&2562',/$85($,16&,(1=(%,2/2*,&+(
Prima prova in itinere di FISICA
29 aprile 2003
7(67$
*LXVWLILFDUHLOSURFHGLPHQWRVHJXLWRVRVWLWXLUHLYDORULQXPHULFLDOODILQHQRQGLPHQWLFDUHOH
XQLWjGLPLVXUDVFULYHUHLQPRGRFKLDUR
1)
Due corpi si muovono lungo il piano come in figura, m1= 10 kg con |v1| = 3 m/s, e m2 = 4 kg con
|v2|= 6 m/s, e si urtano in maniera completamente
v1
v2
anelastica.
Calcolare modulo, direzione e verso della velocità
dopo l'urto, e l'energia dissipata nell'urto.
2)
Una curva ad arco di cerchio, con raggio pari a 150 m, è progettata per una velocità media di 60
km/h. Quanto deve valere l'accelerazione centripeta per assicurare la tenuta di strada? Se la curva è
sopraelevata, quanto deve valere l'angolo di pendenza per assicurare tale accelerazione (trascurare
l'attrito)?
3)
Un corpo di massa 15 kg è legato ad una molla di massa trascurabile e si muove di moto armonico
con ampiezza massima 12 cm e frequenza angolare w = 15 osc./sec su di un gradino liscio.
Calcolare la costante elastica della molla.
Ad un certo istante, quando la molla si sta
espandendo e la sua espansione è pari a 8 cm, la
molla viene tagliata. Calcolare la velocità del
corpo all'istante del distacco dalla molla, e la
distanza AB, dove A è la base del gradino, di
altezza AH =30 cm, e B è il punto dove il corpo
cade sulla base del gradino.
H
A
B
&2562',/$85($,16&,(1=(%,2/2*,&+(
Prima prova in itinere di FISICA
29 aprile 2003
7(67%
1)
Un corpo sferico, attaccato ad una molla di costante elastica k = 400 N/m, viene spostato di 15 cm e
si muove di moto armonico con periodo T pari a 4 s. Trovare:
frequenza angolare w;
la massa del corpo;
ampiezza massima della oscillazione;
accelerazione massima;
2)
Una carica Q = 3·10-10 C, con massa = 5·10-10 kg, si muove di moto uniforme nella direzione x con
velocità v0. Entra nel raggio d'
azione di un campo
A
B
y
elettrico uniforme E = 10 N/C, generato da una lastra AB
= 2m posta ad una distanza AQ = 20 cm dalla traiettoria
v0
iniziale della carica. Il campo ha direzione e verso del
x
semiasse positivo y ed attrae la carica verso di sé.
Q
Calcolare il valore minimo di v0 affinchè la carica riesca
ad attraversare il campo senza urtare la lastra AB.
3)
Un oggetto, di massa m1= 1.3 kg, partendo dalla posizione A con velocità iniziale 10 m/s, si muove
sulla superficie AB, lunga 3.5 m, che risulta
avere coefficiente d'
attrito dinamico pari a 0.15.
Nella posizione B l'
oggetto urta un secondo
corpo, di massa m2=2.6 kg ed inizialmente fermo
alla base di un piano inclinato liscio. Dopo l'
urto
i due corpi si muovono insieme.
Determinare:
A
B
velocità del primo oggetto immediatamente prima dell'
urto;
velocità dei due corpi immediatamente dopo l'
urto;
energia dissipata nell'
urto.
Dire inoltre, giustificando la risposta, se il sistema dei due corpi riesce ad arrivare alla sommità del
piano inclinato, che è alto 2.5 m.
SOLUZIONI
1a)
m 1 ¼ v 1 + m 2 ¼ v 2 = (m 1 + m 2 ) ¼ v 12
v 12
m
m
m 1 ¼ v 1 + m 2 ¼ v 2 10 kg ¼ 3 s - 4 kg ¼ 6 s
=
=
= 0 . 43 m
s
m1 + m 2
14 kg
Quindi velocità diretta nella stessa direzione e stesso verso di v1.
L'
energia dissipata nell'
urto è data dalla differenza tra l'
energia cinetica prima e dopo l'
urto:
1
1
1
2
m 1 ¼ v 12 + m 2 ¼ v 22 - (m 1 + m 2 ) ¼ v 12
=
2
2
2
(
1Ë
Ì10 kg ¼ 3 m s
2Í
2a)
)
(
2
(
+ 4 kg ¼ 6 m
)
)
s
(
- 14 kg ¼ 0 . 43 m
2
) Û = 115 . 7 J
s ÜÝ
2
Prima di tutto trasformiamo la velocità da km/h in m/s per calcolare l'
accelerazione centripeta:
16 . 7 m
v2
s
a=
=
r
150 m
2
= 1 . 85 m
N
s2
Ny
Ora, se consideriamo il diagramma delle forze a lato, in
Nx
cui è raffigurata la sezione della curva sopraelevata
q
(l'
auto si muove verso l'
osservatore), vediamo che la
normale N esercitata dal piano è scomposta in due
componenti: una componente y, che equilibra la forza
peso dell'
oggetto (auto) in movimento, ed una componente x (che è quella che determina
l'
accelerazione centripeta). Ora, si ricava che:
Ny = N ¼ cos q = m ¼ g
Nx = N ¼ sin q =
m ¼g
¼ sin q = m ¼ g ¼ t g q
cos q
Quindi, l'
accelerazione centripeta è data da:
a=
N
v2
= x = g ¼ t gq
r
m
(
da cui
)
2
16 . 7 m
v2
s
t gq =
=
= 0 . 19
g ¼ r 9 . 8 m 2 ¼ 150 m
s
3a)
w=
k
m
(
k = w2 ¼ m = 15 osc
)
s
2
q = 10 44’
¼ 15 kg = 3375 N
m
1
1
m ¼ v 2 + k ¼ Dx 2 ; ricordando che in corrispondenza
2
2
la velocità è nulla, possimo scrivere, per il principio di
L'
energia meccanica totale è data da
dell'
espansione massima [max
conservazione dell'
energia:
1
1
1
m ¼ v 2 + k ¼ Dx 2 = k ¼ Dx 2m ax
2
2
2
(
)
(
)
equazione precedente:
Quindi, quando [è pari a 8 cm, la velocità si ricava dall'
2
2
3375 N (0 . 12 m ) - (0 . 08 m )
2
k ¼ Dx 2m ax - Dx 2
m
v =
=
= 1.8 m 2
s
m
15 kg
2
v = 1.8 m
2
s2
= 1 . 34 m
s
Una volta staccatosi dalla molla, il corpo si muove di moto rettilineo uniforme lungo x. Raggiunto il
limite del gradino, si aggiunge una componente lungo y, soggetta all'
accelerazione di gravità g. Lo
spazio AB corrisponde allo spostamento effettuato nella direzione x mentre si percorre la distanza
AH=y0 lungo y. Calcoliamo quindi il tempo necessario a percorrere AH, e usiamo questo valore per
ricavare il corrispondente spostamento AB:
ÑÔx = v ¼ t
Òy = y - 1 g ¼ t 2
0
ÔÓ
2
x = v ¼ t = 1 . 34 m
t2 =
s
2 ¼ y0
g
t =
2 ¼ y0
=
g
¼ 0 . 25 s = 0 . 335 m = 33 . 5 cm
2 ¼ 0.3 m
= 0 . 25 s
9.8 m 2
s
1b)
T = 4s
w=
w=
k
m
2p
= 1 . 57 osc
s
T
m =
(
400 N
k
m
=
2
w
1 . 57 osc
s
Dx m ax = 15 cm
am ax
)
= 162 kg
2
m s2
= 162 kg
s2 m
400 N ¼ 0 . 15 m
k ¼ Dx m ax
m
=
=
= 0 . 37 m 2
s
m
162 kg
2b)
La carica Q si muove di moto rettilineo uniforme lungo x e di moto uniformemente accelerato lungo
y, con accelerazione dovuta all’attrazione del campo elettrico:
Ñx = v 0 ¼ t
Ô
Òy = 1 a ¼ t 2
ÔÓ
2
q ¼E
a=
m
t =
y =
x
v0
Ñx = v 0 ¼ t
Ô
Òy = 1 q ¼ E ¼ t 2
ÔÓ
2 m
1 q ¼ E x2
¼
2 m v 20
Affinchè la carica riesca ad attraversare il campo senza impattare contro la lastra AB, lo spazio
percorso lungo y in corrispondenza di x=AB deve essere minore di AQ:
y ( AB) < AQ
v0 >
( )
( )
1 q ¼ E AB
¼
2 m
v 20
1 q ¼ E AB
¼
=
2 m
AQ
2
2
< AQ
( )
1 q ¼ E AB
>
¼
2 m
AQ
2
v 20
10
2
C ¼ 10 N
1 3 ¼ 10
C ¼ (2 m ) = 7 . 75 m
s
2
0.2 m
5 ¼ 10 10 kg
3b)
La velocità immediatamente prima dell'
urto la si trova applicando il principio di conservazione
dell'
energia in presenza di una forza non conservativa come quella d'
attrito:
1
1
m 1 ¼ v 12i - m ¼ m 1 ¼ g ¼ s = m 1 ¼ v 12f
2
2
v 1f =
v 12i - 2 ¼ m ¼ g ¼ s =
(10 m s )
2
- 2 ¼ 0 . 15 ¼ 9 . 8 m
s2
¼ 3 . 5 m = 9 . 47 m
s
La velocità dopo l'
urto anelastico si ricava dalla conservazione della quantità di moto:
m 1 ¼ v 1 f = (m 1 + m 2 ) ¼ v 12
v 12
1 . 3 kg ¼ 9 . 47 m
m 1 ¼ v 1f
s = 3 . 16 m
=
=
s
m1 + m 2
3 . 9 kg
L'
energia dissipata è la differenza tra l'
energia cinetica prima e dopo l'
urto:
1
1
2
m 1 ¼ v 12f - (m 1 + m 2 ) ¼ v 12
=
2
2
(
1Ë
Ì1 . 3 kg ¼ 9 . 47 m s
2Í
)
2
(
- 3 . 9 kg ¼ 3 . 16 m
) Û = 38 . 82 J
s ÜÝ
2
Per verificare se il sistema dei due corpi riesce ad arrivare alla sommità del piano inclinato,
consideriamo l'
altezza massima raggiungibile dai due corpi, corrispondente alla situazione in cui
tutta la loro energia cinetica si è trasformata in energia potenziale:
1
2
(m 1 + m 2 ) ¼ v 12
= (m 1 + m 2 ) ¼ g ¼ h m ax
2
h m ax =
2
v 12
2 ¼g
(3 . 16 m s )
=
2
2 ¼ 9.8 m
= 0 . 51 m
s2
Quindi il sistema dei due corpi non riesce a salire in cima al piano, che è alto 2.5 m.
