Politecnico di Bari
I Facoltà di Ingegneria
Corso di Laurea in Ingegneria Edile
Programma del corso di Analisi Matematica I
(Corso B, lettere L-Z), A.A. 2010/11
Docente: Dott. Alessio Brancolini
28 settembre 2011
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Richiami di logica, insiemi numerici e funzioni
Richiami di logica e insiemi numerici
Insiemi; unione, intersezione, differenza di insiemi, prodotto cartesiano. Insiemi numerici: N, Z, Q, R; descrizione della struttura di Q e R (campi
ordinati). Insiemi limitati inferiormente, limitati superiormente; minoranti e
maggioranti di un insieme e definizione di estremo inferiore e superiore. Assioma di Continuità; densità di Q in R. Definizione e proprietà della funzione
modulo.
Concetto di funzione
Concetto di funzione; dominio, codominio e immagine di una funzione; funzioni reali di variabile reale; successioni. Grafico di una funzione. Funzioni
limitate, funzioni monotone; funzioni periodiche.
Funzioni elementari (proprietà e grafico): funzione potenza, esponenziale e logaritmo, funzioni trigonometriche, funzioni iperboliche. Operazioni
sul grafico di una funzione. Funzioni definite a tratti. Funzione composta.
Funzioni iniettive e suriettive. Funzione inversa: definizione, proprietà e grafico. Funzioni trigonometriche e iperboliche inverse: definizione, proprietà e
grafico.
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Concetto di limite
Successioni
Successioni convergenti; successioni divergenti. Esempi di successioni che
non hanno limite; unicità del limite. Esistenza del limite di successioni
monotone (con dimostrazione). Algebra dei limiti, forme indeterminate.
Teorema della Permanenza del Segno (I e II forma) e Teorema del Confronto per le successioni
(con dimostrazione). Limite per n → +∞ di
1 n
α n log n nα
n , q , nα , en , 1 + n .
Funzioni e continuità
Definizione di limite per una funzione definita su un intervallo; unicità del
limite (con dimostrazione); limite da destra e da sinistra; asintoti (orizzontali,
verticali, obliqui).
Definizione di funzione continua; salto di una funzione in un punto. Teorema del Confronto (caso delle funzioni), Teorema della Permanenza del Segno
(I e II forma) (per limiti di funzioni e per funzioni continue) (con dimostrazione). Algebra dei limiti e sue applicazioni alle funzioni continue (continuità
della somma di funzioni continue, continuità delle funzioni razionali, etc...);
forme indeterminate.
Continuità delle funzioni elementari (dimostrazione solo per sin e cos);
continuità della composizione di funzioni continue; teorema sul limite della
funzione composta.
x ex −1 log(1+x)
, x ,
,
Limiti notevoli: limx→0 di sinx x (con dimostrazione), 1−cos
2
x
x
(1+x)α −1
1 x
e limx→±∞ di 1 + x . Confronti e stime asintotiche, gerarchia degli
x
infiniti.
Proprietà globali delle funzioni continue
Teorema degli Zeri, dei Valori Intermedi (con dimostrazione e equivalenze) e
di Weierstrass (con dimostrazione). Esempi che le ipotesi dei Teoremi degli
Zeri, dei Valori Intermedi e di Weierstrass non possono essere indebolite.
Applicazione della dimostrazione dei Valori Intermedi alla ricerca numerica
degli zeri di una funzione continua.
Esistenza del limite da sinistra e da destra per le funzioni monotone (con
dimostrazione). Continuità e invertibilità di una funzione.
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Calcolo differenziabile per funzioni di una
variabile
Definizioni e prime proprietà
Concetto di derivata di una funzione: definizione, significato geometrico (tangente al grafico) e cinematico (velocità e accelerazione). Calcolo delle derivate
delle funzioni elementari. Punti angolosi, derivata destra e sinistra, flessi a
tangente verticale, cuspidi. La derivabilità implica la continuità (con dimostrazione e controesempi che l’implicazione inversa è falsa). Regole per
il calcolo delle derivate. Derivata della funzione composta e della funzione
inversa.
Teorema di Lagrange e conseguenze
Definizione di massimo e minimo locale; Teorema di Fermat (con dimostrazione); definizione di punto stazionario. Ricerca del massimo e minimo di
una funzione definita su in intervallo di R.
Teorema di Rolle e Lagrange (con dimostrazione e equivalenze). Monotonia di una funzione su un intervallo e derivata prima. Teoremi di De
l’Hopital; limite della derivata per x → c e derivabilità in c.
Derivata seconda
Definizione di funzione convessa e interpretazione geometrica. Convessità e
monotonia della derivata prima. Convessità e segno della derivata seconda. Convessità e rette tangenti al grafico. Definizione di punto di flesso e
interpretazione geometrica.
Applicazioni della teoria svolta
Studio del grafico di una funzione. Cenni sui Polinomi di Taylor con il resto
di Peano e resto di Lagrange.
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A
Testi consigliati
Per il corso di Analisi Matematica I si consigliano i seguenti testi:
1. Acerbi, Buttazzo. Analisi Matematica ABC. 1. Funzioni di una variabile. Pitagora Editrice, 2003. ISBN 88-371-1412-5.
2. Bramanti, Pagani, Salsa.
ISBN 978-8808-06485-1.
Analisi Matematica 1.
Zanichelli, 2008.
Come libro di esercizi si consiglia:
3. Mucci. Analisi matematica - Esercizi 1. Funzioni di una variabile.
Pitagora Editrice, 2004. ISBN 88-371-1473-7.
Per chi si sentisse debole sugli argomenti preuniversitari:
4. Acerbi, Buttazzo. Matematica preuniversitaria di base. Pitagora Editrice, 2003. ISBN 88-371-1378-1.
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