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Le equazioni di secondo grado
a! x +b! x + c = 0
2
Appunti delle lezioni di
Armando Pisani
A.S. 2003-04
Liceo Classico Dante Alighieri (GO)
Nota
Questi appunti sono da intendere come guida allo studio
e come riassunto di quanto illustrato durante le lezioni in
classe. In nessun caso sono sostitutivi del libro di testo che
rimane uno strumento indispensabile allo studio.
A. Pisani
Indice
• Introduzione: storia delle equazioni di II gr.
• La forma generale dell’equazione, le forme
pura e spuria
• Legame tra i coefficienti e le soluzioni
• Costruire l’equazione a partire dalle
soluzioni
• Scomposizione del trinomio di secondo
grado
Storia delle equazioni di secondo
grado...
LE ORIGINI
DELL’ALGEBRA
Il Papiro di Ahmes (o di Rhind) 1832a.C.
Titolo:
Modello di calcolo per penetrare
le cose, conoscere tutto ciò che è,
(ogni) oscurità, ogni difficoltà.
Contenuto:
esercizi vari di aritmetica, comprese le
frazioni, equazioni di primo grado e
varie osservazioni su questioni di
geometria: aree e volumi.
L’ALGEBRA IN
GRECIA
Diofanto (250 d.C.): Arithmetica
Dal VI al IV secolo a.C. i Greci sono
in grado di usare le equazioni di secondo grado per risolvere problemi
geometrici.
Diofanto è oggi ritenuto il padre
dell’algebra. La sua opera consiste
in una raccolta di problemi risolvibili con equazioni di primo e secondo grado. Fu il primo ad introdurre
delle abbreviazioni simboliche nelle
espressioni algebriche.
L’ALGEBRA IN INDIA
Tra il VII ed il XII sec. Dall’India provengono notevoli contributi
all’algebra ed in particolare alle equazioni di secondo grado in cui
vengono considerate le soluzioni negative e il problema della divisione per zero. Tuttavia è il mondo arabo a darci il primo trattato di
algebra che può considerarsi moderno.
L’ALGEBRA DEGLI
ARABI
Tra la fine del VIII e l’inizio del IX sec. Il matematico e astronomo
al-Khuwarizmi scrisse un’opera in cui presenta in modo quasi “didattico” i metodi di risoluzione delle equazioni, specialmente di secondo
grado.
IL MEDIOEVO
Durante il Medioevo, in Europa vengono tradotte le due principali opere
riguardanti l’algebra e le equazioni di secondo grado che sono quella di
Diofanto e quella di al-Khuwarizmi. Dalla traduzione di quest’ultima
deriva proprio il nome algebra.
Verso il 1500 si occupano di algebra soprattutto matematici italiani e
tedeschi: iniziano a comparire opere in cui si utilizzano lettere invece di
cifre e simboli per indicare le operazioni. A tale data le equazioni di
secondo grado sono completamente note e gli interessi degli algebristi si
spostano verso altri argomenti.
La forma generale dell’equazione
e le forme pura e spuria
Forma generale
La forma generale dell’equazione di secondo grado è:
a! x +b! x + c = 0
2
Con la condizione che
a!0
altrimenti l’eq. diventa di primo gr.
Se:
b=0
a!x +c = 0
Se:
c=0
a ! x + b ! x = 0 Equazione spuria
2
2
Equazione pura
Risoluzione dell’equazione pura
L’equazione pura di secondo grado è:
a!x +c = 0
2
Questa equazione è risolubile secondo lo schema seguente:
a " x = !c
2
Quindi:
x1, 2
c
=± !
a
c
x =!
a
2
NOTA BENE: queste
soluzioni esistono solo
se i coefficienti a e c sono
di segno diverso!!
Risoluzione dell’equazione spuria
L’equazione spuria di secondo grado è:
a!x +b!x = 0
2
a!0 " c=0
Questa equazione è risolubile scomponendo in fattori
secondo lo schema seguente:
Quindi:
x ( ax + b ) = 0
NOTA BENE: queste
soluzioni esistono qualunque
Sia il valore di b, posto che a non
Sia zero!
x1 = 0
b
x2 = !
a
Risoluzione dell’eq. generale
Vogliamo risolvere l’equazione generale di secondo grado:
a! x +b! x + c = 0
2
a!0
L’idea alla base del procedimento risolutivo è scrivere il trinomio a sinistra
dell’uguale come se fosse un quadrato perfetto. Per prima cosa dividiamo per il
coefficiente a (che non è zero per ipotesi):
b
c
x +
x+
=0
a
a
2
Ora il primo termine è un quadrato, scriviamo il secondo come un doppio prodotto:
b
c
x + 2!
!x+ =0
2a
a
2
Quindi il secondo termine è il doppio prodotto dei due termini:
x
b
2a
Per completare il quadrato aggiungiamo e togliamo il quadrato di
x
2
b
2a
b
b2
b2
c
+ 2"
"x+
!
+
= 0
2
2
2a
4a
4a
a
Così i primi tre termini sono il quadrato di un binomio:
2
b $
b2
c
'
+
= 0
%x+
" !
2
2a #
4a
a
&
Riscriviamo l’equazione come:
b $
'
%x+
"
2a #
&
2
b 2 ! 4 ac
!
= 0
2
4a
b $
'
%x+
"
2a #
&
2
b 2 ! 4 ac
=
4a 2
Prendiamo la radice quadrata di entrambi i membri:
b
x+
= ±
2a
b 2 ! 4 ac
2a
b
x = !
±
2a
b 2 ! 4 ac
2a
Ecco la formula risolutiva finale:
x1, 2 =
!b±
b ! 4 ac
2a
2
Data la presenza della radice quadrata, le soluzioni esistono se:
# = b " 4ac ! 0
2
RIASSUMENDO:
a! x +b! x + c = 0
2
" = b ! 4ac
2
!>0
Due soluzioni
reali distinte
!=0
Due soluzioni
reali coincidenti
!<0
Nessuna soluzione
reale
Soluzioni:
!>0
!=0
!<0
x1
"b+
=
2a
!
"b"
2a
!
x2 =
x1 = x2 =
!b
2a
x1 , x2 " !
Esercizio
Risolvete la seguente equazione di secondo grado completa:
x ! 5x + 6 = 0
2
Confronto l’equazione con la forma generale:
a! x +b! x + c = 0
2
Riconosco il valore dei tre coefficienti dell’equazione:
a = 1 b = !5
c=6
Calcolo il delta:
# = b ! 4ac = (!5) ! 4 "1 " 6 = 25 ! 24 = 1
2
2
Dato che:
! =1> 0
x1, 2 =
L’equazione ha due soluzioni distinte:
!b±
b ! 4 ac
2a
2
Sostituendo i valori dei parametri ottengo:
x1, 2 =
" ( "5) ±
( "5) 2 " 4 !1 ! 6
2 !1
Quindi:
x1, 2
5± 1
5 ±1
=
=
2
2
+
-
5 +1
6
x1 =
=
=3
2
2
5 !1
4
x2 =
=
=2
2
2
Il legame tra i coefficienti e le
soluzioni
Legame tra i coefficienti e le
soluzioni
"!0
Se l’equazione ha soluzioni, ovvero:
Allora:
x1 + x2 =
"b+
2a
!
+
"b"
2a
!
E quindi:
x1 + x2 =
Infine:
!b+
" !b!
2a
x1 + x2 = !
b
a
"
= !
2b
2a
Inoltre, se l’equazione ha soluzioni, ovvero:
"!0
Allora il prodotto delle soluzioni è:
x1 # x2 =
x1 # x2 =
x1 # x2
( "b +
( !b) 2 ! (
=
4a 2
x1 " x2
Infine:
"b+
2a
!
#
"b"
2a
! )( "b "
4a 2
" )2
!
!)
b 2 ! (b 2 ! 4ac )
=
4a 2
b 2 ! b 2 + 4ac
4ac
c
=
=
=
4a 2
4a 2
a
x1 ! x2 =
c
a
Riassumendo:
x1 + x2 = !
"!0
x1 ! x2
c
=
a
b
a
Come costruire l’equazione a
partire dalle soluzioni
L’equazione a partire dalle
soluzioni
Supponiamo di voler costruire un’equazione che abbia le soluzioni
x1
x2
Possiamo calcolare la somma ed il prodotto delle soluzioni:
s = x1 + x2
p = x1 ! x2
Ma abbiamo appena visto che, in generale l’equazione:
a ! x2 + b ! x + c = 0
allora:
x1 + x2 = !
Se vale:
b
a
"!0
x1 ! x2 =
c
a
Quindi se abbiamo:
Dividiamo per a:
a ! x2 + b ! x + c = 0
b
c
x + x+ =0
a
a
2
Invertiamo le relazioni che danno la somma ed il prodotto:
b
= !( x1 + x2 ) = ! s
a
c
= x1 ! x2 = p
a
Possiamo quindi scrivere
l’equazione cercata come:
x " s!x+ p = 0
2
Esercizio
Trovate un’equazione di secondo grado avente le soluzioni:
x1 = 2
x2 = 3
Calcoliamo la somma ed il prodotto delle soluzioni:
s = x1 + x2 = 2 + 3 = 5 p = x1 ! x2 = 2 ! 3 = 6
l’equazione che cerchiamo è quindi:
x " s!x+ p = 0
2
Infatti:
x ! 5x + 6 = 0
2
# = 25 " 4 !1 ! 6 = 1
x1, 2
x2 = 3
5 ±1
=
=
2
x1 = 2
Esercizio
Trovate due numeri aventi somma s e prodotto p seguenti:
s=6
p =8
L’equazione che cerchiamo è quindi:
x " s!x+ p = 0
2
Quindi:
x1, 2
x ! 6x + 8 = 0
2
# = 36 " 4 !1 ! 8 = 4
6±2
=
=
2
x2 = 4
x1 = 2
Infatti:
x1 + x2 = 4 + 2 = 6
x1 ! x2 = 4 ! 2 = 8
Esercizio
Trovate due numeri aventi somma s e prodotto p seguenti:
s=2
p=4
L’equazione che cerchiamo è quindi:
x " s!x+ p = 0
2
Quindi:
x ! 2x + 4 = 0
2
# = 4 ! 4 "1 " 2 = !4
x1 , x2 " !
In questo caso il problema non ha soluzioni reali! Non esistono
due numeri (reali) che abbiano somma 2 e prodotto 4.
Scomposizione del trinomio di
secondo grado in fattori
La scomposizione in fattori
Abbiamo visto che, in generale l’equazione:
a! x +b! x + c = 0
2
Se vale:
b
= !( x1 + x2 )
a
allora:
"!0
c
= x1 ! x2
a
Se nel trinomio di 2 grado raccogliamo il coefficiente a:
c#
& 2 b
ax + bx + c = a$ x + x + !
a
a"
%
2
quindi:
[
= a x " (x1 + x2 )x + x1 ! x2
2
]
[
ax + bx + c = a x " (x1 + x2 )x + x1 ! x2
2
[
2
... = a x " x1 ! x " x2 ! x + x1 ! x2
2
... = a[x(x ! x1 )! x2 (x ! x1 )]
]
... = a[(x ! x1 )(x ! x2 )]
Quindi, se il delta è non-negativo, allora vale la scomposizione:
ax + bx + c = a(x ! x1 )(x ! x2 )
2
]
Esercizio
Scomponete in fattori il seguente trinomio di secondo grado:
x ! 5x + 6
2
Poniamo uguale a zero il trinomio e otteniamo:
x ! 5x + 6 = 0
2
Confronto l’equazione con la forma generale:
a! x +b! x + c = 0
2
Riconosco il valore dei tre coefficienti dell’equazione:
a = 1 b = !5
c=6
Calcolo il delta:
# = b ! 4ac = (!5) ! 4 "1 " 6 = 25 ! 24 = 1
2
2
Dato che:
x1, 2
! =1> 0
5± 1
=
=
2
L’equazione ha due soluzioni distinte:
5 +1
6
x1 =
=
=3
2
2
5 ±1
2
5 !1
4
x2 =
=
=2
2
2
Quindi abbiamo determinato i valori di x che annullano il trinomio.
Possiamo quindi applicare la relazione:
ax + bx + c = a (x ! x1 )(x ! x2 )
2
Otteniamo:
x ! 5 x + 6 = 1(x ! 3)(x ! 2 )
2
Esercizio
Scomponete in fattori il seguente trinomio di secondo grado:
x ! 2x + 3
2
Poniamo uguale a zero il trinomio e otteniamo:
x ! 2x + 3 = 0
2
Confronto l’equazione con la forma generale:
a! x +b! x + c = 0
2
Riconosco il valore dei tre coefficienti dell’equazione:
a =1
b = !2
Calcolo il delta:
c=3
# = b ! 4ac = (!2) ! 4 "1 " 3 = 4 ! 12 = !8
2
2
Il trinomio dato NON E’ SCOMPONIBILE IN FATTORI!