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Università di Udine
Facoltà di Agraria
Corsi di laurea in Scienze Agrarie e Scienze per l’Ambiente e la Natura
Anno Accademico 2008/2009
Programma PROVVISORIO del corso di
MATEMATICA E STATISTICA
Docente: Lorenzo Freddi
Il linguaggio della matematica. Concetti primitivi, proposizioni. Connettivi logici.
Tabelle di verità. Doppia implicazione. Quantificatori.
Gli insiemi. Concetti primitivi di insieme, elemento di un insieme e appartenenza. Insieme vuoto. Uguaglianza e inclusione. Rappresentazione degli insiemi. Unione e intersezione.
Proprietà associative e distributive dell’unione e dell’intersezione. Insieme complementare e
differenza di insiemi. Prodotto cartesiano.
√
I numeri reali. Numeri naturali, interi e razionali. Irrazionalità di 2 (dimostrazione).
Presentazione assiomatica di R: assioma della somma, assioma del prodotto, assioma dell’ordinamento, assioma di completezza. Altre proprietà di R: sottrazione, divisione, legge di
semplificazione della somma, legge di semplificazione del prodotto, legge di annullamento del
prodotto, proprietà invariantiva della divisione, regole del calcolo delle frazioni, densità di Q
in R, prodotti notevoli. Intervalli. Rappresentazioni decimali.
Generalità sulle funzioni. Definizione di funzione. Grafico di una funzione. Immagine di un insieme mediante una funzione. Funzioni iniettive, suriettive, biiettive. Funzioni
composte, restrizione. Funzione inversa e invertibilità. Funzioni monotone. Funzioni reali di
variabile reale.
Elementi di calcolo combinatorio. Risultati possibili. Risultati favorevoli e probabilità. Osservazione fondamentale. Disposizioni e combinazioni.
Equazioni e disequazioni. Equazioni algebriche di primo e secondo grado. Disequazioni.
Sistemi di equazioni e disequazioni.
Le funzioni elementari. Funzioni lineari. Potenze ad esponente intero, polinomi e
funzioni razionali. Potenze e radici, esponenziali e logaritmi. La funzione valore assoluto.
Funzioni periodiche. Funzioni circolari, seno e coseno, identità fondamentale, grafici. Identità
trigonometriche. Funzioni inverse delle funzioni circolari, tangente e arcotangente.
Insiemi limitati. Massimo e minimo, estremo superiore e inferiore. Funzioni limitate.
Limiti e continuità. Limiti per x → +∞. Limiti infiniti per x → +∞. Successioni,
successioni monotone e successioni limitate. Limite di una successione. Limitatezza delle successioni convergenti. Limiti di successioni monotone. Limiti per x → −∞. Limiti per x → x0
da destra e da sinistra. Limiti per x → x0 . Operazioni con i limiti e forme indeterminate.
Calcolo di limiti per confronto. Il numero e. Criterio del rapporto. Funzioni continue. Continuità delle funzioni elementari. Continuità delle funzioni composte e cambiamento di variabile
nei limiti. Limiti fondamentali.
Calcolo differenziale. Derivabilità e derivata. Significato fisico e biologico. Derivata
delle funzioni lineari. Derivabilità del valore assoluto. Continuità delle funzioni derivabili (dimostrazione). Derivate di ordine superiore. Operazioni con le derivate. Derivata delle funzioni
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Fac. Agraria, Programma Matematica2008/2009
razionali. Derivata dell’esponenziale. Derivata del logaritmo. Derivate delle funzioni circolari.
Derivazione delle funzioni composte. Derivate delle funzioni inverse. Teoremi dell’Hôpital (dimostrazione nel caso 0/0). Formula di Taylor. Retta tangente e significato geometrico della
derivata. Andamento di crescita delle funzioni derivabili. Parabola osculatrice. Convessità e
concavità. Studio del grafico di una funzione.
Calcolo integrale. Integrale definito di Riemann. Esistenza di funzioni non integrabili:
funzione di Dirichlet. Integrabilità delle funzioni continue e delle funzioni monotone. Proprietà
fondamentali dell’integrale. Teorema della media integrale. Primitive e integrale indefinito.
Proprietà delle primitive. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Formula fondamentale
del calcolo integrale. Integrazione per parti e per cambiamento di variabile. Cenno sugli
integrali impropri.
Equazioni differenziali. Equazioni di ordine 1 e problema di Cauchy. Il problema della
ricerca delle primitive. Equazioni lineari di ordine 1. Esistenza e unicità della soluzione del
problema di Cauchy. Equazioni di Malthus e di Verhulst. Equazioni a variabili separabili.
Il ruolo della statistica nelle scienze sperimentali. Il metodo scientifico. Elementi introduttivi: unità statistiche, popolazioni, osservazione e sperimentazione, campioni,
descrizione e inferenza.
Statistica descrittiva. Scale di misura. Le variabili statistiche univariate: definizione,
distribuzioni di frequenza e di densit di frequenza, distribuzioni cumulate, diagrammi statistici.
Misure di posizione: media aritmetica, mediana e moda. Misure di variabilità: varianza e
scarto quadratico medio.
Elementi di calcolo delle probabilità. Definizione di probabilit. Gli assiomi del calcolo
delle probabilità. Teoremi del calcolo delle probabilità. Variabili casuali: definizione, funzione
di probabilità e di densità di probabilità, valore atteso e varianza. Variabile casuale normale
e variabile casuale di Bernoulli. Distribuzioni campionarie: campionamento casuale semplice,
distribuzione della media e della varianza campionarie. Il teorema del limite centrale.
Stima. Stimatori e loro propriet, stima puntuale e per intervallo. Intervallo di confidenza
