- I.I.S. Prever – Pinerolo

Capitolo 4
Calcolo delle probabilità
4.1 Perché introdurre il calcolo delle probabilità
Il calcolo delle probabilità si introduce per gestire quelle situazioni il cui esito è imprevedibile.
Qualcuno starà pensando al gioco del lotto, al Totocalcio, alle corse dei cavalli o ad un qualunque
gioco d’azzardo, ma si sbaglia in pieno. Perché? Perché la conoscenza del calcolo delle probabilità
non migliora le performance di un giocatore d’azzardo anche se tale teoria matematica nacque a
causa delle insistenti richieste di consulenza da parte di un accanito giocatore d’azzardo ai
matematici Fermat e Pascal. In effetti, il fatto di sapere che la probabilità che esca il 3 prima di
lanciare un dado a 6 facce non assicura che esca 3 dopo 6 lanci. Ma, allora, perché, introdurre il
calcolo delle probabilità? Come vedremo meglio in seguito per poter risolvere il problema
dell’assicurazione. In epoca moderna e forse anche in epoca pre-moderna l’uomo ha cercato di
tutelarsi da eventi aleatori come naufragi, distruzione del raccolto, morte accidentale, sinistro
automobilistico e quant’altro.
4.2 Premesse del calcolo delle probabilità
Per poter parlare di probabilità occorre partire dal concetto di esperimento aleatorio. Dicesi
esperimento aleatorio un qualsiasi fenomeno i cui esiti sono imprevedibili. È un esperimento
aleatorio, per esempio, il lancio di un dado, il lancio di una moneta, l’estrazione delle carte da un
mazzo, l’estrazione delle palline da un’urna, il risultato di una o più partite di calcio, gli esiti di
un’elezione ecc. Per introdurre il concetto di probabilità occorre identificare il cosiddetto spazio
campionario (o spazio degli eventi)  , cioè l’insieme costituito da tutti gli esiti possibili
dell’esperimento aleatorio. Nel caso del lancio di un dado a 6 facce lo spazio campionario è
  1,2,3,4,5,6. Nel caso del lancio di una moneta lo spazio campionario è   T, C. Un evento
è un qualsiasi sottoinsieme dello spazio campionario. Un evento elementare è invece un qualunque
elemento dello spazio campionario. La probabilità è il grado di fiducia che si attribuisce al
verificarsi di un evento. Tale grado di fiducia è un numero compreso tra 0 e 1 probabilità attribuite
rispettivamente all’evento impossibile, rappresentato dall’insieme vuoto, e dall’evento certo
rappresentato dallo spazio campionario.
Autore: Siano Roberto (docente di Matematica presso l’I.I.S. Arturo Prever di Pinerolo)
4.3 Definizioni di probabilità
Vi sono almeno tre situazioni standard relativamente alle quali il modo di determinare il grado di
fiducia di un evento cambia.
Probabilità a priori, classica o teorica. Si tratta della definizione di probabilità data dal grande
matematico e fisico francese vissuto a cavallo fra ‘700 e ‘800 Simon Pierre Laplace. Si ricorre a
tale definizione quando ci si confronta con una situazione relativamente alla quale si dispone di
elementi oggettivi prima ancora di eseguire delle prove. Si tratta del semplice rapporto tra il numero
di casi favorevoli all’evento considerato k e il numero di casi possibili n. In simboli: dato l’evento
k
E, p E   .
n
Esempio 4.3.1
Consideriamo l’evento E  3(esce la faccia 3) nel lancio di un dado non truccato a 6 facce. A
priori sappiamo che c’è un solo caso favorevole all’evento (l’uscita della faccia 3) e ci sono 6 casi
1
possibili. Ne consegue che p E   .
6
È la definizione di probabilità più intuitiva, ma richiede che si disponga di informazioni relative
all’esperimento aleatorio a priori e che i casi possibili siano tali da potersi considerare
equiprobabili. In altri termini gli eventi elementari costituenti lo spazio campionario associato
all’esperimento aleatorio devono avere la stessa possibilità di verificarsi. Se prendiamo come
esempio il dado, lo spazio campionario è costituito dai valori riportati sulle 6 facce del dado
  1,2,3,4,5,6. Nel caso del dado vi è equiprobabilità se non è truccato. È evidente che tale
definizione non può essere utilizzata in ogni situazione.
Probabilità a posteriori o frequentista. Si ricorre a tale definizione quando ci si confronta con una
situazione in cui è possibile ripetere l’esperimento aleatorio all’infinito. Si tratta del semplice
rapporto tra il numero  (frequenza) di volte in cui a seguito dell’esperimento si verifica l’evento e


il numero di prove n effettuate. In simboli: dato l’evento E, p E   . Il valore
in gergo
n
n
statistico prende il nome di frequenza relativa.
Autore: Siano Roberto (docente di Matematica presso l’I.I.S. Arturo Prever di Pinerolo)
Esempio 4.3.2
Consideriamo l’evento E  3(esce la faccia 3) nel lancio di un dado non truccato a 6 facce. Se
10
1
lanciamo il dado 100 volte e il 3 esce 10 volte: pE  
.

100 10
È la definizione di probabilità che si può dare soltanto dopo aver eseguito l’esperimento aleatorio. Il
prerequisito di tale definizione è la ripetibilità dell’esperimento aleatorio nelle medesime
condizioni.
Probabilità soggettiva. Si ricorre a tale definizione quando ci si confronta con una situazione in cui
non si dispone di elementi oggettivi a priori e non è possibile ripetere l’esperimento aleatorio. Si
tratta del grado di fiducia che un soggetto qualunque attribuisce al verificarsi di un evento sulla base
delle sue conoscenze e aspirazioni. Si tratta della somma p che un soggetto è disposto a puntare per
riceve la somma 1 nel caso in cui l’evento si verifica e la somma 0 nel caso in cui l’evento non si
verifica.
Esempio 4.3.3
Consideriamo l’evento E   domenica la Juventus vince l’incontro di calcio con la Fiorentina
Il suddetto evento non è ripetibile e non si può parlare a priori di casi favorevoli e casi possibili.
.
È evidente che la probabilità attribuita ad un evento nella fattispecie dipende dal soggetto che si
esprime e risulta di conseguenza poco attendibile.
Osservazione 4.3.1
Esiste un punto di contatto fra la definizione classica e quella frequentista. Il ponte è costituito da
una legge empirica o statistica universalmente e intrinsecamente accettata come assioma o postulato
del calcolo delle probabilità. Si tratta della cosiddetta
Legge dei grandi numeri
La frequenza relativa tende a coincidere con la probabilità a priori al crescere del numero delle
prove.
Tale legge giustifica l’opportunità e l’utilità del calcolo delle probabilità. Se è vero che il calcolo
delle probabilità non ci aiuta a vincere al lotto, è anche vero che ci permette di gestire il problema
dell’assicurazione nell’ambito del quale i numeri sono alti. Pensiamo al caso in cui si stipula un
contratto di assicurazione che vincola il ritiro di una somma all’esistenza in vita del contraente tra n
anni. Il premio che deve essere pagato è legato alla probabilità del soggetto di essere in vita tra n
anni. Tale probabilità si evince dalle cosiddette tabelle di mortalità più recenti della popolazione di
un paese e coincide con il numero di persone aventi l’età del soggetto fra n anni in vita alla fine
dell’ultimo anno preso in considerazione. È chiaro che, data l’entità dei numeri, la probabilità
Autore: Siano Roberto (docente di Matematica presso l’I.I.S. Arturo Prever di Pinerolo)
calcolata dovrebbe essere molto prossima ad una eventuale probabilità teorica dovuta ad un
possibile determinismo cosmico.
Osservazione 4.3.2
Si precisa che chiamiamo assioma o postulato una qualsiasi verità matematica apodittica o
indimostrabile universalmente accettata.
4.4 Approccio assiomatico al calcolo delle probabilità
Tale approccio unificante è dovuto al grande matematico russo Kolmogorov e risale al 1934. In tale
contesto si da una definizione di probabilità indipendente dalla situazione considerata. La
probabilità è intesa come una semplice funzione che associa ad ogni sottoinsieme dello spazio
campionario un valore positivo o nullo. Gli assiomi o postulati presi a fondamento della teoria sono
i seguenti:
Assioma 1
La probabilità attribuita ad un evento è un valore compreso tra 0 e 1. In simboli: 0  pE   1
Assioma 2
L’evento certo e quello impossibile hanno probabilità 1 e 0, rispettivamente. In simboli: p  1 e
p() = 0 , dove con il simbolo  si indica l’insieme vuoto.
Assioma 3
Dati due eventi incompatibili E1 e E2 si ha che: pE1  E2   pE1   pE2  .
Osservazione 4.4.1
Si precisa che due eventi si dicono incompatibili se il verificarsi dell’uno esclude il verificarsi
dell’altro. In simboli: E1 e E2 sono incompatibili se E1  E2 =  . Due eventi E1 e E2 si dicono
invece compatibili se E1  E2  .
Osservazione 4.4.2
Faccio notare che una teoria matematica si presenta nella sua struttura come un edificio. Le sue
fondamenta sono gli assiomi e i concetti primitivi. Si concetti primitivi i concetti che non possono
essere definiti a partire da altri concetti e che, quindi, sono presi come concetti fondamentali.
Ricordo che nell’ambito di una teoria matematica ogni concetto o oggetto o ente introdotto va
indicato con un nome specifico (al fine di evitare ambiguità) e definito (cioè descritto) a partire da
concetti precedenti. Le definizioni di una teoria matematica seguono la falsa riga delle definizioni
del dizionario di una lingua. In esso ogni termine viene descritto a partire da termini precedenti. È
evidente che ci devono essere dei termini accettati in quanto tali. Questi ultimi si comportano come
i concetti primitivi. Dagli assiomi e dai concetti primitivi si deducono per via logica altre verità
Autore: Siano Roberto (docente di Matematica presso l’I.I.S. Arturo Prever di Pinerolo)
matematiche note con il nome di teoremi che possono essere visti come i piani successivi
dell’edificio. Alcuni teoremi sono una conseguenza diretta degli assiomi, mentre altri sono una
conseguenza diretta di altri teoremi. Precisiamo infine che il procedimento di deduzione di una
verità a partire da un’altra prende il nome di dimostrazione o inferenza. Nella dimostrazione si
sviluppa un ragionamento che risponde ai canoni della logica matematica che è una logica bivalente
che risponde a due principi fondamentali. Il principio di non contraddizione secondo cui
un’affermazione non può essere vera e falsa al tempo stesso ed il principio del terzo escluso
(tertium non datur) secondo cui un’affermazione può essere o vera o falsa e non esiste un terzo
valore di verità.
4.5 Alcuni teoremi sul calcolo delle probabilità
Qui di seguito enunceremo e dimostreremo alcuni teoremi sul calcolo delle probabilità.
Teorema 4.5.1 (Teorema della probabilità dell’evento contrario)
Dato l’evento E , indichiamo con la scrittura E , l’evento contrario, cioè E    E . Si ha che
p( E )  1  p( E ) .
Dimostrazione
Sappiamo che   E  E . p()  p( E  E )  p( E )  p( E ) . Ora p ()  1 , da cui segue che
p( E )  p( E )  1 . p( E )  1  p( E ) .
Esempio 4.5.1
Sia   1,2,3,4,5,6 e sia E  4( esce la faccia con il 4). In tal caso E  1,2,3,5,6. Sappiamo che
p( E ) 
1
1 6 1 5
, da cui segue che p( E )  1  
 .
6
6
6
6
Teorema 4.5.2 (Teorema della probabilità dell’evento differenza)
Dato l’evento E e l’evento F  E indichiamo con la scrittura E  F , l’evento differenza. In tal
caso si ha che p( E  F )  p( E )  p( F ) .
Dimostrazione
Sappiamo che E  E  F   F da cui segue per l’assioma 2 che p( E )  p( E  F )  p( F ) e che
p( E  F )  p( E )  p( F ) .
Autore: Siano Roberto (docente di Matematica presso l’I.I.S. Arturo Prever di Pinerolo)
Esempio 4.5.2
Sia   1,2,3,4,5,6 e sia E  4,5,6( esce le faccia con il 4 o esce la faccia con il 5 o esce la faccia
con il 6) e sia F  5,6( esce la faccia con il 5 o esce la faccia con il 6 ). Sappiamo che p( E ) 
che p ( F ) 
3
e
6
2
3 2 32 1
da cui segue che p( E  F )   
 . In effetti E  F  4.
6
6 6
6
6
Teorema 4.5.3 (Teorema della probabilità dell’unione di due eventi)
Dati gli eventi E ed F , compatibili, si ha che p( E  F )  p( E )  p( F )  p( E  F ) .
Dimostrazione
Sappiamo che E  F  E  (E  F )  (F  (E  F ))  (E  F ). Segue per l’assioma 2 che
p( E  F )  p(E  ( E  F )  ( F  ( E  F ))  ( E  F )) 
p( E )  p( E  F )  p( F )  p( E  F )  p( E  F )
da cui segue che p( E  F )  p( E )  p( F )  p( E  F ) .
Esempio 4.5.3
Sia   1,2,3,4,5,6 e sia E  4,5,6( esce la faccia con il 4 o esce la faccia con il 5 o esce la faccia
con il 6) e sia F  1,2,3,4( esce la faccia con l’1 o esce la faccia con il 2 o esce la faccia con il 3 o
esce la faccia con il 4). In tal caso E  F  4. Sappiamo che p( E ) 
p( E  F ) 
4
3
, p( F ) 
e
6
6
1
3 4 1 3  4 1 6
da cui segue che p( E  F )    
  1 . In effetti E  F   .
6
6 6 6
6
6
4.6 Probabilità condizionata
Si consideri un’urna contenente 50 palline di cui 20 rosse. Supponiamo di dover estrarre in prima
battuta una pallina ed in seconda battuta un’altra pallina. Ci si chiede qual è la probabilità che nella
prima e nella seconda estrazione esca una pallina rossa. È evidente che la probabilità che esca una
20
e che la probabilità che esca una pallina rossa nella
50
20
19
seconda estrazione è
se la pallina viene riposta nell’urna dopo la prima estrazione e
se la
50
49
pallina rossa nella prima estrazione è
pallina non viene riposta nell’urna. Gli eventi E   esce una pallina rossa nella prima estrazione
e F   esce una pallina rossa nella seconda estrazione  sono tali che il verificarsi del primo
evento non condiziona il verificarsi del secondo evento se la pallina viene riposta nell’urna dopo la

Autore: Siano Roberto (docente di Matematica presso l’I.I.S. Arturo Prever di Pinerolo)
prima estrazione. In caso contrario il verificarsi del primo evento condiziona il verificarsi del
secondo. Nell’ambito della teoria del calcolo delle probabilità si dice che nel primo caso i due
eventi sono indipendenti, mentre nel secondo sono dipendenti. Intendiamo determinare la
probabilità dell’evento composto E  F , si tratta dell’evento che si verifica quando si verificano
contemporaneamente gli eventi E ed F. Si vede facilmente che i casi possibili relativi al suddetto
esperimento aleatorio sono coppie del tipo (R;R) e (R;NR), dove con la scrittura R si la pallina rossa
e con la scrittura NR si indicare la pallina che non è rossa. Se successivamente alla prima estrazione
si ripone la pallina nell’urna i casi possibili sono esattamente 50  50  2500 ed i casi favorevoli
(costituiti da tutte le possibili coppie del tipo (R;R) ) sono 20  20  400 . Se invece, come nel caso
in questione, dopo aver eseguito la prima estrazione non si ripone la pallina nell’urna, allora il
numero di casi possibili scende a 50  49  2450 e il numero di casi favorevoli a 20 19  380 . Va
da sé che p ( E  F ) 
20 20
20 19
nel primo caso e p ( E  F ) 
nel secondo caso.


50 50
50 49
Dalla situazione appena trattata si evince il seguente
Teorema 4.6.1 (probabilità dell’evento intersezione o evento composto)
Dati due eventi E ed F la probabilità dell’evento composto E  F è pari a p( E  F )  p( E )  p( F )
se i due eventi sono indipendenti e pari a p( E  F )  p( E )  p( F / E ) se gli stessi eventi sono
dipendenti.
Osservazione 4.6.1
Una conseguenza immediata del suddetto teorema è che p( E / F ) 
p( E  F )
.
p( E )
Osservazione 4.6.2
Si precisa che con la scrittura p ( F / E ) si indica la probabilità che si verifica l’evento F nel caso in
cui si sia già verificato l’evento E.
Osservazione 4.6.3
Più rigorosamente si dice che gli eventi E ed F sono indipendenti se p( F / E )  p( F / E ) (e di
conseguenza anche p ( E / F )  p ( E / F ) . In altri termini E ed F sono indipendenti se la probabilità
che si verifichi F è la stessa sia nel caso che si verifica E, sia nel caso in cui non si verifica E. In tal
caso
p ( F / E )  p ( F ) e p( E / F )  p( E ) . In caso contrario si dice che i due eventi sono
dipendenti.
Autore: Siano Roberto (docente di Matematica presso l’I.I.S. Arturo Prever di Pinerolo)
4.7 Il teorema di Bayes
Consideriamo gli eventi dipendenti E ed C. Per la probabilità dell’evento composto si ha che
p( E  C )  p( E ) p(C / E ) e al tempo stesso
p( E  C )  p(C ) p( E / C ) . Segue che
p(C ) p( E / C )
. La precedente espressione prende il
p( E ) p(C / E )  p(C ) p( E / C ) e che p(C / E ) 
p( E )
nome di formula di Bayes ed esprime la probabilità che l’evento C sia la causa dell’evento E.
Analizziamo qui di seguito una generalizzazione della formula di Bayes.
Teorema 4.7.1 (Teorema di Bayes)
Siano
H1
p( H1 / E ) 
e
H2
tali che
H1  H 2   e che
E  H1   E  H 2   E ,
allora
p( H1 ) p( E / H1 )
.
p( H1 ) p( E / H1 )  p( H 2 ) p( E / H 2 )
Dimostrazione
Sappiamo che p( H1 / E ) 
p( E  H1 )
, che p( H 2 / E )  p( E  H 2 ) , che
p( E )
p( E )
p( E  H1 )  p( H1 ) p( E / H1 ) , che p( E  H 2 )  p( H 2 ) p( E / H 2 ) e che E  ( E  H1 )  E  H 2  .
Sapendo che p( E)  p( E  H1 )  pE  H 2  per l’assioma 2 si ottiene la tesi del teorema.
Esempio 4.7.1
Una malattia colpisce 2 persone su 100. Un test dà riscontro positivo nel 96% dei casi su persone
malate e nello 0,6% dei casi su persone che stanno bene. Che probabilità c’è che una persona che si
sottopone al test sia davvero malata quando l’esito è positivo?
Nel caso in questione p( H1 / E ) è la probabilità che cerchiamo, p ( H 1 )  2
100
malattia, p( H 2 )  1  2  100  2  98
100
100
100
è l’incidenza della non-malattia,
l’incidenza di positività al test dei malati e p( E / H 2 ) 
è l’incidenza della
p( E / H1 ) 
96
è
100
5
è l’incidenza di positività al test dei
1000
sani. Utilizzando il teorema di Bayes si ottiene
2 96
192

1920
100 100
p( H1 / E ) 
 10000 
 0,77  77% .
2 96
98
6
1920  588 2508



100 100 100 1000
100000
Autore: Siano Roberto (docente di Matematica presso l’I.I.S. Arturo Prever di Pinerolo)
4.8 Esercizi tipo sul calcolo delle probabilità
Esercizio 4.8.1 (esercizio 100 a pag. 389 del libro di quarta)
Si lancia una moneta regolare 4 volte. Calcolare la probabilità che si verifichi l’evento:
a)
b)
c)
d)
A: non esca mai “testa”
B: esca almeno una volta “testa”
C: esca al massimo una volta “testa”
D: esca “testa” più di una volta
Svolgimento
È importante quantificare il numero di casi possibili nel lancio di una moneta perché la probabilità
di un evento è data dal rapporto tra il numero di casi favorevoli diviso il numero di casi possibili.
Nella fattispecie stiamo usando la definizione classica o “a priori” di probabilità. Osserviamo che se
la moneta si lancia:



1 volta, il numero di casi possibili è pari a 2  21 . Si tratta dei casi T (“testa”) e C (“croce”)
2 volte, il numero di casi possibili è pari a 4  2 2 . Si tratta dei casi (T,T), (T,C), (C,T),
(C,C)
3 volte, il numero di casi possibili è pari a 8  2 3 . Si tratta dei casi (T,T,T), (T,C,T),
(T,C,C), (C,T,T), (C,C,T), (T,T,C), (C,C,C), (C,T,C)
Si vede facilmente che siamo in presenza di una disposizione di 2 elementi di classe k (nella
fattispecie k è il numero di volte in cui si lancia la moneta) con ripetizione i cui elementi sono
esattamente 2 k . Nel caso in cui una moneta viene lanciata 4 volte il numero di casi possibili è pari a
16  2 4 .
a) A: non esca mai “testa” . Il caso favorevole all’evento è 1 e si tratta del caso (C,C,C,C). Ne
consegue che la probabilità che l’evento si verifichi è p ( E ) 
1
.
16
b) B: esca almeno una volta “testa”. Si tratta dell’evento A contrario all’evento A di cui al
punto precedente. Per il teorema relativo alla probabilità dell’evento contrario si ha che
p ( A)  1 
1 16  1 15
.


16
16
16
c) C: esca al massimo una volta “testa”. Il numero di casi favorevoli è pari a 5. Si tratta dei casi
(T,C,C,C), (C,T,C,C), (C,C,T,C), (C,C,C,T) e (C,C,C,C). Ne consegue che la probabilità che
l’evento si verifichi è p (C ) 
5
16
d) D: esca “testa” più di una volta. Si tratta dell’evento C contrario all’evento C di cui al punto
precedente. Per il teorema relativo alla probabilità dell’evento contrario si ha che
p(C )  1 
5 16  5 11
.


16
16
16
Autore: Siano Roberto (docente di Matematica presso l’I.I.S. Arturo Prever di Pinerolo)
Esercizio 4.8.2 (esercizio 108 a pag. 390 del libro di quarta)
Si estrae a caso una carta da un mazzo di 40. Calcolare la probabilità che si verifichi l’evento:
a)
b)
c)
d)
A: esca una figura
B: esca una carta di colore nero
C: esca una figura di colore nero
D: esca una figura o una carta di colore nero
Svolgimento
In un mazzo di 40 carte ci sono 12 figure, 20 carte di colore nero e 20 carte di colore rosso. E: non
esca mai “testa” .
a) A: esca una figura. I casi favorevoli all’evento sono per l’appunto 12, per cui
p( A) 
12 3
 .
40 10
b) B: esca una carta di colore nero. I casi favorevoli all’evento sono per l’appunto 20, per cui
p( B) 
20 1
 .
40 2
c) C: esca una figura di colore nero. Sappiamo che le figure in totale sono 12 e che quelle di
colore nero sono 6, pertanto i casi favorevoli all’evento sono proprio 6. Faccio notare che
l’evento C può essere visto come evento intersezione dei due eventi precedenti. In simboli:
C  A  B . In conclusione: p (C ) 
6
3
 .
40 20
d) D: esca una figura o una carta di colore nero. L’evento in questione può essere visto come
l’unione dell’evento A e dell’evento B. In simboli: D  A  B . Va da sé che è possibile
ricorrere al teorema della probabilità dell’evento unione di eventi. In definitiva:
p( D)  p( A  B)  p ( A)  p ( B)  p ( A  B) 
3 1 3
6  10  3 13
.
 


10 2 20
20
20
Esercizio 4.8.3 (esercizio 109 a pag. 390 del libro di quarta)
Da un sacchetto che contiene 12 biglie numerate da 1 a 12 se ne estrae una a caso. Calcolare la
probabilità che si verifichi l’evento:
a)
b)
c)
d)
A: il numero sulla biglia estratta sia pari
B: il numero sulla biglia estratta sia divisibile per 3
C: il numero sulla biglia estratta sia pari e divisibile per 3
D: il numero sulla biglia estratta sia pari o divisibile per 3
Svolgimento
a) A: il numero sulla biglia estratta sia pari. Le biglie con il numero pari sono 6: 2, 4, 6, 8, 10,
12, per cui p( A) 
6 1
 .
12 2
Autore: Siano Roberto (docente di Matematica presso l’I.I.S. Arturo Prever di Pinerolo)
b) B: il numero sulla biglia estratta sia divisibile per 3. Le biglie con il numero divisibile per 3
sono4: 3, 6,9, 12, per cui p( B)  4 1 .
12 3
c) C: il numero sulla biglia estratta sia pari e divisibile per 3. Si tratta dell’evento dato
dall’intersezione degli eventi A e B. In simboli: C  A  B  6,12. Quindi p(C )  2 1 .
12 6
d) D: il numero sulla biglia estratta sia pari o divisibile per 3. Si tratta dell’evento dato
dall’unione (o composizione) degli eventi A e B. In simboli: D  A  B . Si ricorre al
teorema
della
probabilità
dell’evento
unione
di
eventi
e
p ( D)  p( A)  p ( B)  p( A  B) 
1 1 1 3  2 1 4 2
  
  .
2 3 6
6
6 3
Esercizio 4.8.4 (esercizio 110 a pag. 390 del libro di quarta)
Un’urna contiene 8 palline: 5 sono verdi e sono numerate da 1 a 5, mentre le altre 3 sono rosse e
sono numerate da 1 a 3. Si estrae a caso una pallina dall’urna. Si considerano i seguenti eventi:



V: la pallina estratta è verde
R: la pallina estratta è rossa
P: la pallina estratta ha impresso un numero pari
Determinare
a) le probabilità di V, di R e di P
b) le probabilità di V  R , di V  P , di R  P
c) le probabilità di V  R , di V  P , di R  P .
Svolgimento
a)
p (V ) 
5
3
3
, p ( R )  , p ( P )  . Le palline con impresso un numero pari sono la 2 e la 4
8
8
8
verdi e la 2 rossa. Si tratta di 3 palline.
b) V  R coincide con l’insieme vuoto perché non è possibile estrarre una pallina che sia
contemporaneamente rossa e verde, V  P  2,4e p(V  P) 
da cui segue che p( R  P) 
c)
2 1
 e infine R  P  2,
8 4
1
.
8
5 3
8
 0  1
8 8
8
5 3 1 8 1 82 6 3
p(V  P)  p(V )  p ( P)  p(V  P)      
 
8 8 4 8 4
8
8 4
3 3 1 5
p( R  P)  p( R)  p( P)  p( R  P)    
8 8 8 8
p(V  R)  p(V )  p( R)  p(V  R) 
Autore: Siano Roberto (docente di Matematica presso l’I.I.S. Arturo Prever di Pinerolo)
Esercizio 4.8.5 (esercizio 111 a pag. 390 del libro di quarta)
Un ufficio ha due sportelli A e B di cui almeno uno sempre aperto. Sappiamo che la probabilità che
A sia aperto è p ( A)  0,7 e che la probabilità che B sia aperto è p( B)  0,6 . Determinare la
probabilità p ( A  B ) che i due sportelli siano aperti contemporaneamente.
Svolgimento
Sappiamo che p( A  B)  p A  pB  p A  B e che p( A  B)  1 perché almeno uno dei due
sportelli è sempre aperto che in simboli si esprime dicendo che A  B   . Segue che
p( A  B)  p A  pB  p A  B e, di conseguenza, p( A  B)  0,7  0,6  1  1,3  1  0,3 .
Esercizio 4.8.6 (esercizio 112 a pag. 390 del libro di quarta)
In un liceo 1 degli allievi frequenta la prima classe, il 60% sono maschi e gli allievi maschi che
4
frequentano la prima sono 1 del totale. Scelto a caso un allievo, qual è la probabilità che sia
10
maschio o frequenti la classe prima?
Svolgimento
Consideriamo i seguenti eventi:


A: essere un allievo che frequenta la classe prima
B: essere un allievo maschio
Sappiamo che p  A 
1
60
e che p ( B ) 
. Inoltre la probabilità di essere un allievo che frequenta
4
100
1
la classe prima maschio è p A  B   . Infine la probabilità che per un allievo di essere maschio
10
o
di
frequentare
p A  B   p( A)  p( B)  p( A  B) 
la
classe
prima
è
1 60
1
25  60  10
75
3




 .
4 100 10
100
100 4
Esercizio 4.8.7 (esercizio 113 a pag. 390 del libro di quarta)
Un circolo sportivo avente 125 soci organizza due tornei, uno di tennis e uno di calcetto. 60 soci
partecipano al torneo di tennis, 45 al torneo di calcetto e 25 a entrambi i tornei. Si sceglie a caso uno
dei soci del circolo. Determina la probabilità che tale socio partecipi:
a)
b)
c)
d)
e)
a entrambi i tornei
soltanto al torneo di tennis
soltanto al torneo di calcetto
ad almeno uno dei due tornei
a nessuno dei due tornei
Autore: Siano Roberto (docente di Matematica presso l’I.I.S. Arturo Prever di Pinerolo)
Svolgimento
Indichiamo con la lettera T l’evento “partecipa al torneo di tennis” e con la lettera C l’evento
“partecipa al torneo di calcetto” e rappresentiamo la situazione con i diagrammi di Eulero-Venn.
C
T
T C
Ora procediamo al calcolo delle probabilità tenendo conto dei punti suddetti.
a) Si tratta di calcolare la probabilità pT  C  dell’evento intersezione degli eventi T e C. In
base alle informazioni fornite dal testo si ha che p T  C  
25
.
125
b) Si tratta di calcolare la probabilità pT  T  C  . Come è facile verificare T  T  C  è
costituito dagli elementi di T che non appartengono a C. Per il teorema relativo alla
probabilità della differenza di due insiemi
pT  T  C   p(T ) p(T  C ) 
60
25
35
7



.
125 125 125 25
c) Si tratta di calcolare la probabilità pC  T  C  . Come è facile verificare C  T  C  è
costituito dagli elementi di C che non appartengono a T. Per il teorema relativo alla
probabilità della differenza di due insiemi
pC  T  C   p(C ) p(T  C ) 
45 25
20
4



.
125 125 125 25
d) Si tratta di calcolare la probabilità pT  C  . Per il teorema relativo alla probabilità
dell’evento unione di eventi
pT  C   p(T )  p(C )  p(T  C ) 
60
45 25
80 16




.
125 125 125 125 25


e) Si tratta di calcolare la probabilità p T  C . Per il teorema relativo alla probabilità
dell’evento contrario
Autore: Siano Roberto (docente di Matematica presso l’I.I.S. Arturo Prever di Pinerolo)


p T  C  1  p(T  C )  1 
16 25  16 9
.


25
25
25
Esercizio 4.8.8 (esercizio 114 a pag. 390 del libro di quarta)
Un ospedale ha due sale operatorie , che indichiamo rispettivamente con le lettere X e Y, che hanno
la stessa probabilità di essere occupate. La probabilità che almeno una delle due sale risulti occupata
è 0,8 e la probabilità che entrambe le sale operatorie siano occupate è 0,4. Determinare:
a)
b)
c)
d)
la probabilità che X sia libera
la probabilità che entrambe le sale siano libere
la probabilità che almeno una delle due sale sia libera
la probabilità che una soltanto delle due sale sia libera
Svolgimento
Indichiamo con la lettera X l’evento “la sala operatoria X è occupata” e con la lettera Y l’evento “la
sala operatoria Y sia occupata”. Sappiamo che
p X  Y   p( X )  p(Y )  p( X  Y ) . Ora p X Y   0,8 , p X Y   0,4 e p X   p(Y ) .
Quindi 0,8  2 p( X )  0,4 , da cui segue che 2 p ( X )  1,2 e che p( X )  0,6 .
In definitiva:
 
si tratta di determinare la probabilità p X  Y   p( X  Y )  1  p X  Y   1  0,8  0,2
si tratta di determinare la probabilità p X  Y   p( X  Y )  1  p X  Y   1  0,4  0,6
a) si tratta di determinare la probabilità p X  1  p X   1  0,6  0,4
b)
c)
d) si tratta di determinare la probabilità



p X  Y  ( X  Y )  p(Y )  p( X  Y )  p( X )  p( X  Y )  0,6  0,4  0,6  0,4 0,2  2  0,4
Si precisa che X  Y  Y   X  Y  e che X  Y  X   X  Y  .
Esercizio 4.8.9 (esercizio 115 a pag. 391 del libro di quarta)
Il 70% degli studenti di una classe andranno in vacanza al mare, il 40% andranno in montagna e il
30% andranno sia al mare sia in montagna. Qual è la probabilità che uno studente scelto a caso in
quella classe non andrà in vacanza né al mare, né in montagna?
Svolgimento
Indichiamo con la lettera A l’evento “andare in vacanza al mare” e con la lettera B l’evento “andare
in vacanza in montagna”. Per rispondere alla domanda del problema occorre determinare la
Autore: Siano Roberto (docente di Matematica presso l’I.I.S. Arturo Prever di Pinerolo)
probabilità
dell’insieme
A  B A  B .
p A  B   p( A)  p( B)  p( A  B) 
p(A  B)  1 
Sappiamo
che
p(A  B)  1  p( A  B)
e
che
7
4
3
8
. In definitiva:
 

10 10 10 10
8 10  8 2
.


10
10
10
Esercizio 4.8.10 (esercizio 116 a pag. 391 del libro di quarta)
In una data popolazione, la probabilità che un individuo presenti il carattere genetico A è il doppio
di quella che presenti il carattere genetico B. Inoltre, la probabilità che un individuo presenti
entrambi i caratteri genetici è 0,2 e quella che presenti almeno uno dei due caratteri è 0,7.
Scegliendo a caso un individuo in quella popolazione, determina:
a) la probabilità che presenti il carattere A
b) la probabilità che presenti il carattere B
c) la probabilità che presenti il carattere A, ma non il carattere B
Svolgimento
Indichiamo con la lettera A l’evento “avere il carattere genetico A” e con la lettera B l’evento
“avere il carattere genetico B”.
a) Dal testo del problema sappiamo che p A  B  0,7 e che p A  B  0,2 . Per il teorema
della
probabilità
dell’evento
unione
di
eventi
abbiamo,
inoltre,
che
p( A  B)  p( A)  p( B)  p( A  B)  2 p( B)  p( B)  p( A  B) da cui segue che
0,7  3 p( B)  0,2 e , quindi, che p( B)  0,3 .
b) p ( A)  2  0,3  0,6
c) Si tratta della probabilità pA   A  B  p( A)  p( A  B)  0,6  0,2  0,4 .
Esercizio 4.8.11 (esercizio 117 a pag. 391 del libro di quarta)
Un oggetto prodotto da una macchina può presentare due tipi di difetti, chiamiamoli A e B. Scelto a
caso un oggetto prodotto dalla macchina, la probabilità che presenti il difetto A è 0,2 e la probabilità
che presenti il difetto B è 0,3 e la probabilità che non presenti alcun difetto è 0,6. Determinare la
probabilità che l’oggetto:
a) presenti almeno uno dei due difetti
b) presenti entrambi i difetti
c) non presenti il difetto A, ma presenti il difetto B
Svolgimento
Indichiamo con la lettera A l’evento “presentare il difetto A” e con la lettera B l’evento “presentare
il difetto B”.
Autore: Siano Roberto (docente di Matematica presso l’I.I.S. Arturo Prever di Pinerolo)




a) Sappiamo che p A  B  1  p( A  B) e che p A  B  0,6 . Quindi p A  B  1  0,6  0,4 .
b) Dal momento che p( A  B)  p( A)  p( B)  p( A  B) , allora
p( A  B)  p( A)  p( B)  p( A  B)  0,2  0,3  0,4  0,1 .
c) Si tratta della probabilità pB   A  B  p( B)  p( A  B)  0,3  0,1  0,2 .
Autore: Siano Roberto (docente di Matematica presso l’I.I.S. Arturo Prever di Pinerolo)