2008 - Tutorial di P. Barberis RAPPORTO INCREMENTALE IN UN PUNTO DI ASCISSA XO appartenente al Dominio di y=f(x) rapporto fra l’incremento verticale di ordinata y= f(xo+h) - f(xo) corrispondente all’incremento orizzontale di ascissa x = h ∆y f (x 0 + h) − f (x 0 ) = ∆x h B f(xo+h) f(xo) A xo +q x y=m y x xo+h SIGNIFICATO GEOMETRICO - coefficiente angolare m della retta secante AB; - tg goniometrica angolo che la retta forma con asse x DERIVATA PRIMA : y’(xo) IN UN PUNTO DI ASCISSA XO appartenente al Dominio di y=f(x) ∆y f (x 0 + h) − f (x 0 ) lim = lim ∆x →0 ∆x h →0 h Y’(xo) calcolata in x0 è un numero Y’(x) è la “funzione derivata” y= m x+ q E’ il LIMITE ( se esiste ) per h che tende a 0 del rapporto incrementale B A xo xo+h xo SIGNIFICATO GEOMETRICO: - coefficiente angolare m della retta TANGENTE in A - tg goniometrica angolo che la retta forma con asse x CALCOLA la derivata prima APPLICANDO LA DEFINIZIONE 1 Esempio FUNZIONE COSTANTE y=k Calcolo prima il Rapporto incrementale f(x) è la funzione stessa : f(x) = k f(x+h)= k f ( x + h) − f ( x ) k − k 0 R.I . = = = =0 h h h Ora calcolo il limite per h che tende a zero del Rapporto Incrementale Y’(x)= lim 0 = 0 h→0 Derivata prima REGOLA : la derivata della funzione costante Y=k è sempre zero 2 Esempio: funzione IDENTITA’: y=x f(x) è la funzione stessa : f(x) = x calcolo f(x+h) sostituendo x+h alla x: f(x+h)= x+h f ( x + h) − f ( x) ( x + h) − ( x) = = h h Rapporto incrementale x+h−x h = = h h =1 Ora calcolo il limite per h che tende a zero del rapporto incrementale Y’(x)= lim 1 = 1 h→0 Derivata prima REGOLA : la derivata di Y=X è y’=1 3 Esempio: funzione quadratica y = x 2 f(x) = x2 f(x+h)= (x+h)2 = x2+2xh+h2 f ( x + h) − f ( x) ( x 2 + 2xh + h 2 ) − ( x 2 ) = = h h 2hx + h 2 h( 2 x + h) Rapporto incrementale = = 2x + h h h Y’(x)= lim 2 x + h = 2 x + 0 = 2 x h →0 Derivata prima analogamente ricavo che la D[x3]=3x2 e D[x4]=4x3 REGOLA: la derivata di una potenza y=xn è y’=nxn-1 DERIVATE di funzioni ELEMENTARI y=k y’=0 derivata di una costante isolata y=x y’=1 derivata della funzione identità y’=nxn-1 derivata della potenza 1 Derivata della radice quadrata y = x y '= 2 x 1 Derivata del logaritmo naturale ( base e) y = ln x y ' = x y = ex y ' = e x Derivata del funzione esponenziale y=xn y = senx y ' = cos x y = cos x y ' = − senx La derivata del seno è il coseno La derivata del coseno è - il seno Regole di DERIVAZIONE y = k f(x) y'= k f' (x) y = f(x)+g(x) y'= f' (x)+ g' (x) y = f(x)·g(x) y'= f' (x)·g(x) + f(x)·g' (x) f(x) y = -------g(x) f' (x) · g(x) - f(x) · g' (x) y'= ----------------------------g(x)2 DERIVATA DELLA FUNZIONE COMPOSTA y = f(g(x)) y'= f' (g(x))·g’(x) 1- derivare la funzione f più esterna (ricopiando il contenuto g) 2- moltiplicare per la derivata del contenuto g Esempio con la funzione potenza Derivo la potenza y = ( 4 x − 2) Derivo la base y' = 3(4x − 2) • (4 − 0) = 12⋅ (4x − 2) 2 2 3 1 - Esempi svolti y = 3x −5x + 4x −7 4 2 y = 3 x − 5x y = 3 ln x − 4e Soluzioni ottenute applicando le derivate delle funzioni elementari y ' = 12 x − 10 x + 4 − 0 3 y' = x y = 2 cos x − 8senx 3 2 x −5 3 y ' = − 4e x x y ' = −2 senx − 8 cos x 2 - Esempi svolti y = (3 x 4 − 5 x 2 ) ⋅ ( x − 3) Soluzioni ottenute applicando le regole di derivazione y ' = (12 x − 10) ⋅ ( x − 3) + (3 x 4 − 5 x 2 ) ⋅ (1 − 0) 1 y = x ⋅ ln x 1 ⋅ ln x + x ⋅ y' = x 2 x x − 4x y= x+5 (2x − 4) ⋅ (x + 5) − (x − 4x) ⋅ (1+ 0) y' = 2 (x + 5) cos x y= senx − senx ⋅ senx − cos x ⋅ cos x y' = 2 ( senx) 2 2 proseguire svolgendo i calcoli 3 - Esempi svolti y = ( x − 5x ) 4 2 4 y = x + 5x 2 Soluzioni ottenute applicando la regola della funzione composta y ' = 4 ( x 4 − 5 x 2 ) 3 • (12 x − 10 ) y' = 1 2 x 2 + 5x • (2x + 5) = 2x + 5 2 x2 + 5x y = ln( x − 4 x + 6) 1 2 y' = 3 • (3x − 4 + 0) x − 4x + 6 y = cos( x 3 − 9 x) y ' = − sen( x 3 − 9 x) • (3 x 2 − 9) 3 proseguire svolgendo eventuali calcoli