PROGRAMMA DEL CORSO di ANALISI I , Laurea in Matematica
15 cfu, 120 ore
a.a. 2013-2014
Vladimir Georgiev(60 ore) e Nicola Visciglia(60 ore)
I. ELEMENTI DELLA TEORIA DEGLI INSIEMI
Operazioni e notazioni. Principio di induzione. Prodotto cartesiano di insiemi. Applicazioni.
Composizione di due applicazioni. Applicazione inversa.
II.- PROPRIET A' DELL 'INSIEME R DEI NUMERI REALI
R e’ un corpo commutativo (campo) . R e' un corpo ordinato. Valore assoluto e intervalli di R .
Sottoinsiemi limitati di R. Estremo superiore ed estremo inferiore.
III.- NUMERI COMPLESSI
Defiriizi'one e proprieta’. Forma polare dei numeri complessi. Potenze intere e radici di un numero
complesso.
IV.- FUNZIONI REALI DI VARABILE REALE. LIMITI
Preliminari. Struttura vettoriale e di algebra. Successioni di numeri reali. Limiti di successioni di
numeri reali. Limiti di successioni monotone. Algebra delle successioni reali convergenti.
Successioni reali divergenti. Massimo e minimo limite di successioni reali. Punti di accumulazione.
Spazi metrici e spazi topologici. Struttura metrica e topologica di R. Limiti di applicazioni.
Completezza. Compattezza. Limiti di funzioni reali di una variabile reale. Alcuni teoremi sui limiti
di funzioni reali. Limiti per x che tende a ± oo. Funzioni reali divergcnti in un punto di R . Limiti
di funzioni monotone. Confronto di due infinitesimi. Confronto di due infiniti.
V.- FUNZIONI CONTINUE E SEMINCONTINUE
Definizioni e prime proprieta. Teoremi sulle funzioni reali continue e semicontinue. Funzioni
invertibili con inversa continua. Funzioni uniformemente continue. Funzioni esponenziali e
funzioni logaritmiche.
VI.- CALCOLO DIFFERENZIALE PER FUNZIONI REALI Dl VARIABILE REALE.
Definizione di derivata. Alcuni teoremi sulle funzioni derivabilli.Differenziabilita’ e derivata di una
funzione composta. Una tabella di derivate. Retta tangente a un grafico. Derivate di ordine
superiore. Funzioni crescenti o decrescenti. Massimi e minimi relativi. Teoremi di Rolle, Cauchy,
Lagrange. Teoremi di l’Hopital. Formula di Taylor . Ricerca dei massirni e dei minimi di una
funzione. Funzioni convesse. Punti di flesso.
VII.- CALCOLO INTEGRALE PER FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE
Funzioni semplici. Integrale di funzioni semplici. Funzioni integrabili secondo Riemann. Esempi
di funzioni integrabili. Integrale di funzioni definite su un intervallo . Osservazioni relative
all'integrale di una funzione continua. Funzione integrale. Primitive. Integrale indefinito . Alcune
regole di integrazione . Forma integrale del resto nella formula di Taylor . Integrali impropri e
integrali oscillanti .
Vlll.- SERlE NUMERICHE
Alcune proprieta' delle serie numeriche. Serie a termini di segno costante. Criteri di convergenza o
divergenza per serie a termini non – negativi. Convergenza assoluta.
IX PRIMI CENNI SULLE EQUAZIONI ORDINARIE
Equazioni lineari del primo e del secondo ordine. Equazioni integrabili. Studio qualitativo.
Testi consigliati:
Per lezioni:
S.Campanato, Lezioni di Analisi Matematica I parte, Libreria scientifica Giordano Pellegrini,
Pisa 1993.
J.P.Cecconi, G.Stampacchia, Analisi Matematica I volume, Funzioni di una variabile, Liguori
Editore, 1996.
Per approfondire alcuni temi si possono usare anche:
W.Rudin, Principi di Analisi Matematica, McGraw Hill Libri Italia SRL, 1991.
E. Acerbi, G. Buttazzo, Primo corso di Analisi Matematica 1997, Pitagora Editrice Bologna,
ISBN 88-371-0942-3.
Libri per esercitazioni:
S.Campanato, Esercizi e complementi di Analisi Matematica, I parte, Libreria scientifica
Giordano Pellegrini, Pisa.
E. Giusti, Esercizi e complementi di Analisi 1, Bollati Boringhieri.
Per problemi con difficolta' piu'elevata:
E. Acerbi; L. Modica; S. Spagnolo, Problemi scelti di analisi matematica I, Liguori Editore
ISBN: 8820714086, 1985.
