la geometria - Dipartimento di Matematica

Libero Verardi, Appunti per Algebra Elementare d.p.d.v.s., A.A. 2009-10 – Geometria
LA GEOMETRIA
PREREQUISITI.
Teorie ipotetico-deduttive, insiemi e relazioni, gruppi, geometria razionale,
geometria analitica elementare, algebra lineare.
SCOPI. Ripasso di nozioni già note dal corso di Algebra I e dalla scuola secondaria.
Contenuti:
Introduzione: che cos’è Geometria?
§ 1 Dalla geometria razionale alla geometria analitica.
§ 2 Dall’algebra lineare alla geometria analitica.
Introduzione: che cos’è Geometria?
Come vedo io la Geometria non ha importanza: ciascuno di noi ha la sua
opinione, apprezza o non apprezza certi aspetti, gradisce o no certe impostazioni.
Tuttavia, la dovremo presentare ai nostri allievi e dovremo cercare di farli
appassionare o, perlomeno, cercheremo di non fargliela odiare o, peggio, di non farla
considerare una cosa irrilevante. Non è facile.
Pensandoci, vedrei la Geometria come una guida per scoprire e descrivere
forme, traiettorie, simmetrie della Natura. Questi aspetti si incontrano già nella scuola
dell’infanzia, poi nelle elementari e nelle medie, ma con un insegnamento a spirale,
cioè a passaggi successivi sugli stessi concetti, può essere ripreso anche nella scuola
superiore e servire come punto di partenza. La differenza rispetto agli insegnamenti
delle scuole inferiori consisterà nel proporre esempi più complessi dal punto di vista
concettuale, che richiedano una precisione superiore e strumenti più sofisticati per
essere “modellizzati” e quantificati.
Dico subito che difficilmente si potranno cercare esempi tratti dalla vita
quotidiana di lettori di giornali sportivi o di riviste di moda o di pettegolezzi. Si
potranno invece usare argomenti tratti dalla vita professionale di artisti, scienziati,
tecnici, o dalla storia della cultura. Perché no? Chissà che cosa farà da grande ognuno
dei nostri allievi?
1
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Che strumenti usare? Sicuramente immagini e testi tratti da Internet, da libri ed
enciclopedie, proposti usando tecnologie più o meno moderne (poster, lucidi,
diapositive, film o proiezioni su schermo di collegamenti ad Internet o di immagini in
PDF o in Power Point), seguiti da “modellizzazioni” eseguite con carta e penna, ma
anche con software di calcolo numerico, simbolico o soprattutto di geometria
dinamica. Numerose riviste ed associazioni si occupano di questi aspetti.
I software di Geometria Dinamica, di cui CABRI è stato un precursore, seguito
poi da vari altri, sono specializzati nel trattare figure geometriche piane, ma ora anche
di figure nello spazio. In particolare, con questi programmi si possono eseguire sul
piano sia costruzioni classiche, come tracciare punti, rette, segmenti, angoli, poligoni,
circonferenze,
archi,
rette
parallele,
rette
perpendicolari,
sia
trasformazioni
geometriche. Non solo, ma, ed in questo si manifesta la loro superiorità sul disegno
manuale, è possibile anche spostare oggetti, deformare ed animare le figure, tracciare
luoghi geometrici; assegnare i nomi a punti e rette, o inserire scritte e colori; si
possono misurare segmenti, distanze, angoli, coordinate di punti, aree. Alcuni di
questi software sono a pagamento, e sono installati anche sulle calcolatrici “tascabili”
TI-Voyage 200, in una versione semplificata, anche se è chiaro che le dimensioni e la
scarsa definizione del suo schermo, nonché la mancanza dei colori, ne riducono di
molto l'attrattiva.
Accanto a questi, sono nati software, spesso gratuiti, che accanto alla parte di
geometria razionale sono in grado di tracciare grafici di funzioni, che vengono trattati
come oggetti geometrici. Un esempio è GEOGEBRA, che è scaricabile gratuitamente da
Internet sia per PC che per IMac. Un altro software simile è installato sulle calcolatrici
TI-Nspire.
Non
è possibile descrivere qui
tutte le enormi
potenzialità di
queste
applicazioni. Mi limiterò a fornire alcuni esempi non banalissimi con l’uso di
Geogebra o, occasionalmente, per confronto, del Cabri II della Voyage 200 e del Cabri
3D.
Prima di cominciare con gli esempi, vediamo alcune immagini tratte dalla
natura per illustrare forme, traiettorie, simmetrie e, più in generale, “cose” che io
penso di poter considerare “geometriche” .
2
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Vediamo dapprima qui varie forme
tratte
dalla
natura.
Sembra
impossibile, ma alcune di esse sono
tratte dalla biologia: si tratta di alghe
microscopiche
a
scheletro
siliceo
dette diatomee, che vivono nel mare
e che, morendo, lasciano il loro
guscio sul fondo, dove si forma una
specie di sabbia detta farina fossile e
che
serve
tra
l’altro
nella
fabbricazione della dinamite. Si vede
però anche l’immagine di una stella
marina,
un
animale
abbastanza
grande e comune.
Queste
buona
immagini
presentano
approssimazione
con
varie
simmetrie e per questo le considero
oggetti
geometrici interessanti.
In
cinque
casi
12
si
ritrovano
le
simmetrie dell’esagono regolare; in
uno le 10 del pentagono; in un altro le
6 del triangolo equilatero, poi le 4 del
rettangolo in due casi, e in uno, lo
strano oggetto in basso, solo due. Il
caso più complesso è il solido con
due esagoni uniti rigidamente da un
asse cilindrico. In questo caso, le simmetrie sono 24. Ovviamente il più simmetrico è il cerchio.
La conchiglia del nautilo qui accanto non presenta simmetrie
del tipo delle precedenti, tuttavia il suo profilo si descrive
mediante una curva della famiglia delle spirali. Queste ultime
non si riescono a scrivere come grafici di funzioni y = f(x), ma
solo in forma parametrica:
$
1.2 t " cos( t )
&x =
&
15
, 0 ( t ( 24
%
1.2 t "sin( t )
&
&' y = #
15
!
3
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Le traiettorie dei corpi in movimento sono oggetti geometrici interessanti. Con buone approssimazioni
e prescindendo da attriti o interazioni gravitazionali estranee , possiamo descriverle spesso mediante
curve di tipo elementare. Nella figura sono riportati alcuni esempi di traiettorie a forma di coniche, ed
anche un possibile esempio fisico di retta. Si tratta di modelli, che non tengono conto di tutte le
variabili in gioco, ma consentono di comprendere meglio i fenomeni e di formulare previsioni.
Ed
ecco
altre
due
immagini: una è tratta
dal mondo
naturale,
l’altra è un oggetto
matematico:
si tratta
di una rete di neuroni
del cervello e di un
frattale. Quale delle due è più complessa?
La geometria è non solo curve o superficie del piano e dello spazio, poligoni e
loro misure e proprietà, ma presenta anche altri aspetti.
Le prossime figure mostrano alcuni di questi, senza commenti particolari:
diagrammi statistici, grafi, diagrammi di Hasse, tassellazioni del piano, solidi usati
nella pratica o nella fantasia.
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§ 1. Dalla Geometria razionale alla Geometria Analitica
Il programma di Geometria razionale viene svolto in alcune scuole superiori, in
particolare i licei di vari indirizzi, seguendo approssimativamente lo schema ideato
2300 anni fa da Euclide, con le opportune integrazioni dovute ai progressi dei secoli
XIX e XX della nostra era. Si parte da due insiemi di oggetti, detti punti e rette, e da
una relazione di incidenza (o appartenenza) tra di essi, definite indirettamente da una
serie di postulati, che possiamo interpretare come regole del gioco.
Si assume tacitamente che ogni retta sia un insieme non vuoto di punti, quelli
che le sono incidenti, per cui si usa direttamente il linguaggio degli insiemi.
Il primo dei postulati recita che due punti distinti appartengono ad una ed una
sola retta. Ne segue subito che l’intersezione di due rette diverse o è vuota, o è
costituita da un punto solo.
Due rette ad intersezione vuota sono dette per comodità parallele. Si pone
allora il problema della loro esistenza. Il postulato euclideo delle parallele dice che
data una retta r ed un punto P che non le appartiene, esiste una ed una sola retta r’
parallela alla retta r e passante per il punto P. Ma questo postulato è proprio
necessario? Non è per caso un teorema? Secondo Kant e tanti altri filosofi e matematici
fino al XVIII secolo era un teorema, ma alcuni matematici del XIX secolo, Lobacewski,
Bolyai, Gauss, Riemann, Beltrami, mostrarono che non lo è. Nacquero così le geometrie
non euclidee, in cui questo postulato non è aggiunto agli altri, ma o è negato (ossia
non esistono proprio rette parallele) oppure è affermata solo l’esistenza ed è
trascurata l’unicità.
Nell’insegnamento tradizionale si segue però l’impostazione euclidea. Si dà (o si
dovrebbe dare) una relazione ternaria tra i punti di ogni retta, detta “stare fra”, per la
quale dati comunque tre punti distinti di una retta, uno ed uno solo “sta fra” gli altri
due. L’insieme dei punti che stanno fra i due punti distinti A, B sull’unica retta r che li
contiene è detto segmento AB. Il punto A divide la retta r in due semirette, una delle
quali contiene B e l’altra no, e che hanno in comune solo A. Della retta poi si postula
la continuità: dati due sottoinsiemi non vuoti e separati di punti della retta, esiste
semper alemno un punto che sta tra i punti del primo insieme equelli del secondo.
Si dà poi in qualche modo una relazione di uguaglianza o congruenza tra punti,
rette, semirette ecc. Ci sono vari modi per assegnarla: o mediante alcuni assiomi, (tutti
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i punti sono uguali, tutte le rette sono uguali, tutte le semirette sono uguali, ecc.) o
mediante l’azione di un particolare sottogruppo del gruppo delle permutazioni
sull’insieme dei punti, che agisca transitivamente sui punti, conservi l’incidenza tra
punti e rette e lo “stare fra”, ed agisca transitivamente sulle rette. La scelta di tale
gruppo nell’infinita famiglia dei sottogruppi con queste proprietà condiziona il
seguito del discorso, cioè il tipo di geometria.
Una volta che sia fissato il concetto di segmenti uguali, nasce quello di
circonferenza di dato centro e dato raggio: fissati un punto C ed un segmento AB, su
ogni retta passante per C esistono due punti D, E tali che CD = CE = AB. Ne segue
anche l’asse di un segmento: dati due punti distinti A, B, si chiama asse del segmento
AB l’insieme dei punti equidistanti da A e da B. Il punto dell’asse che appartiene ad AB
è detto punto medio di AB.
Concetti via via introdotti sono poi quelli angolo, di poligonale (o spezzata),
poligono convesso, triangolo, con le sue classificazioni, proprietà e teoremi di
uguaglianza, quadrilatero, con le sue classificazioni e proprietà, poligono regolare.
Segue poi il concetto di rapporto di segmenti, di lunghezza di un segmento, di
equivalenza tra poligoni ed area, poi i teoremi di Euclide e di Pitagora, ed i teoremi di
Talete, “piccolo” e “grande”. Da quest’ultimo segue il concetto di figure simili ed i
criteri di similitudine dei triangoli, nonché una nuova formulazione dei teoremi di
Euclide.
Infine, si cerca di estendere il concetto di lunghezza e di area a figure
curvilinee: circonferenza e cerchio in primis. Ma qui si entra nel campo dell’Analisi
Matematica.
Con questa cassetta di attrezzi a disposizione si introduce la Geometria
Analitica nello spirito di Cartesio (R. Descartes, il grande filosofo del “Cogito, ergo
sum” e l’ingegnere dei pozzi artesiani) e di Fermat (P. de Fermat, citato da film di
successo e precursore del concetto di derivata).
Precisamente, si fissano nel piano due rette perpendicolari, su ciascuna si
stabilisce l’orientamento e l’unità di misura e, assumendo il punto comune O come
origine, si associa ad ogni loro punto P il numero reale di modulo OP e di segno + se il
verso da O a P è concorde coll’orientamento della retta, il segno – se discorde. Si fissa
infine un ordine tra le due rette: la prima è ora detta asse delle ascisse, la seconda
asse delle ordinate. Nel foglio di carta del disegno o alla lavagna di norma l’asse delle
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ascisse è disegnato “orizzontale” e quello delle ordinate “verticale” in senso
antropomorfico, ma non è così in tutte le tradizioni.
Ed ora, da ogni punto P del piano si tracciano le parallele (più corretto dire
così) agli assi, si determinano i due punti d’intersezione P1 sull’asse delle ascisse e P2
su quello delle ordinate. Dette rispettivamente x (ascissa) ed y (ordinata) le distanze
( )
col segno di questi punti da O, a P si associa la coppia
ordinata x, y di numeri
reali.
!
!
L’applicazione dal piano ad R2 così stabilita è ben definita e biiettiva, a causa
dell’assioma delle parallele e delle sue conseguenze.
!
Si prosegue poi a!ricavare la formula della distanza di due punti A, B, mediante
l’esame di alcuni casi particolari (segmento AB parallelo ad uno degli assi) per passare
al caso generale mediante il teorema di Pitagora.
Il “piccolo” teorema di Talete consente poi di ricavare le coordinate del punto
medio di un segmento AB. Il “grande” consentirebbe invece di esprimere le coordinate
(
)
di un punto qualsiasi P che sta fra A e B (supposto A ≠ B): posto A = x1, y1 ,
(
)
( ),
B = x2, y2 , P = x, y
se AP = k " AB , lo stesso rapporto k c’è anche tra i segmenti
determinati sugli assi dalle parallele ad essi per A, P, B, !quindi si ricava:
!
!
%x = !
x1 + k " x2 # x1
'
, 0 $ k $ 1. Se si elimina la restrizione per k e si pone k∈R, se ne
&
'( y = y1 + k " y2 # y1
(
(
)
)
deduce un modo per ottenere le coordinate di tutti i punti della retta AB. Con qualche
!
$a = y " y
2
1
&
passaggio algebrico, posto % b = x1 " x2
, si ricava la “equazione della
&c = x # y " y + y # x " x
1
1
2
1
2
1
'
(
)
(
)
retta” a " x + b " y + c = 0 , con a e b non entrambi nulli, quindi di I grado: ogni punto P
della retta AB ha le!coordinate (x, y) che sono soluzioni della precedente equazione.
!Nessun altro punto del piano ha questa proprietà, quindi quella equazione di I grado
individua la retta. Si noti che per ogni k reale non nullo anche k " a " x + k " b " y + k " c = 0
ha le stesse soluzioni, quindi rappresenta la stessa retta AB.
Successivamente si mostra che ogni equazione di!primo grado a " x + b " y + c = 0 ,
quindi con a e b non entrambi nulli, è l’equazione di una retta: se b " 0 , posto
#
#
c&
a + c&
!
A = %%0, " (( , B = %%1, "
(( , la retta data è la retta AB; se b = 0 , è la parallela per
b'
b '
$
$
!
!
!
# c &
a
A = %%" , 0(( all’asse delle ordinate. Escluso questo caso,
si pone di solito m = " ,
!
b
$ !a '
!
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q="
c
b
, ed allora l’equazione della retta si può scrivere nella forma “esplicita”
y = m " x + q , ossia come grafico di una funzione polinomiale di primo grado o costante
!
(se m = 0). Il viceversa è quasi ovvio: il grafico di una funzione polinomiale di primo
!
grado o di una costante f x = m " x + q è una retta, perché si scrive nella forma
()
m " x # y + q = 0.
Si procede poi
! con la ricerca del punto comune a due rette, mediante la
!
risoluzione e discussione di un sistema lineare a due equazioni e due incognite, e se
ne deduce la condizione di parallelismo o di coincidenza di due rette. La condizione di
perpendicolarità richiede invece l’uso del II teorema di Euclide.
Abbastanza utile è la nota formula della distanza di un punto da una retta, che
consente tra l’altro di ricavare una comoda formula per l’area di un triangolo note le
coordinate dei vertici e che, se si annulla, dà l’allineamento dei tre vertici: dati
(
)
(
)
(
)
A = x1, y1 , B = x2, y2 , C = x3, y3 , l’area è metà del valore assoluto del determinante
!
#x " x
1
della matrice % 3
x
"
x
$ !
3
2
!
y3 " y1 &
( . L’equazione della retta AB è allora semplicemente:
y3 " y2'
x " x1 y " y1
= 0.
x " x 2 y " y2
!
!
OSSERVAZIONE. In tutto quello che precede gli angoli non compaiono mai, ad eccezione
dell’angolo retto. In effetti, nella geometria analitica gli angoli restano un po’ estranei, così
come i poligoni regolari ed i poligoni in genere.
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§ 2. Dall’Algebra Lineare alla Geometria Analitica
Come detto a conclusione della sezione precedente, nella geometria analitica gli
angoli restano un po’ estranei, così come i poligoni regolari ed i poligoni in genere.
Una eccezione è data dal problema di cercare il vertice S opposto all’origine O di un
(
(
)
A = x1, y1 ,
parallelogrammo OASB, nel quale siano dati gli altri due vertici
)
B = x2, y2 , dato che, sfruttando il fatto che le due diagonali OS ed AB hanno lo stesso
! la possibilità di
punto medio, risulta semplicemente S = x1 + x2, y1 + y2 . Ne deriva
(
!
)
passare al calcolo vettoriale, ponendo A + B = S, corrispondente ad OA + OB = OS , e
! del parallelogrammo. Il prodotto per “scalari” è poi
questa è la somma con la regola
ricavato partendo dall’equazione! della retta per l’origine: da !y = m " x + q segue che
(
)
(
)
per ogni k∈R, presi i due punti P = x, m " x , Q = k " x, k " m " x , (x ≠ 0) si ha che O, P, Q
!
sono allineati, OQ = k " OP ed inoltre se k è positivo, P e Q sono nella stessa semiretta.
!
!
Pertanto, Q = k " P , corrispondente ad OQ = k " OP . Infine, per il prodotto scalare, dal
! del coseno (cosiddetto “di Carnot”), dati
teorema
(
)
A = x1, y1 ,
(
)
B = x2, y2 , non
!
!
ˆ B , si ha:
AO
allineati
con l’origine, detto α l’angolo
2
2
2
2
2
!
!
AB = OA + OB " 2 # OA # OB # cos $ = OA + OB " 2 # OA % OB ,
!
2
2
OA + OB # AB
e quindi OA " OB =
!
2
2
= x1 $ x2 + y1 $ y2 .
OA # OB
Si ha così la chiave per ottenere cos " =
=
OA
$
OB
!
x1 $ x2 + y1 $ y2
2
2
2
2
x1 + y1 $ x2 + y2
(questo
numero è sempre compreso tra -1 ed 1, per la disuguaglianza di Schwartz) e quindi
per ricavare la condizione di! perpendicolarità tra vettori. Abbiamo così lo spazio
vettoriale con prodotto interno di dimensione 2 sul campo reale.
Ciò suggerisce un percorso opposto alla geometria euclidea: partire dallo spazio
$ x, y + x", y" = x + x", y + y"
&
vettoriale bidimensionale R2 sul campo reale, in cui si ha %
,
&'k # x, y = k # x, k # y
( ) ( ) (
( ) (
)
( ) (
)
)
ed in cui si pone! x, y " x#, y# = x $ x# + y $ y# ; quest’ultimo è un prodotto scalare (o
!
!
11
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“interno”) e quindi si può porre
(x, y)
=
x2 + y2 , ottenendo una
(x, y) " (x, y) =
norma, la norma euclidea. Infine, il numero:
!
d x, y , x", y" = x, y # x", y" =
(( ) (
)) ( ) (
)
2
(x # x") + (y # y")
2
è una metrica per R2 , la usuale distanza euclidea, che dà luogo al teorema di Pitagora.
!
Le rette (o varietà
lineari 1-dimensionali) sono i sottospazi 1-dimensionali ed i loro
"
%
laterali nel! gruppo additivo $R2, +' . Gli assiomi euclidei sono allora soddisfatti e la
#
&
consistenza della geometria euclidea è fondata ora sui numeri reali e, in definitiva,
sulla coerenza degli assiomi
di Peano sui numeri naturali.
!
Per ricavare l’equazione della retta, osserviamo che un sottospazio 1-dimensionale W
( )
è generato da un vettore non nullo u, v , ed è :
%
(
W = Span u, v = & x, y " R2 #k " R, x, y = k $ u, v )
'
*
!
%x = k $ u
, k " R . Preso ora un altro elemento x0, y0 " R2,
Dunque si ha: x, y " W # &
'y = k $ v
!
(( )) ( )
( )
( )
( )
il
laterale
#x =
$
%y =
(
W + x 0 , y0
(
)
è
allora
l’insieme
degli
elementi
(!x, y) " R2
)
tali
che
!
x0 + k " u
, k & R . Eliminando il parametro k, si ottiene una equazione lineare in x
y0 + k " v
!
!
(
)
ed y, soddisfatta da tutti e soli i punti della retta W + x0, y0 . Essa è del tipo
!
!
(
)
(
)
Il vettore (u, v) , che genera W, prende il nome di !
vettore direttore della retta. Se u ≠ 0,
!
si preferisce dividere per u ed ottenere come vettore direttore il vettore (1, m ) , dove
v " x # x0 # u " y # y0 = 0 , ossia ha la forma generale a " x + b " y = c .
! v
è poi detto coefficiente angolare della retta, anche se questo termine per ora
m=
u
!
non ha alcun significato. L’equazione della retta in questo caso diventa y = m " x + q ,
!
dove i punti di W sono quelli tali che y = m " x , e la retta è descrivibile come il laterale
( )
W + 0, q . Si può ricavare ora la condizione di parallelismo di due! rette, mediante la
risoluzione
!
del
sistema
!
delle
loro
equazioni,
ed
anche
la
condizione
di
perpendicolarità mediante l’annullarsi del prodotto scalare dei loro vettori direttori.
Si tratta di un percorso alternativo, che ha una minore intuibilità, ma ha il vantaggio
di consentire agevoli generalizzazioni a dimensioni maggiori di 2.
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