Quantità di moto

QUANTITA’ DI MOTO
Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006
DEFINIZIONE(1)
m
v
• Si chiama quantità di moto di un punto materiale il
prodotto della sua massa per la sua velocità
p=mv
• La quantità di moto è una grandezza vettoriale
• La dimensione della quantità di moto è ML/T
• La sua unità di misura nel sistema MKS è
kg.m/s
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DEFINIZIONE(2)
Nuova formulazione della seconda legge di Newton
m v(t+t)
v(t)
m
v(t+t) – v(t)
v
a =  = 
t
t
mv(t+t) – mv(t)
p(t+t) –p(t)
p
ma =  =  = 
t
t
t
p
F = 
t
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DEFINIZIONE(3)
Impulso
• Consideriamo un punto materiale soggetto ad una
forza F durante un intervallo di tempo t, allora
p = Ft
• Il prodotto della forza per l’intervallo di tempo
durante il quale essa è applicata Ft si chiama
impulso. Per la seconda legge di Newton, l’impulso
è uguale alla variazione di quantità di moto
prodotta dalla forza
• Questa formula è utile nei casi in cui non si
conosce la forza ma si può misurare la variazione
di quantità di moto
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DEFINIZIONE(4)
Impulso
F
t
t1
t2
• Consideriamo il caso di una forza non costante che
agisce nell’intervallo di tempo (t1,t2). Qual è
l’impulso di questa forza?
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DEFINIZIONE(5)
Impulso
F
t
t1
t t+t
t2
• Nell’intervallo (t,t+t) se t è piccolo possiamo
considerare la forza costante e l’impulso è F(t)t
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DEFINIZIONE(6)
Impulso
F
L’area è
uguale a p
t
t1
t2
• L’impulso totale nell’intervallo (t1,t2) è F(t)t ed è
uguale all’area sotto alla curva della forza
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DEFINIZIONE(7)
Impulso
F
L’area è
uguale a p
Fmedia
t
t1
t2
• La forza media è Fmedia = p / (t2- t1) ed è uguale ad
una forza costante che, applicata durante lo stesso
intervallo di tempo (t1,t2), produce lo stesso impulso
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SISTEMA A DUE CORPI (1)
• Il concetto di quantità di moto è molto utile
nello studio dei sistemi con molti corpi
• Per sistema si intende un insieme di corpi
(punti materiali) sul quale poniamo
l’attenzione e del quale vogliamo studiare
l’evoluzione nel tempo
• Un sistema deve essere ben delimitato
(dobbiamo essere in grado di dire quali punti
materiali appartengono al sistema e quali no)
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SISTEMA A DUE CORPI (2)
• Un punto materiale appartenente al sistema è
soggetto a forze esercitate da altri punti materiali
che possono appartenere o no allo stesso sistema
• Una forza che agisce su di un punto materiale
appartenente al sistema è detta:
1) interna se è generata da un altro punto materiale
appartenente al sistema
2) esterna se è generata da un punto materiale non
appartenente al sistema
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SISTEMA A DUE CORPI (3)
Esempio
Sole
Terra
Luna
• Sistema = Terra + Luna
le forze esercitate dal Sole sulla Terra e sulla Luna
sono forze esterne
le forze esercitate dalla Terra sulla Luna e dalla
Luna sulla Terra sono forze interne
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SISTEMA A DUE CORPI (4)
Esempio
Sole
Terra
Luna
• Sistema = Terra
le forze esercitate dal Sole sulla Terra e dalla
Luna sulla Terra sono forze esterne
le forze esercitate dal Sole sulla Luna e dalla
Terra sulla Luna non sono forze che agiscono sul
sistema
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SISTEMA A DUE CORPI (5)
v1
m1
m2
v2
• DEFINIZIONE: La quantità di moto totale di un
sistema a due corpi è la somma vettoriale delle
quantità di moto dei due corpi:
P = p1 + p2 = m1v1 + m2v2
• Questa definizione si generalizza al caso di tre o
più corpi. Nel caso di N corpi con masse m1, m2, …,
mN, e velocità v1, v2, …, vN, la quantità di moto
totale del sistema è
P = p1 + p2 + … + pN = m1v1 + m2v2 +…+ mNvN
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SISTEMA A DUE CORPI (6)
v1
m2
m1
v2
• Possiamo generalizzare a questo sistema, la
seconda legge di Newton?
• Ovvero, possiamo trovare una legge, valida per il
sistema a due corpi, simile a quella che vale per un
singolo punto materiale?
p
F = 
t
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SISTEMA A DUE CORPI (7)
v1
m1
m2
v2
• Esprimiamo la variazione della quantità di moto
totale in funzione della variazione delle singole
quantità di moto
• P = P(t+t) – P(t)
= p1(t+t) + p2(t+t) – [p1(t) + p2(t)]
= [p1(t+t) – p1(t)] + [p2(t+t) – p2(t)]
= p1 + p2
• Da cui ricaviamo, dividendo per t:
P
p1
p2
 =  + 
t
t
t
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SISTEMA A DUE CORPI (8)
m1
F12
F1est
F21
m2
F2est
• Ai due corpi del sistema possiamo applicare la
seconda legge di Newton:
p1 / t = F1ris = F12 + F1est
p2 / t = F2ris = F21 + F2est
• Dalla precedente relazione abbiamo:
P/t = p1/t + p2/t = F12 + F1est + F21 + F2est
• Ma per la terza legge di Newton, F12 = - F21 , quindi:
P/t = F1est + F2est , ovvero
P/t =  Festerne
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SISTEMA A DUE CORPI (9)
• Abbiamo ottenuto la seguente generalizzazione
della seconda legge di Newton:
La variazione della quantità di moto totale di un
sistema a due corpi, nell’unità di tempo, è uguale
alla somma di tutte le forze esterne che agiscono sul
sistema
• Questa legge si generalizza ulteriormente ad un
sistema con un numero qualsiasi di punti materiali
perché le forze interne si annullano sempre a due a
due in virtù del terzo principio della dinamica
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SISTEMA A DUE CORPI (10)
F21
F12
m1
F1est
F13
F23
m2
F2est
F12= - F21
F31
m3
F32
F3est
F13= - F31
F32= - F23
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SISTEMA A DUE CORPI (11)
• Ad esempio per tre corpi avremmo:
p1 / t = F1ris = F12 + F13 + F1est
p2 / t = F2ris = F21 + F23 + F2est
p3 / t = F3ris = F31 + F32 + F3est
• La variazione della quantità di moto totale:
P/t = p1/t + p2/t + p3/t
= F12 + F13 + F1est + F21 + F23 + F2est + F31
+ F32 + F3est
• Ma per la terza legge di Newton, F12 = - F21 ,
F13 = - F31 , F32 = - F31 , quindi:
P/t = F1est + F2est + F3est , ovvero
P/t =  Festerne
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SISTEMA A DUE CORPI (12)
• In forma generale, possiamo formulare la
generalizzazione del secondo principio della
dinamica ad un sistema con molti corpi:
La variazione della quantità di moto totale di un
sistema, nell’unità di tempo, è uguale alla somma di
tutte le forze esterne che agiscono sul sistema
P/t =  Festerne
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SISTEMA A DUE CORPI (12)
• Un importante corollario della legge precedente è il
PRINCIPIO DI CONSERVAZIONE DELLA
QUANTITA’ DI MOTO
Se la somma di tutte le forze esterne che agiscono
su di un sistema è uguale a zero, la quantità di moto
del sistema è costante
P/t =  Festerne = 0
P = costante
Osserviamo che P è un vettore quindi, in questo caso,
Px = costante
Py = costante
Pz = costante
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SISTEMA A DUE CORPI (13)
• DEFINIZIONE: Se la somma di tutte le forze esterne
che agiscono su di un sistema è uguale a zero, si
dice che il sistema è isolato
• Il principio di conservazione della quantità di moto si
può anche enunciare così:
La quantità di moto di un sistema isolato è costante
• OSSERVAZIONE: affinché un sistema sia isolato
non è necessario che su di esso non agisca alcuna
forza, è sufficiente che la somma delle forze che
agiscono sia nulla
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SISTEMA A DUE CORPI (14)
• Consideriamo un sistema isolato a due corpi. Dalla
relazione
P/t = p1/t + p2/t, poiché P/t = 0,
otteniamo
p1/t = - p2/t
• Ovvero, la variazione della quantità di moto
nell’unità di tempo di un corpo è uguale e contraria
alla variazione della quantità di moto nell’unità di
tempo dell’altro corpo
• In realtà ci aspettavamo già questo risultato perché
p1/t = F12 , p2/t = F21 , e F12 = - F21
questa considerazione mostra che partendo dal
principio di conservazione della quantità di moto si
ottiene la terza legge di Newton
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URTI (1)
Un urto è un interazione tra corpi (punti materiali)
limitata nel tempo e nello spazio
Nel caso di corpi macroscopici, le forze che si
manifestano durante l’urto sono generalmente forze
elastiche generate dalla deformazione dei corpi
durante l’urto stesso (es. biliardo)
Tali forze sono interne al sistema dei corpi che urtano e
non modificano la quantità di moto totale del sistema
In particolare, se il sistema dei corpi che urtano è
isolato, possiamo utilizzare il principio di
conservazione della quantità di moto per studiare gli
effetti dell’urto sulla velocità dei corpi, anche se non
conosciamo in dettaglio le forze che si manifestano
durante l’urto stesso
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URTI (2)
m2
m2
v’2
v2
v1
m1
m1
v’1
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URTI (3)
Considereremo solo urti unidimensionali
m1
prima dell’urto
v2
v1
m2
x
dopo l’urto
v’1
m1
m2
v’2
x
Se possiamo trascurare l’attrito, il sistema è isolato
Supponiamo di conoscere le velocità v1 e v2 prima
dell’urto e, mediante il principio di conservazione
della quantità di moto, calcoliamo le velocità v’1 e
v’2 dopo l’urto
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URTI (4)
La quantità di moto (totale) prima dell’urto è uguale a
quella dopo l’urto:
m1v1 + m2v2 = m1v’1 + m2v’2
Notiamo che le velocità sono grandezze algebriche
anziché vettoriali perché l’urto è unidimensionale
Poiché abbiamo due incognite (v’1 e v’2) ed una sola
equazione, non possiamo risolvere il problema
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URTI (5)
Urto elastico
DEFINIZIONE: un urto è detto elastico se nell’urto si
conserva l’energia cinetica del sistema, ovvero se
l’energia cinetica prima dell’urto è uguale all’energia
cinetica dopo l’urto:
(1/2) m1v12 + (1/2)m2v22 = (1/2) m1v’12 + (1/2)m2v’22
Nel caso di un urto elastico abbiamo un sistema di due
equazioni con due incognite e possiamo risolvere il
problema
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URTI (6)
Urto elastico
m1v1 + m2v2 = m1v’1 + m2v’2

(1/2) m1v12 + (1/2)m2v22 = (1/2) m1v’12 + (1/2)m2v’22
m1 ( v1 – v’1 ) = m2 ( v’2 – v2 )

m1 ( v12 – v’12) = m2 ( v’22 – v22 )
Dividendo la seconda equazione per la prima otteniamo:
v1 + v’1 = v2 + v’2
ovvero:
v’1 – v’2 = v2 – v1
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URTI (7)
Urto elastico
Notiamo che v2 – v1 è la velocità con cui i due corpi si
avvicinano prima dell’urto (infatti v2 – v1 è la velocità di
m2 misurata da un osservatore che si muove con m1),
mentre v’1 – v’2 è la velocità con cui i due corpi si
allontanano dopo l’urto (infatti v’1 – v’2 è l’opposto della
velocità di m2 misurata da un osservatore che si muove
con m1)
Il risultato precedente:
v’1 – v’2 = v2 – v1
ci dice che nell’urto elastico la velocità di
allontanamento dopo l’urto è uguale alla velocità di
avvicinamento dei due corpi prima dell’urto
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URTI (8)
Urto elastico
Abbiamo un nuovo sistema di equazioni:
m1v’1 + m2v’2 = m1v1 + m2v2

 v’1 -
v’2 =
- v1 +
v2
Moltiplichiamo la seconda equazione per m2 e
sommiamo le due equazioni:
(m1 + m2) v’1 = (m1 - m2) v1 + 2m2v2
da cui otteniamo:
(m1 - m2) v1 + 2m2v2
v’1 = 
m 1 + m2
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URTI (9)
Urto elastico
Torniamo al sistema di equazioni:
m1v’1 + m2v’2 = m1v1 + m2v2

 v’1 -
v’2 =
- v1 +
v2
Moltiplichiamo la seconda equazione per m1 e
sottraiamola dalla prima:
(m1 + m2) v’2 = 2m1v1 + (m2 – m1) v2
da cui otteniamo:
2m1v1 + (m2 – m1) v2
v’2 = 
m 1 + m2
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URTI (10)
Urto elastico
Riassumendo per l’urto elastico:
(m1 - m2) v1 + 2m2v2
v’1 = 
m1 + m2
2m1v1 + (m2 – m1) v2
v’2 = 
m1 + m2
Notiamo che queste formule sono simmetriche,
ovvero la seconda si ottiene dalla prima scambiando
gli indici 1 e 2
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URTI (11)
Urto elastico
Caso particolare: la massa m2 è inizialmente a
riposo (v2 = 0)
m1
v1
m2
prima dell’urto
Le formule precedenti diventano:
(m1 - m2) v1
2m1v1
v’1 = 
v’2 = 
m1 + m2
m1 + m2
Notiamo che se m1 > m2, v’1 e v1 hanno lo stesso
segno, se m1 < m2, v’1 e v1 hanno segni opposti
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x
URTI (12)
Urto elastico
Caso particolare: la massa m2 è inizialmente a
riposo (v2 = 0)
m1
m2
prima dell’urto
v1
m1
dopo l’urto
m1 > m2
dopo l’urto
m1 < m2
v’1
m1
v’1
m2
m2
v’2
v’2
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x
x
x
URTI (13)
Urto elastico
Altro caso particolare:
le due masse sono uguali (m1 = m2)
Dalle formule dell’urto elastico otteniamo:
v’1 = v2 e v’2 = v1
I due corpi si scambiano le velocità
m1
prima dell’urto
v2
v1
m2
x
dopo l’urto
v2
m1
m2
v1
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x
URTI (14)
Urto anelastico – Coefficiente di restituzione
Abbiamo visto che nell’urto elastico
v’1 – v’2 = v2 – v1
la velocità di allontanamento dei due corpi dopo
l’urto è uguale alla velocità di avvicinamento prima
dell’urto
Nell’urto anelastico, l’energia cinetica non si
conserva. Parte dell’energia cinetica che i corpi
possiedono prima dell’urto viene dissipata durante
l’urto (ad esempio per produrre una deformazione
plastica dei corpi stessi). L’energia cinetica dei
corpi dopo l’urto è inferiore a quella prima dell’urto
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URTI (15)
Urto anelastico – Coefficiente di restituzione
La diminuzione di energia cinetica nell’urto anelastico
si riflette nel fatto che la velocità allontanamento di
dei due corpi è inferiore alla velocità avvicinamento
v’1 – v’2 < v2 – v1
In generale possiamo scrivere la seguente formula
valida per tutti gli urti:
v’1 – v’2 = e (v2 – v1)
dove e = 1 per un urto elastico,
mentre 0  e < 1 per un urto anelastico
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URTI (16)
Urto anelastico – Coefficiente di restituzione
Il coefficiente e si chiama coefficiente di restituzione.
Se conosciamo il valore del coefficiente di
restituzione, la precedente formula, unita
all’equazione della conservazione della quantità di
moto ci permette di calcolare la velocità dei corpi
dopo l’urto
m1v’1 + m2v’2 = m1v1 + m2v2

 v’1 - v’2 = - ev1 + ev2
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URTI (17)
Urto perfettamente anelastico
Il caso e = 0 caratterizza l’urto perfettamente
anelastico. Dalla formula precedente vediamo che
v’1 = v’2. In questo caso la velocità di
allontanamento è nulla e i due corpi restano
attaccati dopo l’urto
L’equazione della conservazione della quantità di
moto diventa:
m1v1 + m2v2 = (m1 + m2) v’
da cui ricaviamo:
m1 v1 + m2 v2
v’ = 
(m1 + m2)
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URTI (18)
Urto perfettamente anelastico
Notiamo che la velocità dei due corpi dopo l’urto è
uguale alla velocità del centro di massa prima
dell’urto
Infatti la posizione dei due corpi dopo l’urto coincide
con quella del centro di massa (perché sono
attaccati), quindi la loro velocità è la velocità del
loro centro di massa
D’altra parte la velocità del centro di massa non
cambia per effetto dell’urto perché la quantità di
moto si conserva (quest’ultima osservazione non è
limitata al caso dell’urto perfettamente anelastico)
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ESEMPI (1)
Pendolo balistico
Il pendolo balistico
permette di misurare la
velocità di un proiettile.
Consiste in un blocco
di materiale duttile
appeso a due fili
v
m
prima dell’urto
M
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ESEMPI (2)
Pendolo balistico
Il proiettile urta con il
blocco in modo
perfettamente
anelastico.
Calcoliamo la
velocità del blocco
subito dopo l’urto:
mv = (m + M) v’
da cui:
v’ = mv / (m + M)
dopo l’urto 1
v’
m
M
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ESEMPI (3)
Pendolo balistico
L’energia cinetica
acquisita dal blocco
nell’urto permette a
quest’ultimo di sollevarsi
contro la forza peso fino
all’altezza h
(1/2)(m+M)v’2 = (m+M)gh
(1/2)[m/(m+M)]2v2 = gh
m
v = [(m+M)/m] (2gh)
M
dopo l’urto 2
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h