Fisica 1 per chimica industriale, compito di esonero 10/05/2013

Fisica 1 per chimica industriale, compito di esonero
10/05/2013
Canale Giagu
Compito D
Nome e Cognome studente:
Numero matricola:
Esercizio
Una macchina di atwood è costituita da una
carrucola formata dall’unione di tre cilindri
coassiali vincolati rigidamente l’uno all’altro, di raggio rispettivamente R1 , R2 e R3 ;
stessa altezza d e densità di massa ρ (vedi
figura). Due masse m e M , sono sospese tramite due corde ideali arrotolate alla
carrucola una sul cilindro di raggio R1 e
l’altra intorno al clindro di raggio R3 e poste inizialmente alla stessa quota rispetto
al suolo h. In questa condizione determinare:
1. il valore della massa m affinchè il sistema sia in equilibrio statico.
Se ad un dato istante la corda che sostiene
la massa m viene tagliata, e la massa cade
sotto l’azione della forza peso, determinare:
2. espressione e valore dell’accelerazione della massa M ;
3. espressione e valore della velocità angolare della carrucola nell’istante in cui M tocca terra.
[Dati: d = 5 cm, R1 = 0.5 m, R2 = 1.5 m, R3 = 1.0 m, ρ = 750.0 Kg/m3 , M = 15.0 Kg, h = 1.0 m,
g = 9.8 m/s2 ]
È permessa la consultazione dei libri di testo/esercizi/appunti.
Soluzione
1. Per avere equilibrio statico deve risultare nulla la somma dei momenti delle forze esterne agenti sul sistema. Inoltre le masse m e M devono rimanere ferme, per cui, indicando con T1 e T2 rispettivamente
le tensioni delle corde attaccate alle masse m e M :
T1 = mg;
T2 = M g;
T1 R1 − T2 R3 = 0;
da cui :
3
m= R
M = 30 Kg.
R1
2. Utilizzando le due equazioni cardinali della meccanica applicate al sistema carrucola + massa M , e tenendo conto che velocità e accelerazione angolari della carrucola sono legate a velocità e accelerazione
della massa M dalle relazioni: vM = R3 ω e aM = R3 α, otteniamo:
M g − T3 = M aM ;
T2 R3 = Ic α = Ic aRM3 ;
T2 = Ic aRM2 ;
3
in cui Ic indica il momento di inerzia della carrucola rispetto all’asse di rotazione, dato da:
Ic = 12 M1 R12 + 21 M2 R22 + 21 M3 R32 =
= 21 ρπR12 dR12 + 21 ρπR22 dR22 + 12 ρπR32 dR32 = 12 ρπd(R14 + R24 + R34 ) = 360.8 Kgm2 .
Risolvendo rispetto a aM otteniamo quindi:
aM =
Mg
I
M + c2
R
= 0.39 m/s2 .
3
3. Sul sistema massa M + carrucola agiscono solo forze conservative, quindi l’energia meccanica si
conserva. Avremo quindi, tenendo conto che la velocità angolare della carrucola e la velocità della
massa M sono legate dalla relazione vM = ωR3 :
2
2
1
1
∆E =
qEf − Ei = 2 M vM + 2 Ic ω − M gh = 0;
ω=
2M gh
2 +I
mR3
c
= 0.88 rad/s.