
2
0
 1 0 0 v 1   − 2 
 0 1 0  v  +  − 1

 2   
 0 0 1 v 3   3 
0  v 1   − 2    2 


0   v 2  +  − 1  +  1 

2   v 3   3    − 3 
2
0

 0
2
0

 0
35
0
2
0
0
2
0
0  v 1   − 2    2 


0   v 2  +  − 1  +  1 

2   v 3   3    − 3 
0 v 1   − 4   2  2
0  v 2  +  − 2  +  1  =  0
2  v 3   6   − 3   0
0
2
0
0 v 1   − 2 
0  v 2  +  − 1
2  v 3   3 
36
Lezione 21 Maggio 2003
6
Similitudine (1/2)
Similitudine (2/2)
• in geometria una trasformazione di similitudine di
ragione k  è una corrispondenza biunivoca tra
punti dello spazio che
• in algebra una similitudine , di rapporto di similitudine
|k||, è una trasformazione lineare
– a due punti P e Q fa corrispondere due punti P’ e Q’ in modo
tale che la distanza fra P’ e Q’ sia |k|| con k≠
≠ 0,1,-1 volte la
distanza fra P e Q.
Similitudine è una trasformazione geometrica non
isometrica, che modifica le distanze fra punti
attraverso un fattore di proporzionalità |k|| .
Av+b=x
k 2
tale che: AT A =  0
0

0
k2
0
0

0
2
k 
con k∈
∈R, k≠
≠0, 1, -1
Si può dimostrare la corrispondenza fra le due
definizioni geometrica e algebrica
37
38
Esempio 1) (dalla definizione geometrica alla
Osservazione sulla similitudine
definizione algebrica) (1/2)
1) Esempio di costruzione di una similitudine generata
• Se k fosse uguale ad 1 e -1 sarebbe una isometria
• omotetia di ragione k è similitudine |k||
da una rotazione intorno all’asse z e angolo di
• si può dimostrare che l’applicazione successiva di
omotetie e isometrie è similitudine
rotazione π/2 e da una omotetia di centro O e ragione
2, applicate successivamente
0 − 1 0  v 1 
 1 0 0  v 

 2 
 0 0 1 v 3 
39
Esempio 1) (dalla definizione geometrica alla
definizione algebrica) (2/2)
3
0

 0
0
3
0
0
3

 0
40
Applicazione similitudine
0  0 − 1 0 v 1 
0   1 0 0  v 2 
3   0 0 1 v 3 
−3
0
0
0  v 1 
0  v 2 
3  v 3 
41
42
Lezione 21 Maggio 2003
7