Tipi di punti di non derivabilità
Nella lezione sulla condizione necessaria e sufficiente di derivabilità abbiamo visto sotto quali
condizioni una funzione reale di variabile reale è derivabile in un punto. In una frase: quando esiste
la derivata di una funzione in un punto.
Come stabilire se una funzione è derivabile?
...La condizione di derivabilità in un punto sussiste, semplicemente quando i due limiti, sinistro
e destro, del rapporto incrementale esistono finiti e hanno lo stesso valore. Formalmente
Definizione (funzione derivabile in un punto):
Diciamo che
è una funzione derivabile in un punto
se
Tutto qui!
In una delle successive lezioni ci occuperemo del rapporto che sussiste tra la
condizione di derivabilità e la continuità di una funzione. Ora vediamo due esempi: uno con
funzione derivabile in un punto, uno con una funzione che non è derivabile in un punto.
Ricordiamo che una funzione
è derivabile in un punto
del
suo dominio se è continua in tale punto, e se esistono finiti e uguali i due limiti sinistro e destro del
rapporto incrementale
Se non sussiste anche una sola delle precedenti condizioni la funzione non è derivabile nel punto
, e possiamo avere uno dei seguenti tipi di punti di non derivabilità:
punto angoloso;
cuspide;
flesso a tangente verticale.
Vediamo quali condizioni caratterizzano i vari punti di non derivabilità...
Punto angoloso
Una funzione non è derivabile in
e presenta in tale punto un punto angoloso se i
due limiti sinistro e destro del rapporto incrementale esistono entrambi finiti, ma assumono
valori diversi. Dunque
Esempio
Il più classico: la funzione valore assoluto di x
un punto angoloso. Infatti
(valore assoluto), che presenta in
Commento: questo tipo di punti di non derivabilità è tipico delle funzioni con uno o più valori
assoluti, ma anche delle funzioni definite a tratti - ossia quelle funzioni che sono definite da vari
rami su determinati sottoinsiemi di numeri reali. E per quanto riguarda la forma geometrica che si
manifesta in corrispondenza di un punto angoloso? Il nome non tradisce l'aspetto...
angoloso il grafico della funzione forma infatti un vero e proprio angolo.
in un punto
Ad esempio, nel caso della funzione modulo di x abbiamo
Cuspide
Il caso dei limiti sinistro e destro finiti ma diversi (punto angoloso) lo abbiamo visto: se invece i
due limiti del rapporto incrementale sinistro e destro sono infiniti, e in particolare infiniti di
segno opposto, allora la funzione presenta in un punto di cuspide.
Ci sono naturalmente due possibilità:
oppure
Esempio
Consideriamo, ad esempio, la funzione
derivabilità, infatti
, che presenta in
[Dubbi sul calcolo dei precedenti limiti? Si tratta di un semplice confronto tra infiniti
un punto di
].
Commento: i punti di non derivabilità del tipo "cuspide" si presentano, tipicamente, in presenza di
radici ad indice pari. Geometricamente, o meglio in termini grafici, un punto di cuspide consiste in
un punto in cui la funzione cresce con pendenza infinita (verticalmente) in uno dei due intorni
sinistro o destro del punto e decresce con pendenza infinita nell'altro intorno, sinistro o destro.
Un'immagine (grafico di
) varrà più di mille parole
Flesso a tangente verticale
Resta un solo caso da prendere in considerazione. Ricordiamoci che le possibilità non sono
illimitate, e che discendono dai possibili modi in cui non vale la definizione di derivabilità di una
funzione in un punto: manca solo l'eventualità in cui i due limiti sinistro e destro del rapporto
incrementale siano infiniti dello stesso segno. In questo caso ci troviamo di fronte ad un punto
di flesso a tangente verticale.
Anche in questo caso abbiamo due possibilità:
Esempio
L'esempio standard che si considera nel caso dei punti di flesso a tangente verticale è dato dalla
radice cubica di x
. I flessi a tengente verticale sono tipici delle radici ad indice dispari
come si può vedere nel grafico, un punto di flesso a tangente verticale è un punto di flesso
nell'intorno del quale la funzione cresce con pendenza infinita sia a sinistra che a destra del punto,
oppure nell'intorno del quale la funzione decresce con pendenza infinita sia a sinistra che a destra
del punto.
