Prova scritta del 6 dicembre 2006

C.d.L. in Ingegneria Meccanica
A.A. 2004-05
Fisica Generale
Prova del 12-07-05
ESERCIZIO 1
Un corpo di dimensioni trascurabili e massa m = 1 kg è appoggiato a un piano inclinato rispetto a
terra di θ = 30° e lungo d = 3 m . Alle due estremità del piano inclinato sono fissate due molle,
ciascuna di lunghezza a riposo pari a l0 = 1.5 m . Le due molle sono pure fissate al corpo alla loro
estremità libera. Siano k1 = 15 N m −1 la costante elastica della molla fissata a terra e k2 = 40 N m −1 la
costante elastica della molla fissata in cima al piano inclinato. Determinare, all’equilibrio, la
distanza h del corpo da terra.
Soluzione
Consideriamo un sistema di riferimento xy come in figura.
G
N
L’equazione che impone l’equilibrio è, chiamata R la risultante
delle forze applicate al punto materiale è:
G
G
G G G
R = mg + N + Fe1 + Fe 2 = 0
k1
che proiettata sugli assi x e y fornisce:
x ⎧mg sin θ − ( k1 + k2 ) ∆x = 0
0
⎨
θ
y ⎩ −mg cos θ + N = 0
Dalla prima relazione si ottiene:
1
1kg 9.8 ms −2 )
mg sin θ ( ) (
2 = 0.09 m
∆x =
=
−1
k1 + k2
(15 + 40 ) N m
y
k2
x
F1
F2
mg
∆x è la variazione di lunghezza delle due molle. Essendo la loro posizione di equilibrio a x0 = d 2 ,
si ha che la distanza del punto materiale dall’origine, sul piano, è legata a x0 dalla relazione:
d
x = x0 − ∆x = − ∆x = 1.5 m − 0.09m = 1.41 m
2
Per l’altezza h si ha quindi:
1
h = x sin θ = (1.41 m ) ≅ 0.7 m
2
ESERCIZIO 2
r
E’ dato il sistema rappresentato in figura. La carrucola, che ha centro in M
O, è priva di attrito e ha raggio R e massa M; le due masse m1 e m2
O
sono collegate da un filo inestensibile e di massa trascurabile.
m2
Supponendo che il piano sia privo di attrito e che il filo passi per il m1
centro di massa di m2. Si calcolino:
a) Il momento risultante M u , rispetto all’asse della carrucola, delle
θ
forze agenti sul sistema costituito dalla carrucola e dalle due masse m1 e m2 .
b) Il momento risultante della quantità di moto del sistema L u , rispetto al polo O, quando le due
masse hanno una velocità il cui modulo è pari a V.
c) L’accelerazione delle due masse.
Soluzione
Chiamate rispettivamente T1 e T2 le tensioni agenti sulle masse 1 e 2, per la massa m1 si ha:
m1 g − T1 = m1a
mentre per la massa m2 :
− m2 g sin θ + T2 = m2 a
1
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Fisica Generale
Prova del 12-07-05
Il momento risultante M u , rispetto all’asse della carrucola è dato da:
M u = (T1 − T2 ) R
che inserito nella II equazione cardinale proiettata sull’asse di rotazione da:
dω
(T1 − T2 ) R = I
dt
dω a
1
Con
= e I = M R 2 si ottiene:
dt R
2
1
a
(T1 − T2 ) R = M R 2
2
R
Si ha perciò il sistema:
⎧ T1 = m1 ( g − a )
⎪
⎪T2 = m2 ( a + g sin θ )
⎨
1
⎪
⎪⎩(T1 − T2 ) = 2 M a
che risolto fornisce:
⎧
M + 2m2 (1 + sin θ )
⎪ T1 = m1 g
M + 2 ( m1 + m2 )
⎪
⎪⎪
2m1 + ( 2m1 + M ) sin θ
⎨T2 = m2 g
M + 2 ( m1 + m2 )
⎪
⎪
( m1 − m2 sin θ )
⎪a = 2 g
M + 2 ( m1 + m2 )
⎪⎩
con cui si ottiene:
gM ( m1 − m2 sin θ )
R
M + 2 ( m1 + m2 )
Quando le due masse hanno velocità pari a V, essendo questa anche la velocità del bordo del disco,
si ottiene per il momento della quantità di moto:
1
V
⎛1
⎞
Lu = I ω + R ( m1 + m2 ) V = MR 2 + R ( m1 + m2 ) V = R ⎜ M + m1 + m2 ⎟ V
2
R
⎝2
⎠
Mu =
ESERCIZIO 3
Un punto materiale di massa m si muove con velocità v su di un piano
orizzontale senza attrito. Il punto urta elasticamente nel punto A (vedi
figura) un’asta rigida omogenea di massa m e lunghezza l, incernierata al
piano orizzontale nel punto O. Determinare i valori che dopo l’urto
assumono le grandezze:
a) velocità del punto materiale e
b) velocità angolare dell’asta.
Soluzione
Nell’urto si conserva il momento della quantità di moto rispetto all’asse di rotazione:
3
3
l m v = IO ω + l m v '
4
4
Essendo l’urto elastico si conserva inoltre l’energia cinetica:
2
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Prova del 12-07-05
1
1
3
m v 2 = I O ω 2 + l m v '2
2
2
4
con il momento d’inerzia della sbarra dato da:
1
IO = m l 2
3
Conviene porre le due equazioni nella forma:
1
⎧1
2
2
2
⎪⎪ 2 l m ( v − v ' ) = 2 I O ω
⎨
⎪ 3 l m ( v − v ') = I ω
O
⎪⎩ 4
Dividendo membro a membro si ottiene:
41
ω = ( v + v ')
3l
che combinata con le precedenti equazioni fornisce:
11
⎧
v
'
v
=
⎪⎪
43
⎨
⎪ω = 216 v
⎪⎩
129 l
QUESITO 1
Sia dato il campo di forza:
G
F ( x, y, z ) = α ( x uˆ x + y uˆ y ) + β uˆ z .
Verificare se esso è conservativo ed eventualmente determinarne l’energia potenziale.
Determinare inoltre le dimensioni delle costanti α e β .
Soluzione
Il campo è conservativo, essendo le sue componenti x e y dipendenti linearmente dalla posizione
(come,ad esempio, per il caso della forza elastica), mentre la componente z è uniforme (es.: forza di
gravità).
L’energia potenziale è:
1
U ( x, y , z ) = − α ( x 2 + y 2 ) − β z
2
Infatti si ha:
⎧∂U ∂ ⎛ 1
1
⎞
2
2
⎪ ∂x = ∂x ⎜ − 2 α ( x + y ) − β z ⎟ = − 2 α ( 2 x ) = −α x
⎝
⎠
⎪
⎪ ∂U ∂ ⎛ 1
1
⎞
= ⎜ − α ( x 2 + y 2 ) − β z ⎟ = − α ( 2 y ) = −α y
⎨
2
⎠
⎪ ∂y ∂y ⎝ 2
⎪ ∂U ∂ ⎛ 1
⎞
= ⎜ − α ( x2 + y 2 ) − β z ⎟ = −β
⎪
⎠
⎩ ∂z ∂z ⎝ 2
per cui
G
G
⎛ ∂U
∂U
∂U ⎞
F = −∇U = − ⎜
uˆ x +
uˆ y +
uˆ z ⎟ = − ( −α xuˆ x − α yuˆ y − β uˆ z ) = α ( xuˆ x + yuˆ y ) + β uˆ z
∂y
∂z ⎠
⎝ ∂x
3