Prodotti e scomposizioni notevoli

Prodotti e scomposizioni notevoli
•
•
•
•
•
•
•
•
•
(a - b)(a + b) = a2 - b2
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 +b3
(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
(a + b + c + ...)2 = a2 + b2 + c2 +...+ 2ab + 2ac + ... + 2bc + ... = somma dei quadrati di tutti i
termini e dei doppi prodotti di ciascun termini per quelli che lo seguono.
Se n è dispari, an + bn = (a + b)(an-1 - an-2b + an-3b2 - ... + bn-1).
Per ogni n, an - bn = (a - b)(an-1 + an-2b + an-3b2 + ... + bn-1).
(a + b)n è un polinomio di n+1 addendi, tutti di grado n, la cui parte letterale è costituita
prendendo le potenze via via decrescenti di a e crescenti di b, e i cui coefficienti si possono
ricavare con il Triangolo di Tartaglia o, meglio, la formula del binomio di Newton.
o
Triangolo di Tartaglia:
o
Binomio di Newton:
.
Triangoli rettangoli
Teorema di Pitagora: a2 = b2 + c2, ovvero il quadrato
costruito sull'ipotenusa è la somma dei quadrati costruiti sui cateti.
Teorema di Euclide-1: b2 = b1·a, c2 = c1·a, ovvero il quadrato costruito su un cateto è equivalente
al rettangolo che ha per lati l'ipotenusa e la proiezione del cateto sull'ipotenusa; o ancora un cateto
è medio proporzionale tra l'ipotenusa e la sua proiezione sull'ipotenusa.
Teorema di Euclide-2: h2 = b1·c1, ovvero il quadrato costruito sull'altezza relativa all'ipotenusa è
uguale al rettangolo che ha per lati le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa; o ancora l'altezza relativa
all'ipotenusa è media proporzionale tra le due proiezioni dei cateti sull'ipotenusa.
...
non si est dare primum motum esse,
o se del mezzo cerchio far si puote
triangol sì ch'un retto non avesse.
D.C. 3, XIII, 100-102
Inscrivibilità in una semicirconferenza: Un triangolo
rettangolo si può sempre inscrivere in una semicirconferenza; di conseguenza la mediana relativa
all'ipotenusa è la metà dell'ipotenusa ed è il raggio del cerchio circoscritto.
Raggio del cerchio inscritto: Il raggio r del cerchio
inscritto in un triangolo rettangolo è dato dalla formula:
.
Home page > Formulario > Triangoli rettangoli
Punti notevoli di un triangolo
Circocentro: è il punto di
intersezione degli assi dei lati di un triangolo. É il centro della circonferenza circoscritta al
triangolo. Nei triangoli acutangoli è interno al triangolo, nei triangoli rettangoli coincide con il
punto medio dell'ipotenusa, nei triangoli ottusangoli è esterno al triangolo.
"O cara piota mia che sì t'insusi,
che, come veggion le terrene menti
non capere in triangol due ottusi,
D.C. 3, XVII, 13-15
Incentro: è il punto di incontro delle bisettrici degli angoli interni di un
triangolo. É il centro della circonferenza inscritta nel triangolo ed è sempre interno al triangolo.
Ortocentro: è il punto di
intersezione delle altezze di un triangolo, o dei loro prolungamenti. É interno al triangolo per i
triangoli acutangoli, coincide con il vertice dell'angolo retto per i triangoli rettangoli, è esterno al
triangolo per i triangoli ottusangoli. É anche il centro radicale dei tre cerchi che hanno come
diametro i lati del triangolo.
Baricentro: è il punto di incontro delle mediane di un triangolo. É
sempre interno al triangolo e gode della seguente proprietà: ciascuna mediana è divisa dal
baricentro in due parti, di cui quella contenente il vertice è doppia dell'altra. Se, in un piano
cartesiano, sono note le coordinate dei vertici, il baricentro ha come coordinate le medie aritmetiche
delle coordinate degli estremi:
. Nel caso di un triangolo
omogeneo, o di tre punti di uguale massa disposti nei vertici, il baricentro coincide con il centro di
gravità o di massa (usualmente spesso chiamato ancora baricentro).
Retta di Eulero: in ogni triangolo l'ortocentro, il
baricentro e il circocentro sono allineati; la retta cui appartengono si chiama retta di Eulero; inoltre
HG=2GC. Puoi anche vedere un'animazione di questa figura.
Quadrilateri inscrittibili o circoscrittibili ad un cerchio
Un quadrilatero convesso è inscrittibile in un cerchio se e solo se gli
angoli opposti sono supplementari:
.
Un quadrilatero convesso è circoscrittibile ad un cerchio se e solo se
la somma delle due coppie di lati opposti è uguale: AB + CD = AD + BC.
Trapezio circoscritto ad un cerchio: i triangoli BOC e AOD sono
rettangoli e la loro altezza relativa all'ipotenusa è il raggio del cerchio inscritto.
Trapezio circoscritto ad un semicerchio: i triangoli
rettangoli ABM e AOH sono uguali; lo stesso vale per i triangoli CND e OKD. Ne segue che la base
maggiore è la somma dei lati obliqui.
...
Euclide geomètra e Tolomeo,
...
D.C. 1, IV, 142
Teorema di Tolomeo: in un quadrilatero convesso inscritto in una
circonferenza il prodotto delle diagonali è uguale alla somma dei prodotti dei lati opposti:
AC·BD = AD·BC + AB·DC
Teorema di Legendre: in un quadrilatero convesso inscritto in una circonferenza il rapporto delle
diagonali è uguale al rapporto delle somme dei prodotti dei lati che concorrono negli estremi delle
rispettive diagonali
Poligoni regolari inscritti in un cerchio
.
Triangolo equilatero:
Quadrato:
.
Pentagono:
.
Esagono: AB = l6 = R
Decagono:
Funzioni goniometriche di archi particolari
gradi
radianti
seno
coseno
tangente
30°
45°
60°
18°
36°
15°
1
22°30'
Formule trigonometriche
•
•
•
Relazione fondamentale: sin2α + cos2α = 1.
Addizione e sottrazione:
o sin(α ± β) = sinαcosβ ± cosαsinβ;
o cos(α ± β) = cosαcosβ sinαsinβ;
o
.
Duplicazione:
o sin(2α) = 2sinαcosα;
2
2
2
2
o cos(2α) = cos α - sin α = 1 - 2sin α = 2cos α - 1;
.
o
•
Bisezione:
;
o
•
•
o
;
o
.
Parametriche: posto
, se α ≠ (2k+1)π,
o
;
o
.
Prostaferesi:
o
;
o
;
o
;
o
.
Risoluzione di triangoli
Triangoli rettangoli
•
•
•
cateto = ipotenusa·sin(angolo opposto); c = b·sinγ; a = b·sinα.
cateto = ipotenusa·cos(angolo acuto adiacente); c = b·cosα; a = b·cosγ.
cateto = altro cateto·tan(angolo acuto opposto); c = a·tanγ; a = c·tanα.
Teorema della corda: a = 2Rsinα = 2Rsinγ.
Teorema dei seni:
Teorema del coseno o di Carnot:
a2 = b2 + c2 -2bccosα;
b2 = a2 + c2 -2accosβ;
c2 = a2 + b2 -2abcosγ;
Area di un triangolo:
Limiti notevoli e limiti importanti
.
In questo sito abbiamo proposto anche una trattazione completa sui limiti fondamentali.
(angoli misurati in radianti!).
•
.
•
•
.
.
•
.
•
.
•
•
.
.
•
.
•
.
•
Derivate delle funzioni elementari
In questo sito abbiamo proposto anche una trattazione dettagliata relativa alle derivate delle
funzioni elementari.
f(x) = k
f'(x) = 0
f(x) = xα
f'(x) = αxα -1
f(x) = sinx
f'(x) = cosx
f(x) = cosx
f'(x) = -sinx
f(x) = ex
f'(x) = ex
f(x) = ln|x|
f(x) = arctgx
f(x) = arcsinx
f(x) = arccosx
f(x) = tgx
f(x) = ax
f'(x) = axlna
f(x) = logax
Formule di derivazione
In questo sito abbiamo proposto anche una trattazione completa sulle formule di derivazione.
•
•
(f+g)' = f' + g'
(f·g)' = f'·g + f·g'
•
.
ovvero
•
.
ovvero
•
Primitive immediate
.
•
.
•
.
•
•
•
.
.
.
•
.
•
.
•
•
•
.
.
•
Primitive immediate generalizzate
(integrazione delle funzioni composte).
•
.
•
.
•
.
•
.
•
.
•
.
•
.
•
.
•
•
•
•
.
.
.
Formule per il calcolo delle primitive
.
•
.
•
(Formula per
•
parti).
•
Dato
e una funzione g(t) invertibile, con h(x) funzione inversa se
, allora
(Formula per sostituzione).
Le primitive fondamentali
Cominciamo a calcolare le primitive di tre tipi fondamentali di funzioni razionali fratte, a cui tutti
gli altri si possono ricondurre:
1.
.
2.
.
3. Se n=1 l'integrale è immediato:
. Per n >1 si può usare una formula
, si trova :
.
ricorrente. Posto
Mediante questa formula, applicata quante volte serve, il calcolo di In è ricondotto a quello,
noto, di I1.
Ci servirà poi saper ricondurre a questi il calcolo seguente:
alcune manipolazioni algebriche e una sostituzione opportuna .
. Si tratta di eseguire
Decomposizione in fratti semplici
Consideriamo una generica funzione razionale fratta; si possono presentare due situazioni:
1. il grado del numeratore è maggiore od uguale a quello del denominatore;
2. il grado del numeratore è minore di quello del denominatore.
Nel primo caso si può eseguire la divisione tra numeratore e denominatore, ottenendo:
(Q è il quoziente e R è il resto). La frazione "residua" è del tipo "2". La ricerca delle primitive di
N/D si riconduce dunque alla ricerca di quelle di R/D, in quanto Q è un polinomio. Basta dunque
considerare il secondo caso. Per esse vale il seguente
Teorema di decomposizione di Hermite. Data una funzione razionale fratta propria
, con N e D polinomi primi fra di loro, la frazione si può sempre decomporre in una somma finita di
frazioni del tipo
e
, con
. Precisamente:
•
Ogni radice reale a del denominatore, di molteplicità p, contribuisce alla predetta somma
•
con i seguenti p addendi:
.
Ogni radice complessa α+iβ del denominatore, di molteplicità q assieme alla sua coniugata
α-iβ, contribuisce alla predetta somma con i seguenti q addendi:
, ove
.
Questo teorema consente di ricondurre il calcolo delle primitive di una qualunque funzione
razionale fratta a quella degli integrali fondamentali proposti sopra. Esso permette, tenendo conto
degli integrali fondamentali considerati sopra, di concludere che
Le primitive di una funzione razionale fratta sono sempre costituite da una combinazione
lineare finita di funzioni razionali (anche intere), e funzioni del tipo
oppure
.
Esempi
Calcolare
. Si ha
. Se
si riduce quest'ultima somma di frazioni allo stesso denominatore, si trova un numeratore di terzo
grado, con coefficienti dipendenti da A, B, C, D. Questo numeratore deve essere uguale al
numeratore del primo membro: per il principio di identità dei polinomi si troverà un sistema lineare
di quattro equazioni in quattro incognite, che ci permetterà di trovare i quattro coefficienti incogniti
A, B, C, D. Si ottiene: A=1, B=1, C=-1, D=0. I primi due addendi si integrano facilmente, per
l'ultimo si opera come segue:
modificare il secondo addendo tra parentesi, come segue:
. Si deve ulteriormente
.
Basterà ora porre
ottenuti si trova, infine,
, cioè
, da cui
. Riunendo tutti i risultati
.
Calcolare
. Si ha
A=-1, B=-1, C=1. Si ha subito:
. Con il metodo sopra indicato si trova