Simmetrie nei Poliedri Regolari
Francesca Benanti
Dipartimento di Matematica ed Informatica
Università degli Studi di Palermo,
Via Archirafi 34, 90123 Palermo
Tel: 09123891105
Email: [email protected]
LABORATORIO DI ALGEBRA, PROGETTO LAUREE SCIENTIFICHE, LICEO CLASSICO UMBERTO, a.a. 2015-2016
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Strutture Algebriche
Semigruppi, Monoidi e Gruppi
ATTIVITA’ 1
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Gruppo delle Simmetrie del
Triangolo Equilatero
Il Gruppo Diedrale, D3, di ordine 6 è il
gruppo delle riflessioni e delle rotazioni
simmetriche di un triangolo equilatero
E’ costituito da 6 elementi:
dall'identità, dalle rotazioni intorno al
suo centro di 120° e di 240° e dalle
riflessioni rispetto alle bisettrici degli
angoli:
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3
Gruppo delle Simmetrie del
Triangolo Equilatero
Tavola pitagorica di D3:
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Gruppo delle Simmetrie del Quadrato
L’insieme delle simmetrie del
quadrato, il Gruppo Diedrale
D4 di ordine 8 è costituito
dall'identità, dalle rotazioni
intorno al suo centro di 90°,
180° e di 270°
e dalle riflessioni rispetto
alle bisettrici degli angoli
opposti e rispetto alle
mediane dei lati opposti.
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5
Gruppo delle Simmetrie del Quadrato
Tavola pitagorica
di D4:
Sul web
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6
Gruppo delle Simmetrie del Quadrato
Da questa tavola deduciamo che:
1.
l'operazione di composizione dei movimenti considerati è ovunque definita;
2.
I è l'elemento neutro;
3.
ogni elemento ha un simmetrico:
I, R180, Sx, Sy, D1, D2 ognuno ha come simmetrico se stesso, R90 ed R270 sono uno il
simmetrico dell'altro;
4.
l'operazione non è commutativa;
5.
l'operazione è associativa
Quindi i movimenti rigidi che portano il quadrato a coincidere con se stesso, costituiscono un
gruppo non abeliano rispetto all'operazione di composizione.
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Simmetrie nei Poliedri regolari
I cinque poliedri regolari si presentano con un
elevato livello di simmetria; per tale ragione
queste figure solide fin dall’antichità hanno
rappresentato un ideale di perfezione geometrica
e di bellezza.
Consideriamo singolarmente i poliedri regolari ed
analizziamo le simmetrie.
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Simmetrie nel Tetraedro
Tetraedro regolare. Ha 4 piani di simmetria, quelli che
passano per uno spigolo e per il punto medio dello
spigolo opposto; ha 3 assi di simmetria binari, quelli
che congiungono i punti medi di due spigoli opposti.
Le 4 altezze relative alle facce sono assi di simmetria
ternari, vale a dire si può portare il tetraedro su se
stesso facendolo ruotare intorno ad una di queste
rette di 1/3360 e di 2/3360.
Rotazioni
Attività 2
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Simmetrie nel Esaedro
Cubo. Ha 3 piani di simmetria, ciascuno dei quali è parallelo ad
una coppia di facce opposte, e altri 6 piani di simmetria definiti
dalle diagonali parallele ad una coppia di facce opposte. Le 3 rette
congiungenti i centri di una coppia di facce opposte sono assi di
simmetria quaternaria, vale a dire si può portare il cubo su se
stesso facendolo ruotare intorno ad una di queste rette di
1/4360, di 2/4360 e di 3/4360. Le diagonali del cubo sono
assi di simmetria ternaria; infine le 6 rette congiungenti i punti
medi di due spigoli opposti e paralleli sono assi di simmetria
binaria, poiché tramite una rotazione di 1/2360 attorno ad una
di tali rette il cubo viene riportato in se. Il cubo presenta poi un
centro di simmetria.
Rotazioni
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Simmetrie nell’Ottaedro
Ottaedro regolare. Ha 3 piani di simmetria,
ciascuno dei quali è individuato da due coppie
di spigoli opposti e paralleli, e altri 6 piani di
simmetria passanti per due vertici opposti e
per i punti medi di due spigoli. Le 3 rette che
uniscono due vertici opposti sono assi di
simmetria quaternaria, le 4 rette che uniscono i
centri di due facce opposte sono assi di
simmetria ternaria, mentre le 6 rette che
uniscono i punti medi di due spigoli opposti
sono assi di simmetria binaria. L’ottaedro
presenta infine un centro di simmetria.
Rotazioni
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Simmetrie nell’Icosaedro
Icosaedro regolare. Ha 15 piani di simmetria, ciascuno dei
quali è individuato da una coppia di spigoli opposti e
paralleli. Le 6 rette che uniscono due vertici opposti sono
assi di simmetria quinaria, poiché tramite una rotazione
attorno a tali rette di 1/5360, di 2/5360, di 3/5360
e di 4/5360 l’icosaedro viene mutato in se. Le 10 rette
che uniscono i centri di una coppia di facce opposte sono
assi di simmetria ternaria, mentre le 15 rette che
uniscono i punti medi di due spigoli opposti e paralleli
sono assi di simmetria binaria. L’icosaedro presenta infine
un centro di simmetria.
Rotazioni
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12
Simmetrie nel Dodecaedro
Dodecaedro regolare. Ha 15 piani di simmetria ciascuno
dei quali è individuato da una coppia di spigoli opposti e
paralleli. Le 6 rette che uniscono i centri di due facce
opposte sono assi di simmetria quinaria, le 10 rette che
uniscono uan coppia di vertici opposti sono assi di
simmetria ternaria, mentre le 15 rette che uniscono i
punti medi di due spigoli opposti sono assi di simmetria
binaria. Il dodecaedro presenta infine un centro di
simmetria.
Rotazioni
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Simmetrie nei Poliedri regolari
Attività 2
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