Programma 2010/11

CORSO DI LAUREA IN
INGEGNERIA AMBIENTE, TERRITORIO E RISORSE
INGEGNERIA MECCANICA
INGEGNERIA DELL’INFORMAZIONE
SEDE DISTACCATA DI LATINA
PROGRAMMA DI ANALISI MATEMATICA 1 - A.A. 2010 – 2011 (9 crediti)
Docenti: Prof. Bruno Antonio CIFRA , Prof. Fernando ILARI
I numeri.
Generalità sugli insiemi N, Z, Q, I , R : struttura algebrica, struttura d'ordine e
struttura topologica. Estremo inferiore, estremo superiore.
Valore assoluto. Disuguaglianza triangolare. Potenze e radicali. Potenze a esponente
reale. Esponenziali e logaritmi. fattoriale di n.
Topologia naturale della retta: intervalli, intorni, insiemi aperti e chiusi. Punti
interni, punti esterni, punti di frontiera, punti isolati e punti di accumulazione.
Chiusura di un insieme, insiemi densi. Insiemi infiniti, insiemi limitati, teorema di
Bolzano-Weirstrass.
Numeri complessi: struttura algebrica - rappresentazione cartesiana, rappresentazione
trigonometrica, rappresentazione esponenziale. Formula di De Moivre. Potenze e
radici. Funzioni complesse elementari.
Funzioni di una variabile.
Il concetto di funzione. Funzioni reali di variabile reale: generalità; funzioni
limitate; funzioni simmetriche; funzioni monotòne; funzioni periodiche. Funzioni
elementari: funzioni potenza; funzioni esponenziali e logaritmiche; funzioni
trigonometriche; funzione segno, funzioni parte intera e mantissa; funzioni
iperboliche. Operazioni sui grafici. Funzioni definite a tratti. Funzioni composte.
Funzioni invertibili e funzioni inverse. Le funzioni trigonometriche inverse. Le
funzioni iperboliche inverse.
Successioni numeriche.
Definizione di successione. Limite di una successione. Teorema di unicità del
limite. Successioni monotòne. Successioni limitate e sottosuccessioni. Criterio di
convergenza di Cauchy. Principio di induzione, disuguaglianza di Bernoulli. Il
numero e. Il calcolo dei limiti. Confronti e stime asintotiche.
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Serie numeriche.
Definizioni e primi esempi. Serie a termini non negativi. Convergenza semplice,
convergenza assoluta, divergenza. Criterio di convergenza di Cauchy. Condizione
necessaria di convergenza, Criteri di (assoluta) convergenza (rapporto, radice,
condensazione, integrale). Serie armonica e serie geometrica. Serie telescopiche .
Criteri di confronto e confronto asintotico.
Serie a termini di segno variabile. Serie a termini di segno alterno. Criterio di
Leibnitz .
Limiti di funzioni e continuità.
Limiti di funzioni. Teorema ponte. Funzioni continue. Discontinuità e singolarità.
Asintoti. Proprietà fondamentali di limiti e continuità. Limiti notevoli. Confronti
e stime asintotiche. Stime asintotiche e grafici. Proprietà globali delle funzioni
continue o monotòne su un intervallo. Continuità e invertibilità.
Teoremi classici sulle funzioni continue: permanenza del segno, esistenza degli zeri,
teorema di Weirstrass, teorema dei valori intermedi.
Calcolo differenziale per funzioni di una variabile.
Introduzione al calcolo differenziale. Derivata di una funzione. Derivata e retta
tangente. Derivate di funzioni elementari. Punti angolosi, cuspidi, flessi a tangente
verticale. Regole di calcolo delle derivate. Algebra delle derivate. Derivata di una
funzione composta. Derivata di funzione inversa. Punti stazionari. Massimi e minimi
locali.
Teoremi classici sulle funzioni derivabili: Teoremi di Rolle, Cauchy, Lagrange
(teorema del valor medio) e conseguenze. Il teorema di De l’Hospital.
Limite della derivata e derivabilità. Derivata seconda. Significato geometrico della
derivata seconda. Derivata seconda, concavità e convessità. Studio del grafico di una
funzione. Calcolo differenziale e approssimazioni. Differenziale e approssimazione
lineare. Infinitesimi ed infiniti. Il simbolo di Landau “o piccolo”. Limiti notevoli
e sviluppi. Polinomi di Taylor. Formula di Taylor-MacLaurin con resto secondo
Peano.
Calcolo integrale per funzioni di una variabile.
Introduzione al calcolo integrale. L’integrale come limite di somme. Integrale di
Cauchy. Integrale di Riemann (cenni). Integrale di funzioni generalmente continue.
Proprietà dell’integrale. Il teorema fondamentale del calcolo integrale.
Calcolo di integrali indefiniti e definiti. Integrali immediati, per scomposizione,
per sostituzione. Integrazione delle funzioni razionali. Integrazione per parti.
Integrazione delle funzioni trigonometriche. Integrazione delle funzioni irrazionali..
Metodi elementari per la ricerca di una primitiva. Calcolo di integrali indefiniti
e definiti.
Integrali impropri. Integrazione di funzioni non limitate. Criteri di integrabilità al
finito. Integrazione su intervalli illimitati. Criteri di integrabilità all’infinito. Serie ed
integrali impropri.
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Equazioni differenziali ordinarie.
Modelli differenziali: Contestualizzazione, esistenza della soluzione, molteplicità
della soluzione, costruzione della soluzione.
Equazioni differenziali di ordine n. Forma normale. Problema di Cauchy: teorema di
esistenza e unicità locale (senza dim.) . Integrale generale e integrali singolari.
Equazione del primo ordine: Equazioni a variabili separabili, equazioni
riconducibili a variabili separabili. Equazioni lineari del primo ordine. Equazione di
Bernoulli.
Equazioni lineari di ordine n: Spazi vettoriali e spazi di funzioni. Generalità sulle
equazioni lineari. La struttura dell’integrale generale. Equazioni omogenee a
coefficienti costanti. Equazioni lineari non omogenee. Soluzioni particolari e metodo
di similarità.
Metodo di variazione delle costanti arbitrarie. Equazioni di Eulero.
Equazioni del tipo F(x, y', y'')=0 . Equazioni del tipo F(y, y', y'')=0
Libri di testo consigliati:
M. Bramanti, C.D. Pagani, S. Salsa: Analisi Matematica 1. Zanichelli,
2008.
M. Bramanti, C.D. Pagani, S. Salsa: Analisi Matematica 2. Zanichelli,
2009.
M. Amar, A.M. Bersani: ESERCIZI DI ANALISI MATEMATICA. Esculapio,
2004.
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