Quesiti di esonero dalla prova scritta finale di Fisica 2 Prof. R. Santonico – 12 novembre 2012 Quesito 1 Un condensatore piano di superficie S è isolato e carico con carica Q. Al suo interno si trova un dipolo elettrico p (carica q), fermo e di momento d’inerzia I=mp2/2q2. 1. Determinare le posizioni (orientazioni) di equilibrio del dipolo, specificando di volta in volte se si tratti di equilibrio stabile o instabile. 2. Determinare il periodo delle piccole oscillazioni del dipolo attorno alla posizione di equilibrio stabile. Quesito 2 Due lastre metalliche piane di superficie pari a = 0.8 m2 sono affacciate alla distanza h = 4 mm e formano quindi un condensatore piano. Le due armature sono connesse ad un generatore di tensione con differenza di potenziale V. L’armatura inferiore è fissa, quella superiore è mantenuta in equilibrio meccanico dalla massa M = 0.8 Kg come in figura. 1. Calcolare, trascurando gli effetti di bordo, la capacità del condensatore. 2. Considerando trascurabili le masse delle lastre, della fune e della carrucola calcolare la tensione V alla quale il sistema è in equilibrio. Successivamente (tenendo connesso il generatore) viene bloccata la carrucola e si inserisce parallelamente alle armature una lastra conduttrice a facce piane e parallele ciascuna di area e di spessore d = 2 mm. 3. Calcolare la nuova capacità, la variazione di energia elettrostatica del sistema e il lavoro compiuto dal generatore per compiere questo processo. Si ricorda che 0 8.8542 1012 C2 . Nm2 Quesito 3 Si considerino due superfici conduttrici cilindriche, coassiali, di raggi r ed R (r<R), lunghe L (L>>R), sulle quali siano distribuite rispettivamente le cariche +q e –q. Il volume compreso tra le due sia riempito di un materiale dielettrico omogeneo, isotropo e lineare, di costante dielettrica relativa . Si determinino: 1. 2. 3. 4. Il vettore di induzione elettrica in funzione della distanza dall’asse geometrico del sistema. Il potenziale elettrico in funzione della distanza dall’asse geometrico del sistema. La densità superficiale di carica di polarizzazione sulle pareti del dielettrico. La densità di carica all’interno del dielettrico. Si trascurino gli effetti di bordo. Soluzioni Quesito 1 Il campo elettrico all’interno del condensatore è , diretto ortogonalmente alle armature del condensatore. L’energia elettrostatica del dipolo è quindi tra il dipolo e il campo. Ci sono quindi due posizioni di equilibrio, tali che , ovvero , dove θ indica l’angolo e . Dallo studio di si vede che la prima è di equilibrio stabile, mentre la seconda è di equilibrio instabile. L’energia attorno alla posizione di equilibrio si può esprimere anche come , quindi per piccole oscillazioni il momento della forze elettrostatica si può scrivere . Dall’equazione fondamentale della dinamica rotazionale direttamente il periodo delle piccole oscillazioni , si ricava . Quesito 2 Il condensatore ha capacità: C0 0 h 1.77nF La tensione deve bilanciare la forza di attrazione elettrostatica che si calcola nota la pressione elettrostatica: 1 P 0E2 2 1 1 V2 F 0 E 2 0 2 Mg 7.84N 2 2 h V 2Mgh 2 5951V 0 Quando la lastra è completamente inserita c’è induzione completa tra i conduttori. Una volta inserita la lastra conduttrice il sistema è equiparabile a due condensatori in serie per cui la capacità è data da: d d 1 1 1 hd 1 2 C C1 C2 0 0 0 C 0 hd 3.54nF L’inserzione della lastra avviene a potenziale costante quindi il campo elettrico deve aumentare per compensare il fatto di essere nullo dentro la lastra. E' V h d 1 1 V2 '2 W 0 h d E 0 0.063J 2 2 h d ' 1 1 V W0 0 hE 2 0 0.031J 2 2 h ' W W W0 0.032J In corrispondenza deve essere aumentata la carica sulle armature del condensatore di una quantità q q ' q0 . Risulta che: Lgen qV q' q0 V C C0 V 2 2 W ' W0 2W ' 0.064J Quesito 3 Considerazioni di simmetria permettono di stabilire che l’induzione dielettrica abbia direzione ortogonale all’asse geometrico del sistema e sia funzione della sola distanza da tale asse. Applicando il teorema di Gauss a una superficie cilindrica centrata sull’asse, di raggio variabile d e altezza l (l<<L), si ottiene per , ovvero per , D= per e per , dove indica la densità superficiale di carica libera sul cilindro più interno. Il dielettrico è omogeneo, isotropo e lineare, da cui può quindi scrivere V per , con . Posto e per . Per il potenziale si , si ottiene per , . Il vettore di polarizzazione P è legato all’induzione dielettrica dalla relazione . Per questo, sulla superficie interna del dielettrico la densità superficiale di carica di polarizzazione sarà (versore normale alla superficie opposto al vettore P). Sulla superficie esterna si avrà invece Il dielettrico è omogeneo, pertanto per la densità di carica di polarizzazione vale . .