Propriet`a delle sezioni coniche.

Proprietà delle sezioni coniche.
Si consideri una retta, detta generatrice, attorno ad una seconda retta, detta asse, ad essa incidente nel
punto V , detto vertice. Si consideri una rotazione completa della generatrice attorno all’asse in modo che
l’angolo α fra esse resti costante. La superficie ottenuta è detta cono a due falde.
Si consideri ora un piano π che sezioni il cono formando un angolo θ con l’asse. Si supponga inoltre di
non trovarsi nel caso particolare in cui il π passa per V . La curva che si ottiene dall’intersezione del piano
Figura 1: Il cono a due falde.
π e la superficie del cono è di tre tipi distinti a seconda del valore di θ.
1. Se θ > α il piano interseca solo una falda del cono, si forma una curva chiusa detta ellisse.
2. Se θ = α il piano è parallelo ad una generatrice, interseca solo una falda del cono e si forma una
curva aperta detta parabola.
3. Se θ < α il piano interseca entrambe le falde del cono, l’intersezione è quindi una curva con due
rami, detta iperbole.
Figura 2: Le tre diverse sezioni coniche.
Le tre curve sopra definite come sezioni coniche, solitamente definite in termini di certi luoghi geometrici.
Si vuole qui fornire una dimostrazione che le due definizioni sono equivalenti. Si analizza un caso alla
volta.
1
1
La parabola
Si consideri il cono sezionato dal piano π parallelo a una generatrice; la parabola che si ottiene ha un
asse di simmetria che, per evidenti ragioni di simmetria è complanare all’asse di simmetria del cono ed è
ad esso seconte.
Nel semispazio generato da π che contiene il vertice V , si inscriva una sfera in modo che sia tangente
sia al cono, lungo una circonferenza γ e al piano π nel punto F . Ancora, ragioni di simmetria dicono
che l’asse di simmetria della parabola passa per F . Questa sfera, come le altre analoghe che si vedranno
Figura 3: Vista tridimensionale e sezione.
nella dimostrazione per ellisse e iperbole, è detta sfera di Dandelin dal nome di colui1 al quale si deve
la dimostrazione. Si faccia riferimento alla figura, in cui è rappresentata una sola falda del cono, e si
consideri il piano α su cui giace la circonferenza γ; questo piano α interseca il piano sezione π lungo una
retta d. Si consideri inoltre il piano β, non rappresentato in figura, che passa per l’asse di simmetria del
cono e per l’asse di simmetria della parabola; questo piano interseca il cono lungo una generatrice, per
ipotesi parallela a π; sia A il punto in cui tale generatrice incontra γ.
Si osservino le seguenti proprietà di perpendicolarità e parallelismo:
1. Il piano β è perpendicolare al piano π perché contiene la retta passante per il punto di tangenza F
ed il centro della sfera, che è perpendicolare a π.
2. Il piano β è perpendicolare al piano α, poiché contiene l’asse del cono che è perpendicolare ad α.
3. Il piano β, essendo perpendicolare ai due piani π ed α è anche perpendicolare alla retta d che
appartiene ad entrambi. Sia B il piede di tale perpendicolare. Si osservi che B sta sull’asse della
parabola, infatti appartiene sia a π che a β e quindi alla loro intersezione che è appunto l’asse della
parabola.
1 Germinal
Dandelin (1794-1847), matematico francese.
2
4. La retta d essendo perpendicolare a β è perpendicolare ad ogni sua retta passante per il piede della
perpendicolare B: quindi d è perpendicolare all’asse della parabola.
5. La generatrice che passa per V A è parallela all’asse della parabola; le due rette sono infatti complanari in quanto appartengono entrambe a β e non possono avere un punto in comune perché tale
punto sarebbe comune al piano π e alla generatrice V A per ipotesi parallela a π.
Si consideri ora un qualsiasi punto P appartenente alla parabola; si unisca P con F e con V . Si osservi
che il segmento P V appartiene ad una retta generatrice del cono, ha quindi un punto R in comune con
la circonferenza γ; si noti inoltre che il segmento P V è tangente alla sfera in R.
Il punto F è il punto di tangenza fra il piano π e la sfera, il segmento F P , che si trova su π è quindi
tangente alla sfera in F . Quindi i segmenti P R ed F P sono due tangenti alla sfera uscenti dallo stesso
punto P , quindi sono congruenti:
PR = FP .
(1)
Sia ora P Q la perpendicolare tracciata, su π, da P alla retta d. Il segmento P Q è parallelo all’asse
della parabola in quanto entrambi perpendicolari a d. Quindi P Q e V A, essendo entrambi perpendicolari
all’asse della parabola, sono fra loro paralleli e quindi complanari. Il piano che le contiene contiene anche
il segmento P V , quindi su questo piano si trova anche il punto R. Ma allora i punti A, R e Q si trovano
sull’intersezione fra il piano α e il piano che contiene le due rette parallele AV e P Q, quindi sono allineati.
Quindi i triangoli ARV e P QR sono simili. Ma V A e V R sono due tangenti ad una cironferenza da uno
stesso punto esterno V quindi sono congruenti, pertanto ARV è isoscele, quindi è isoscele anche P QR,
quindi
PR = PQ .
(2)
Confrontando le equazioni 1 e 2 si trova
FP = PQ
(3)
cioè il punto P si trova alla stessa distanza dal punto F e la retta d, che quindi sono il fuoco e la direttrice
della parabola.
2
Ellisse
Si consideri ora il caso in cui il piano secante π forma con l’asse del cono un angolo maggiore dell’angolo
di apertura del cono. Con riferimento alla figura, si considerino nei due semispazi generati da π due sfere
di Dandelin tangenti a π in due punti F1 ed F2 ed al cono lungo due circonferenze γ1 e γ2 . Si consideri
un punto P dell’ellisse e si consideri la generatrice uscente da V e passante per P . Questa interseca γ1
e γ2 rispettivamente in A e in B. Si unisca P con F1 e con F2 . P F1 è un segmento portato sul piano
tangente alla sfera da un punto esterno P al punto di tangenza F1 : è quindi tangente alla sfera. D’altra
parte anche BP , trovandosi su una generatrice è tangente alla stessa sfera in B. Quindi i segmenti P F1
e P B sono due tangenti ad una sfera portati de un punto esterno, sono quindi congruenti. Similmente si
prova che P F2 e P A sono congruenti. Quindi
P F1 = P B
,
P F2 = P A .
(4)
Ma
AP + P B = AB
(5)
che è la distanza fra le due circonferenze misurata lungo una generatrice e quindi è indipendente dalla
generatrice scelta e quindi dalla posizione di P sull’ellisse; è cioè costante.
Confrontando (4) e (5) si può cosı́ concludere che
P F1 + P F2 = cost
3
(6)
Figura 4: Vista tridimensionale e sezione.
quindi i P costituiscono il luogo dei punti la cui somma delle distanze da F1 ed F2 è costante, quindi F1
ed F2 sono i fuochi dell’ellisse.
3
Iperbole
Si consideri infine il caso in cui il piano secante π forma con l’asse del cono un angolo minore dell’angolo
di apertura del cono. Con riferimento alla figura, si considerino nei due semispazi generati da π due sfere
di Dandelin tangenti a π in due punti F1 ed F2 ed al cono lungo due circonferenze γ1 e γ2 . Si consideri un
punto P appartenente al ramo superiore dell’iperbole e si consideri la generatrice uscente da V e passante
per P . Questa interseca γ1 e γ2 rispettivamente in A e in B. Si unisca P con F1 e con F2 . P F1 è un
segmento portato sul piano tangente alla sfera da un punto esterno P al punto di tangenza F1 : è quindi
tangente alla sfera. D’altra parte anche AP , trovandosi su una generatrice è tangente alla stessa sfera in
A. Quindi i segmenti P F1 e P A sono due tangenti ad una sfera portati de un punto esterno, sono quindi
congruenti. Similmente si prova che P F2 e P B sono congruenti.
Quindi
(7)
P F1 = P A
,
P F2 = P B .
Ma
BP − AP = AB
(8)
che è la distanza fra le due circonferenze misurata lungo una generatrice e quindi è indipendente dalla
generatrice scelta e quindi dalla posizione di P sull’ellisse; è cioè costante.
In modo perfettamente analogo si dimostra che per un punto P apparenente al ramo inferiore dell’iperbole, vale la relazione
(9)
AP − BP = AB
Confrontando (7), (8) e (9) si può cosı́ concludere che, per qualsiasi punto P dell’iperbole vale la relazione
|P F2 − P F1 | = cost
4
(10)
Figura 5: Vista trimensionale e sezione.
quindi i P costituiscono il luogo dei punti la cui differenza delle distanze da F2 ed F1 è costante. quindi
F1 ed F2 sono i fuochi dell’iperbole.
4
Proprietà focale della parabola.
Teorema 4.1 La retta che congiunge un punto P di una parabola al fuoco e la retta per P parallela
all’asse di simmetria della parabola formano angoli uguali con la tangente e con la normale in P .
Dimostrazione
Si consideri una parabola con direttrice d e fuoco F . Si scelga un sistema di assi cartesiani in modo che
il vertice sia nell’origine O e l’asse di simmetria coincida con l’asse delle ordinate. Si consideri un punto
P appartenente al grafico della parabola; per definizione di parabola, la distanza P F tra il punto e il
fuoco è uguale alla distanza P H tra il punto e la direttrice. Il triangolo F HP è dunque isoscele. Anche
O appartiene alla parabola, quindi anch’esso si trova alla medesima distanza dal fuoco e dalla direttrice.
Indicando con A l’intersezione fra la direttrice e l’asse delle ordinate, vale AO = F O. Sia inoltre L il
punto di intersezione fra F H e l’asse delle ascisse. I triangoli rettangoli AF H e F OL sono simili quindi
L è il punto medio di F H. Quindi P L è mediana, altezza e bisettrice del triangolo isoscele F HP .
P L è tangente alla parabola. La dimostrazione è per assurdo; si supponga che P L non sia tangente,
5
Figura 6: Le costruzioni geometriche per la dimostrazione.
quindi è secante e oltre a P deve esistere un secondo punto, sia M , di intersezione fra P L, perpendicolare
a F H, e la parabola. Ora P L è asse del segmento F H e quindi M F = M H; ma M appartiene alla
parabola, quindi è equidistante da fuoco e direttrice, vale cioè M F = M N . Dalle precedenti uguaglianze
segue M H = M N , ma questo è assurdo poiché il triangolo HM N è rettangolo e l’ipotenusa HM non
può essere uguale al cateto M N . Quindi P L è tangente alla parabola.
Si consideri ora la retta per P parallela a F H e sia B la sua intersezione con l’asse delle ordinate. BP è
pertanto perpendicolare a P L. Ora prolungando HP fino a R e la tangente LP fino ad S si ha
RPbS = LPbH
∧
LPbH = F PbL
−→
RPbS = F PbL
Quindi RPbB e B PbF sono complementari ad angoli uguali, sono quindi uguali.
¤
Questa proprietà della parabola è detta proprietà focale (giustificando cosı́ anche la parola fuoco) poiché
se la parabola rappresenta il profilo di uno specchio parabolico, un fascio di raggi luminosi paralleli all’asse
si riflettono tutti verso il fuoco.
Figura 7: Il fuoco della parabola.
6