A
Marino Badiale
Paolo Caldiroli
Sandro Coriasco
Esercizi di analisi matematica
Copyright © MMXII
ARACNE editrice S.r.l.
www.aracneeditrice.it
[email protected]
via Raffaele Garofalo, /A–B
Roma
()
----
I diritti di traduzione, di memorizzazione elettronica,
di riproduzione e di adattamento anche parziale,
con qualsiasi mezzo, sono riservati per tutti i Paesi.
Non sono assolutamente consentite le fotocopie
senza il permesso scritto dell’Editore.
I edizione: giugno
Prefazione
Raccogliamo in questo volume buona parte degli esercizi che abbiamo assegnato, negli ultimi dieci anni, alle prove scritte degli esami del corso di Analisi
Matematica per il Corso di Laurea in Informatica presso l’Università di Torino.
Si tratta di un testo che può essere utile per tutti gli studenti che devono
preparare una prova scritta di Analisi Matematica 1, qualsiasi sia il Corso di
Laurea al quale sono iscritti. I temi trattati sono quelli tipici di un primo
corso di Analisi Matematica (calcolo differenziale ed integrale per funzioni di
una variabile), con l’aggiunta di qualche argomento che non sempre fa parte dei
programmi dei corsi del primo anno (equazioni differenziali, serie numeriche e
serie di potenze, calcolo differenziale per funzioni di due variabili). Ogni capitolo
contiene un breve paragrafo con richiami teorici, l’elenco dei testi degli esercizi
proposti ed i corrispondenti svolgimenti.
Segnaliamo che il testo di teoria seguito per le lezioni del corso di Analisi
Matematica cui si riferiscono gli esercizi qui raccolti è il libro di Michiel Bertsch:
Istituzioni di Matematica, Bollati Boringhieri, 1994.
I nostri più sinceri ringraziamenti vanno a Francesca Alessio, Vivina Barutello, Elena Cordero, Margherita Fochi, Alessandro Morando e Gabriella Viola, che
hanno collaborato con noi allo svolgimento della didattica ed alla preparazione
degli esami da cui è tratto il materiale del testo.
Gli Autori
i
ii
Indice
Prefazione
i
1 Calcolo differenziale per funzioni di una variabile
1.1 Richiami di teoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Esercizi di calcolo di limiti . . . . . . . . . . . . . . . .
Svolgimenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Esercizi su continuità e derivabilità . . . . . . . . . . .
Svolgimenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Esercizi sugli sviluppi di Taylor e sulla retta tangente .
Svolgimenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
1
8
10
22
25
30
32
2 Grafico delle funzioni di una variabile
2.1 Richiami di teoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Esercizi sullo studio dell’andamento del grafico di una funzione
Svolgimenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Esercizi sulla soluzione di equazioni algebriche e trascendenti .
Svolgimenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
. 41
. 43
. 46
. 127
. 128
3 Calcolo integrale per funzioni di una variabile
3.1 Richiami di teoria . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Esercizi di calcolo di primitive e integrali definiti
Svolgimenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Esercizi di calcolo di integrali impropri . . . . . .
Svolgimenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Esercizi sul carattere di integrali impropri . . . .
Svolgimenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
139
139
144
145
149
150
155
156
4 Serie numeriche e serie di potenze
4.1 Richiami di teoria . . . . . . . . .
4.2 Esercizi sulle serie numeriche . . .
Svolgimenti . . . . . . . . . . . . .
4.3 Esercizi sulle serie di potenze . . .
Svolgimenti . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
162
162
165
167
177
179
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
5 Equazioni differenziali ordinarie
187
5.1 Richiami di teoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
5.2 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
Svolgimenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
iii
6 Calcolo differenziale per
6.1 Richiami di teoria . .
6.2 Esercizi . . . . . . . .
Svolgimenti . . . . . .
funzioni di
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
iv
due
. . .
. . .
. . .
variabili
215
. . . . . . . . . . . . . . 215
. . . . . . . . . . . . . . 217
. . . . . . . . . . . . . . 222
Capitolo 1
Calcolo differenziale per
funzioni di una variabile
1.1
Richiami di teoria
Il calcolo dei limiti si basa principalmente sull’applicazione di alcune regole generali e sulla conoscenza di alcuni limiti fondamentali. Tecniche utili per arrivare
al risultato sono la regola di de l’Hôpital, i confronti asintotici e gli sviluppi di
Taylor.
Regole di calcolo
Per quanto riguarda il limite di somme, prodotti e quozienti valgono le seguenti
regole:
Supponiamo che f (x) → L e g(x) → M per x → a.
Se L, M ∈ R allora:
• f (x) + g(x) → L + M ,
• f (x)g(x) → LM ,
f (x)
L
•
→
purché sia M 6= 0.
g(x)
M
Il valore a può essere un numero reale oppure ±∞. Le precedenti regole algebriche per i limiti valgono in modo analogo nel caso di successioni (ad esempio
se an → L e bn → M allora an + bn → L + M per n → +∞). Se L e/o M sono
infiniti, le regole precedenti si estendono sulla base delle seguenti tabelle.
r + ∞ = +∞ ∀r ∈ R
r − ∞ = −∞ ∀r ∈ R
+∞ + ∞ = +∞
−∞ − ∞ = −∞
r
=0
±∞
∀r ∈ R
r
=
0+
r · (+∞) = +∞
r · (−∞) = −∞
r · (+∞) = −∞
r · (−∞) = +∞
+∞
−∞
se r > 0
se r < 0
1
∀r
∀r
∀r
∀r
>0
>0
<0
<0
r
=
0−
e
e
e
e
r
r
r
r
= +∞
= +∞
= −∞
= −∞.
−∞
+∞
se r > 0
se r < 0
2
M. Badiale, P. Caldiroli, S. Coriasco
Nelle ultime due tabelle le frazioni nel cui denominatore compare 0+ o 0− sono
da intendere nel senso seguente: 0r+ significa che si sta valutando un limite della
forma
f (x)
lim
x→a g(x)
dove
f (x) → r
per x → a
e
g(x) → 0 per x → a
g(x) > 0 per ogni x ∈ I, x 6= a
essendo I un intorno di a contenuto nel dominio di g. Se a = +∞, per intorno di
a si intende qualsiasi intervallo della forma (x0 , +∞). Analogamente, gli intorni
di −∞ sono gli intervalli della forma (−∞, x0 ).
Nota bene. Non sono definite le operazioni
+∞ − ∞ ,
0 · (±∞) ,
±∞
,
±∞
0
.
0
Quando si presenta una di queste situazioni si parla di forma indeterminata o
forma di indecisione. In questi casi la valutazione del limite può essere fatta
tenendo conto delle particolari funzioni coinvolte.
Un altro risultato utile è il seguente teorema di confronto:
• Se |f (x)| ≤ C per ogni x in un intorno di a, x 6= a, e g(x) → 0
per x → a allora f (x)g(x) → 0 per x → a.
• Se f (x) ≥ C per ogni x in un intorno di a, x 6= a, e g(x) → +∞
per x → a allora f (x) + g(x) → +∞ per x → a.
• Se f (x) ≤ C per ogni x in un intorno di a, x 6= a, e g(x) → −∞
per x → a allora f (x) + g(x) → −∞ per x → a.
Per quanto riguarda il limite di funzioni composte vale che
Se f (x) → L per x → a e g(y) → M per y → L
allora g(f (x)) → M per x → a.
I valori L, M e a possono essere finiti o infiniti. Nel caso di limiti di successioni,
la versione corrispondente della regola sopra riportata si può formulare nel modo
seguente:
Se an → L per n → +∞ e g(y) → M per y → L
allora g(an ) → M per n → +∞.
Alcuni limiti fondamentali
+∞
1
n
lim r =
0
n→+∞
non esiste
se
se
se
se
r>1
r=1
|r| < 1
r ≤ −1
lim
n→+∞
√
n
r=
1
0
se r > 0
se r = 0
Calcolo differenziale per funzioni di una variabile
+∞
a
=
0b =
0
+∞
se 0 < a < 1
se 1 < a ≤ +∞
logb (+∞) =
+∞
−∞
arctan(+∞) =
π
2
+∞
se 0 < a < 1
0
se 1 < a ≤ +∞
+∞
se 0 < b ≤ +∞
(+∞)b =
0
se −∞ ≤ b < 0
−∞
a
se 0 < b ≤ +∞
se −∞ ≤ b < 0
0
+∞
3
se b > 1
se 0 < b < 1.
=
logb (0+ ) =
−∞
+∞
arctan(−∞) = −
se b > 1
se 0 < b < 1.
π
2
Ricordiamo inoltre che non esistono i limiti di sin x e cos x per x → ±∞. Spesso
però sono utili le limitazioni | sin x| ≤ 1 e | cos x| ≤ 1.
Limiti notevoli
lim
x→0
lim
x→0
ax − 1
= log a (a > 0)
x
1
lim (1 + x) x = e
x→0
(1 + x)α − 1
= α (α 6= 0)
x
x→0
1 − cos x
1
=
x2
2
x→0
lim
x→0
lim
x→+∞
lim
n→+∞
n=1
lim
n→+∞
1+
log(1 + x)
=1
x
lim
sin x
=1
x
x→0
lim
tan x
=1
x
x→0
xα
= +∞ se α, b > 0, b 6= 1
logb x
√
n
lim
x→0
lim
x→+∞
lim
arcsin x
=1
x
lim
arctan x
=1
x
rx
= +∞ se r > 1, α ∈ R
xα
r n
= er ∀r ∈ R
n
lim
n→+∞
n!
= +∞ ∀r ∈ R
rn
Confronti asintotici
Due funzioni f (x) e g(x) si dicono asintotiche per x → a se lim
x→a
f (x)
= 1. In
g(x)
tal caso scriviamo f (x) ∼ g(x) per x → a.
La precedente definizione richiede che g(x) 6= 0 (e anche f (x) 6= 0) per ogni x in
un intorno di a, x 6= a. Elenchiamo le principali regole sul confronto asintotico:
• f (x) ∼ g(x) per x → a se e solo se g(x) ∼ f (x) per x → a ,
• se f (x) ∼ g(x) e g(x) ∼ h(x) per x → a, allora f (x) ∼ h(x) per x → a ,
• se f (x) → L per x → a con L ∈ R, L 6= 0, allora f (x) ∼ L per x → a ,
4
M. Badiale, P. Caldiroli, S. Coriasco
• se f (x) ∼ g(x) per x → a allora (f (x))α ∼ (g(x))α per x → a, per ogni α;
1
1
in particolare
∼
per x → a ,
f (x)
g(x)
f1 (x) ∼ g1 (x)
per x → a allora f1 (x)·f2 (x) ∼ g1 (x)·g2 (x) per x → a ,
f2 (x) ∼ g2 (x)
f1 (x)
g1 (x)
f1 (x) ∼ g1 (x)
per x → a allora
∼
per x → a .
f2 (x) ∼ g2 (x)
f2 (x)
g2 (x)
• se
• se
Invece in generale non è vero che:
• se f (x) ∼ g(x) e a è una costante positiva allora af (x) ∼ ag(x) .
• se f1 (x) ∼ g1 (x) e f2 (x) ∼ g2 (x) allora f1 (x) + f2 (x) ∼ g1 (x) + g2 (x).
Inoltre non si può mai scrivere che f (x) ∼ 0 (perché non si può eseguire la
divisione per zero).
Definizione e proprietà del confronto asintotico valgono in modo analogo nel
caso di successioni, scrivendo an e bn al posto di f (x) e g(x) rispettivamente e
considerando sempre n → +∞ in luogo di x → a.
Confronti asintotici notevoli
Per x → 0 si ha che
log(1 + x) ∼ x
1 − cos x ∼
x2
2
ax − 1 ∼ x log a (a > 0)
sin x ∼ x
arcsin x ∼ x
(1 + x)α − 1 ∼ α x (α 6= 0)
tan x ∼ x
arctan x ∼ x
Per x → +∞ si ha che
rx + c xα ∼ rx se r > 1, α, c ∈ R
xα + c logb x ∼ xα se α, b > 0, b 6= 1, c ∈ R
Continuità
Una funzione definita in un intorno I di un dato numero a ∈ R si dice continua
in a se lim f (x) = f (a).
x→a
√
Le funzioni elementari xn (n ∈ N), n x, xα (α ∈ R), ax , log x, sin x, cos x,
arcsin x, arccos x e arctan x sono continue in ogni punto del loro dominio. Ogni
funzione che sia combinazione delle suddette funzioni elementari risulta continua
sul proprio dominio.
Generalmente il problema di stabilire se una funzione f è continua in un dato
punto a del proprio dominio si presenta quando:
Calcolo differenziale per funzioni di una variabile
5
(1) l’espressione generale di f (x) non è significativa per x = a e il valore della
funzione in a è assegnato “a parte”:
f˜(x) per x ∈ I, x 6= a
f (x) =
`
per x = a
(2) f è definita “a tratti”, con espressioni diverse, prima e dopo il valore a:
f1 (x) per x ∈ I, x ≤ a
f1 (x) per x ∈ I, x < a
f (x) =
o f (x) =
f2 (x) per x ∈ I, x > a
f2 (x) per x ∈ I, x ≥ a
f1 (x) per x ∈ I, x < a
oppure f (x) = f2 (x) per x ∈ I, x > a
`
per x = a.
In entrambi i casi, generalmente per verificare se f è continua in a si usa la
definizione. In particolare:
• Nel caso (1) si calcola
lim f˜(x).
x→a
Si ha che f è continua in a se e solo se tale limite esiste, finito e coincide
con `.
• Nel caso (2) si calcolano
lim f1 (x)
x→a−
e
lim f2 (x).
x→a+
Si ha che f è continua in a se e solo se tali limiti esistono, sono finiti, tra
loro uguali e coincidono con il valore f (a).
Classificazione di un punto di discontinuità
Dati un punto a ∈ R e una funzione f definita in un intorno I di a, supponiamo
che f non sia continua in a. Il punto a si dice:
• discontinuità eliminabile se esiste finito lim f (x) = ` ma ` 6= f (a);
x→a
• discontinuità di prima specie o salto se esistono finiti i limiti
`− = lim− f (x) e `+ = lim+ f (x) ma `− 6= `+ ;
x→a
x→a
• discontinuità di seconda specie in tutti gli altri casi.
Attenzione: questa classificazione è adottata nella gran parte dei testi e manuali,
ma non da tutti. Alcuni autori usano espressioni leggermente differenti.
Derivabilità e retta tangente al grafico
Dato un valore x0 ∈ R, una funzione f definita in un intorno di x0 si dice
f (x) − f (x0 )
derivabile in x0 se esiste finito lim
. In tal caso, tale limite si
x→x0
x − x0
0
chiama derivata di f in x0 e si denota f (x0 ).
Se f è derivabile in x0 , è possibile costruire la retta tangente al grafico di f nel
punto (x0 , f (x0 )) e tale retta è individuata dall’equazione y = f (x0 )+f 0 (x0 )(x−
x0 ).
6
M. Badiale, P. Caldiroli, S. Coriasco
Derivate elementari e regole di derivazione
Il calcolo della derivata di una funzione espressa come combinazione di funzioni
elementari si effettua applicando le seguenti regole di derivazione
(αf + βg)0 (x) = αf 0 (x) + βg 0 (x)
(f g)0 (x) = f 0 (x)g(x) + f (x)g 0 (x)
0
f
f 0 (x)g(x) − f (x)g 0 (x)
(x) =
g
g(x)2
(f ◦ g)0 (x) = f 0 (g(x))g 0 (x) essendo (f ◦ g)(x) = f (g(x))
e ricordando le derivate delle funzioni elementari:
f (x)
f 0 (x)
f (x)
f 0 (x)
xα
αxα−1
cos x
sin x
ax
ax log a
arcsin x
log x
1
x
arccos x
sin x
cos x
arctan x
1
1 − x2
1
−√
1 − x2
1
1 + x2
√
Regola di de l’Hôpital
Si vuole calcolare un limite della forma
lim
x→a
f (x)
g(x)
e si presenta una forma indeterminata del tipo 00 . In un caso del genere può
essere utile applicare la seguente regola. Supponiamo che f e g siano derivabili
in un intorno I di a, con g 0 (x) 6= 0 per ogni x ∈ I, x 6= a.
f (x) → 0 e g(x) → 0 per x → a
f (x)
f 0 (x)
Se
allora lim
= lim 0
.
f 0 (x)
x→a
x→a
esiste lim g0 (x) (finito o infinito)
g(x)
g (x)
x→a
Il valore a può essere finito o infinito. Inoltre la regola precedente si applica
anche nel caso di forme indeterminate del tipo ∞
∞ , cioè quando f (x) → ±∞ e
g(x) → ±∞ per x → a.
Polinomi di Taylor, sviluppi di Taylor con resto secondo Peano
Dati un valore x0 ∈ R e una funzione f definita in un intorno di x0 e derivabile
n volte in x0 , si chiama polinomio di Taylor di f di ordine n con punto base x0
Calcolo differenziale per funzioni di una variabile
7
il polinomio
Pn (x) = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ) + ... +
n
X
f (n) (x0 )
f (k) (x0 )
(x − x0 )n =
(x − x0 )k
n!
k!
k=0
(k)
dove f (x0 ) denota la derivata k-esima di f calcolata in x0 (se k = 0 si intende
f (0) (x0 ) = f (x0 )).
Si chiama sviluppo di Taylor di f all’ordine n con punto base x0 l’espressione
f (x) = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ) + ... +
|
{z
Pn (x)
f (n) (x0 )
(x − x0 )n + o((x − x0 )n )
n!
}
per x → x0
dove o ((x − x0 )n ) è il resto secondo Peano. La scrittura g(x) = o ((x − x0 )n )
si legge “o piccolo di (x − x0 )n ” e sta a significare che g(x) è una funzione che
g(x)
tende a zero più rapidamente di (x − x0 )n cioè
→ 0 per x → x0 . Nel
(x − x0 )n
caso in cui x0 = 0, gli sviluppi di Taylor in x0 si chiamano anche sviluppi di
McLaurin.
Sviluppi di McLaurin di alcune funzioni elementari
1
= 1 + x + x2 + ... + xn + o(xn )
1−x
x2
xn
ex = 1 + x +
+ ... +
+ o(xn )
2!
n!
x3
x5
x2n+1
sin x = x −
+
+ ... + (−1)n
+ o(x2n+2 )
3!
5!
(2n + 1)!
x2
x4
x2n
cos x = 1 −
+
+ ... + (−1)n
+ o(x2n+1 )
2!
4!
(2n)!
x
x
xn
log(1 + x) = x − + + ... + (−1)n+1
+ o(xn )
2
3
n
α(α − 1) 2
α(α − 1)...(α − n + 1) n
(1 + x)α = 1 + αx +
x + ... +
x + o(xn )
2!
n!
Attenzione: i precedenti sviluppi valgono tutti solo per x → 0.
Principali regole per il simbolo di “o piccolo”
f (x)
→ 0 per x → 0.
xn
In particolare, se n = 0 allora xn = 1 e dunque scrivere f (x) = o(1) per x → 0
significa che f (x) → 0 per x → 0. Le seguenti proprietà valgono per x → 0:
Per definizione abbiamo che f (x) = o(xn ) per x → 0 se
• o(αxn ) = αo(xn ) = o(xn ), per ogni α 6= 0.
• o(xn ) + o(xm ) = o(xn ) se n ≤ m.
• o(xn )o(xm ) = o(xn+m ).
• xn o(xm ) = o(xn+m ). In particolare o(xn ) = xn o(1).
8
M. Badiale, P. Caldiroli, S. Coriasco
m
• [o(xn )]
= o(xnm ).
• o (o(xn )) = o(xn ).
• o (xn + o(xn )) = o(xn ).
1.2
Esercizi di calcolo di limiti
Calcolare i seguenti limiti:
√
√
n2 + 1 − n2 − 1
1.1. lim
.
n→+∞
n
1.2. lim
x→0
sin x − x cos x
.
x sin x
2
ex − cos x
1.3. lim
.
x→0
x2
n
n−4
1.4. lim
.
n→+∞
n−1
1.5.
lim
n→+∞
1.6. lim
x→0
1.7.
sin(αn )
per α = 12 , 1, 2.
αn
(sin x − x)2
.
1 − cos(x3 )
lim
n→+∞
(2n − n2 )4
.
(4n − n4 )2
1
1.8. lim
x→0
1.9.
1 − (cos x) 3
.
x3 + x2
lim
n→+∞
1.10. lim±
x→2
1.11.
1.12.
πx
x+1
2x
sin
x→−∞
.
lim n2 log(1 − 2−n ).
n→+∞
x→0
1.15.
ex−2 − 1
.
sin |x − 2|
lim
1.13. lim
1.14.
n − log(n + en )
.
n − log(2n + en )
sin x − arctan x
.
x3
lim
n→+∞
lim
n→+∞
√
n4
sin n
.
+ n3 − n2
log (n2 + n) − log n2
.
2
sin
n
Calcolo differenziale per funzioni di una variabile
1.16.
1.17.
1.18.
1.19.
9
lim [(n + 1)n − nn+1 ].
n→+∞
π
lim x arctg x −
.
x→±∞
2
lim x3 sin 4−x .
x→+∞
lim
n→+∞
log[3n + cos(3n )]
.
n
x2 + ecos x
.
x2 − cos x
1
1.21. lim x4 log 1 + 2 − x2 .
x→−∞
x
1.20.
1.22.
1.23.
lim
x→+∞
lim
log(1 + 2n )
.
e2+log n
lim
ex
.
log(ex2 + 2x)
n→+∞
x→+∞
ex (1 − sin x)
2 .
x − π2
1.24. limπ
x→ 2
1
1.25.
lim
n→+∞
en − 1
.
log(n + 1) − log n
1.26. lim
2x2
.
3 + x sin x − 3 cos x
1.27. lim
x2 − 1 − 2 log x
.
x3 − 1 − 3 log x
1.28. lim
2x − sin 2x
.
x3
1.29. lim
x − ex + 1
.
x(ex − 1)
x→0
x→1
x→0
x→0
1.30.
lim [log(n3 + sin n) − 3 log n].
n→+∞
2
1.31. lim+
x→1
1.32.
1.33.
ex −1 − 1
.
(log x)3/2
lim
n→+∞
log(3n + n3 )
√
.
n2 + 1
q
p
log(n2 + n) + sin2 n − log n2 + 1
lim
2 + sin n
n→+∞
1.34. lim
x→0
sin x − tg x
log(x + 1) − x +
x2
2
.
.
10
M. Badiale, P. Caldiroli, S. Coriasco
1
1.35.
lim
n→+∞
e n2 − 1
.
log(n7 + n5 ) − 7 log n
x(1 − x) − e−x sin x
.
x→0
x3
2
1.37. lim (log x) log 1 +
.
x→+∞
x
1.36. lim
1.38.
1
lim [log(en + 1)] · log 1 +
.
n→+∞
n
Svolgimenti
1.1.
√ eliminare l’indeterminazione usiamo la formula del binomio nella forma
√ Per
√ e troviamo
a − b = √a−b
a+ b
√
lim
n→+∞
n2 + 1 −
n
√
n2 − 1
=
=
lim
n→+∞
lim
n→+∞
n2 + 1 − n2 + 1
1
√
√
2
n
n + 1 + n2 − 1
2
√
√
= 0.
2
n( n + 1 + n2 − 1)
0
1.2. Il limite si presenta nella forma indeterminata e il teorema di de L’Hôpital
0
è applicabile. Con una duplice applicazione del medesimo teorema, si ottiene
lim
x→0
sin x − x cos x
x sin x
=
=
cos x − cos x + x sin x
sin x + x cos x
sin x + x cos x
lim
= 0.
x→0 cos x + cos x − x sin x
lim
x→0
In alternativa, è possibile utilizzare gli sviluppi di McLaurin di sin x e cos x:
lim
x→0
sin x − x cos x
x sin x
x3
x2
+ o(x4 ) − x 1 −
+ o(x3 )
6
2
lim
x→0
x3
x x−
+ o(x4 )
6
3
3
x
x
x−
−x+
+ o(x4 )
6
2
lim
x→0
x2 + o(x3 )
3
x
+ o(x4 )
lim 32
= 0.
x→0 x + o(x3 )
x−
=
=
=
1.3. È possibile procedere con varie tecniche. Se si utilizzano gli sviluppi di
Taylor dell’esponenziale e del coseno, è sufficiente considerare solo i primi due
Calcolo differenziale per funzioni di una variabile
termini, cioè et = 1 + t + o(t) e cos t = 1 −
11
1 2
t + o(t3 ), ottenendo:
2
1 + x2 + o(x2 ) − 1 +
2
ex − cos x
lim
x→0
x2
=
lim
x2
+ o(x3 )
2
x2
x→0
3 2
x + o(x2 )
2
lim
x→0
x2
3
o(x2 )
3
lim
+
=
.
x→0
2
x2
2
=
=
Utilizzando i limiti notevoli, si può effettuare il calcolo nel modo seguente
!
2
2
ex − cos x
ex − 1
1 − cos x
1
3
lim
= lim
+
=1+ = .
x→0
x→0
x2
x2
x2
2
2
0
, si può utilizzare anche
0
il teorema di de L’Hôpital (svolgere il calcolo per esercizio).
Siccome il limite si presenta nella forma indeterminata
1.4. Per eliminare l’indeterminazione si può moltiplicare e dividere per n all’interno delle parentesi ed usare il limite notevole
x n
lim
1+
= ex .
n→+∞
n
In questo modo si trova che
"
#n
n
n 1 − n4
1−
n−4
n
lim
= lim
= lim
1
n→+∞
n→+∞ n 1 −
n→+∞ 1 −
n−1
n
lim
n→+∞
n−4
n−1
n
=
lim
n→+∞
n−4 n
n n−1
4 n
n
1 n
n
n
=
lim
n→+∞
=
e−4
= e−3 .
e−1
1−
1−
4 n
n
1 n
n
−4
=
e
= e−3 .
e−1
In alternativa possiamo valutare il limite di funzione
x
x−4
lim
.
x→+∞
x−1
x
x−4
= ex log( x−1 ) e calcolare
Per calcolare quest’ultimo possiamo scrivere x−4
x−1
lim x log
x→+∞
x−4
x−1
log
= lim
x→+∞
x−4
x−1
1
x
.
0
Per eliminare l’indeterminazione di tipo
in cui si presenta il limite possiamo
0
applicare il teorema di de L’Hôpital. Si ottiene
x−1
3
log x−4
x−1
x−1
x2
x−4 (x−4)2
lim
= lim
= −3 lim
= −3.
1
−1
x→+∞
x→+∞
x→+∞ x − 4 (x − 4)2
x
x2
