Compito di Fisica 1 - 15 gennaio 2013
Corso di Laurea in Ingegneria Elettronica e delle Telecomunicazioni
1) Una massa puntiforme è soggetta ad un’accelerazione a = v Λ ( ci Λ dj) con c e d costanti nel tempo, v
velocità. Il corpo si muove nel piano xy (versori i e j) e la sua velocità all’istante t = 0 in cui passa per l’origine O
del sistema di riferimento è v0 = v0i . Determinare: (a) le componenti dell’accelerazione; (b) l’equazione oraria
delle componenti della velocità; (c) l’equazione oraria delle coordinate e la sua traiettoria.
2) Un cuneo di massa m = 2 Kg, a forma di triangolo rettangolo isoscele, è posto con
F
un cateto su di un piano orizzontale scabro: il coefficiente di attrito statico fra cuneo e
α
piano è µ = 0.26. Sulla superficie inclinata del cuneo si applica una forza, rivolta verso di
essa, di modulo costante F = 8N , la cui direzione forma una angolo α (0<α<π/4)
rispetto all’orizzontale. Supponendo che il corpo sia vincolato a strisciare e non possa ruotare, determinare il
valore minimo dell’angolo α per cui il cuneo rimane fermo.
C
3) Un corpo rigido è costituito da un anello sottile e omogeneo, di massa m = 0.2 Kg e raggio r = 2
cm, sul cui bordo è saldata, in direzione radiale, una sbarretta, sottile ed omogenea di massa M = 5m =
1Kg di lunghezza l = 6r = 12 cm. Esso viene appeso ad un chiodo (puntiforme) C , passante per l’anello,
che gli consente di ruotare liberamente in un piano verticale. Determinare: (a) il centro di massa del
corpo; (b) il momento d’inerzia del corpo rispetto all’asse passante per il chiodo; (c) il periodo delle
piccole oscillazioni attorno al chiodo C.
4) Un corpo di massa m = 1.5 Kg a forma di semicilindro, di raggio r = 12 cm e altezza L = 30
cm, è completamente immerso in acqua con la superficie piana disposta orizzontalmente ad
una profondità h =3.12 m. Determinare: (a) il valore della spinta di Archimede; (b) il valore
della risultante delle forze di pressione agenti sulla superficie curva; (c) il tempo che il
semicilindro impiega a raggiungere ( col suo punto superiore) la superficie dell’acqua. (d) la
frazione di volume emerso una volta che esso galleggi alla superficie.
h
5a) Per gli studenti iscritti al I anno Su di una carrucola, di massa m = 1.5 Kg e raggio 15 cm, è avvolta
una corda al cui estremo libero è appesa una massa M = 70 Kg; l’asse della carrucola è collegato ad
un motore che può erogare una potenza massima di 1.5 kW. Determinare: a) L’energia erogata dal
motore per sollevare il peso, con velocità costante, in un giro completo della carrucola; b) la velocità
angolare massima con cui si può far ruotare la carrucola; c) la velocità raggiunta dalla massa M dopo
un giro completo della carrucola, partendo da ferma, nel caso in cui il motore fornisca una coppia
M
costante x = 130 Nm.
5b) Per gli altri studenti Una mole di gas perfetto monoatomico subisce la
trasformazione ciclica ABCD con TA= 200K, p2=2atm, VB = 14dm3, p1 = 1atm. Le
trasformazioni reversibili sono AB: isobara; BC adiabatica; CD isobara; DA adiabatica.
Determinare (a) il lavoro compiuto in un ciclo ABCD; (b) il rendimento del ciclo ABCD;
(c) il lavoro compiuto in un ciclo ACB’D, dove AB’ è una trasformazione reversibile
isoterma e B’ è un punto sull’adiabatica BC.
p
p2
A
B
B’
p1
D
C
V
Soluzioni
1. (a) a = v x ( ci x dj ) = v x cdk = ( vxi + vyj ) x cd k = vycdi-vxcdj. Quindi le componenti della accelerazione sono:
ax = vycd; ay = -vxcd e az = 0.
(b) Ricordiamo l’espressione dell’accelerazione in coordinate intrinseche: a = at + an =
+ . Dalla
relazione: a = v x ( ci x dj ) si evince che l’accelerazione a è sempre normale a v. Quindi essa ha solo
componente centripeta ed il moto è perciò circolare uniforme, con v in modulo costante v = v0 e ω = cd velocità
angolare. Tenendo conto che all’istante iniziale v = v0i abbiamo le leggi orarie per le componenti della velocità:
vx(t) = v0cos(ωt) e vy(t) = -v0sen(ωt). Al risultato si giunge analiticamente con i seguenti passaggi: ax =
= → = −
ay = = − → = − = →
cos;
che, tenendo conto di: vx(0) = v0, ha soluzione: =
→
soluzione: = − sen.
= −
che, tenendo conto di vy(0) = 0, ha
(c) Dato che all’istante t = 0 il corpo si trova nell’origine O(0,0):
xt = xt − x0 =
yt = yt − y0 =
=
=−
cos
sen
La traiettoria è una circonferenza di raggio ) =
=
,
,
!
*
!
#$%
"
=
;
!
'# − 1
"
.
, il centro della circonferenza è in x = 0 ; y = - R e la
traiettoria ha equazione: + , + -. + *! / = -*! / .
2) Il corpo è fermo se vale la disequazione: F cos α < µs N con N = µs (mg + F senα) → F [ cos α - µs senα ] <
,
13 µs mg . Poniamo a = µs mg/F = 0.64 e utilizziamo le formule parametriche: #$%0 = 12 e '#0 = 12 con t = tg (α/2). Abbiamo : 4 + 1 , + 267 + 4 − 1 > 0 . Le radici sono :
=
39: ±<9: 3= 31
=0.33,-0.655.
=21
Solo le soluzioni positive sono accettabili, quindi il corpo resta fermo per t >
0.33 corrispondente alla condizione α > 37.32° .
3) (a) Ponendo l’origine O(0,0) in C abbiamo xcm = 0 ed .*> =
>?2@>∙@?
@>2>
=
1B
B
C = 8.67H.
(b) Il momento di inerzia dell’anello calcolato rispetto ad un asse orizzontale passante per C è I1 = 2mr2. Quello
1
dell’asta, calcolato sempre rispetto a C, è I, = 1, 5HK , + 5H5C, = 140HC , . Il momento di inerzia totale è
quindi I = I1 + I, = 142HC , = 0.01136kgm2.
(c) M* = 2NO
P
Q>RS
T1?
1BR
con h = ycm : M* = 2NO
= 0.66s.
4) (a) La spinta di Archimede
semicilindro: U =
V? WX=*YZ= [
,
è pari al peso del volume di fluido spostato dal
= 66.57N.
Fp
Fp
(b) Sulla massa d’acqua che avrebbe occupato il volume del semicilindro all’equilibrio la
somma delle forze di volume FV e di pressione FP è nulla: FP + FV = 0 .
FV = mAcquag =
V? ℎX=*YZ= [
,
= S ; FP = ΣFPi + FP1
Fp
h
Fv Fp1
dove FP è la forza di pressione agente
sulla superficie inferiore , di modulo FP1 = pA, con p = p0 + ρacquagh = 1.32x105 Pa
(avendo posto p0 = pressione atmosferica sulla superficie libera dell’acqua = 1.013x105 Pa) ed A = 2rL = 7.2x10-2
m2, mentre ΣFPi è la somma delle forze di pressione sulla superficie curva. Otteniamo:
ΣFPi = ( p0 + ρacquagh ) 2rL – S = 430.75N.
(c) La forza agente sul semicilindro è
del corpo immerso è 4 =
abcdeb 3a
a
] = U − H[ = ^X=*YZ= − X_`[ = H4 = X`4 quindi l’accelerazione
[ = 34.6m/s2
. Il corpo si muove di moto uniformemente accelerato con
legge oraria x = ½ at2 . Il tempo perché il punto più elevato giunga in superficie è t = O
,S3?
=
= 0.41s.
(d) In condizioni di equilibrio se Vx è il volume immerso abbiamo S’ = ρacqua Vx g = mg = ρVg e quindi:
f
f
a
=a
= 22 % →
bcdeb
fghgi:j
f
= 78 %.
5a) (a) W = Mg 2πr = 647.2 J. (b) >= =
1
m ,
,
1
khb
lR?
+ , I, = 2N+ − m[2NC → = O
qrs
5b) `p =
t
n
t y
= 8.20H . Mu =
B
`| = -t / `p = 12.43HB . M| =
n
= 14.56 rad/s. (c) Per la conservazione dell’energia meccanica :
,V3lR?
n
n
l2 >
o
= 2.19 m/s.
n
t fv
= 341.32x . `* =
tn f}
q
= 151.57x. Assumendo cp = 5/2 R:
q
t y
-t / `u
n
= 21.22HB . Mz =
tn f{
q
= 258.67x.
(a) ~ = ∑ = t Mu − Mp +t M| − Mz =710.93 J ( nelle adiabatiche non si ha scambio di calore ).
(b) = =0.24 con QA = cp (TB-TA) = 2936 J.
p
s
(c) Il punto B’ deve stare sia sull’isoterma TA = cost. che sull’adiabatica BC,
quindi :
31.23H
B
, `u =
u `u
e
, `p =
u `u
. ~ = pu + z| =
Notiamo che
u =
fs
fv ,
f
)Mp K% - v /
fs
→
n
f y yn
`u = v
f
s
=
+ t M| − Mz =-4.8 J.
= 53196.34quindi il punto B’ si trova al di
sotto di C lungo l’adiabatica ed il
complessivamente negativo.
lavoro totale del ciclo è
p2
p1
PB’
A
B
C
D
B’
V
