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2008 - Tutorial di P. Barberis
RAPPORTO INCREMENTALE
IN UN PUNTO DI ASCISSA XO appartenente al Dominio di y=f(x)
rapporto fra
l’incremento verticale
di ordinata y= f(xo+h) - f(xo)
corrispondente
all’incremento orizzontale
di ascissa x = h
∆y f (x 0 + h) − f (x 0 )
=
∆x
h
B
f(xo+h)
f(xo)
A
xo
+q
x
y=m
y
x
xo+h
SIGNIFICATO GEOMETRICO
- coefficiente angolare m della retta secante AB;
- tg goniometrica angolo
che la retta forma con asse x
DERIVATA PRIMA : y’(xo)
IN UN PUNTO DI ASCISSA XO appartenente al Dominio di y=f(x)
∆y
f (x 0 + h) − f (x 0 )
lim
= lim
∆x →0 ∆x
h →0
h
Y’(xo) calcolata in x0 è un numero
Y’(x) è la “funzione derivata”
y=
m
x+
q
E’ il LIMITE ( se esiste )
per h che tende a 0
del rapporto incrementale
B
A
xo
xo+h
xo
SIGNIFICATO GEOMETRICO:
- coefficiente angolare m della retta TANGENTE in A
- tg goniometrica angolo
che la retta forma con asse x
CALCOLA la derivata prima APPLICANDO LA DEFINIZIONE
1 Esempio FUNZIONE COSTANTE
y=k
Calcolo prima il Rapporto incrementale
f(x) è la funzione stessa : f(x) = k
f(x+h)= k
f ( x + h) − f ( x ) k − k 0
R.I . =
=
= =0
h
h
h
Ora calcolo il limite per h che tende a zero del Rapporto Incrementale
Y’(x)=
lim 0 = 0
h→0
Derivata prima
REGOLA : la derivata della funzione
costante Y=k è sempre zero
2 Esempio: funzione IDENTITA’:
y=x
f(x) è la funzione stessa : f(x) = x
calcolo f(x+h) sostituendo x+h alla x: f(x+h)= x+h
f ( x + h) − f ( x) ( x + h) − ( x)
=
=
h
h
Rapporto incrementale
x+h−x h
=
=
h
h
=1
Ora calcolo il limite per h che tende a zero del rapporto incrementale
Y’(x)=
lim 1 = 1
h→0
Derivata prima
REGOLA : la derivata di Y=X è y’=1
3 Esempio: funzione quadratica y = x 2
f(x) = x2
f(x+h)= (x+h)2 = x2+2xh+h2
f ( x + h) − f ( x) ( x 2 + 2xh + h 2 ) − ( x 2 )
=
=
h
h
2hx + h 2 h( 2 x + h)
Rapporto incrementale
=
= 2x + h
h
h
Y’(x)= lim 2 x + h = 2 x + 0 = 2 x
h →0
Derivata prima
analogamente ricavo che la D[x3]=3x2 e D[x4]=4x3
REGOLA:
la derivata di una potenza y=xn è y’=nxn-1
DERIVATE
di funzioni ELEMENTARI
y=k
y’=0
derivata di una costante isolata
y=x
y’=1
derivata della funzione identità
y’=nxn-1 derivata della potenza
1
Derivata della radice quadrata
y = x y '=
2 x
1
Derivata del logaritmo naturale ( base e)
y = ln x y ' =
x
y = ex
y ' = e x Derivata del funzione esponenziale
y=xn
y = senx y ' = cos x
y = cos x y ' = − senx
La derivata del seno è il coseno
La derivata del coseno è - il seno
Regole di DERIVAZIONE
y = k f(x)
y'= k f'
(x)
y = f(x)+g(x)
y'= f'
(x)+ g'
(x)
y = f(x)·g(x)
y'= f'
(x)·g(x) + f(x)·g'
(x)
f(x)
y = -------g(x)
f'
(x) · g(x) - f(x) · g'
(x)
y'= ----------------------------g(x)2
DERIVATA DELLA FUNZIONE COMPOSTA
y = f(g(x))
y'= f'
(g(x))·g’(x)
1- derivare la funzione f più esterna (ricopiando il contenuto g)
2- moltiplicare per la derivata del contenuto g
Esempio con la funzione potenza
Derivo la potenza
y = ( 4 x − 2)
Derivo la base
y' = 3(4x − 2) • (4 − 0) = 12⋅ (4x − 2)
2
2
3
1 - Esempi svolti
y = 3x −5x + 4x −7
4
2
y = 3 x − 5x
y = 3 ln x − 4e
Soluzioni ottenute applicando le
derivate delle funzioni elementari
y ' = 12 x − 10 x + 4 − 0
3
y' =
x
y = 2 cos x − 8senx
3
2 x
−5
3
y ' = − 4e x
x
y ' = −2 senx − 8 cos x
2 - Esempi svolti
y = (3 x 4 − 5 x 2 ) ⋅ ( x − 3)
Soluzioni ottenute applicando le
regole di derivazione
y ' = (12 x − 10) ⋅ ( x − 3) + (3 x 4 − 5 x 2 ) ⋅ (1 − 0)
1
y = x ⋅ ln x
1
⋅ ln x + x ⋅
y' =
x
2 x
x − 4x
y=
x+5
(2x − 4) ⋅ (x + 5) − (x − 4x) ⋅ (1+ 0)
y' =
2
(x + 5)
cos x
y=
senx
− senx ⋅ senx − cos x ⋅ cos x
y' =
2
( senx)
2
2
proseguire svolgendo i calcoli
3 - Esempi svolti
y = ( x − 5x )
4
2 4
y = x + 5x
2
Soluzioni ottenute applicando la
regola della funzione composta
y ' = 4 ( x 4 − 5 x 2 ) 3 • (12 x − 10 )
y' =
1
2 x 2 + 5x
• (2x + 5) =
2x + 5
2 x2 + 5x
y = ln( x − 4 x + 6)
1
2
y' = 3
• (3x − 4 + 0)
x − 4x + 6
y = cos( x 3 − 9 x)
y ' = − sen( x 3 − 9 x) • (3 x 2 − 9)
3
proseguire svolgendo eventuali
calcoli