Fisica Applicata
(FIS/07)
9CFU
Facoltà di Ingegneria, Architettura e delle
Scienze Motorie
11-aprile-2013
Architettura
(corso magistrale a ciclo unico quinquennale)
Prof. Lanzalone Gaetano
Lavoro ed Energia
Lavoro ed energia cinetica: introduzione
• Consideriamo un punto materiale P di massa m, che si muove di
moto rettilineo sotto l’azione di una forza costante parallela alla
traiettoria (per esempio moto di caduta di un grave)
P
O
F = ma ⇒ F = max
Eq. Moto uniformemente accelerato
2
1
o
xo
2 x
(1) ⎧ x = x + v t + a t
⎨
(2) ⎩vx = vxo + axt
x
F
ax =
t=
F
= costante
m
v x − v xo
ax
Moto uniformemente accelerato
vx − vxo 1 ⎛ vx − vxo ⎞
⎟⎟
x − xo = vxo
+ 2 ax ⎜⎜
ax
⎝ ax ⎠
2vxo vx − 2vxo vxo + v 2x + v2xo − 2vxo vx v 2x − v2xo
x − xo =
=
2a x
2a x
Moltiplichiamo primo e secondo
membro per la massa
m
2
v 2x v2xo
−
= a x (x − x o )
2
2
1 2 1
2
mv x − mv xo = ma x (x − x o )
2
2
Lavoro ed energia cinetica: Definizioni
1 2 1
mv x − mv 2xo = ma x (x − x o )
2
2
1 2 1
2
mv x − mv xo = F(x − xo )
2
2
Definiamo: Energia cinetica della particella K = 1 mv 2
2
Definiamo: Lavoro effettuato dalla forza
costante sul percorso rettilineo tra xo e x
Le dimensioni
[Lavoro] = [F ][L] = [ML2T −2 ]
2
[K ] = [M ][v] = [ML2T −2 ]
Nel SI: Nm=kgm2s-2=J (joule)
Nel SI: kgm2s-2=J (joule)
Richiami sul prodotto scalare tra vettori
Dati vettori F e Δr, si definisce prodotto scalare
F
θ
F ⋅ Δr = FΔr cosθ
Δr
Il risultato di un prodotto scalare è uno scalare
F ⋅ Δr = Δr ⋅ F
Commutativo
• Modulo del primo vettore per modulo del secondo vettore per il
coseno dell’angolo compreso
• Che può anche essere interpretato come
– Il modulo del primo vettore per la proiezione del secondo
vettore lungo il primo
F ⋅ Δr = F ( Δr cosθ )
Δr cosθ
F
θ
Δr
– Il modulo del secondo vettore per la proiezione del primo sul
secondo
F
θ
F cosθ
Δr
F ⋅ Δr = Δr ( F cosθ )
Richiami sulle proprietà del prodotto scalare
•
Vettori paralleli
– Positivo FΔr
F
Δr
•
•
Vettori ortogonali
– Uguale a zero
Vettori antiparalleli
– Negativo - FΔr
F
F
i ⋅ i =1
j⋅ j =1
i ⋅ j = i ⋅k = j⋅k = 0
k⋅k =1
F = Fx i + Fy j + Fz k
Δr
Δr
Prodotti scalari tra versori diversi
Δr = Δx i + Δy j + Δzk
a⋅a = a
Il prodotto scalare di un vettore per sé stesso
2
F ⋅ Δr = Fx Δx + Fy Δy + Fz Δz
Generalizzazione della definizione di lavoro
•
Nello studio del moto rettilineo uniformemente accelerato abbiamo ottenuto:
– La variazione dell’energia cinetica subita dal punto materiale quando
si sposta tra xo e x risulta uguale al lavoro compiuto dalla forza lungo
il percorso tra xo e x
Prende il nome di : Teorema delle forze vive.
•
Vediamo se è possibile generalizzare questo risultato al caso generale.
– Se la traiettoria non è rettilinea o se la forza non è parallela allo spostamento, solo
la componente tangenziale (o parallela allo spostamento ) della forza è responsabile
della variazione del modulo della velocità:
dv
Ft
= at =
dt
m
Componente tangenziale
Occorre fare in modo, nella definizione di lavoro di una forza, che
esso dipenda solo dalla componente tangenziale della forza.
F
Ft = F cosθ
Δr
θ
Generalizzazione della definizione di lavoro
•
Lavoro fatto da una forza costante su un percorso rettilineo
F
θ
•
L = F ⋅ Δr = FΔr cosθ
Δr
Il lavoro è una grandezza scalare
Se la forza non è costante e/o il percorso non è rettilineo, possiamo
sempre
– dividere il percorso γ in tratti così piccoli (infinitesimi) da poter
considerare
• il tratto rettilineo e
• la forza costante su quel tratto,
dL = F ⋅ dr
– Calcolare il lavoro su ciascuno dei tratti
– Sommare tutti i lavori calcolati sui singoli tratti
L=∫
f
i ,γ
F ⋅ dr
γ
i
f
Generalizzazione della definizione di lavoro
•
Calcolo del lavoro utilizzando le componenti cartesiane
!
# F = Fx i + Fy j + Fz k
"
#$ dr = dx i + dy j + dzk
•
L=∫
i ,γ
f
F ⋅ dr = ∫ (Fx dx + Fy dy + Fz dz )
i ,γ
Calcolo del lavoro utilizzando i moduli della forza e dello spostamento
dr = ds mod ulo di dr
•
f
L=∫
f
i ,γ
f
F ⋅ dr = ∫ Fds cosθ
i ,γ
I lavoro della risultante
θ
n
R = ∑ Fj
γ
j =1
LR = ∫
f
i ,γ
r F
i
f
R ⋅ dr = ∫
i ,γ
n f n
∑ Fj ⋅ dr = ∑ ∫ Fj ⋅ dr = ∑ L j
n
j =1
j =1
i ,γ
j =1
f
Generalizzazione del “teorema delle forze vive”
Dimostrazione:
Consideriamo il generico intervallo di tempo dt
– La variazione dell’energia cinetica
γ
θ
F
f
i
!1 2$ 1
1
2
dK = d # mv & = m d ( v ) = m d ( v ⋅ v ) =
"2
% 2
2
1
1
= m ( dv ⋅ v + v ⋅ dv ) = m2 ( v ⋅ dv ) = mv ⋅ adt = vdt ⋅ ma = dr ⋅ ma =
2
2
= dr ⋅ ma = dr ⋅ R = dLR
La relazione vale per tutti gli intervalli infinitesimi: quindi anche quando si somma
su tutti gli intervalli.
ΔK = LR
La variazione di energia cinetica è uguale al lavoro della risultante
(la somma del lavoro fatto da tutte le forze agenti sul punto materiale)
Potenza
Se una forza esegue un lavoro L in un intervallo di tempo Δt, si definisce
potenza media nell’intervallo Δt il rapporto :
Pmedia
L
=
Δt
La Potenza sviluppata dalla forza all’istante t (potenza istantanea), si
ottiene facendo il limite per Δt che tende a zero:
dL
P=
dt
dL = F ⋅ dr = F ⋅ vdt
dL F ⋅ dr vdt
P=
=
= F⋅
= F⋅v
dt
dt
dt
Le dimensioni [P] = [ML2T-2][T-1] = [ML2T-3]
Nel SI si misura in watt (W)
Altre unità cavallo vapore (Cv) 1 CV = 0,735 kW = 0,986 hp
P = F⋅ v
Kilovattora come unità di
misura del lavoro
1kwattora=3.6MJ
Consumi
•
Apparecchio
Potenza
(watt)
Affettatrice
50
Arricciacapelli
50
Asciuga biancheria
3000
Asciugacapelli
1000
Aspirapolvere
1000
Boiler elettrico
1200
Congelatore
300
Cappa aspirante
100
Coltello elettrico
100
Cucina elettrica
3000
Ferro da stiro
1000
Forno elettrico
2000
Friggitrice
2000
Frigorifero
250
Frullatore
150
Giradischi / CDrom
20
Grill
1000
Illuminazione
720
Lavastoviglie
3000
Lavatrice
3000
Lucidatrice
300
Macchina per cucire
100
Macina caffè
20
Personal computer
200
Radiatore
2000
Radio
10
Radiosveglia
10
Registratore
20
Riscaldamento elettr.
15000
Segreteria telefonica
5
Spremi agrumi
70
Taglia erba
1000
Televisore
100
Tostapane
1000
Trapano
500
Tritacarne
200
Umidificatore
20
Videoregistratore
100
Yogurtiera
20
Consumo
costo annuo
(kWh/anno)
uso medio
in euro (*)
0.4
10 min/sett
0,051
0.1
10 min/sett
0,012
250
2 volte/sett (6 mesi)
32,278
26
30 min/sett
3,356
39
45 min/sett
5,035
3000
120 L/giorno
387,342
600
continuo
77,468
21
4 h/sett
2,711
0.4
5 min/sett
0,051
1100
2 fuochi 45 min/giorno
142,025
26
1 h/sett
3,356
65
1 h 20 min/sett
8,392
78
45 min/sett
10,070
600
continuo
77,468
2
15 min/sett
0,258
3.1
3 h/sett
0,400
26
30 min/sett
3,356
260
3 x 60 w, 4 h/giorno
33,569
700
1 lavaggio/giorno
90,379
210
2 lavaggi/sett
27,113
3.9
15 min/sett
0,503
1.2
1 h/mese
0,154
0.01
5 min/sett
0,015
21
14 h/sett
2,711
400
10 h/sett (6 mesi)
51,645
7.3
14 h/sett
0,942
87
continuo
11,232
4.2
4 h/sett
0,542
10000
6 mesi/anno
1291,142
40
continuo
5,164
0.6
10 min/sett
0,077
8
15 min/sett (8 mesi)
1,032
105
20 h/sett
13,556
13
15 min/sett
1,678
6.5
15 min/sett
0,839
0.8
5 min/sett
0,103
4.5
14 h/sett
0,581
36.5
7 h/sett
4,712
3
1 volta/sett
0,387
•
•
(*) Con un costo per kilowattora pari a 0,129114€.
Note sull’energia
• È una grandezza che caratterizza il punto materiale
– Dipende dal suo stato (posizione, velocità, temperatura, etc)
– Esistono varia forme di energia
– Per es. l’energia cinetica dipende dallo stato di moto del corpo
• I corpi possono scambiarsi energia:
– Il lavoro rappresenta un modo attraverso cui i corpi si scambiano
energia.
– Se la risultante delle forze esterne compie un lavoro positivo (forza motrice,
concorde con il moto), allora l’energia cinetica del punto materiale aumenta.
• Si dice che l’ambiente esterno ha compiuto un lavoro sul punto materiale
• il punto materiale ha acquisito energia cinetica dall’ambiente esterno.
– Se la risultante delle forze esterne compie un lavoro negativo (forza
resistente, opposta al moto), allora la sua energia cinetica diminuisce.
• si dice che il punto materiale ha effettuato del lavoro sull’ambiente esterno
a spese della sua energia cinetica
• L’energia cinetica rappresenta la capacità di un corpo a compiere del
lavoro
– Trasferire cioè il movimento ad altri corpi.
• La corrente del fiume che fa muovere le macine di un mulino
Una donna tira, a velocità costante, una slitta carica di massa m= 75 kg su
una superficie orizzontale. Il coefficiente di attrito dinamico tra i pattini e
la neve è µd=0.10, e l’angolo φ è di 42°.
Calcolare il lavoro effettuato per spostare la slitta di 10 m.
La forza applicata dalla donna è uguale alla tensione T
(possiamo calcolare il lavoro della tensione T).
Il lavoro effettuato dalla donna sarà:
T
φ
Δr
L = T ⋅ Δr = TΔr cos φ
Forza costante
Spostamento rettilineo
Bisogna calcolare il modulo di T.
N + Fg + T + fk = ma
x : T cos φ − f k = max = 0
y : N + Tsenφ − mg = ma y = 0
x : T cosφ − µd N = 0
y : N + T sen φ − mg = 0
T cosφ − µd (mg − Tsenφ ) = 0
T (cosφ + µd senφ ) = µd mg
N = mg − T senφ = 75kg 9.81
N = mg − Tsenφ
T=
Sostituendo in x:
µ dmg
= 90.8 N
cos φ + µ d sen φ
costante
θ’
m
2 − 91N sen 42° = 675 N
s
θ
fk = µ d N = 0.10 ∗ 675 N = 67.5 N
Il lavoro effettuato dalla donna (dalla tensione):
µ d mg
LT = TΔr cos φ =
Δr cos φ = 90.8N*10m * cos 42° = 675J
cos φ + µ d senφ
L f k = f k Δr cosθ = 67.5 ∗10 ∗ (− 1) = −675 J
LN = NΔr cosθ ' = 675 ∗10 ∗ (0) = 0 J
LFg = Fg Δr cosθ ' ' = 735.7 ∗10 ∗ (0) = 0 J
LR = LFg + LN + LT + L f k = 0 + 0 + 675 − 675 ≈ 0 J
LT = 675J
Un sollevatore di pesi solleva un manubrio di massa complessiva m=260kg
per un dislivello di 2 m
• Determinare il lavoro fatto dalla forza peso durante il sollevamento
• Determinare il lavoro fatto dal sollevatore di peso.
• Se il sollevatore abbandona l’attrezzo mentre è in alto (h=2m) determinare
la velocità con cui arriva sul pavimento.
LP = P ⋅ Δr = mgh cos180 ° = 260 kg 9.81ms −2 2m(− 1) = −5101.2 J
Fs
P
Osserviamo che l’energia cinetica iniziale è nulla, ma anche quella finale.
La variazione di energia cinetica è nulla.
Utilizzando il teorema delle forze vive:
f
i
ΔK = K − K = 0
ΔK = LR = LP + LFs = 0
LFs = − LP = 5101.2 J
Per quanto riguarda l’ultima domanda: osserviamo che il moto avviene sotto l’azione della sola
forza peso.
Il lavoro fatto dalla forza peso in questo caso è positivo:
LP = P ⋅ Δr = mgh cos 0° = 260 kg 9.81ms −2 2m(1) = 5101.2 J
ΔK = K f − K i = LR = LP
2 LP
2mgh
m
vf =
=
= 2 gh = 6.26
m
m
s
K f = K i + LP
1 2
mv f
2
0J
Le forze conservative
• Una forza si dice conservativa se
– il lavoro eseguito dalla forza sul punto materiale P mentre si sposta
dalla posizione P1 alla posizione P2 dipende soltanto dalla posizione
iniziale e dalla posizione finale e non dal percorso effettuato, dalla
traiettoria seguita per andare da P1 a P2, ne da alcun altro parametro
come la velocità, il tempo impiegato, ecc.
Allora à esiste una funzione U della
posizione del punto materiale P,
U(P) = U(x,y,z),
γ
tale che il lavoro fatto dalla forza
conservativa quando il punto materiale si
sposta tra due punti qualsiasi, P1 e P2, è dato
dalla differenza tra i valori che la funzione U
assume nel punto iniziale P1 meno quello che
assume nel punto finale P2.
Chiameremo U funzione energia potenziale
rθ
F
P2
P1
L=∫
f
i ,γ
F ⋅ dr =
= U ( P1 ) − U ( P2 ) = −ΔU
Il lavoro effettuato da una forza conservativa
su un percorso chiuso è nullo
• Consideriamo un percorso chiuso
P2 P1
L = ∫ F ⋅ dr = ∫ F ⋅ dr + ∫ F ⋅ dr
P1 ,γ 2
π-θ
γ1
P2 ,γ 1
F
P2
P1
• Le forze conservative dipendono
dalla posizione.
γ1
θ
F
P2
P1
dLA = −dLR
∫
P2
P1,γ1
P1
L= F
F ⋅ dr = − ∫ F ⋅ dr
∫ ⋅ d r =
P2 ,γ1
γ2
A=andata
R=ritorno
dLA = F ⋅ dr = Fds cosθ
dLR = F ⋅ dr = Fds cos(π − θ )
∫
P2
P1,γ 2
F ⋅ dr −
∫
P2
P1,γ1
F ⋅ dr = 0
Calcolo del lavoro compituto da
differenti forze
• Forza peso
• Forza elastica
• Forza di attrito statico
• Forza di attrito dinamico
y
Lavoro della forza peso (1).
•
B
P1
Verifichiamo che la forza peso è conservativa:
– Dobbiamo far vedere che per qualunque percorso il
lavoro fatto dalla forza per andare da P1 a P2 è
sempre lo stesso indipendente dal percorso.
– Prendiamo il percorso P1A P2.
A
LP1 AP2 = LP1 A + LAP2
LP1 A = ∫
A
A
P ⋅ dr = P ⋅ ∫ dr =P ⋅ d = mg P1 A cos 0 = mg P1 A
P1 ,
P1 ,
LP1 A
x
P1 A = y1 − y2
⇓
= mg ( y1 − y2 ) = mgy1 − mgy 2
LAP2
P2
π
= P ⋅ d = mg AP2 cos = 0
2
LP1 AP2 = LP1 A = mgy1 − mgy 2
– Prendiamo ora il percorso P1B P2. LP1BP2 = LP1B + LBP2 = LBP2 = LP1 A = mgy1 − mgy 2
y
Lavoro della forza peso (2)
P1
– Prendiamo un qualsiasi percorso tra P1 e P2.
P = −mg j
dr = dx i + dy j + dzk
P2
L = ∫ P ⋅ dr
P1 ,γ
dr
P
γ
A
B
P2
x
L=∫
P2
P1 ,γ
Px dx + Py dy + Pz dz = ∫
P2
P1 ,γ
− mgdy = −mg ∫
P2
P1 ,γ
dy
y
L = −mg [y ]y12 = −mgy2 + mgy1
•
L’energia potenziale
U = mgy
L = U ( P1 ) − U ( P2 ) = mgy1 − mgy2
Tutti i percorsi conducono allo stesso risultato !!! c.v.d.
Lavoro della forza elastica
•
•
x1
Valutiamo il lavoro fatto dalla forza elastica per spostare il corpo dalla
posizione x1 a x2.
– Lo spostamento è rettilineo
– ma la forza non è costante
Utilizziamo la definizione più generale
L=∫
P2
P1 ,γ
Fe l ⋅ dr
dove:
x2
⎧Fel = −kx i
⎨
⎩dr = dx i + dy j + dzk
2
x2
⎡ x ⎤
L = ∫ Felx dx + Fely dy + Felz dz = ∫ − kxdx = −k ∫ xdx = − k ⎢ ⎥
x1 ,γ
x1 ,γ
x1 ,γ
⎣ 2 ⎦ x1
x2
1
1
L = − kx22 + kx12
2
2
x2
x2
Il lavoro dipende solo dai punti iniziali e finali: la forza elastica è
conservativa! La sua energia potenziale :
Lavoro della forza di attrito statico.
•
La forza di attrito statico fa lavoro nullo:
– Nel caso di attrito statico, non c’è spostamento: quindi il lavoro è nullo
– Se il piano di appoggio si sposta rispetto al SRI utilizzato, si osservi
che:
• il piano e l’oggetto poggiato su di esso subiscono lo stesso
spostamento
• Le forze di attrito sono uguali ed opposte (azione e reazione)
• Il lavoro complessivo è nullo
a
Lavoro della forza di attrito dinamico
•
La forza di attrito dinamico fa, sempre, un lavoro negativo
•
Consideriamo un punto materiale che si muove su un piano
orizzontale sulla traiettoria γ tra P1 e P2.
Il modulo della forza di attrito dinamico è
•
Fad = µ d N = µ d mg
•
costante
θ=π
γ
P2
P1
Il lavoro effettuato dalla forza di attrito dinamico
LP1P2 = ∫
P2
P1 ,γ 1
P2
P2
P2
Fad ⋅ dr = ∫ Fad ds cos π = ∫ − µd mgds = −µd mg ∫ ds = −µd mg P1P2
P1 ,γ 1
P1 ,γ 1
P1 ,γ 1
l P1P2 è la lunghezza del tratto di traiettoria percorso
•
•
il lavoro della forza di attrito dinamico non dipende solo dal punto iniziale e
da quello finale, ma anche dalla lunghezza della traiettoria scelta
Su un percorso chiuso il lavoro è diverso da zero
Conclusione: La forza di attrito dinamico non è conservativa
Forza peso
• Il punto di riferimento Po è un punto del piano xz, con y=0 (quota nulla)
• Ai punti del piano orizzontale y=0 si assegna energia potenziale nulla
U(x, y, z) = mgy = mgh
h = quota
Forza elastica
• Il punto di riferimento Po è la posizione dell’estremo libero della molla in condizioni
di molla non deformata, x=0.
• Quando la molla non è deformata, x=0, si assegna energia potenziale nulla
1 2
U(x, y,z) = kx
2
– Forza di gravitazione universale
• Il punto di riferimento Po è il punto all’infinto.
• Al punto all’infinito, si assegna energia potenziale nulla
– Forza di Coulomb
U
• Il punto di riferimento Po è il punto all’infinto.
• Al punto all’infinito, si assegna energia potenziale nulla
U(x, y, z) = −
(x, y, z) =
GmM
r
1 q1q 2
4πε o r
Teorema di conservazione dell’energia meccanica totale
Supponiamo di avere un punto materiale che si muove sotto l’azione di forze conservative.
Il teorema delle forze vive ci dice che il lavoro della risultante è uguale alla variazione
dell’energia cinetica:
LAB = ΔK = K B − K A
Poiché tutte le forze sono conservative, il lavoro della risultante può essere messo in
relazione con la variazione di energia potenziale
LAB = −ΔU = U A − U B
•
U=
∑U
k
Combinando le due relazioni di LAB si ottiene:
ΔK = −ΔU
ΔK + ΔU = 0
ΔK + ΔU = KB − K A + U B − U A = (K B + U B ) − (K A + U A ) = EB − EA = 0
K B + U B = K A + U A = costante E = K + U
EA = EB l’energia si conserva energia meccanica totale
Solo forze conservative à l’energia meccanica totale si conserva!
L’energia meccanica totale E di un punto materiale che si muove
sottoposto alle sole forze esercitate da un campo conservativo
si mantiene costante.
Relazione tra Lavoro ed Energia
in presenza di forze non conservative
• Se non tutte le forze sono conservative
– Il lavoro della risultante LR sarà la somma del lavoro effettuato
dalle forze conservative Lc + dalle forze non conservative Lnc
LR = Lc + Lnc
LR = ΔK
Lc = −ΔU
sostituendo
ΔK = −ΔU + Lnc
ΔK + ΔU = Lnc
Δ(K + U ) = Lnc
ΔE = Lnc
• La variazione dell’energia meccanica totale è uguale al
lavoro effettuato dalle forze non conservative.
•
Questa relazione contiene come caso particolare anche la conservazione
dell’energia (infatti quando non ci sono forze non conservative Lnc=0 )
L’energia meccanica totale
• In presenza di forze non conservative l’energia meccanica totale
non si conserva
– La sua variazione è proprio uguale al lavoro delle forze non conservative
Δ(K + U ) = Lnc
ΔE = Lnc
• In realtà non bisogna pensare che una parte dell’energia sia andata
distrutta o si sia creata dal nulla, semplicemente c’è stato uno scambio
con altre forme di energia.
– Nel caso di forze dissipative, attrito dinamico, resistenza passiva, il lavoro
(negativo) di queste forze è accompagnato da un aumento della
temperatura dei corpi interessati
• L’energia meccanica totale diminuisce mentre aumenta
l’energia interna dei corpi (aumento di temperatura)
Lnc<0
– Nel caso in cui si ha un aumento dell’energia meccanica totale (per esempio
nelle esplosioni), l’energia interna contenuta nell’esplosivo è stata
trasformata in energia meccanica
• L’esplosivo ha subito una trasformazione chimica.
Lnc>0
Il diagramma dell’energia
L’energia meccanica
totale
(esempio : oscillatore armonico)
La normale N e la forza peso non fanno
lavoro (ortogonali allo spostamento)
K<0
K<0
Punti di inversione del moto
Felx dx = −dU Felx
dU
=−
dx
Punto di equilibrio stabile
N
Fel
P
Esercizi
ESEMPIO: Si consideri un punto materiale
1.
2.
3.
4.
posto ad un altezza h dal suolo,
posto su un piano inclinato liscio di altezza h,
attaccato ad un filo di lunghezza h il cui altro estremo è attaccato ad
un soffitto che dista h dal suolo: quando il filo si trova in posizione
verticale, il corpo sfiora il pavimento,
posto su una guida liscia di forma qualsiasi di altezza h
h
1)
2)
3)
4)
In tutti e quattro i casi, inizialmente il corpo si trova ad
altezza h, e viene abbandonato con velocità nulla da
questa posizione
Determinare la velocità con cui il corpo raggiunge il pavimento.
• Nel primo caso
– Agisce solo la forza peso (che è conservativa)
– Posso applicare la conservazione dell’energia
h
ΔE = 0 ⇒ Ei = Ef
K i + Ui = K f + Uf
Ki = 0
U i = mgh
K f = 12 mv 2f
Uf = 0
2
0 + mgh = 12 mv f + 0
v f = 2gh
L’energia potenziale iniziale viene
trasformata in energia cinetica
Abbiamo scelto il pavimento come
punto di riferimento ed assegnato
al pavimento energia potenziale
nulla
•
Nel secondo caso agiscono
– la forza peso (P) , che è conservativa,
– la reazione vincolare (N) del piano inclinato,
• (Solo la componente normale, perché per ipotesi il piano è liscio)
•
Possiamo applicare la relazione lavoro energia:
ΔE = Lnc ⇒ Lnc = LN
h
N
La normale è perpendicolare allo
spostamento: quindi il suo lavoro è nullo
P
ΔE = Lnc = 0 ⇒ Ei = E f
Si ritorna al caso precedente
2
0 + mgh = 12 mv f + 0
K i + Ui = K f + Uf
v f = 2gh
La velocità finale è la stessa del caso precedente Ki = 0
U i = mgh
K f = 12 mv 2f
Uf = 0
•
•
Nel terzo caso agiscono
– la forza peso, che è conservativa,
– la tensione nella corda.
Possiamo applicare la relazione lavoro energia:
h
r
dr
ΔE = Lnc ⇒ Lnc = LT
dLT = T ⋅ dr = 0
perchè T ⊥ dr
P
Il lavoro infinitesimo fatto dalla tensione
T è nullo, ma anche il lavoro complessivo
Si ritorna la caso precedente
2
0 + mgh = 12 mv f + 0
T
ΔE = Lnc = 0 ⇒ Ei = E f
K i + Ui = K f + Uf
v f = 2gh
La velocità finale è la stessa del caso precedente Ki = 0
U i = mgh
K f = 12 mv 2f
Uf = 0
•
•
Nell’ultimo caso agiscono
– la forza peso, che è conservativa,
– la reazione vincolare della guida,
• Solo la componente normale, perché per ipotesi la guida è liscia
Possiamo applicare la relazione lavoro energia:
ΔE = Lnc ⇒ Lnc = LN
dLN = N ⋅ dr = 0
perchè N ⊥ dr
N
h
r
dr
P
Il lavoro infinitesimo fatto dalla forza normale N è
nullo, ma anche il lavoro complessivo ΔE = Lnc = 0 ⇒ Ei = E f
Si ritorna la caso precedente
2
0 + mgh = 12 mv f + 0
K i + Ui = K f + Uf
v f = 2gh
Conclusione: la velocità finale è sempre la
stessa in tutti e quattro i casi esaminati.
Ki = 0
U i = mgh
K f = 12 mv 2f
Uf = 0
Consigli sull’uso della conservazione dell’energia nella
risoluzione dei problemi
• Separare le forze tra forze conservative e forze non conservative.
• Ricordare le forze conservative
h = quota
– Forza peso
U(x, y, z) = mgy = mgh
– Forza elastica
U(x, y,z) =
1 2
kx
2
– Forza di gravitazione universale
– Forza di Coulomb
U(x, y, z) =
U(x, y, z) = −
1 q1q 2
4πε o r
GmM
r
• Tutte le altre forze vanno considerate non conservative
• Scrivere l’equazione della conservazione dell’energia meccanica totale.
– ΔE = 0 se tutte le forze sono conservative
– ΔE = Lnc se non tutte le forze sono conservative
Problemi proposti
1) Un bambino di 75Kg scivola per un tratto di 5m su uno scivolo dritto, partendo da un’altezza di 2.5m. Determinare il
lavoro che fa la forza peso su questo bambino.
R 1840J
2) Una scatola di libri di massa 4.1Kg viene sollevata verticalmente, partendo da ferma, per un tratto di 1.6m,
applicando una forza verso l’alto pari a 60N. Determinare:
a) il lavoro fatto dalla forza applicata;
b) il lavoro fatto dalla forza peso;
c) il modulo della velocità finale della scatola.
R a) 96J, b) -64J, c) v=3.9m/s
Problemi proposti
3) Un ragazzo esercita una forza di 11N inclinata di 29° sopra l’orizzontale su una slitta di massa pari a 6.4Kg.
Determinare il lavoro fatto dal ragazzo e la velocità finale della slitta dopo che questa ha percorso 2m, sapendo
che il modulo della velocità iniziale della slitta è 0.5m/s e che questa scivola orizzontalmente senza attrito.
R v=2.5m/s
4) Quando una forza di 120N viene applicata ad una molla, ne causa l’allungamento di 2.25cm.
Qual è l’energia potenziale di questa molla, quando viene compressa di 3.5cm ?
R 3.26J
Problemi proposti
5) Un blocco di 1.70Kg scivola su una superficie orizzontale priva di attrito finché incontra una molla con una costante
elastica k=955N/m. Il blocco si ferma dopo aver compresso la molla di un tratto di 4.60cm.
Determinare il modulo della velocità iniziale del blocco.
R v=1.09m/s
6) Un maratoneta di massa 80Kg parte da fermo e corre in salita con una forte brezza, che gli soffia contro. Alla fine
della salita l’atleta ha compiuto un lavoro L1=18KJ, la resistenza dell’aria ha fatto un lavoro L2=-4420J, e il
corridore ha una velocità costante di modulo 3.50m/s.
Determinare l’altezza della collina.
R 17.3m
