Il calcolo del Pi greco con la statistica

Il calcolo del Pi greco con la statistica
Di Cristiano Armellini ([email protected] )
Si consideri il piano cartesiano OXY. Si consideri la circonferenza di raggio unitario (r = 1) e il quadrato nel
primo quadrante di lunghezza unitaria. Sappiamo che l’area di tale quadrato è A = r * r = 1 * 1 = 1 mentre
l’area dello spicchio della circonferenza di raggio unitario e centro in O sarà 𝐵 =
1
𝜋𝑟 2
4
1
= 4 𝜋.
Immaginiamo di generare una notevole quantità di punti casuali P(x, y) dove x e y sono numeri casuali tra 0
e 1. Allora se 𝑥 2 + 𝑦 2 ≤ 1 vorrà dire che il punto si troverà al di sotto del quarto della circonferenza di
raggio unitario mentre in caso contrario si troverà al di sopra ma comunque all’interno del quadrato di
lunghezza unitaria. Questo fatto ci suggerisce un metodo probabilistico per calcolare Pi greco. Infatti ho
che:
1
𝐵
𝑝𝑢𝑛𝑡𝑖 𝑐ℎ𝑒 𝑐𝑎𝑑𝑜𝑛𝑜 𝑛𝑒𝑙 𝑞𝑢𝑎𝑟𝑡𝑜 𝑑𝑖 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑜𝑛𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑧𝑎
𝜋= ~
4
𝐴 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑖 𝑐ℎ𝑒 𝑐𝑎𝑑𝑜𝑛𝑜 𝑎𝑙 𝑑𝑖 𝑓𝑢𝑜𝑟𝑖 𝑑𝑒𝑙 𝑞𝑢𝑎𝑟𝑡𝑜 𝑑𝑖 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑜𝑛𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑧𝑎
Cioè la probabilità che generando dei punti casuali questi cadono all’interno del semiquarto di
circonferenza è un quarto pi greco.
Ci vogliono però molti punti casuali per ottenere una buona approssimazione. Possiamo verificare la cosa
usando un foglio di calcolo come EXCEL.
x
0,931382
0,333794
0,096099
0,78564
0,172247
0,735176
0,881346
0,750101
0,326779
0,000839
0,52302
0,38854
0,186583
0,971825
0,003127
0,244951
0,120952
0,508304
0,508008
0,592999
0,043314
0,720348
0,022215
0,443349
0,428227
y
0,830078
0,324914
0,854239
0,111713
0,871005
0,04021
0,482031
0,343584
0,092904
0,979452
0,384298
0,812809
0,0031
0,258088
0,480961
0,811608
0,877309
0,339217
0,047521
0,309526
0,446361
0,888792
0,15128
0,730648
0,97792
x^2+y^2 cont
1,556502
0,216988
0,738959
0,629709
0,788319
0,542101
1,009126
0,680702
0,115416
0,959327
0,421235
0,811621
0,034823
1,011053
0,231333
0,718709
0,7843
0,373441
0,260331
0,447455
0,201115
1,308852
0,023379
0,730404
1,139706
cont2
0
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
pi greco
0,791632 3,146528
Per una buona stima si consiglia di usare non Excel ma un linguaggio di programmazione come il C/C++ in
grado di generare centinaia di numeri casuali al secondo.