In quale modo la moderna teoria deUe funzioni di

G. VITALI (Padova - Itaha)
RAPPORTI INATTESI FRA ALCUNI RAMI DELLA MATEMATICA
(In quale modo la moderna teoria deUe funzioni di variabüe reale ha concorso
al ritrovamento deUe derivate covarianti nel calcolo differenziale assoluto
generaUzzato).
La moderna teoria delle funzioni di variabile reale avendo per iscopo
lo studio deUe funzioni nel senso più generale, deve supporre neUe funzioni che
esamina il minor numero possibüe di condizioni, mentre ü calcolo differenziale
assoluto, essendo un algoritmo basato sopra proprietà deUa derivazione, deve
supporre neUe funzioni a cui si appUca deUe condizioni di derivabilità e di
continuità in misura più o meno notevole.
Ciò lascierebbe credere che nessun legame importante possa esistere fra questi
rami di studio, se non queUo costituito daUa ugualmente scarsa fortuna che hanno
incontrato nel loro primo affacciarsi.
Ma ad affermare ancora una volta l'unità deUo scibüe, un contatto si è
stabilito fra le due teorie, per cui ü calcolo assoluto veniva, eoU'ausilio deUa
teoria deUe funzioni di variabüe reale, ad arricchirsi di nuove e molto promettenti operazioni.
È noto che ü Calcolo assoluto, come algoritmo che facilita la ricerca analitica,
è basato essenzialmente sopra due fatti notevoh, e cioè l'esistenza deUa derivazione covariante e la vaUdità del principio della
saturazione.
Ma i criteri su cui si imperniava il calcolo assoluto del Ricci ne suggerivano
una estensione che fu tentata da ERNESTO PASCAL. I lavori del PASCAL SUU' argomento furono da Lui riuniti in una pubbUcazione che figura fra le Memorie
deUa R. Accademia dei Lincei apparse nel 1910. Ma la vastità deUa materia che
il lavoro del PASCAL voleva abbracciare e la difficoltà di trovare deUe notazioni
comprensive, distrassero V attenzione degU studiosi dah" opera importante del
PASCAL. Né valse ad indirizzare sopra questa via la speculazione dei matematici
un mio lavoro del 1923 col quale riesaminavo ü pensiero del PASCALA rendevo
più scorrevole gU algoritmi eoh" introduzione di notazioni che permettono di
avvicinare molte considerazioni del campo generale a queUe che ormai erano
conosciute nel campo battuto dal RICCI.
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COMUNICAZIONI
Il fatto si spiega.
Il calcolo assoluto generaUzzato presentava bensì qualche carattere che poteva
renderlo meritevole di attenzione, quah la validità del principio della saturazione, e la possibilità di darsi una più intima ragione di fatti che si presentano
neU'orbita del calcolo assoluto del RICCI. (Infatti certi sistemi di funzioni, come
i simboU di Christoffel, che si presentano nel calcolo assoluto di Ricci, non
sono sistemi assoluti in questo calcolo, mentre lo sono in queUo generaUzzato,,
e ciò permette di seguirne il cambiamento per effetto di una sostituzione suUe
variabüi con regole che si prestano ad essere ricordate).
Ma non si era ancora trovato nel campo generale un'operazione analoga
aUa derivazione covariante del Ricci, ne potevano prenderne ü posto i simboli
principali e le dedotte di PASCAL, né la possibiUtà di ricavare da ogni sistema
assoluto del calcolo generaUzzato un sistema assoluto del calcolo del Ricci.
Inoltre non si presentava di questi fatti alcuna notevole appUcazione.
Era evidente che il calcolo assoluto generalizzato sarebbe apparso imperfetto se
non si riusciva ad estendere ad esso la derivazione covariante del calcolo di R I C C I .
Ora, mentre i miei tentativi diretti di ricerca fallirono, io venni in possesso
di questa estensione in un modo del tutto inatteso.
Da quando l'emiplegia che mi ha colpito mi ha tolto l'uso deUa mano destra
e mi ha messo neU'impossibiUtà di scrivere senza ricorrere a mezzi meccanici,
io mi servo neUo studio deUa geometria differenziale deUa
rappresentazione
funzionale, la quale fornisce formule più sintetiche e facih a dominarsi, anche
quando non si abbiano scritte sotto gh occhi.
Questa rappresentazione ha la sua ragion d'essere neUa possibiUtà di svüuppare qualunque funzione f a quadrato sommabüe in serie di funzioni di un dato
sistema chiuso di funzioni normaU ed ortogonaU (serie convergente in media
verso /*), per cui i coefficienti di questa serie si possono interpretare come le
coordinate cartesiane del punto rappresentato daUa f, e quindi questa rappresentazione è strettamente legata ad uno dei più bei capitoU deUa moderna teoria
deUe funzioni di variabüe reale. In questa rappresentazione una varietà ad n
dimensioni è individuata da un'equazione
f=f(t,
Ui,U2,...., Un),
con / funzione a quadrato sommabüe di t in un certo campo g, e derivabile in
là quanto occorre rispetto aUe u (*).
Le derivate di qualunque ordine deUa f rispetto aUe u si possono interpretare come dei parametri che individuano deUe direzioni (2). Detto on lo spazio di
(*) G. VITALI, Geometria nello spazio hilbertiano. (Atti del R. 1st. Veneto di Se. lett. ed
arti, Anno Acc. 1927-28, Tomo LXXXVII, parte seconda, pp. 349-428) v. pag. 391.
(2) G. VITALI, 1. e , pag. 358 e seg.
G. VITALI : Rapporti
inattesi fra alcuni rami della Matematica
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minor numero di dimensioni che passa per ü punto deUa varietà e che contiene
tutte le direzioni individuate da tutte le derivate di f di ordine *&n, si trova
che un parametro di una qualunque normale a oL e giacente in o2 è una
combinazione lineare delle derivate seconde covarianti (del Ricci) della f
rispetto alla forma che dà V elemento lineare della varietà.
Così la considerazione di dette normah è apparsa al mio spirito come la più
naturale sorgente della derivata del Ricci, ed ho pensato che seguendo la
stessa via si sarebbe forse trovata la desiderata derivata per ü calcolo assoluto
generaUzzato.
AUora ho cercato di esprimere le normah al on giacenti nel 0^+1, supposto
che la varietà sia generica, ed ho trovato che i parametri di queste normah
sono combinazioni lineari di certe espressioni ottenute toghendo da una derivata (n + l)~ma, di / u n a combinazione hneare deUe derivate di ordine inferiore.
Con un'opportuna scelta di notazioni, dette espressioni potevano essere scritte
in forma tale da ricordare la derivata di R I C C I per un covariante ad un indice.
Queste espressioni operano sul sistema deUe derivate di f di ordine ^n. Io ho
poi sostituito a tale sistema di derivate un qualunque sistema covariante ad un
indice di classe n del calcolo assoluto generahzzato, ed ho ottenuto un covariante
a 2 indici, uno di classe n e l'altro di classe 1.
Si ha così una operazione che è la derivata cercata e che si può estendere
a sistemi assoluti qualunque. Essa ha tutte le proprietà deUa derivata del Ricci.
Inoltre essa si presta ad essere appUcata con vantaggio nei moderni studi
di geometria proiettiva differenziale.
Ma non è questo il luogo di farne deUe appUcazioni.
Una di queste è apparsa nel mio lavoro «Geometria deUo spazio hübertiano»,
altre appariranno in pubbhcazioni che sto redigendo, in cui farò una esposizione
estesa deUa teoria deUa derivata considerata. Una esposizione succinta di questa
teoria è già apparsa in una nota che figura nei Rendiconti deUa R. Accademia
dei Lincei di questo anno ( i ).
Qui importava mostrare come la nuova derivata che si affaccia come un
elemento importante neh" anahsi matematica, debba la sua origine a considerazioni
strettamente legate aUa moderna teoria deUe funzioni di variabüe reale.
Che quando si volesse pensare che ciò sia dovuto al caso, si potrebbe obiettare che se fosse possibile impostare la teorica di queste derivate operando suUe
varietà di uno spazio eucUdeo, essa teorica non potrebbe riuscire che una cosa
monca, perchè si sarebbe costretti a limitare la classe del calcolo assoluto che
si vuol fare, mentre il solo spazio hübertiano può fornire l'ambiente in cui ü
nuovo calcolo può svolgersi senza Umitazioni.
(*) G. VITALI, Sulle derivazioni covarianti nel calcolo assoluto generalizzato. Rend, della
R. Acc. dei Lincei. Classe di Scienze. Voi. VII, serie 6a, 1° semestre, fase. 8. Roma, aprile 1928.
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COMUNICAZIONI
Anche questa argomentazione è sufficiente per indurre a riconoscere che vi
è stato un contatto necessario fra le due teorie in discorso.
,
Può darsi che possa trascorrere molto tempo e che le due teorie debbano
percorrere molta strada prima che abbia a verificarsi un altro loro incontro
così notevole come queUo che io ho indicato, può anche darsi che un così forte
incontro non abbia mai più a verificarsi.
Ma se fra esse non avverranno altri contatti che siano da segnalare, come
queUo a cui ho accennato, quanti piccoh contatti avverranno attraverso le menti
dei singoU studiosi, quante volte, anche inconsciamente, ü matematico avrà occasione di servirsi con profitto per lo studio di una di queste teorie deU'abito
mentale che si è formato coltivando l'altra?
Perchè così è fatta la nostra mente, che le varie cognizioni che essa raccoghe
possono in essa coordinarsi el amalgamarsi e tendere a formare un tutto armonico
e senza discontinuità.