1
Principali funzioni e loro domini
Tipo di funzione
Polinomio intero
Polinomio fratto
Radici pari
Radici dispari
Moduli
Esponenziali
Logaritmi
Rappresentazione
p(x) = a0 xn +
+ an
p(x)
q(x)
p
2n
pf (x)
2n+1
f (x)
jf (x)j
ef (x)
log [f (x)]
Dominio
R
q(x) 6= 0
f (x) 0
R
R
R
f (x) > 0
Esempio 1.1.
p
Determinare il dominio di y = x2 1. Guardando la tabellina noto che f (x)
0 e in questo caso
f (x) = x2 1 0 ovvero x
1 _ x 1: Quindi insiemisticamente si può scrivere che la funzione parte
da valori reali fatti in questo modo: ( 1; 1][1; +1): Da notare che i valori compresi vanno tra parentesi
quadra mentre quelli non compresi tra parentesi tonda. Ciò ci servirà per lo studio dei limiti.
Esempio 1.2.
r
x3 1
2x2
!
: Vediamo come a¤rontare questo caso un pò più complesso.
r
x3 1
Il logaritmo deve avere argomento maggiore di 0 in questo caso è
> 0 ma una radice quadrata
2x2
3
x
1
0 visto che è una fratta il
per de…nizione deve essere maggiore o uguale a 0 cioè il radicando
2
2x
2
denominatore deve essere diverso da 0 ovvero 2x 6= 0: Quindi provando a mettere in sistema le diverse
condizioni mi viene che:
8 r 3
x
1
>
>
>0
>
<
2x2
x3 1 > 0
3
)
) x>1
x
1
x 6= 0
>
0
>
2
>
2x
:
2x2 6= 0
Determinare il dominio di y = log
2
Funzioni pari e dispari
De…nizione 2.0.1. Una funzione f si dice pari se f ( x) = f (x): (C’è simmetria rispetto all’asse delle
ordinate)
De…nizione 2.0.2. Una funzione f si dice dispari se f ( x) =
f (x): (C’è simmetria rispetto all’origine)
Questo ci serve perchè possiamo de…nire se una funzione è simmetrica o meno e quindi posssiamo limitare
il nostro studio in una sola parte del piano. Infatti se prendiamo per esempio y = jxj se noi studiamo la
funzione per x 0 invece che su tutto il suo dominio (R) è più facile. Infatti y = x è la retta bisettrice del
primo-terzo quadrante e se c’è il modulo la funzione diventa pari. Si noti come la funzione sia speculare
rispetto all’asse delle ordinate.
y
5
2.5
0
-5
-2.5
0
2.5
5
x
-2.5
-5
y = jxj
1
3
Comportamenti di alcune funzioni
y
y
5
0
0
0
-2.5
0
2.5
5
-5
-2.5
0
2.5
2
5
y
2.5
2.5
5
-5
y
5
-2.5
0
0
2.5
5
-5
-2.5
0
2.5
5
x
x
-2.5
-2.5
-5
-5
Esponenziale(ex )
Logaritmo(log x)
-5
p
Radici( 3 x)
5
2.5
x
-2.5
5
-5
0
0
2.5
p
Radici( x)
2.5
0
4.1
0
-2.5
Polinomi(x3 )
Polinomi(x )
4
-2.5
x
-5
-5
-2.5
-5
-2.5
-2.5
-5
5
x
x
y
5
2.5
2.5
2.5
-5
y
5
Intersezione con gli assi - Segno della funzione
Intersezione con gli assi
L’intersezione con gli assi signi…ca andare a vedere dove la funzione becca gli assi, insomma calcolare dove
la funzione tocca nell’asse delle ascisse o delle ordinate.
Per fare ciò in formule si scrive che se la nostra funzione è del tipo y = f (x) essa intercetterà l’asse delle
ascisse se e soltanto se f (x) = 0 mentre intercetterà l’asse delle ordinate se e soltanto se y = f (0): Per
capire meglio è bene che faccia 1 esempietto.
Esempio 4.1.
Abbiamo la funzione y = x3 + x2 + x + 1: Essa intercetta l’asse delle ascisse in f (x) = 0 ovvero x3 + x2 +
x + 1 = 0 e in questo caso raccogliendo viene (x + 1)(x2 + 1) = 0 cioè x = 1. Mentre se voglio sapere
dove sbatte contro le ordinate basta fare y = f (0) ovvero al posto della x ci sostituisco 0 e in questo caso
viene y = 03 + 02 + 0 + 1 = 1 cioè y = 1:
2
4.2
Segno della funzione
Il segno della funzione invece è la parte del piano in cui passa la funzione (se sopra o sotto l’asse delle
ascisse). Solitamente chi studia una funzione pone y 0 ovvero f (x) 0 e poi si guarda dove la funzione
e¤ettivamente sia positiva o meno.
Esempio 4.2
Abbiamo la funzione y = x2 4: Per studiare il segno pongo y 0 ovvero x2 4 0 cioè x
Quindi per x
2_x 2 la funzione è positiva ovvero sta sopra l’asse delle ascisse mentre per
la funzione è negativa ovvero sta al di sotto dello 0:
y
2_x
2 x
2.
2
5
2.5
0
-5
-2.5
0
2.5
5
x
-2.5
-5
y = x2
5
5.1
4
Limiti agli estremi della funzione
Che cos’è un limite?
Il limite è uno strumento matematico che serve per vedere cosa succede alla funzione avvicinandosi a
un punto (o all’in…nito), ovvero vogliamo vedere cosa accade a una funzione nell’intorno del punto che
vogliamo trattare, senza calcolare il suo valore nel punto. Ad esempio:
lim f (x) = 7
x!3
questa scrittura mi dice che nell’intorno di tre (ovvero nelle vicinanze di 3) la funzione tende(si avvicina)
al valore 7. Ma questo 7 non è proprio il valore della funzione in 3 ma è il limite che può assumere la
funzione nell’intorno di 3:
De…nito il limite vorrei de…nire il concetto di limite destro e di limite sinistro di una funzione. Se noi ci
avviciniamo a un punto possiamo avvicinarci o da destra o da sinistra e quindi a volte, nello studio di
funzioni, può capitare che la funzione nel suo dominio da una parte esiste e dall’altra no. In questo caso
si usa parlare di limite destro o limite sinistro. Ad esempio
lim f (x) = +1
x!3+
signi…ca che guardando la funzione nell’intorno destro di 3(ovvero guardando la funzione da destra verso
sinistra) allora la mia funzione tende a +1.
Se invece del + c’è il meno signi…ca che la funzione la valuto nell’intorno sinistro di 3. Scrivendolo ne
deriva che:
lim f (x) = +1
x!3
3
5.2
Primi passi verso il calcolo dei limiti
Se abbiamo una funzione y = f (x) e abbiamo il dominio di f (x) che è R (ovvero non abbiamo discontinuità)
allora per fare il limite basta fare
lim f (x) = f (x0 )
x!x0
dove x0 è un numero (o in…nito). Quindi basta che sostituisca alla x il valore di x0 . E …n qui è tutto
normale.
Se il dominio invece non è più R allora iniziano i casini, ovvero esistono delle tecniche che mi possono dire
quanto vale una funzione nell’intorno del valore di quel determinato punto x0 :
Vediamo la risoluzione di alcuni casi
Caso
numero positivo/negativo
0
numero positivo/negativo
1
0
=0 0
1
1 1
1 1
0
0
1
1
11 ; 00 ; 10
Soluzione
1
0
0
1
???
???
???
???
I punti interrogativi signi…cano che non sappiamo di per sè la risposta ma esistono diversi metodi che
possono aiutarmi a risolverli.
5.3
Limiti notevoli - caso 0/0
I limiti notevoli che a noi ci interessano sono 4 ma ora ne prendiamo in considerazione solo 3. Essi sono:
1. lim
x!0
ex
1
x
=1
log(x + 1)
=1
x!0
x
2. lim
3. lim
x!0
(x + 1)
x
1
=
con
2R
Ovviamente essi possono essere incasinati a piacere ovvero i limiti si possono far tendere a dove vogliono
(con un cambiamento di coordinate).
Se il limite tende ad x0 allora basta porre x x0 = t a¢ nchè poi il limite tenda poi a 0 (questo nel caso
in cui x0 è un numero …nito).
1
Se il limite tende ad 1( sia più che meno) basta porre in questi limiti = t sempre per far tendere a 0 il
x
limite.
Esempio 5.3.1.
(x
Calcolare lim
1)2 1
: Questo è il caso in cui il limite tende ad x0 con x0 = 2. Qui devo porre quindi
x!2
x 2
x 2 = t lo facciamo e sostituiamo tenendo conto che se x 2 = t allora x = t + 2 e quindi il limite mi
(t + 1)2 1
viene che lim
= 2:
t!0
t
Esempio 5.3.2.
1
1
+ 1): Questo è il caso in cui il limite tende ad 1. Qui devo porre = t per poi
x!+1
x
x
1
1
log(t + 1)
far tendere t a 0. Se = t ) x = . Andando a sostituire lim
= 1:
t!0
x
t
t
Calcolare lim x log(
4
5.4
La de…nizione di e - il numero di Nepero
Il quarto limite che a noi interessa è la de…nizione di e ovvero:
lim
x!1
Questo limite se
1+
x
1
x
=e
1
= t allora t tende a 0 e viene che:
x
1
lim (1 + t) t = e
t!0
Anche qui le cose possono venire un pò scombusolate ma non è di¢ cile proviamo a vedere un esempio:
Esempio 5.4.1.
i
h
i
h
1 5
5
5
1 5
Calcolare lim (1 + x) x : Qua è facile poichè (1 + x) x = (1 + x) x quindi lim (1 + x) x = e5
x!0
x!0
Esempio 5.4.2.
Calcolare lim
x!1
4
4t
1+
4
x
3x
3 4t
= lim
4
1
: Qua faccio un cambio di coordinate ovvero
=
) 4t = x: Allora
x
t
"
#12
12t
t
1
1
1+
= lim
1+
= e12
t!1
t
t
lim
1+
5.5
Caso 1=1 - rapporto tra polinomi
t!1
t!1
Dati Pn (x) = a0 xn + a1 xn
vogliamo calcolare
1
+
+ an
1x
+ an e dato Qm (x) = b0 xm + b1 xm
lim
x!+1
1
+
+ bm
1x
+ bm
Pn (x)
Qm (x)
In questo caso si possono presentare tre sottocasi ovvero:
8
>
< se n > m
Pn (x)
se n = m
lim
=
x!+1 Qm (x)
>
:
se n < m
+1
a0
a0 xn
= lim
b0
x!+1 b0 xm
0
In parole povere vale la regola seguente: il limite all’in…nito di una frazione di polinomi è uguale al limite
che tende all’in…nito di una frazione tra i termini di grado massimo dei polinomi.
Esempio 5.5.1.
x3 + x2 5
x3 + x2 5
: Qui abbiamo che n > m ovvero 3 > 2 e quindi lim
= +1:
2
x!+1
x!+1
x
1
x2 1
Calcolare lim
Esempio 5.5.2.
x3 + 7x2
x!+1 9x3
x2
x3 + 7x2 5
quindi lim
=
x!+1 9x3
x2 1
Calcolare il lim
5
: Qui abbiamo n = m ovvero 3 = 3. In questo caso a0 = 1 mentre b0 = 9
1
1
:
9
Esempio 5.5.3.
Calcolare lim
x!+1
x
x2
5
x
: Qui abbiamo n < m ovvero 1 < 2 e quindi lim 2
x!+1 x
1
5
5
= 0:
1
5.6
Caso 1=1 - regole sulla crescita delle funzioni
Bisogna sapere che esistono diversi tipi di in…nito, ovvero che diverse funzioni possono crescere più o meno
rapidamente nell’intorno dell’in…nito. Ciò implica che si può fare una scala di in…niti tramite le funzioni
che si può rappresentare rapidamente mediante questo schema:
n
(log x) < xm < epx < xx
per x ! +1
Ora tramite due esempi possiamo capire cosa realmente signi…ca questa scala di valori
Esempio 1.
ex
: Guardando lo schema qua sopra vediamo che ex cresce molto più rapidamente di
x2005
x elevato a qualsivoglia n (in questo caso 2005) e quindi ex vince su x2005 e quindi si può scrivere che
ex
lim 2005
lim ex = +1
x!+1 x
x!+1
Calcolare lim
x!+1
Esempio 2.
2005
(log x)
: Sempre riferendoci alla scala degli in…niti vediamo che log x elevato a una
x!+1
x
2005
qualsivoglia potenza m cresce sempre di meno di x e quindi x vince su (log x)
e quindi si può scrivere
2005
(log x)
1
che lim
lim
=0
x!+1
x!+1 x
x
Calcolare
lim
Per scrivere in lettere ciò che abbiamo detto sopra è molto facile. All’in…nito il logaritmo elevato a qualsivoglia potenza cresce meno rapidamente di x; x elevato a qualsiasi potenza cresce meno di un esponenziale
etc...(queste proprietà si possono vedere molto bene nei gra…ci, comparando una funzione con l’altra).
6
