Cap III - Il modello dielettrico

G. Lupò – Corso diModellistica elettromagnetica dei Materiali) A.A. 2009/10
Appunti dalle lezioni del corso di MODELLISTICA ELETTROMAGNETICA DEI MATERIALI (prof G. Lupò) CAPITOLO III – IL MODELLO DIELETTRICO (Bozza) §III.1 Introduzione Col termine dielettrico si intende generalmente un materiale in cui, sotto l’azione del campo elettrico, è prevalente il posizionamento (rotazione, traslazione limitata e/o deformazione) rispetto al moto medio delle cariche reali o virtuali. In altri termini sono prevalenti – ma non esclusivi ‐ i fenomeni di polarizzazione rispetto a quelli di conduzione. D’altro canto, col termine isolante in genere ci si riferisce soltanto alle limitate o assenti proprietà di conduzione. Un materiale dielettrico è generalmente un isolante anche se l’isolante ideale è il vuoto assoluto, che non è un dielettrico; viceversa un materiale conduttore o semiconduttore ad alta frequenza può in qualche modo presentare proprietà dielettriche significative. I dielettrici possono essere gassosi, liquidi o solidi; ai fini dei meccanismi di polarizzazione, tuttavia, i gas, a causa della loro limitata densità, presentano fenomeni di polarizzazione assai poco significativi. Il nostro esame sulle proprietà dielettriche si intenderà pertanto rivolto ai materiali solidi e liquidi; le inclusioni gassose, tuttavia potranno essere importanti e determinanti nella caratterizzazione dielettrica. Il modello dielettrico prende in considerazione le equazioni generali del campo elettromagnetico (modello macroscopico) per poi determinare le condizioni di campo e sollecitazione sul materiale quando si scenda a dimensioni confrontabili con quelle delle particelle in esame (campo microscopico). III-1
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§III.2 Il modello “macroscopico” Le sorgenti di campo dovute alla presenza del materiale sono collegabili alla presenza nello stesso di dipoli elettrici che possono essere “naturali” (cioè legati alla particolare struttura della molecola) o indotti dall’azione del campo elettrico esterno. Si può associare quindi ad ogni particella un momento di dipolo ed attribuire allo spazio occupato dal materiale una distribuzione di tali momenti considerando il momento risultante di dipolo riferito a volumetti infinitesimi. Si richiamano di seguito le grandezze caratteristiche: Momento di dipolo elementare μ=qd (q carica del dipolo; d distanza tra i baricentri +/) Vettore polarizzazione P(=dμ/dτ) momento risultante di dipolo riferito al volume Suscettività dielettrica χ P=χE (E campo elettrico macroscopico”; χ costante per i mezzi lineari) Vettore spostamento D nel vuoto D=εo E (εo costante dielettrica del vuoto; D corrisponde alla densità di carica superficiale sull’elettrodo “prolungata” nel vuoto secondo i tubi di flusso di D) Vettore spostam. D nella materia1 D=εo E+P=( εo+χ )E= εo εr E = εE (III.1) Le sorgenti di E sono tutte le cariche (libere e vincolate); le sorgenti di D sono le cariche libere, le sorgenti di P sono le cariche vincolate) divE =
ρl + ρv
D−P
= div
⇒ divD = ρ l ; divP = − ρ v (III.2) ε0
ε0
1
εr viene indicata come permettività del mezzo materiale. E’ una quantità mai inferiore all’unità. La permettività dei gas si può considerare unitaria; quella degli oli (per trasformatori) pari a circa 2.5; per il polistirolo è pari a 2.3, per il PVC circa 3.5, per la carta impregnata in olio circa 4, per il vetro varia da 5 a 16 circa, per l’acqua distillata vale circa 80, per i silicati varia da 10 a 100, per alcune molecole complesse come il titaniato di bario da 1000 a 4000.
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§ III.3 Teoria molecolare o Modello “microscopico” Le particelle costituenti il materiale, in via naturale o sotto l’azione del campo elettrico possono presentare o formare dipoli elettrici secondo diversi meccanismi di polarizzazione. a. Polarizzazione elettronica Nell’atomo, in assenza di campo elettrico esterno, si può ritenere che il baricentro delle cariche negative (elettroni) coincida con il baricentro delle cariche positive (nucleo); quindi a riposo il momento di dipolo è nullo; in presenza di campo elettrico si ha una deformazione “elastica istantanea” dell’atomo stesso che assume un momento di dipolo dipendente dal campo, ma non dalla temperatura nè dalla frequenza della sollecitazione applicata (a meno di non considerare frequenze dell’ultravioletto) b. Polarizzazione atomica In una molecola a struttura simmetrica (es CCl4), in assenza di campo elettrico esterno, si può ritenere che il baricentro degli ioni negativi coincida con il baricentro degli ioni negativi ( molecola non polare); quindi a riposo il momento di dipolo è nullo; in presenza di campo elettrico si ha una deformazione “elastica istantanea” della molecola, che assume un momento di dipolo dipendente dal campo, ma non dalla temperatura nè dalla frequenza della sollecitazione applicata (a meno di non considerare frequenze all’ultrarosso) c. Polarizzazione dipolare In una molecola a struttura dissimmetrica (es H2O), in assenza di campo elettrico esterno, si può ritenere che il baricentro degli ioni negativi non coincida con il baricentro degli ioni negativi ( molecola polare); quindi a riposo il momento del singolo dipolo non è nullo, ma è statisticamente compensato il momento risultante ; in presenza di campo elettrico si ha un III-4
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orientamento della molecola, che assume un momento di dipolo dipendente dal campo, dalla temperatura nonchè dalla frequenza della sollecitazione applicata . Nel caso in cui, al cessare della sollecitazione elettrica, il materiale continuasse a presentare un momento dipolare risultante significativo, esso viene compreso tra gli elettreti. Polarizzazione interfacciale In presenza di discontinuità o disomogeneità nel materiale si piò avere un accumulo di ioni sulle superfici di separazione. I movimenti lenti di tali cariche sono rilevanti solo in casi statici o a bassissima frequenza III-5
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§III.4 Polarizzabilita’ delle molecole Si definisce campo locale o interno Ei il campo (microscopico) determinato dalla singola particella e che, in condizioni di equilibrio, è pari al campo che agisce sulla stessa particella. La determinazione complessiva del campo elettrico (di Lorentz) in un punto qualsiasi prevede il contributo del campo geometrico, ossia quello che si avrebbe in assenza dei dipoli e del campo creato da tutti i dipoli. E L = E geom + E dipoli Si può considerare il contributo del singolo dipolo adl campo complessivo dei dipoli E dipoli = E i + E e (Lorentz ) Nel caso di cristalli, il campo locale dipende dalla struttura cristallina; ad esempio, nel caso di cristallo cubico a facce centrate si ha Ei=0. Il campo Ee può essere valutato dalla distribuzione di carica di polarizzazione sulla superficie della “cavità” dσ = P cosθ⋅ 2 πr 2 sinθ⋅ dθ Si supponga che la molecola in campo uniforme occupi un volume sferico con densità N; rimuovendo tale volume, nasce per induzione una distribuzione superficiale prima “compensata” dalla molecola stessa. Calcolando il campo dovuta a questa distribuzione si deduce che il campo della molecola dipolare vale P
E* = −
(III.3) 3ε 0
III-6
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e quindi il campo microscopico va valutato come E i = E − E* = E +
P
3ε 0 (III.4) Si definisce coefficiente di polarizzabilità o più semplicemente polarizzabilità α il rapporto tra il momento di dipolo elementare ed il campo locale μ=α Ei (III.5) Di conseguenza il vettore polarizzazione può essere espresso come P=N μ=Nα Ei=(ε‐ε0) E (III.6) Il coefficiente di polarizzabilità potrebbe essere valutato attraverso le sue componenti (elettronica, atomica,dipolare,…) α=αe+αa+αd (III.7) Il fattore di polarizzazione è legato al reale comportamento del materiale nel tempo, dipende da grandezze fisiche quali la temperatura, può avere carattere tensoriale. Consideriamo i vari casi: Polarizzazione elettronica : il fattore di polarizzazione dipende solo dalla dimensione dell’atomo e non dal numero atomico. α e = 4πε o R 3 (III.8) Polarizzazione ionica: il fattore di polarizzazione dipende dalla energia di legame γ III-7
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α io =
(ne ) (III.9) 2
γ
Polarizzazione per orientamento: molecole con proprio momento di dipolo; nell’allineamento dei dipoli occorre tener conto dell’agitazione termica che contrasta gli effetti del campo locale α or =
pm
(III.10) 3kT
III-8
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Polarizzazione di diversi tipi ‐ Equazione di Clausius‐ Mossoti P = ∑ α i N i E Li
i
ε r −1
1
=
ε r + 2 3ε o
∑α N
i
(III.11) i
i
§III.5 Influenza della temperatura sui fenomeni di polarizzazione Considerato un volume sferico occupato da bipoli, per l’agitazione termica i dipoli non saranno orientati come il campo, ma assumerano una configurazione di equilibrio “termico equivalente”. Si potrà considerare una distribuzione di Boltzmann delle molecole per cui se si indica con −
U
kT
dn = Ae dΩ (III.12) il numero delle molecole in angolo solido dΩ definito dal relativo momento di dipolo formante un angolo compreso tra ϑ
valutare il momento medio di dipolo e ϑ + dϑ con il campo, si potrà π
μd =
∫ μ cos ϑ dn
0
π
∫ dn
(III.13) 0
Si può dimostrare che la distribuzione dei momenti dipolari in funzione della temperatura segue una legge del tipo μd
1
= cot gh x − = L( x) (III.14) x
μ
dove x=μEi /(kT) e L(x) è la cosiddetta funzione di Langevin. Per x molto piccolo (elevate temperature) L(x)≈x/3 per cui μd =
μ 2 Ei
3kT
(III.15). III-9
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La polarizzabilità α risulta quindi proporzionale ad 1/T e si può riconoscere la molecola polare rispetto a quella non polare (N.B. per i gas è utile riferirsi alla “polarizzabilità per mole” ∏ piuttosto che a quella per volume) III-10
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§III.6 Perdite e rilassamento nei dielettrici Nei dielettrici si presentano due tipi di perdite: una legata alla migrazione delle cariche libere ossia alla sia pur modesta conducibilità del materiale, l’altra legata ai fenomeni di polarizzazione, ossia alla rotazione e deformazione delle molecole stesse. Per quanto riguarda la conducibilità nei dielettrici, si può sinteticamente affermare che essa dipende dalla disponibilità di particelle cariche. Nel §….. si è già presentata la possibilità di considerare sia il moto dei soli elettroni (conduzione elettronica) che anche di ioni (conduzione ionica). Facendo per semplicità riferimento alla conduzione elettronica, la disponibilità di elettroni è da mettere in relazione al salto energetico W necessario perché l’elettrone superi l’attrazione dell’atomo cui appartiene; tale energia può essere fornita per diversa via, anche attraverso il campo elettrico locale; in prima battuta per la valutazione della conducibilità si può far riferimento ad una relazione del tipo σ (T ) = σ 0 e
−
Wo − aE 0
kT
(Wo energia di legame) (III.16) Per quanto riguarda il bilancio energetico necessario per mantenere il processo di polarizzarione, in caso di campo stazionario si ha bisogno solo dell’energia occorrente alla deformazione iniziale. Per le applicazioni industriali, con tensioni sinusoidali a 50 Hz occorrerà tener conto dell’”attrito” tra le varie particelle polarizzabili, che tenga conto delle interazioni che comunque intervengono nel processo di deformazione. Schematicamente, si può affermare che il campo elettrico (legato, in caso di materiale omogeneo, direttamente alla tensione applicata) non viene “seguito” immediatamente dai dipoli e quindi dalla ridistribuzione della carica libera sugli elettrodi. In altri termini, il campo di spostamento D(t) risulta essere in ritardo rispetto al campo E(t): E (t ) = E o cos ωt
D (t ) = Do cos(ωt − ϕ ) = D1 cos ωt + D2 sin ωt (III.17) Traducendo la (III.13) in fasori del metodo simbolico III-11
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&
E(t ) → E
& = De − jϕ = D − jD = ε& E
& = (ε '− jε " )E
& (III.18) D(t ) → D
1
2
Si può quindi introdurre la costante dielettrica complessa D = ε 0 E + P = ε& E = (ε' − jε")E (III.19) Si può osservare che le perdite legate alla polarizzazione (perdite per isteresi dielettrica) sono legate al coefficiente immaginario della costante dielettrica e tendono a zero con la frequenza. Il valore limite a bassa frequenza della parte reale (detta anche costante dielettrica propria) coincide con la costante dielettrica “statica” ossia valutata in condizioni stazionaria. Il valore limite per frequenze elevatissime (nell’ultravioletto) viene indicato normalmente come “costante dielettrica all’infinito” anche se in realtà al tendere all’infinito della frequenza la costante dielettrica tende a quella del vuoto, non potendosi più pensare comunque a formazione di dipoli. In sintesi: D1 = ε ' Eo
D2 = ε " Eo
limω →0 ε " (ω ) = 0
limω →0 ε ' (ω ) = ε s
(III.20) limω →∞ ε ' (ω ) = ε ∞
§III.7 Perdite nei condensatori Per un carico reattivo, ad esempio un banco di condensatori di rifasamento, caratterizzato da una potenza reattiva Q, le perdite dielettriche vengono generalmente caratterizzate attraverso l’angolo δ, complemetare dell’angolo di potenza φ P= Q cotg ϕ = Q tgδ (III.21) III-12
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La quantità tgδ viene chiamata fattore di perdita. Facendo ad esempio riferimento ad un condensatore piano, la potenza dissipata per unità di volume vale p=
2
P Qtgδ ωCV tgδ
=
=
=
τ
τ
τ
ωε'
S
(Ed )2 tgδ
d
= ωε' E 2 tgδ = ωε" E 2 ⇔ ε" = ε' tgδ (III.22) Sd
Le perdite per isteresi dielettrica sono quindi proporzionali alla frequenza2 ed al prodotto tra la costante dielettrica propria ed il fattore di perdita. In presenza di conduzione (dielettrico dispersivo) la perdita per unità di volume vale ⎛σ
⎞
p = σE 2 + ωε' E 2 tgδ = σE 2 + ωε" E 2 = ωE 2 ⎜ + ε" ⎟ = ε p ωE 2 (III.23) ⎝ω
⎠
Quindi sia le perdite per conduzione che le perdite per isteresi dielettrica possono essere “inquadrate” nel parametro “costante dielettrica complessa” leggermente modificata, in cui il coefficiente immaginario contiene un termine dipendente dalla frequenza, trascurabile a frequenze opportunamente alte ε * = ε'− jε p (III.24) Può essere definito un fattore di potenza globalw σ
+ ε"
tgδ = ω
ε' (III.25) 2
Una classica utilizzazione delle perdite per isteresi dielettrica si ha nel forno a microonde, che impiega campi elettrici a frequenza di circa 2GHz. III-13
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§III.8 Dipendenza della costante dielettrica complessa e del fattore di perdita dalla frequenza Ad alta frequenza scompare il meccanismo di polarizzazione dipolare; pertanto3 P∞ = Pω →∞ = Pa + Pe = (ε ∞ − ε 0 )E (III.26) Indicando con Psd il vettore polarizzazione legato al meccanismo di orientamento per bassissime frequenze, il vettore polarizzazione “statico” si può esprimere come: Ps = Pω→0 = P∞ + Psd = (ε s − ε 0 )E (III.27) Ad una frequenza generica avremo Pω = P∞ + Pd = (ε − ε 0 )E
Pd = Pω − P∞ = (ε − ε ∞ )E (III.28) §III.9 Caratterizzazione dinamica – Tempo di rilassamento In condizioni dinamiche generali, il meccanismo di polarizzazione può essere ragionevolmente descritto da una relazione del tipo (ipotesi di Debye) t
D(t ) = ε ∞ E (t ) + ∫ E (τ )α~(t − τ )dτ (III.29) 0
ove t
α~ (t ) ≅ exp(− )
τ
(III.30) η (T )
τ≡
kT
3
questa espressione, si ripete, vale a frequenze elevate ma non elevatissime; al tendere all’infinito della frequenza si annulla infatti ogni meccanismo di polarizzazione. III-14
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sono la funzione di trasferimento ed tempo di rilassamento (η coefficiente “viscoso”) In regime sinusoidale, possiamo utilizzare la notazione fasoriale e considerare accettabile l’ipotesi di Debye che la variazione temporale dellla polarizzazione sia proporzionale all’incremento di polarizzazione rispetto ai vali statici (a bassa frequenza) dPd =
1
(Psd − Pd (t) )dt ⇒ jωτP& d = (ε s − ε ∞ )E& − P& d (III.31) τ
da cui ε −ε &
P& d = s ∞ E
1 + jωτ (III.32) εs − ε∞
1 + jωτ (III.33) εs − ε∞
ε −ε
ωτ (III.34) ε' = ε ∞ + s 2 ∞2 ; ε" =
2 2
1+ ω τ
1+ ω τ
ε& = ε ∞ +
(equazioni di Debye) La ε” ha un massimo per ωτ=1 . Anche il fattore di perdita può essere valutato in questo modo: tgδ =
ε' (ε s − ε ∞ )ωτ
=
ε" ε s + ε ∞ ω 2 τ 2 (III.35) esso presenta un massimo per ωτ =
εs
ε ∞ (III.36) III-15
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§III.10 Circuiti equivalenti Sembra abbastanza ovvio che un dielettrico ideale con conducibilità nulla e privo di perdite possa essere rappresentato da una capacità C caratterizzata dalla costante dielettrica reale εʹ. Ad esempio, un condensatore piano a facce piane e parallele con dielettrico ideale può essere schematizzato dalla capacità C=εʹS/d. Se si applica al condensatore una tensione sinusoidale, l’intensità di corrente che lo interessa può essere rappresentata con un fasore in anticipo di 90° rispetto al fasore della tensione. Se il dielettrico non è ideale, la sola capacità non basta per rappresentare il dielettrico e si comprende che, per tenere conto anche delle perdite, è necessario aggiungere dei resistori che tengano conto delle perdite per effetto Joule e delle perdite per isteresi. Inoltre, non è possibile usare un solo condensatore perché è necessario tenere in conto anche la variazione della ε con la frequenza. Il circuito equivalente di un dielettrico di sagoma standard diviene: ε2
ε1
σ1
σ2
Infatti, ricordando che J T = jωε *E (III.37) si constata che un provino di dielettrico reale è rappresentabile tramite l’ammettenza equivalente: Y * = jωε *
S S
= ( jωε '+σ 1 + ωε ' ') (III.38) d d
Utilizzando l’equazione di Debye, si ottiene: Y* =
2
⎡
⎛
S
( jωε '+σ 1 + ωε ' ') = S ⎢σ 1 + (ε s - ε ∞2 )ω2 τ + jω ⎜⎜ ε ∞ + (ε s - 2ε ∞ 2)
d
d ⎢⎣
1+ ω τ r
1+ ω τ r
⎝
(
)
(
)
⎞⎤
⎟⎥ (III.39) ⎟
⎠⎥⎦
III-16
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Calcoliamo l’ammettenza equivalente del bipolo sopra rappresentato: Y = G1 + jωC1 +
jωG 2 C 2
G2 + jωC 2 (III.40) ⎡
jωγ 2ε 2 ⎤ S ⎢
jωε 2
S⎡
Y = ⎢σ 1 + jωε 1 +
⎥ = ⎢σ 1 + jωε 1 +
ε
d⎣
σ 2 + jωε 2 ⎦ d ⎢
1 + jω 2
⎢⎣
σ2
Ponendo τ =
⎤
⎥
⎥ ⎥
⎥⎦
ε2
si ottiene: σ2
Y=
S
d
⎡
jωε 2 ⎤ S ⎡
jωε 2 (1 − jωτ ) ⎤
⎢σ 1 + jωε 1 + 1 + jωτ ⎥ = d ⎢σ 1 + jωε 1 +
1 + ω 2τ 2 ⎥⎦
⎣
⎣
⎦
Y=
Y=
S
d
S
d
⎡
ω 2 ε 2τ ⎤
jωε 2
σ
ωε
+
+
+
j
⎢ 1
⎥ 1
1 + ω 2τ 2 1 + ω 2τ 2 ⎦
⎣
⎡
ε 2ω 2τ
ε2
⎛
σ
+
+ jω ⎜ ε 1 +
⎢ 1
2 2
1+ ω τ
1 + ω 2τ 2
⎝
⎣
⎞⎤
⎟⎥ (III.41) ⎠⎦
Ci si accorge, allora, che ponendo nel circuito equivalente: ε 2 = (ε s - ε ∞ ) ; ε 1 = ε ∞ (III.42) è possibile simulare il comportamento in frequenza di un dielettrico. ε∞
I∞
Id
εs - ε∞
[ εs - ε∞]
τ
σ1
V
Iσ
I
Possiamo così anche tracciare il diagramma fasoriale relativo a un dielettrico reale. Fissando la tensione possiamo ricavare le varie componenti della corrente, così come illustrato in figura: III-17
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I
Id
Id1
δ
I∞
I σ Id2
V L’intensità di corrente I non è in quadratura con la tensione V: Esiste una componente in fase che tiene conto delle perdite per effetto Joule (Iσ) e delle perdite per isteresi (Id2) ed una componente in quadratura (Id1) che tiene conto della polarizzazione elettronica e atomica (I∞) e della polarizzazione dipolare. Studiando la polarizzazione interfacciale con un circuito equivalente costituito dalla serie di due ʺparalleliʺ C‐G (schematizzanti ognuno un differente dielettrico), si giunge a equazioni identiche a quelle di Debye, il che testimonia che la conducibilità non nulla del dielettrico comporta un fenomeno di rilassamento e quindi non solo perdite per effetto Joule ma anche perdite per isteresi. Il tempo di rilassamento τ è molto elevato, dellʹordine di 102÷106 s, per cui la polarizzazione interfacciale scompare già per variazioni molto lente del campo impresso. Essa interessa invece nel caso di corrente continua perché la ε può essere così elevata da far aumentare notevolmente la energia elettrostatica accumulata dal dielettrico. III-18
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III.11 Misura dei parametri circuitali equivalenti Per la misura dei parametri del circuito equivalente è necessario effettuare le prove in condizioni stazionarie (DC) e sinusoidali (AC) sotto riportate. Resistività di volume Consideriamo un conduttore omogeneo di resistività ρv, filiforme, cioè tale che la radice quadrata della sua sezione trasversale sia trascurabile rispetto alla sua lunghezza, attraversato da una corrente I. Indichiamo con γ il suo asse e fissiamo un’ascissa curvilinea x su di esso. Se consideriamo una generica sezione trasversale S potremo ritenere che il vettore densità di corrente sia perpendicolare ad S e sia uniforme su di essa: I = JS =
V = ∫ E ⋅d x = ∫ E ⋅d l = ∫
γ
γ
γ
1
ρv
E⋅S ⇒ E =
ρv ⋅ I
S
⋅d x = I
ρv ⋅ I
S
ρv
S
(III.43) ∫d x = I
γ
ρv
S
L = IRv (III.44) La resistenza del conduttore si ottiene da: Rv = ρ v
L
S
Per ricavare la resistività di volume (e quindi la conducibilità σ1= σDC) è possibile utilizzare, con alimentazione in continua, il metodo volt‐amperometrico, misurando tensione e corrente su un oggetto in prova di dimensioni note. Si adotta lo schema di misura rappresentato in figura, in cui l’elettrodo di guardia è necessario per “drenare” verso terra, escludendole dalla misura, le correnti superficiali che, generalmente, nelle misure su dielettrici non sono trascurabili; esso consente, così, di associare alla misura di I un campo di corrente uniforme. III-19
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oggetto in prova
I
pA
V
Ponte di Schering Per ricavare gli altri parametri ( ε s , ε ∞ ,τ ) del circuito equivalente di un dielettrico, è possibile utilizzare circuiti risonanti, metodi volt‐amperometrici, o anche metodi a ponte, quale il ponte di Schering o il ponte auto‐bilanciante. O
Cs
Cc
Rs
+
Vac
X
D
B
A
Ra
R
b
Ca
O'
OO’= diagonale di alimentazione; AB = diagonale di rilevazione; D= rilevatore di zero; Cc= Condensatore campione; X= Oggetto in prova; Ra, Ca, Rb= resistenze e capacità variabili. Se lʹoggetto in prova è schematizzato con una capacità Cs in serie ad una resistenza Rs, ricordando le equazioni di equilibrio del ponte Z c Zb = Z a Z x , si ottiene: III-20
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Rs = Rb
Ca
Cc
R
Cs = Cc a
Rb
Se siamo in grado di ricavare i parametri equivalenti Rs Cs dell’oggetto in prova al variare della frequenza, possiamo determinare la risposta in frequenza del dielettrico reale. Ricordiamo, infatti, che l’ammettenza equivalente del provino (dielettrico) è: Y * = jωε *
S S
= ( jωε '+σ DC + ωε ' ') d d
mentre l’ammettenza equivalente del circuito Rs‐Cs serie è: Ys =
ω 2 Rs Cs 2
ω Cs
+j
2
2
2
1 + ω Rs Cs
1 + ω 2 Rs 2Cs 2
Uguagliando le due ammettenze, si ottiene: ⎧S
ω 2 Rs Cs 2
''
+
=
γ
ωε
(
)
DC
⎪
1 + ω 2 Rs 2Cs 2
⎪d
⎨
ω
C
S
s
⎪ jωε ' = j
⎪⎩
1 + ω 2 Rs 2Cs 2
d
da cui: ⎧
γ
d ω Rs Cs 2
''
=
− DC
ε
ω
(
)
⎪
2
2
2
ω
S 1 + ω Rs Cs
⎪
⎨
C
d
s
⎪ε ' (ω ) =
⎪⎩
S 1 + ω 2 Rs 2Cs 2
Dallo spettro in frequenza di ε ' e ε '' si ricavano poi i termini ε s e ε ∞ . Notiamo, poi, che dal circuito equivalente serie è possibile ricavare tgδ : Ic
I
δ
Vr
Ia
Vr
V
Vc
δ
V
Vc
I
tgδ =
VR
= ω Rs Cs
VC
III-21
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Ricordando, inoltre, che il fattore di dissipazione assume il suo massimo in corrispondenza di ωτ =
εs
, dallo spettro in frequenza di tgδ è possibile ε∞
ricavare anche la costante di rilassamento τ. Discorsi analoghi possono esser fatti se si utilizza un circuito equivalente Rp‐Cp parallelo dell’oggetto in prova. Ic
I
I
δ
Ir
Ir
Ic
tgδ =
V
V
IR
1
=
IC ω RpC p
Dalla condizione di equilibrio del ponte si ricavano i parametri Rp e Cp: Ca Rb ⎛ 1 + ω 2Ca 2 Ra 2 ⎞
Rp =
⎜
⎟
Cc ⎝ ω 2Ca 2 Ra 2 ⎠
RC
1
Cp = a c
2
Rb 1 + ω Ca 2 Ra 2
(
)
da cui, poiché l’ammettenza equivalente del circuito Rp‐Cp parallelo è: Yp =
1
+ jωC p R+
si ha: 1
⎧S
⎪ d ( γ DC + ωε '') = R
⎪
p
⎨
S
⎪ jωε ' = jωC
p
⎪⎩
d
e l’espressione di ε ',ε '' e tgδ in funzione dei parametri misurati: γ DC
d 1
⎧
⎪ε '' = S ω R − ω
p
⎪
⎪
d
⎨ε ' = C p
S
⎪
1
⎪
⎪tgδ = ω R C
p p
⎩
III-22